Las raíces de la matemática occidental

LAS RAÍCES DE LA MATEMATICA OCCIDENTAL. María Cecilia Tomasini. El sistema matemático occidental se ha formado a partir de las contribuciones milenarias de los pueblos de Oriente y del Mediterráneo Antiguo. Los aportes más importantes provienen de las civilizaciones del Valle del Indo, de la Mesopotamia, de Grecia, y de los pueblos árabes. Realizando un recorrido rápido y simplificado a través de la historia, es posible comprender de qué forma se sintetizaron estos aportes dando por resultado el conjunto matemático que heredó Europa en la Edad Moderna.

I. Introducción Las evidencias más antiguas de numeración hechas por el hombre datan del Paleolítico. Por entonces los hombres se agrupaban en asociaciones precarias formando grupos de cazadores-recolectores. Los primeros registros de cantidades coinciden temporal y geográficamente con las primeras manifestaciones artísticas del hombre: pequeñas tallas y pinturas rupestres. Se han encontrado huesos tallados con marcas dispuestas en series de a cinco. La numeración en grupos de a cinco, diez o veinte marcas es muy común, incluso hoy en día, en ciertas culturas indígenas, y está indudablemente asociada a la cantidad de dedos de una o ambas manos, o al conjunto de todos los dedos incluyendo los de ambos pies. El acto de contar con los dedos parece preceder a toda otra técnica de numeración y, según veremos más adelante, se mantuvo en Europa hasta entrada la Edad Moderna. El progreso en los sistemas de recuento se encuentra íntimamente relacionado al surgimiento de la escritura. En general la aparición de la escritura coincide con la llamada Revolución Urbana.1 Cuando las sociedades adquieren un alto grado de complejidad, aparece un Estado que organiza y administra tanto las obras públicas como la regulación de tributos y prestaciones. La construcción de grandes obras como templos, palacios, murallas, canales de agua, etc., implica un minucioso registro de elementos y materiales; un cálculo detallado de longitudes, superficies y volúmenes; y una adecuada contabilización de granos y alimentos provenientes de los tributos del pueblo y destinados a alimentar a los trabajadores durante el tiempo que dure la construcción de la obra. Los comienzos de la escritura, las matemáticas, y el establecimiento de normas para pesar y medir coinciden con el surgimiento de estos modos de organización social. El historiador G. Childe sitúa esta etapa entre el 3000 y el 4000 a. C. en las regiones de Mesopotamia, Egipto y el Valle del Indo. Es importante destacar que la labor matemática en estas culturas va invariablemente asociada a la resolución de problemas concretos y a la aplicación práctica. La abstracción y la generalización, así como la "matemática pura", son desarrollos muy posteriores.

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Véase G. Childe, Los orígenes de la civilización; y M. Liverani, El Antiguo Oriente. Historia, sociedad y economía.

