Lista de Exercícios - Pré-Cálculo - A

Lista de Exerc´ıcios – Pr´e-C´alculo – A Prof. Carlos Campani 25 de abril de 2015 1. Represente em diagrama de Venn os conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 8}, B = {2, 3, 4, 6, 7} e C = {4, 5, 6, 8, 9} e determine: (a) A − B

(e) B ∩ C

(b) A ∪ B

(f) A ∩ B ∩ C

(c) A ∩ B

(g) (A ∪ B) ∩ C

(d) A ∩ C

(h) (A ∩ B) ∪ C

2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 5} e C = {2, 4, 7}, diga se ´e verdade ou n˜ao: (a) 4 ∈ B

(e) B ⊂ C

(b) 1 6∈ C

(f) C ⊂ A

(c) 7 6∈ (B ∩ C)

(g) C ⊂ (A ∪ C)

(d) B ⊂ A

(h) (A − B) ⊂ C

3. Descreva e represente graficamente o intervalo de n´ umeros reais: (a) x ≤ 2

(d) [−3, 3]

(b) −2 ≤ x < 5

(e) ]0, 4]

(c) ] − ∞, 7[

(f) x ´e negativo.

1

4. Use desigualdades, e representa¸ca˜o gr´afica, para representar os seguintes intervalos: (a) [−1, 1[

(d) [−2, 5[ ∪ ]2, 7[

(b) ] − ∞, 4]

(e) [−1, 4] ∩ ]2, 5]

(c) x ´e maior ou igual a 5.

(f) [−3, 2[ ∪ [3, 5]

5. Use a propriedade distributiva para escrever a forma fatorada ou a forma expandida da express˜ao dada: (a) a(x2 + b)

(c) ax2 + dx2

(b) (y − z 3 )c

(d) a3 z + a3 w

6. Calcule as seguintes potˆencias: (a) (−2)3

(g) 2−2

(b) (−2)2

(h) (−2)−2

(c) −22

(i) −3−3

(d)

 3 2 3

(e) − 34



3



2

(f) − 34

(j) (k) (l)



−3



−2

(m) − 23 (n) − 13 (o)

 −2 2 3

 2 4 5 23

(p) 3

 −1 3

(q) (32 )3

2

 −3 1

(r) (3.5)3

4

7. Simplifique a express˜ao. Suponha que as vari´aveis nos denominadores sejam diferentes de zero. (a)

x4 y 3 x2 y 5

(d)

(b)

(3x2 )2 y 4 3y 2

(e)

(c)



4 x2

2

(f)

2



2 xy

−3

(x−3 y 2 )−4 (y 6 x−4 )−2



4a3 b a2 b3



3b2 2a2 b4



8. Se a.b 6= 0, simplifique as express˜oes: (a) (a−1 .b3 )−2 .(a3 .b−2 )3 (b)

(c)

(a5 .b3 )2 (a−4 .b)−3



a3 .b−4 a−1 .b2

3

9. Escreva o n´ umero em nota¸c˜ao cient´ıfica: (a) A distˆancia m´edia de J´ upiter at´e o Sol ´e de aproximadamente 1.780.000.000 quilˆometros. (b) A carga el´etrica, em Coulombs, de um el´etron ´e de aproximadamente -0,00000000000000000016. 10. Escreva os n´ umeros na forma original: (a) 3, 33 × 10−8 (b) 6, 73 × 1011 (c) A distˆancia que a luz viaja em um ano (um ano-luz ) ´e aproximadamente 9, 5 × 1012 quilˆometros. (d) A massa de um nˆeutron ´e aproximadamente 1, 6747 × 10−24 gramas. 11. Para inteiros positivos m e n, n´os podemos usar a defini¸c˜ao para mostrar que am × an = am+n . (a) Examine a equa¸c˜ao am × an = am+n para n = 0 e explique por que ´e razo´avel definir a0 = 1 para a 6= 0. (b) Examine a equa¸c˜ao am × an = am+n para n = −m e explique por que ´e razo´avel definir a−m = 1/am para a 6= 0. 12. Realize cada uma das opera¸co˜es envolvendo fra¸co˜es: (a)

1 12

+

1 30

(e) − 47 23 

(b)

5 12

− 31 +

7 30

(c)

2 15

− 52 +

1 7

(g) − 23

(d)

3 5

2 15

1 3

(h)

−

+

+

2 5

− 53

(f)

 4 3

(i)  5

:2

3

− 24



(j) (k) (l)

