˜ LAS FENOMENOLOG´ IAS DE FREUDENTHAL Y EL DISENO ´ DE SECUENCIAS DIDACTICAS SOBRE LAS ESTRUCTURAS ´ ´ MATEMATICAS ASOCIADAS A LA MEDICION Y LAS FRACCIONES ´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ Resumen. Freudenthal postul´ o que las fenomenolog´ıas did´ acticas se fundamentan en las fenomenolog´ıas hist´ oricas de las estructuras matem´ aticas. Un principio central de la Educaci´ on Matem´ atica Realista (EMR) afirma la utilidad de las fenomenolog´ıas did´ acticas en la identificaci´ on de los elementos esenciales de la ense˜ nanza de tales estructuras, haciendo posible el dise˜ no de secuencias de actividades de ense˜ nanza con claras ventajas cognitivas. En este art´ıculo se discute c´ omo las operaciones descritas por Freudenthal para la fenomenolog´ıa did´ actica de la medici´ on sirven para proponer modelos descriptivos y prospectivos para el dise˜ no de unidades did´ acticas sobre la medici´ on, las fracciones, los porcentajes y los decimales. Freudenthal postul´ o la existencia de un conjunto de medidas y propuso una operaci´ on b´ asica entre las medidas, la operaci´ on de “a˜ nadir” (o sumar) y dos operaciones derivadas, a saber, las ampliaciones y las divisiones de medidas por enteros. Ilustraremos c´ omo los elementos de la fenomenolog´ıa did´ actica se transforman en modelos matem´ aticos haciendo patente la matematizaci´ on horizontal y vertical. Finalmente, se incluye una unidad did´ actica paradigm´ atica que incorpora los elementos considerados.
1.
´n Introduccio
[1, Freudenthal (1973)] presenta una fenomenolog´ıa de las estructuras matem´aticas relacionadas a la did´ actica de la medici´on. En este trabajo se discute este punto siendo que ilustra que la matematizaci´on vertical impl´ıcita en la transformaci´on de los modelos descriptivos de la EMR a modelos prospectivos, no solo supone la introducci´ on de elementos matem´aticos formales a los modelos descriptivos, sino que, adem´ as, supone la incorporaci´on de los procesos mentales correspondientes y las conexiones l´ ogicas asociadas. Todo ello se debe considerar como parte del proceso de verticalizaci´ on y, en nuestra opini´ on, es en parte uno de los componentes de lo que se conoce com´ unmente como “sentido num´erico”. En otras palabras, la verticalizaci´ on conlleva la automatizaci´ on de aspectos formales del modelo descriptivo as´ı como la automatizaci´ on de los procesos mentales que se desarrollan mediante el modelo descriptivo original. Tal verticalizaci´ on permite a los estudiantes abonar eficientemente a su acervo matem´atico, ya que pueden valerse del nuevo conocimiento para emplearlo como recurso b´asico en la descripci´ on de nuevas Date: September 13, 2015. 2010 Mathematics Subject Classification. Primary . Key words and phrases. Educaci´ on matem´ atica realista, Fenomenolog´ıa Fenomenolog´ıa hist´ orica, medici´ on, fracciones, decimales, por cientos. 1
did´ actica,
2
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
situaciones matem´aticas. En este escrito daremos ejemplos de este fen´omeno, empleando ejemplos de la educaci´ on matem´atica realista (EMR) sobre la ense˜ nanza de las fracciones, los n´ umeros racionales y los decimales. En el escrito incluimos una unidad en lenguaje castellano, pero existen fuentes similares en otros idiomas, como [3, Keijzer et all (2006)]. En la EMR la confecci´ on del material did´ actico se debe basar en la fenomenolog´ıa did´ actica de la matem´atica relevante, en este trabajo discutimos primeramente la fenomenolog´ıa de las estructuras matem´aticas de los n´ umeros racionales y la medici´on desarrollada en [1, Freudenthal (1973), pp. 193-212] y luego la vinculamos con los modelos matem´aticos empleados por la EMR en la ense˜ nanza de tales estructuras matem´aticas. 2.