II. Principales características de nuestro sistema de numeración. Nuestro sistema numérico actual posee algunas características fundamentales que lo hacen a la vez dúctil y poderoso. Básicamente consta de un conjunto de signos (vg. 1, 2, 3, ..., etc.) a los cuales se les asigna un significado que es una cantidad. El 1 es simplemente uno, independientemente de que se trate de vacas, platos o flores. Este hecho que hoy nos resulta tan obvio es, sin embargo, un gran paso en el camino de la abstracción: en la Antigüedad transcurrieron milenios antes de que el uno, o el dos, o el tres, etc., pudieran desprenderse del objeto particular al cual representaban. Al hacerlo, los números se transformaron en poderosos instrumentos abstractos y generales, aplicables a cualquier elemento independientemente de su naturaleza. Otra de las características de nuestro sistema numérico es su base decimal. La base de un sistema numérico debe cumplir ciertas condiciones. Por ejemplo, debe ser suficientemente cómoda y razonable como para poder realizar grandes cálculos y operaciones complejas. Nuestro sistema está construido en base al número diez, y por lo tanto se lo denomina decimal. Efectivamente, está compuesto por diez signos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. Toda otra cantidad puede construirse en base a estos signos. El sistema de base diez posee otra importante característica, y es que permite realizar una serie de ascensos regulares hacia múltiplos de la base: 10, 20, 30, ..., 100, 200, 300, ..., 1000, 2000, 3000, ..., etc. Otras dos características de nuestro sistema numérico son la notación posicional y la existencia del cero. Estas características hacen que nuestro sistema sea sumamente práctico ya que permiten visualizar, de un sólo golpe de vista, cuál es la cantidad con la que se está tratando. La importancia de estas dos condiciones, inseparables una de la otra, aparecerá de manera más clara si vemos algunos ejemplos. Para conocer una cantidad en la numeración romana es necesario realizar una operación de suma. Por ejemplo, si deseamos conocer el valor del número MMMDCCLXXXVIII debemos sumar el valor de cada uno de sus numerales. Explícitamente: MMM = 3000 D = 500 CC = 200 L = 50 XXX = 30 V =5 III = 3 Por lo tanto la cantidad MMMDCCLXXXVIII es 3000 + 500 + 200 + 50 + 30 + 5 + 3 = 3788 . Los sistemas, como el romano, en los que es necesario realizar una operación de suma para conocer el valor de un número poseen notación por adición. Los egipcios también tenían un sistema numérico de este tipo. Nuestro sistema de numeración no es aditivo sino posicional. Esto significa que cada lugar tiene asignado un valor. El primer lugar a la derecha corresponde a las 2

unidades. Por convención ya se sabe que cualquier numeral entre el cero y el nueve colocado en este "casillero" indica esa cantidad de unidades. El segundo lugar corresponde a las decenas. Por lo tanto un siete colocado en este casillero está indicando siete decenas o 70. En el tercer lugar se ubican las centenas. Un siete colocado allí ya no vale 70 sino 700, y así sucesivamente. Si leemos 4523 sabemos que se trata de 4 unidades de mil más 5 centenas más 2 decenas más 3 unidades, sin necesidad de hacer la cuenta:

figura 1

La practicidad de los sistemas con notación posicional no radica únicamente en la rápida visualización de una cantidad. Se trata además de sistemas muy “económicos” como se percibe de inmediato al comparar 3788 y MMMDCCLXXXVIII. Pero tal vez lo más importante sea su potencia algorítmica, es decir, la posibilidad de resolver operaciones muy complejas con relativa simplicidad. Para evidenciar esta característica basta con realizar una sencilla suma (por ejemplo 3523 + 2365 + 4897 ) en nuestro sistema decimal y en números romanos, y comparar las diferencias.2 Una peculiaridad de los sistemas de notación posicional es la necesidad de la existencia del cero. Supongamos que nuestro sistema numérico con notación posicional no poseyese cero, y en cambio estuviese constituido únicamente por los signos 1, 2, ... hasta el 9. Si deseáramos escribir "diecinueve" no hallaríamos grandes dificultades: 19. Al escribir "ciento nueve" podríamos adoptar la convención de dejar un "espacio" entre el uno y el nueve, de esta forma: 1 9. Pero ¿de qué ancho debería ser dicho espacio?. Muy bien podríamos confundir el número "ciento nueve" con el número "mil nueve": 1 9, donde hemos dejado dos espacios en lugar de uno. Además se presentarían grandes dificultades para distinguir el número "veinte" del número "dos", ya que ambos se representarían por el mismo numeral 2. Una posible solución sería colocar una marca (*) en el lugar vacío. De esta forma el número "ciento nueve" se representaría como 1*9, y no se confundiría con el número "mil nueve", 1**9. Tampoco habría erróneas interpretaciones para el número "dos", 2, ni para el número "veinte", 2*. De hecho muchas culturas antiguas, con sistemas numéricos de notación posicional, adoptaron el uso de marcas para evitar problemas en la escritura de los números. Pero estas marcas eran simplemente blancos en la notación. No poseían el significado que hoy asignamos 2

