Límites, teoría

Límites Definición: Se escribe:

lím f  x =L x a

y se lee: “El límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L “ Si se pueden acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L tanto como se pueda, eligiendo una x lo bastante cerca de a pero no igual a a. En términos generales, esto afirma que los valores de f(x) se aproximan cada vez más al número L cuando se acerca a a desde cualquiera de los dos lados de a pero x ≠a , es decir, que al hallar el límite de f(x) cuando tiende a a, nunca consideramos x = a . Lo único que importa es como está definida f cerca de a. Este número L puede o no existir, pero si existe, este es único, es decir, toda función tiene, en un punto dado, al menos un límite. En la siguiente ilustración se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la gráfica (c), f(a) no está definido, y en la (b), f a≠L . Pero en cada caso, sin importar lo que suceda en a, es verdadero que

lím f  x =L xa

y

y

y

L

L

L

0

a

(a)

0

x

a

0

x

(b)

a

(c)

x

Consideremos la siguiente función: 3

 x =

x −1 x −1

Esta función está definida para todo real x, excepto para x = 1 Factorizando el numerador se observa que:

y

2

f  x=

f x 

 x −1 x  x 1  x −1

2 f  x= x  x  1 , x ≠1

Aunque la función no está definida en 1 nos interesamos por los valores que toma f(x) cuando x se aproxima a 1, sin llegar a ser 1. En primer lugar nos acercamos a 1 por la izquierda mediante valores menores que 1. Por ejemplo: x = 0,8 ; 0,9; 0,99 ; 0,999. En segundo lugar nos acercamos a 1 por la derecha mediante valores mayores que 1. Por ejemplo: x = 1,2 ; 1,1 ; 1,01 ; 1,001. Los valores correspondientes para f(x) se muestran en la tabla siguiente:

 3  f x 

0 x  1  x x

f  x =

x 0,8

0,9

2,44

2,71

0,99

0,999



1



1,001

1,01

1,1

1,2

3,31

3,64

3

x –1 x –1

2,9701 2,997001

3 

3,003001 3,0301

Límites Observando la tabla o el gráfico de la función, observamos que cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, pero sin llegar a ser 1, el valor de f(x) de la función se aproxima a 3. Este resultado se expresa diciendo que el límite de f(x) cuando tiende a 1 es 3, lo cual se expresa como: lím f  x  =3 x1

lím x1

x 3−1 =3 x−1

En el ejemplo, se ha hecho énfasis en que al aproximar x a 1 no se permitió que x tome el valor de 1. Por lo que el valor del límite de f(x) cuando x tiende a 1 depende únicamente de los valores que toma f(x) en los x que están cercanos a 1, siendo irrelevante el hecho de que f esté o no definida en el punto 1. Si consideramos esta otra función: g(x)=x 2+x+1, la cuál está definida en todo x incluyendo x = 1, tenemos que las dos funciones 1. f  x =

3

x –1 = x 2 x1 x –1

x≠1 ,

y

2.

g  x = x 2 x1

son iguales en todo x excepto en x = 1 (f no está definida en 1). la tabla que se ha construido para f(x) también sirve para g(x), ya que en ella no hemos considerado el valor x = 1. Por lo que también se concluye que 2

lím g  x =lím  x  x1=3 x1

x1

Es decir, ambas funciones tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. Ejemplo 2: Conjeture el valor de

lím x1

x−1 x2 – 1

Observe que la función f(x)= (x – 1)/no está definida cuando x = 1 , pero no importa porque la definición de lím x 1 f  x  dice que consideremos valores de x próximos a a pero diferentes de a. x1

f(x)

x1

f(x)

0,5

0,666667

1,5

0,400000

0,9

0,526316

1,1

0,476190

0,99

0,502513

1,01

0,497512

0,999

0,500250

1,001

0,499750

0,9999

0,500025

1,0001

0,499975

En las tablas se proporcionan los valores de f(x) con seis cifras decimales, para valores de que tienden a 1, pero que no son iguales a 1. En base a los valores de las tablas, se conjetura que: lím x1

x−1 =0,5 x2 – 1

Límites Límites laterales:

1. El límite izquierdo de f (x) cuando x tiende a a [ o el límite de f (x) cuando x se acerca a a desde la izquierda], es igual a L, si se pueden aproximar los valores de f (x) tanto como se quiera, eligiendo un valor de x lo bastante cerca de a pero menor que a:

2. El límite derecho de f (x) cuando x tiende a a [ o el límite de f (x) cuando x se acerca a a desde la derecha], es igual a L, si se pueden aproximar los valores de f(x) tanto como se quiera, eligiendo un valor de x lo bastante cerca de a pero mayor que a:

lím f  x = L

lím f  x  =L

x  a

x  a−

El símbolo “ x a− ” indica que sólo deben considerarse los valores de x tales que x a

El símbolo “ x  a ” indica que considerarse los valores de x tales que

sólo deben x a

y

y

L

L

f  x

f  x

0

x



a

0

x



x

lím f  x = L

lím f  x  =L

x  a

x  a−

En consecuencia:

lím f  x = L sí y solo sí x a

a

lím f  x = L x  a−

y

lím f  x = L x  a

x