´ ctica de Freudenthal para la medicio ´ n y los Fenomenolog´ıa dida ´ meros racionales nu
Definici´ on 2.1. Suponga que G es una colecci´on de magnitudes, con una operaci´on + : G × G → G (que llamaremos “suma”) y una relaci´on de orden < ⊆ G × G tal que i. < satisface la condici´ on de tricotom´ıa: para todo a, b ∈ G una y solo una de las siguientes condiciones se cumple: a < b or a = b or b < a. ii. < es transitiva: para todo a, b, c ∈ G, si a < b y b < c entonces a < c. iii. + es asociativa: para todo a, b, c ∈ G, (a + b) + c = a + (b + c). iv. + es conmutativa: para todo a, b ∈ G, a + b = b + a. v. + satisface la ley de cancelaci´ on: para todo a, b, c ∈ G, si a + c = b + c, entonces a = b. Adem´as, vi. Para todo a, b ∈ G, a < b if si y s´ olo si existe alg´ un c ∈ G (por necesidad u ´nico) a + c = b. Finalmente, es posible ampliar (repetir) o dividir magnitudes en tantas partes iguales como se quiera: vii. Para todo a ∈ G empleamos la definici´on por inducci´on para definir 1 · a = a y para todo entero positivo n, (n + 1) · a = n · a + a. Decimos que n · a es la ampliaci´ on de n veces a. Note que esto define una operaci´on n · a para enteros positivos n y para medidas a ∈ G. viii. Para todo a ∈ G y para todo entero n ≥ 1 postulamos la existencia de b ∈ G (necesariamente u ´nico) de manera que n · b = a. Escribimos 1 · a. n Decmimos que b es la medida de una de las partes obtenidas al dividir la medida a en n partes iguales. Empleando esta definici´on se demuestra que 1 1 1 n · ( m · a) = nm · a, para todo par de enteros positivos n, m y para todo a ∈ G. b=
Freudenthal (ibidem) describe un ejemplo del conjunto G, consistente de todos los objetos que tienen peso. Es posible definir dos relaciones entre los elementos de G de la siguiente manera: La primera relaci´on ≡⊆ G × G se define para todo a, b ∈ G mediante la regla a ≡ b si y s´ olo si a y b tienen los mismos pesos; La segunda relaci´on r′ , entonces r · a > r′ · a. ii. Si r > r′ y a > a′ , entonces r · a > r′ · a′ . Comentario 2.6. Podemos frasear el PA del siguiente modo alterno: Para todo a, b ∈ G existen r, s ∈ Q+ tal que rc < a y sc > a. Esto est´a claro en virtud de los comentarios anteriores ya que la primera desigualdad dice que a no es menor que todos los elementos de Q+ · c, y la segunda desigualdad dice que a es mayor que todos los elementos de Q+ · c. Paso seguido, Freudenthal demuestra: Teorema 2.7. G satisface el PA si y s´ olo si para todo a, b ∈ G existe n ∈ Q+ tal que na > b. Esta es la forma usual de enunciar el PA. Demostraci´ on. La prueba depende de una propiedad de Q+ ahora hacemos expl´ıcita: para todo r ∈ Q+ existen enteros positivos n, m tal que n1 < r < m (en efecto, existe un entero positivo k tal que k1 < r < k). Por el principio de la buena ordenaci´ on del conjunto de los enteros positivos, k = m´ın{p | p es un entero positivo y r < p} existe. Un argumento similar empleando 1r en lugar de r demuestra la existencia de un entero positivo p tal que 1r < p y p entero positivo con tal propiedad. En particular, tenemos, 1Este punto, a nuestro juicio es un tanto controversial ya que existen fenomenolog´ıas hist´ oricas
de estructuras matem´ aticas no est´ andar u ´tiles en el an´ alisis y en una gran diversidad de consideraciones matem´ aticas, incluyendo la medici´ on. Por ejemplo, una fenomenolog´ıa did´ actica para las estructuras matem´ aticas del siglo XVII permitir´ıa estrategias did´ acticas para la ense˜ nanza del c´ alculo con ventajas cognitivas significativas. Pero, en este punto es posible oponer la objeci´ on que tal esfuerzo estar´ıa en conflicto con la fenomenolog´ıa hist´ orica sobre el desarrollo del c´ alculo, ya que el c´ alculo no est´ andar es producto del siglo XX luego del trabajo de Abraham Robinson. Ciertamente no se debe ignorar la fenomenolog´ıa hist´ orica de las estructuras matem´ aticas del c´ alculo. Pero es innegable, por lo que se conoce hoy d´ıa, que el c´ alculo se puede presentar empleando el an´ alisis no est´ andar de manera muy similar a la que concibieron inicialemente sus inventores. Sin embargo, no escapa a la vista que los fundamentos no est´ andar del c´ alculo se cimentaron m´ as de dos siglos despu´ es de la invenci´ on del c´ alculo. Por ello, si bien es razonable esperar una ventaja cognitiva en la ense˜ nanza del c´ alculo con infinit´ esimos y n´ umeros infinitos, no es menos razonable esperar que el estudio de sus fundamentos te´ oricos sea un asunto mucho m´ as complicado. Posponemos esta interesante discusi´ on para alg´ un momento futuro.
