LEY DE COULOMB Y ANÁLISIS DE LA FUERZA ELÉCTRICA

Universidad Técnica Federico Santa María
Campus Santiago
Laboratorio de Física
Grupo 215-A











"Ley de Coulomb y análisis de la fuerza eléctrica"(Informe laboratorio N°1 Fis120)
"Ley de Coulomb y análisis de la fuerza eléctrica"
(Informe laboratorio N°1 Fis120)







Maximiliano Brito / ROL: 201004781-4 / [email protected] Rodrigo Fuentes/ ROL: 201004509-9/ [email protected]
Maximiliano Brito / ROL: 201004781-4 / [email protected]
Rodrigo Fuentes/ ROL: 201004509-9/ [email protected]



Resultados
r[m]±0,0005
d[m]±0,0005
0,107
0,00300
0,0960
0,00400
0,0850
0,00500
0,0790
0,00700
0,0710
0,00900
0,0630
0,0110
0,0550
0,0140
0,0530
0,0150

Tabla 1: Esta tabla muestra la variación de la distancia "d", la variable d está en función de la variable independiente "r", que es la variación arbitraria de las distancias de los centros de masas que separa a las 2 cargas.










Log(r)
Log(d)
-0,971
-2,52
-1,01
-2,39
-1,07
-2,30
-1,10
-2,15
-1,14
-2,04
-1,20
-1,95
-1,26
-1,85
-1,27
-1,82
Tabla 2: logaritmos de las variables r y d, los datos están relacionados con los resultados de la "tabla 1".


Gráfico 1: Interpretación gráfica de los logaritmos de las variables r y d, los datos del gráfico están expuestos en la "tabla 2".
r[m]±0,0005
fuerza eléctrica (f) [N]
0,107
2,09*10-5
0,0960
2,79*10-5
0,0850
3,49*10-5
0,0790
4,89*10-5
0,0710
6,29*10-5
0,0630
7,69*10-5
0,0550
9,79*10-5
0,0530
1,04*10-4
Tabla 3: Fuerza eléctrica entre las 2 esferas cargadas, en función de la distancia "r" que separa a ambas, r es la variable independiente que varía arbitrariamente para obtener valores de la fuerza eléctrica.

Gráfico 2: Fuerza eléctrica (f) en función de la distancia (r) que separa a 2 esferas cargadas, los datos de las variables f y r están adjuntos en la "tabla 3".
Analisís y discusión
En esta experiencia se busca la relación que existe entre la distancia que separa a las esferas cargadas (r), y la distancia de la esfera colgada, desde su posición actual, donde es afectada por la fuerza eléctrica, a su posición de equilibrio (d), también se busca encontrar la relación entre fuerza eléctrica (f) y distancia entre 2 esferas conductoras (r).
Las variables a considerar en esta experiencia son:
El voltaje al cual las esferas se cargarán (por contacto).
El largo del hilo de seda que sostiene una de las esferas.
La masa de la esfera suspendida por el hilo.
Distancia entre ambas esferas cargadas (r).
Distancia entre la posición de equilibrio de la esfera colgada y su posición al experimentar fuerza de repulsión eléctrica (d).
Temperatura ambiente
La aceleración de gravedad en el campus.

Relación entre d y r

Para comprender mejor la dependencia del desplazamiento desde la posición de equilibrio y la distancia que separa ambas esferas se decide dejar constantes tanto el largo del hilo (0,49[m]), la masa de la esfera (3,500*10-4 [kg]) y el voltaje inducido (5000 [V]), para cargarlas. En el caso de la distancia que separa ambas esferas es controlado y medido. Los datos toman 8 mediciones con un rango desde 0,053 [m] hasta los 0,107[m], graduados con el uso de papel milimetrado que tiene un error instrumental del 5,00*10-4. De esta manera la distancia (r) que separa ambas esferas será la variable independiente, mientras que la diferencia de posición entre las posiciones antes y después de experimentar fuerza de repulsión será la variable dependiente (d).
La temperatura ambiente del laboratorio en el momento de la toma de mediciones es elevada. Esto con el fin de eliminar la mayor cantidad de humedad posible y disminuir que la carga en las esferas se descargue rápidamente a tierra. Además las mediciones se hacen lo más rápido posible para evitar que las esferas se descarguen durante el experimento y se tiene mucho cuidado en mantener la esfera suspendida en su posición de equilibrio al separar las esferas cargadas por contacto antes de comenzar las mediciones. Todo esto para minimizar los errores porcentuales que se pueden producir entre los valores esperados y obtenidos.
Como fundamento de este experimento se utiliza la Ley de Coulomb, que relaciona la fuerza eléctrica que existe entre dos cargas puntuales. Como las esferas de plumavit usadas en el experimento no son puntuales, la distancia mínima medida entre ambas esferas es mayor a 4 veces el radio de la esfera (0,013[m]), de esta manera podemos tratarlas como si fueran cargas puntuales.
Para poder realizar una comparación entre las distancias (r) y (d), se tiene el diagrama de cuerpo libre (ver apéndice 1), en la que se relacionan todas las variables propuestas anteriormente. Así la ecuación que compara las distancias (d) y (r) está dada por el marco teórico (ver apéndice 1):