La dificultad que ofrece esta suma o cualquier otra operación que se realice en números romanos no es una dificultad que derive de la "falta de costumbre" en el uso de esta notación. Se trata de una dificultad intrínseca a aquellos sistemas que no poseen valor posicional. 3

al cero, es decir, el valor de nada, o de vacío: la nada no era representable en la Antigüedad como un número.3 La necesidad del cero aparece entonces intrínsecamente asociada a la notación posicional. El primer registro del símbolo "0" para denotar los blancos en la escritura proviene de Grecia. Los griegos heredaron la matemática y la astronomía de Babilonia pero denotaron el blanco por un pequeño círculo, origen del cero actual. Las civilizaciones que desarrollaron notaciones con valor posicional y blancos para los lugares vacíos fueron solamente cuatro: Babilonia, China, India y la cultura Maya. Los sistemas con notación posicional resultan ser sumamente prácticos puesto que permiten recuentos y cálculos mucho más ágiles.

III. Grafismos y algoritmos. Nuestros actuales símbolos para representar las cantidades del "uno" al "nueve" –con excepción del cinco– descienden de antepasados hindúes. Las culturas del Valle del Indo desarrollaron un sistema de notación posicional con cero que se difundió por el mundo tanto o más que el sistema alfabético derivado del fenicio. Los símbolos hindúes para denotar las cantidades del "uno" al "nueve" fueron adoptados por los árabes, quienes le introdujeron modificaciones propias, derivadas posiblemente del modo de escritura árabe de derecha a izquierda. A principios del siglo VIII de nuestra era penetraron en Europa desde España junto con la expansión musulmana. Allí recibieron influencias visigóticas que dieron como resultado nuestros actuales grafismos. En el siguiente diagrama se ilustra de manera simplificada la posible evolución sufrida por los originales símbolos hindúes.4

figura 2

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Probablemente la única excepción sea la cultura desarrollada en el Valle del Indo. Allí al parecer el cero se introdujo no sólo como hueco en la escritura, sino como número nulo, asociado a la idea de nada. Véase J. D. Barrow, La trama oculta del universo, p. 104. 4 Para una descripción completa y detallada véase G. Ifrah, The Universal History of Numbers, p. 356 y ss. Véase también P. S. Filliozat, El triunfo del cero. En C. de la Unesco, nov. 1993. 4

Sin embargo, la adopción de este sistema de grafismos indoarábigos no fue inmediata. El Papa Silvestre III (fines del siglo X y primera mitad del siglo XI de nuestra era) fue uno de sus grandes difusores. El método más empleado entonces se basaba en el uso de fichas, hijas de los calculi romanos, hijos a su vez de las piedrillas que empleaban los griegos para realizar sus cuentas. Este hábito competía con el uso de ábacos y con el uso de los dedos. Esta última práctica fue extensiva hasta los siglos XV o XVI. Luca Pacioli la describe en su "Summa de Arithmética" publicado en el año 1494.5 Al adoptar el sistema hindú los árabes pudieron perfeccionar sus propios métodos de cálculo. La investigación matemática árabe recibió un importante impulso desde comienzos del siglo IX. En Bagdad se fundó la "Casa de la Sabiduría" donde se estimulaba el intercambio cultural con la India. Allí trabajó el matemático al-Jwarizmi, quien escribió un tratado de cuyo título derivan las palabras algoritmo y álgebra. El álgebra es la rama de la matemática que se ocupa de estudiar ciertas estructuras abstractas llamadas algoritmos, y de operar con ellas siguiendo ciertas reglas. Los algoritmos –resultantes de la fusión de métodos hindúes y arábigos– permiten realizar cálculos y establecer relaciones entre diferentes áreas de la matemática, como la aritmética y la geometría.6

IV. El sistema sexagesimal. Otra importante contribución a nuestro sistema matemático proviene de los pueblos de la Mesopotamia. Se trata del sistema sexagesimal, que nos permite dividir el círculo en 360º. En este sistema un grado equivale a 60 minutos y un minuto, a 60 segundos. Es, por lo tanto, un sistema que emplea al número sesenta como base. A partir aproximadamente del siglo XIX a.C. los primeros cincuenta y nueve números babilónicos se formaban empleando sólo dos signos cuneiformes: el del número uno y el del número diez (figura 3). A partir del sesenta los números se escribían usando notación posicional con base sesenta. El cero era un simple espacio vacío.7 Recién a partir del siglo III a. C. los babilonios comenzaron a usar un símbolo para denotar este espacio en blanco.

