Límite del cociente entre el seno y el ángulo cuando éste tiende a cero
Descripción
LÍMITE DEL COCIENTE ENTRE EL SENO Y EL ÁNGULO CUANDO ÉSTE TIENDE A CERO de Alfredo Salvador C. García; Ciudad de México Teorema. El siguiente cálculo es verdadero:
lím sen =1 →0 Demostración:
De acuerdo con la figura presentada, se efectúa una comparación de áreas: 1.
A−OQRA D−OQR A OQP , el área del triángulo OQR es menor que el área del sector circular OQR, y, a su vez, dicho sector es menor que el área del triángulo OQP.
2.
1 1 2 1 · RS · OQ · OQ · · PQ· OQ , calculando tales áreas en función de las 2 2 2 longitudes de sus segmentos constituyentes. Particularmente, si el área del círculo es
2 · OQ
y el ángulo recorrido debe de ser
2 ·
(correspondiente a toda la
circunferencia), entonces se forma la proporción de las áreas →
2 2· · OQ ← de los ángulos = x
1
donde
x
representa el área del sector circular, que se calcula como se ha mostrado,
1 2 x = · OQ · . 2 RS OQ PQ 1 RO · · , dividiendo entre el factor . RO RO RO 2 OQ RS OQ =sen , =1 siendo ambos segmentos de 4. sen tan , porque OQ RO PQ PQ = =tan de acuerdo con el igual longitud (ambos son radios del círculo), y RO OQ 3.
argumento anterior. 5.
1 1 1 , porque la desigualdad así lo requiere. Por ejemplo, tan sen implica necesariamente que
6.
1 1 1 3 2 1
(o bien,
123
1 1 1 ). 3 2
cos
sen 1 , multiplicando por el factor
tan =
sen sen , queda cos = . cos tan
sen . Particularmente, como
· Suponiendo, aparte, que
f z g z h z ,
f z g z h z , mientras la evaluación con z cumpliendo la comparación al igual que f z g z h z . 2. f z −g z −h z − , restando el término 1.
realmente siga sin
alterar
la
desigualdad. 3.
lím f z lím g z lím h z , porque las formas z →a z →a z →a forma de calcular el límite de
z −
corresponden a la
lím z , siendo a un valor dado. z →a ·
7. 8.
lím cos lím sen lím 1 , de acuerdo a lo ya concluido. → 0 → 0 →0 sen es continua en todos 1 lím 1 , porque cos → 0
2
sus
puntos,
lím cos =cos0 → 0
y
cos 0 =1
[Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].
Aparte, el límite de una constante es equivalente al valor de dicha constante. Sin embargo, esta expresión es absurda: porque se está declarando que 11 , debiendo ser
1=1 . El cambio de simbología es la forma para obtener una de las dos opciones posibles (la verdadera modificando la falsa), entonces sea en realidad que
sen 1= lím =1 , o →0
simplemente
9.
lím sen =1 , que es el cálculo por demostrar. → 0 ∎
Que se haya obtenido un absurdo a partir de argumentos aparentemente coherentes podría asimilarse como prueba de incoherencia en la Matemática. Sin embargo, ha de retormarse lo dicho anteriormente:
f z g z h z , mientras la evaluación con z realmente siga cumpliendo la comparación al igual que f z g z h z Ciertamente, cuando se exhibe el argumento 7, donde
lím cos lím sen lím 1 , → 0 →0 → 0
se está violando dicha condición entorno a la implementación del límite en la desigualdad: justamente este cálculo de límites no sigue cumpliendo la comparación hecha con
cos
sen 1
–dado que
cos 0 =1
, siendo este valor, a su vez, el valor de
lím cos –. Por ello es lógico obtener una incoherencia matemática en el argumento 9. Aun → 0 así, en lógica formal se sabe que sólo existen dos opciones sobre la naturaleza de una expresión: la primera, que sea verdadera; la segunda, que sea falsa y que su contraria lógica sea la verdadera. Entonces, se ha obtenido una expresión falsa,
sen 1 lím 1 , por lo tanto su contraria → 0
lógica
la
debe
ser
verdadera.
Finalmente,
contraria
lógica
de
esa
expresión
es
sen 1= lím =1 exactamente. Ello podría deducirse a su vez de que la contraria lógica de → 0 lím cos lím sen lím 1 →0 → 0 →0
3
es
lím cos = lím sen = lím 1 → 0 → 0 →0
y que ésta dedujera nuevamente todos los argumentos, desde el 7 hasta el 10 de forma coherente. De ninguna forma podría ser
sen 1 lím 1 →0
la contraria lógica porque nuevamente
representa un absurdo. Siguiendo la ley de tricotomía, si las opciones con los símbolos que) o
(menor
(mayor que) no son posibles, entonces la única posibilidad para comparar dos
cantidades es la utilización del símbolo = (igual que); por ello es que solamente la igualdad puede considerarse la contraria lógica del expresión inicial en 7, o bien, de 10. ∎ 2 de Enero de 2015
4
Lihat lebih banyak...
Comentarios