d=kcLq2mgr2 [1]

Dónde:
kc= Constante de coulomb N*m2C2
L= Largo del hilo de seda[m] q= Carga de cada esfera [C]
m=Masa de la esfera suspendida [kg] g= Aceleración de gravedad [ms2]

Esta ecuación es de forma potencial, y para una mayor comprensión del fenómeno se linealiza aplicando la función logaritmo a ambos lados de la ecuación [1], quedando:

Logd=Log[kcLq2mgr2] [2]

Logd=LogkcLq2mg-2Log[r] [3]

Según el gráfico 1 la ecuación obtenida para el primer experimento es:

Log[d] = -2,306Log[r] - 4,740 [4]

Para determinar a que corresponde cada constante encontrada en la ecuación empírica, se debe hacer una comparación con el modelo teórico propuesto. La constante que multiplica a Log[r] tiene un valor teorico de -2, y experimentalmente se obtuvo un valor para esa constante de -2,30, lo cual entrega un error porcentual E%=13,2% (ver apéndice 3).

La constante -4,740 presente en la ecuación [4] corresponde a la constante LogkcLq2mg de la ecuación teórica [3], si se reemplazan las magnitudes que están dentro del logaritmo se tendrá el valor teórico de la constante, dicho valor es -4,173, entonces comparando lo predicho teóricamente con lo que se obtuvo en la experiencia, la constante presenta un error porcentual de E%=11,96% (ver apéndice 3).

El coeficiente de correlación dado por el grafico 1.1 es de:

R² = 0,986

Y su error porcentual es de 1,409% (ver apéndice 3).

Relación entre f y r
Según la ley de coulomb, la magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La ecuación que describe esta ley es la siguiente:

f=k*q1*q2r2 [5]
f=fuerza electrica [N]
k=constante de coulomb N*m2C2
q1=carga puntual 1 [C]
q2=carga puntual 2 [C]
r=distancia entre ambas cargas [m]
Como las cargas con las que se está trabajando son iguales, es decir, tienen igual magnitud y signo, la ecuación [5] puede ser simplificada y quedaría de la siguiente forma:

f=k*q2r2 [6]

Donde q es la magnitud de las cargas de las 2 esferas que se están estudiando.
Analizando la ecuación teórica de la ley de coulomb se puede notar que la fuerza f y la distancia r tienen una dependencia de tipo potencial, el "gráfico 2" relaciona estas 2 variables, primero se grafica f y r para luego ajustar de forma potencial los puntos dispersos en la gráfica y así poder llegar empíricamente a la ecuación de la ley de coulomb.
La ecuación empírica obtenida es la siguiente:

f = 10-7*r-2,307 [7]
Esta ecuación tiene un coeficiente de correlación:
R² = 0,9861 ,
Y su error porcentual respecto del valor teórico R=1 es:

E%=1,419% (ver apéndice 3).
Como se puede notar, el coeficiente de correlación se acerca mucho a 1, esto hace evidente la dependencia potencial entre las variables estudiadas.
Para poder obtener la magnitud de la fuerza eléctrica en la experiencia, no se necesita conocer la distancia entre las cargas, la ecuación que se utilizó para calcular la fuerza se deduce de un diagrama de cuerpo libre (ver apéndice 2) y es la siguiente:

f=mgdl [8]
Donde m es la masa de la esfera, g es la aceleración de gravedad presente en el campus, l es el largo de la cuerda que sostiene a la esfera cargada y d es la distancia del centro de masa de la esfera central cargada respecto al punto de equilibrio inicial de su centro de masa.
La masa, el largo de la cuerda y la aceleración de gravedad permanecen siempre constantes, lo único que varía arbitrariamente es la distancia d y en función de esa distancia varia la fuerza eléctrica.
Para determinar a que corresponde cada constante encontrada en la ecuación empírica, se debe hacer una comparación con el modelo teórico propuesto, el exponente de la distancia r teóricamente debiera ser -2, y experimentalmente se obtuvo que ese exponente es -2,307, esto entrega un error porcentual de 13,269%. (ver apéndice 3).
Carga teórica y constante de coulomb experimental
La capacitancia es la capacidad de almacenar carga, está dada por la siguiente ecuación:
C=qv [9]
Donde C es la capacitancia, q es la carga eléctrica y v la diferencia de potencial eléctrico. La ecuación [9] se puede despejar para obtener el valor de la carga q, y también se tiene el voltaje y la capacitancia de la esfera.
La capacitancia de una esfera es:

C=4πε0R [10]
Donde R es el radio de la esfera y ε0 es la permisividad en el vacío.

Reemplazando la ecuación [10] en la ecuación [9], se tiene que la carga q se calcula con la siguiente ecuación:
q=4πε0RV
Se evalúa la ecuación tomando como radio R=0,013 [m], voltaje V=5000 v y permisividad en el vacio ε0=8,854*10-12 . Entonces la carga de cada esfera tiene un valor:

q=7,228*10-9[c]
La ecuación [7] obtenida en el gráfico 2, es la ley de coulomb obtenida de forma empírica, entonces la constante 10-7 corresponde a k*q2 , por lo tanto
10-7=k*q2
Se despeja la constante k y se tiene:
k=10-7q2
k=1,912*109Nm2c2

Este valor experimental de la constante de coulomb al ser comparado con el valor teórico de la constante, se obtiene un error porcentual E%=370,0%. (ver apéndice 3).
Como en cualquier experimento existen diferencias entre los datos esperados y los obtenidos. Los errores porcentuales obtenidos anteriormente se pueden explicar por varios factores.

Un factor a considerar es la oscilación de la esfera suspendida. Pese a un intento de minimizarlo, al separar cuidadosamente las cargas antes de realizar el experimento no es posible eliminarlo completamente. Mientras las esferas estén en contacto, cualquier movimiento leve de las manos del experimentador desencadenará un leve movimiento de la esfera suspendida. Mientras las esferas estén separadas el movimiento de la esfera suspendida dependerá de las fuerzas producidas por las dos esferas restantes. Y por la ley de Coulomb la fuerza es proporcional a la distancia entre las cargas. De este modo la esfera central oscilará a un lado o al otro si no se separan ambas esferas exteriores con la misma velocidad, todo esto provoca un error al tomar las mediciones en el papel milimetrado.

La esfera central está suspendida por un hilo de largo L que provoca una fuerza de tensión en la esfera. Esta fuerza de tensión mantiene a la esfera en una trayectoria de arco de circunferencia. Aunque la distancia entre las esferas (r) es muy inferior al largo del hilo, existe una componente del movimiento de la esfera central que no es tomado en consideración en el experimento. Al ser su trayectoria un arco de circunferencia, existe una componente vertical en su movimiento, pero las mediciones de las distancias (d) y (r) solo tienen componentes horizontales. Existiendo un pequeño error en la medición