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Véase E. Grant, La ciencia física en la Edad Media, cap. II. También A. Allard, Del ábaco a las cifras indoarábigas; en C. de la Unesco, nov. 1993. 6 La aritmética se ocupa de los números y de las operaciones con cantidades concretas. Por ejemplo, la operación 2 + 3 = 5 es una operación aritmética. El álgebra, más general, además de cantidades concretas emplea también signos como x, y, z, ...etc., cuyas combinaciones forman ecuaciones. Por ejemplo, la expresión y = 2x +3, es una expresión algebraica que representa la ecuación de una recta de pendiente 2 y ordenada al origen 3. Las expresiones x, y, z, ... utilizadas en álgebra pueden simbolizar variables, incógnitas, etc. y pueden ser reemplazadas por números, cantidades irracionales, magnitudes geométricas, etc. 7 G. Ifrah, Op. cit., p. 146 y ss. 5

figura 3

El siguiente esquema permitirá comprender más claramente como se estructuraba el sistema babilónico de numeración. El primer casillero a la derecha corresponde a las "unidades" que en este caso son los números desde el "uno" al "cincuenta y nueve". El segundo lugar corresponde a cualquiera de estos 59 números, multiplicados por sesenta. El tercero corresponde a la multiplicación por el cuadrado de sesenta, y así sucesivamente. Es fácil advertir que se trata de un sistema semejante al que hemos descripto en la figura 1, pero usando el sesenta como base. En la figura 5 se muestran algunos ejemplos de construcción de números en el sistema babilónico.

figura 4

figura 5

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Los orígenes del sistema de numeración babilónico no son claros. Algunos autores suponen motivaciones astronómicas: la división del año en seis períodos iguales correspondientes a seis constelaciones zodiacales. Otros consideran que se asignó especial preponderancia al número sesenta debido a consideraciones geométricas, puesto que es posible la división del círculo en seis partes iguales de 60º cada una. Pero también cabe la posibilidad de que el sistema sexagesimal sea simplemente el resultado de la fusión de dos sistemas anteriores, uno de base diez y el otro de base seis.8 En la actualidad el sistema sexagesimal se aplica en aquellas mediciones y cálculos que requieren del 60 y sus múltiplos; por ejemplo: el círculo y sus divisiones, la esfera celeste en astronomía, el globo terráqueo en geografía, y el tiempo. Gracias a la analogía que existe entre el círculo, el tiempo y sus respectivas divisiones resulta posible medir las horas, los minutos y los segundos usando un reloj circular dividido en 60 partes iguales.

V. Los primeros sistemas de pesas y medidas. Se cree que las primeras medidas aparecieron como una simple comparación de tamaños entre los objetos. A medida que la economía y las construcciones de las primeras sociedades fueron adquiriendo mayor complejidad se fue creando la necesidad de una medida fija tomada como referencia. Las más elementales de estas medidas de referencia son las denominadas unidades personales de longitud: palmo, codo, pie, etc. Estas medidas emplean directamente las partes del cuerpo del constructor. Obviamente se trata de medidas muy inexactas y variables de persona a persona. Cuando las sociedades comenzaron a realizar mutuos intercambios las medidas personales de longitud dejaron de ser útiles. En su lugar se requirieron patrones fijos y precisos. Al igual que la escritura y los sistemas de numeración, los sistemas de pesas y medidas surgieron en las primeras sociedades urbanas en las cuales se hizo necesario llevar una contabilidad rigurosa de los tributos. Los patrones de medidas garantizaban el registro exacto de estos tributos.9 Los primeros patrones fueron varillas utilizadas para medir longitudes y piedras empleadas como pesas. Las medidas de superficie se referían a la cantidad de granos necesaria para sembrar una determinada parcela. En cuanto a los volúmenes, las primeras nociones aparecieron en Sumer (c. 3000 – 2300 a.C.) asociadas al uso de ladrillos en la construcción. Por ejemplo, si una pared requería 30 ladrillos para el largo, 40 para la altura y 5 para el ancho, entonces requería de 30 × 40 × 5 ladrillos; en este cómputo está implícito el principio de cálculo de volúmenes.10 Tanto las civilizaciones de la Mesopotamia como los egipcios fueron muy hábiles en la determinación de superficies y volúmenes, como puede deducirse de la precisión y magnificencia de sus construcciones. Pero jamás enunciaron estos cálculos en forma abstracta o general. En 8