− 53 15 6

3 x

+

5 x2

3 x(x+1) 2 x

−

3 x2

− +

5 x+1 4 x3

13. Alguns itens abaixo s˜ao verdadeiros e outros s˜ao absurdos. Identifiqueos. √ √ √ √ (a) a + a = a. Por exemplo, 2 + 2 = 2. √ √ √ (b) 2 + 3 = 5 √ √ √ (c) a + b = a + b √ √ √ (d) ( 2 + 3)2 = 5 + 2 6 14. Simplifique os radicais. √ (a) 576 √ (b) 3 64

√ 12 √ 3 (d) 27 (c)

15. Determine os valores das seguintes express˜oes: q √ (a) 144 (l) 165/4 (f) 64 25 √ √ (m) 32−2/5 (g) 4 256 (b) −16 √ √ (h) 5 3125 (n) 27−4/3 (c) 3 −216 √  −1/3 (i) 3 15, 625 √ 1 3 (o) − √ (d) 216 8 (j) 12, 25 q  −1/3 125 3/2 (p) − (e) 3 − 64 (k) 81 64 27 16. Reduza os radicais a seguir. √ √ (a) 2 − 8 √ √ √ (b) 3 − 2 12 + 27 √ √ √ (c) 125 + 20 − 45 √ √ √ (d) 72 − 18 + 50

√ √ √ 112 + 14 − 28 √ √ √ (f) 128 − 50 + 200 √ √ √ √ (g) 8 + 32 + 72 − 50 √ √ √ √ (h) 3 128 + 3 250 + 3 54 − 3 16 (e)

17. Calcular as seguintes ra´ızes com 5 casas decimais: √ √ (a) 5 (c) 11 √ √ (b) 7 (d) 21

4

18. Calcular as seguintes ra´ızes: √ (a) 1849 √ (b) 209764 √ (c) 12895281

√ 2119936 √ (e) 3136 √ (f) 96721

(d)

19. Introduza cada express˜ao a seguir em um u ´nico radical: q r q √ √ √ 3 √ 40 ÷ 2 (g) 4 3 2 (a) ab2 c (d) x xy y √ √ q √ 3 (h) 8 ÷ 16 √ √ (b) x xy 3 y (e) 3 3 5 r q √ √ √ (c) x 3 y z (f) 3 4 4 2 20. Determine o valor de x na express˜ao: r

x=

q

7+

3

6+

√ 4 16 .

21. Simplifique as express˜oes: (a)

a3/5 a1/3 a3/2 2 4 1/2

(h)

(e)



x1/2 y 2/3

6

−8x6 y −3

3x−2/3 y 1/2



(i)

(c) (a5/3 b3/4 )(3a1/3 b5/4 ) 



2x1/2 y 2/3

√ −6 4 9x y √ 8 −2 (j) 16y z

(b) (x y )

(d)



2/3

(k)

q

3x8 y 2 8x2

(l)

q

4x6 y 9x3

q

4x2 y2

4

5

(f)

(p2 q 4 )1/2 (27q 3 p6 )1/3

(m)

(g)

(x9 y 6 )−1/3 (x6 y 2 )−1/2

(n)

√ √ 5 5 9ab6 × 27a2 b−1

2+

√ 2 + ...

s

22. Calcule o valor de x =

2+

r

2+

5

q

3

×

q 3

2x2 y

23. Racionalize o denominador de cada express˜ao abaixo. (a)

√1 3

(b)

√4 2

(c)

2 √ 3 3 √ √2 3 √ x √ y y

(d) (e)

xy (k) √ 5 2

(p)

y √ 3 xy

(q)

(m)

1√ 1+ 2

(r)

2 √ 4 8

(n)

(s)

2 √ 4 16

(o)

√2 5−1 √ 2 √ 3− 2

(f)

y √ xy

(g)

2 √ 3 2

(l)

(h)

1 √ 3 4

(i) (j)

x y3

(t)

√ √ 3 3−2 √ 1+ √ 2 2−2 √ 2+√3 2+ 2 √ 1+√2 1− 2 √ √1− √2 3+ 2

24. Simplifique cada express˜ao abaixo. r √ √ 2+√3 √3 + 2− 2− 3 2+ 3 √ √ x √ √ x+1 √ √ + x+ x+1 x− x+1

r

(a) (b)

r √ √ 3−2 √ 2 3+2 √ 2 − 17−12 2 17+12 2 √ √ x+√x2 −1 x−√x2 −1 − 2 x− x −1 x+ x2 −1

r

(c) (d)

6