Las esferas una vez cargadas tienden a descargarse debido a la presencia de aire en la caja en la que se realiza el experimento. El tiempo que demoran en descargarse es menor mientras mayor sea la humedad presente. Como se explicó anteriormente la temperatura ambiente del laboratorio se mantiene elevada con el fin de disminuir la humedad presente. Claramente la humedad no puede ser completamente eliminada. A lo anterior se le suma la presencia del hilo que sostiene a la esfera cargada, que descarga lentamente a la esfera de plumavit.
De este modo las esferas pierden carga, disminuyendo la fuerza de repulsión entre ellas mientras transcurre el tiempo.
Los factores analizados anteriormente respecto a los errores porcentuales obtenidos, explican porque se obtuvieron los errores que bordeaban un 10%, pero hubo un error porcentual que tiene una magnitud de 370,0%, lo cual es bastante alto, este error porcentual corresponde a la constante de coulomb obtenida experimentalmente, la explicación a este elevado error se debe principalmente a que la constante de coulomb (k) depende de otra constante, esta es la permisividad en el vacio denotada como ε0, que generalmente no es una constante ya que puede variar con la posición en el medio, la frecuencia del campo aplicado, la humedad o la temperatura, entre otros parámetros. Claramente las condiciones del experimento no se acercan al vacio absoluto, para poder tener una mayor certeza en los cálculos, se aumenta la temperatura ambiente, para poder así eliminar la humedad, pero eso no significa que se crean las condiciones como si se estuviese trabajando en el vacío, entonces si se trata de encontrar un valor para la constante de coulomb, siempre se estará muy alejado del valor teórico, ya que este ultimo toma en cuenta la interacción de cargas en un espacio vacío.
CONCLUSIÓN
Para realizar este experimento y deducir una relación real entre las variables investigadas fue necesario mantener ciertas condiciones invariables. Como el largo de la cuerda que suspendía la esfera cargada, la masa y el diámetro de la misma, y el voltaje con el que fue cargado el sistema.
Como la ley a verificar (Ley de Coulomb) es válida para cargas puntuales fue necesario tomar ciertas medidas para que cargas no puntuales como las esferas se comportaran de acuerdo a los supuestos; la distancia entre ambas esferas debe ser siempre mayor a 4 veces el radio de la esfera suspendida. Es necesario hacer estos supuestos, ya que es prácticamente imposible de realizar en el laboratorio un experimento con cargas puntuales reales.
La primera ecuación empírica a verificar es:
d=kcLq2mgr2
Que da la relación entre las distancias d y r. En primer lugar se aplica logaritmo para lograr una dependencia lineal de ambas variables para una mejor comprensión de las magnitudes:
Logd=LogkcLq2mg-2Logr
Experimentalmente, y de acuerdo al grafico 1, la ecuación queda de la manera:
Logd= -2,306Logr- 4,740
Al ver los resultados obtenidos entre esta ecuación y los esperados teóricamente se encontraron errores porcentuales relativamente bajos:
Para la pendiente de la ecuación:
E%=13,27%
Para la constante LogkcLq2mg:
E%=11,96%
Coeficiente de correlación:
E%=1,409%
Esto indica que la ecuación empírica que relaciona la distancia d y r se cumple. Además tienen una relación inversamente proporcional.
La segunda ecuación empírica estudiada es:
f=k*q1*q2r2
Que relaciona la fuerza eléctrica entre dos cargas y la distancia que las separa.
La fuerza eléctrica presente entre las dos esferas cargadas se calcula de acuerdo al diagrama de cuerpo libre de la esfera suspendida por el hilo (Ver Apéndice 2):
f=mgdl
La ecuación entregada por el gráfico 2 que relaciona la distancia r con la fuerza f es:
f = 10-7*r-2,307
Los errores porcentuales entre los datos experimentales y el modelo teórico son bajos:
Para la potencia de r:
E%=13,27%.
Para el coeficiente de correlación:
E%=1,419%
Estos errores porcentuales indican que la Ley de Coulomb se cumple. Es decir la fuerza eléctrica entre dos cargas es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado que las separa.
Nótese que el error porcentual, entre la pendiente teórica y experimental, de la pendiente del grafico 1 y la potencia de r en el gráfico dos es el mismo E%=13,27%. El primer error fue tomado de una linealización de las variables, a través de la función logaritmo, mientras que el segundo error porcentual se obtuvo de una relación entre variables no linealizadas. Esto nos indica que no se pierde la proporcionalidad al linealizar las ecuaciones.
aPÉNDICE
Diagrama de cuerpo libre para determinar la relación de las variables d y r

Este sistema se encuentra en equilibrio, existen 3 fuerzas actuando para satisfacer esta situación de equilibrio, estas fuerzas son la fuerza eléctrica (f), el peso de la esfera (mg)y la tensión del hilo(T).
Si este sistema está en equilibrio, entonces el eje x y el eje y están en equilibrio, por lo tanto, hay que realizar un análisis por eje:
Eje x: -F+T*sinθ=0
T*sinθ=F
Eje y: T*cosθ-mg=0
T*cosθ=mg
Luego se procede a dividir la ecuación del eje x con la ecuación del eje y, quedando de la siguiente forma:
sinθcosθ=Fmg
tanθ=Fmg
Utilizando las propiedades trigonométricas, se sabe que al tener un triangulo rectángulo y un ángulo θ