Para una descripción detallada véase G. Ifrah, Op. cit. Véase también J. Ritter, Mesopotamia: ¿un enigma resuelto? En C. de la Unesco, nov. 1993. 9 G. Childe, Op. cit., cap. VIII; p. 219 y ss; M. Liverani, Op. cit., p. 109 y ss. Véase también J. Friberg, Numbers and Measures in the Earliest Written Records; en Scientific American 250. 10 El volumen de un paralelepípedo puede calcularse como V = l × a × h , donde V es el volumen, l es el largo, a es el ancho, y h es la altura. 7

estas culturas la matemática siempre progresó asociada a la resolución de problemas específicos. Una de las primeras culturas que estableció un sistema de pesos y medidas unificado fue el Estado de Sumer. Hasta el año 2600 a. C. los sumerios poseían doce diferentes sistemas de unidades. Hacia esa fecha estos sistemas se unificaron reduciéndose a tres: longitudes, superficies y capacidades. A partir de entonces los sumerios emplearon un único sistema de números acompañados por la unidad de medida correspondiente. Hoy en día hacemos algo similar cuando utilizamos un único sistema de numeración, el decimal, acompañado de la unidad correspondiente: metro para la longitud, kilogramo para el peso o litro para la capacidad, además de sus respectivos múltiplos o submúltiplos.

VII. La abstracción en matemática. En las primeras civilizaciones que se establecieron en Egipto y en la Mesopotamia no existía una elaboración general y abstracta, sino que la matemática se aprendía a través de un conjunto de problemas concretos representativos de las situaciones a las que diariamente debían enfrentarse escribas, funcionarios y arquitectos.11 Los procedimientos de cálculo mesopotámicos y egipcios fueron absorbidos por los griegos y conformaron los cimientos de su matemática. Pero en Grecia no existió la limitación impuesta por los fines utilitarios. Por la tanto la matemática se desarrolló hacia áreas que eran puro ejercicio de la abstracción, sin aplicación práctica inmediata alguna. Es así como surgió la matemática pura.12 Para la mentalidad griega la matemática constituyó el ideal de ciencia desinteresada, que debía estudiarse por sí misma y no por su utilidad. Platón consideraba que la matemática era indispensable para la formación intelectual. Se dice que en el umbral de su Academia lucía la siguiente inscripción: "Nadie entre aquí si no sabe geometría".13 Una característica importante de la matemática griega es la organización de sus textos en un orden lógico deductivo: partiendo de ciertos principios fundamentales se extraen conclusiones por medio de una serie de demostraciones. Esta organización constituyó una innovación en la Antigüedad, ya que en las civilizaciones de Egipto y Mesopotamia no hubo interés en la lógica de los desarrollos ni en la construcción de un único cuerpo teórico general. Otra característica de la matemática griega es el interés en los problemas geométricos. Si bien la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo ya era conocida en Egipto, en la India y en la Mesopotamia, se debe a los griegos el enunciado de esta propiedad en una forma general, abstracta, y lógica.14 Hoy en día conocemos este desarrollo con el nombre de Teorema de Pitágoras. La geometría 11

Véase G. Childe, Op. cit., cap. VIII; J. Ritter, Las fuentes del número; en C. de la Unesco, nov. 1989. B. Vitrac, La odisea de la razón. En C. de la Unesco, nov. 1989. 13 J. P. Vernant, Los orígenes del pensamiento griego, p. 103. 14 Véase Childe, Op. cit., p. 251 y ss; y F. Zimmermann, Lilavati, la graciosa geometría; en C. de la Unesco, nov. 1989. 8 12

griega alcanzó su mayor desarrollo durante el período helenístico.15 Alejandría se convirtió en el polo intelectual del Mediterráneo. Allí trabajó Euclides, cuyo tratado de geometría titulado Elementos constituye la base de la actual geometría plana.16 El legado matemático griego fue recogido también por los árabes y enriquecido con los aportes del álgebra.17 Estos conocimientos, que ingresaron en Europa a partir del siglo VIII, conformaron una base imprescindible para el desarrollo de la matemática y de la ciencia posterior.

CONCLUSION

Podemos encontrar las remotas raíces de nuestros conocimientos matemáticos actuales en los pueblos de la Mesopotamia y de Egipto. La sabiduría de estas civilizaciones se trasmitió a Grecia. Allí se enriqueció con la lógica y la abstracción. Los árabes fueron los depositarios de esta milenaria herencia así como del sistema hindú de numeración con valor posicional y cero. Ellos realizaron una asombrosa síntesis de estas vertientes y agregaron sus propios aportes conformando el cúmulo matemático que recibió Europa durante la Edad Media, y que constituyó la base sobre la que se asienta nuestro actual sistema matemático.

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El período helenístico se extiende aproximadamente desde el último cuarto del siglo IV a. C. hasta la conquista romana, a mediados del siglo II a. C. 16 C. Eggers Lan, El nacimiento dela matemática en Grecia. 17 D. C. Lindberg, Los inicios de la ciencia occidental, p. 218 y ss. R. Rashed, Intersección del álgebra y la geometría; en Correo de la Unesco, noviembre 1989. 9

Bibliografía:

Allard, A.; Del ábaco a las cifras indoarábigas. En Correo de la Unesco, nov. 1993, p. 34 – 36. Barrow, John D.; La trama oculta del Universo. Ed. Grijalbo, Drakontos, 1996. Childe, V. Gordon; Los orígenes de la civilización. F. C. E., Buenos Aires, 1992. Eggers Lan, C.; El nacimiento de la matemática en Grecia. EUDEBA, 1995. Filliozat, P. S.; El triunfo del cero. En Correo de la Unesco, noviembre 1993, p. 30 – 33. Friberg, J; Numbers and Measures in the Earliest Written Records. En Scientific American 250, p. 110 – 118. Grant, E.; La ciencia física en la Edad Media. F. C. E., Buenos Aires, 1983. Ifrah, Georges, The Universal History of Numbers. John Wiley & Sons, 2000. Lévy, T.; Del número a la palabra. En Correo de la Unesco, noviembre 1993, p. 9 – 13. Lindberg, D. C.; Los inicios de la ciencia occidental. Paidós, 2002. Liverani, M; El Antiguo Oriente. Historia, sociedad y economía. Crítica, Grijalbo Mondadori, 1995. Rashed, R.; Intersección del álgebra y la geometría. En Correo de la Unesco, noviembre 1989, p. 37 – 41. Ritter, J; Las fuentes del número. En Correo de la Unesco, noviembre 1989, p. 12 – 17. Ritter, J.; Mesopotamia: ¿un enigma resuelto?. En Correo de la Unesco, noviembre 1993, p. 14 – 17. Vernant, J. P; Los orígenes del pensamiento griego. EUDEBA, 1965. Vitrac, B.; La odisea de la razón. En Correo de la Unesco, noviembre 1989, p. 29 – 35. Zimmermann, F.; Lilavati, la graciosa geometría. En Correo de la Unesco, noviembre 1989, p. 18 – 21. ***

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