6
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
1 b. por nuestros comentarios, existe un entero positivo n tal que n · a > b. Para el argumento inverso, si la condici´ on de la conclusi´on del teorema es v´aldia, entonces es evidente que existen r, s ∈ Q+ de manera que r · a > b (tomando r = n) y s · b > a tomando s = n1 ). Comentarios 2.8. i. Ahora nos preguntamos acerca del posible significado de la expresi´ on x · a cuando x ∈ R y a ∈ G. A prop´ osito de la pregunta, se debe indicar, que es muy razonable pensar que los elementos del conjunto de pesos discutido por Freudenthal consisten de n´ umeros racionales. En la pr´actica es posible hacer un n´ umero limitado de divisiones fraccionarias de la unidad de medida, por lo cual, como una medidas no es sino una comparaci´ on de una medida con la unidad y como s´ olo podemos tener una cantidad finita de fracciones de la unidad, es de esperar que s´ olo podamos tener n´ umeros racionales como pesos. Lo mismo es cierto para otras medidas; en efecto, lo que se est´a diciendo es que al darse un instrumento de medida basado en una unidad dada, se mide con la precisi´on que permite la escala hasta la u ´ltima subdivisi´ on marcada en el instrumento y luego se estima d´onde quedar´ıa la pr´oxima subdivisi´ on si la hubiese. Por ejemplo, al medir longitud, empleamos alg´ un instrumento calibrado en m´ ultiplos y partes fraccionarias de una unidad. As´ı pues, al medir una longitud dada contamos todas las marcas y estimamos la ubicaci´ on de la pr´oxima marca que no aparece en el instrumento de medir. Se obtiene de ese modo un n´ umero racional como medida de la longitud dada. Pero el conjunto de los n´ umeros racionales no es suficiente para un an´alisis completo de la medici´on ya que la medici´on lleva al modelo de la recta num´erica m´etrica. Para el an´alisis de esta recta se hace necesario contar con todos los recursos del an´alisis matem´atico y para ello se necesita contar con los n´ umeros reales y no s´ olo los racionales. Por ejemplo, el c´ alculo y el an´alisis real no son posibles en la recta racional. Los resultados que constituyen los pilares del c´ alculo son falsos en esta recta. En efecto, los teoremas centrales del c´ alculo son falsos en la recta racional (como el Teorema del valor medio, el Teorema fundamental del c´ alculo o el Teorema del valor intermedio para funciones continuas). As´ı pues, es importante poder definir la operaci´on impl´ıcita en el s´ımbolo r · a para r ∈ R y a ∈ G. Ahora indicamos una forma de hacerlo, la cual es una variante equivalente del m´etodo empleado por Freudenthal. ii. Suponga ahora que x ∈ R+ y que a ∈ G. Por la completez de los n´ umeros reales sabemos que x = sup{r ∈ R+ | r < x}, de suerte que es “natural” proponer la
´ FREUDENTHAL Y EL CONCEPTO DE MEDICION
7
siguiente definici´on: x · a = sup{r · a | r ∈ Q+ y r < x}.
(2.1)
El conjunto de la derecha es uno no vac´ıo y acotado superiormente. Por ello tiene una cota superior m´ınima (propiedad de completez); dejamos los detalles de este argumento al lector interesado. Sin embargo, esta cota superior m´ınima en (2.1) no se encuentra, necesariamente, en el conjunto G, es decir, existe la posibilidad que para alg´ un a ∈ G y x ∈ R, el n´ umero real definido como x ·a no es un elemento de G. Por tal raz´on Freudenthal, en esta coyuntura introduce un axioma adicional: iii. Para todo x ∈ R y todo a ∈ G, sup{r ·a | r ∈ Q+ y r < x} ∈ G. Con ese axioma adicional la cota superior m´ınima que denotamos por x · a es un elemento de G como se desea. En otras palabras, supondremos que R+ · a ⊆ G para todo a ∈ G. Es posible emplear (2.1) para demostrar que las propiedades en los Comentarios 2.3 son v´alidos cuando n y m son n´ umeros reales. Dejamos, una vez m´ as los detalles al lector interesado. Finalmente, Freudenthal propone la siguiente definici´on: Definici´ on 2.9. Sea e ∈ G una unidad de medida. La funci´ on de “medida respecto a la unidad e” se define como la funci´ on ν : G → R+ , tal que para todo a ∈ G, νe (a) = sup{r ∈ Q+ | r · e < a}. El siguiente resultado es directo: Teorema 2.10. Empleando la notaci´ on de la Definition 2.9 tenemos que para todo a, b ∈ G y todo t ∈ Q+ i. Si a < b, entonces νe (a) < νe (b); ii. νe (a + b) = νe (a) + νe (b); iii. νe (e) = 1; iv. νe (t · a) = tνe (a). De esta manera Freudenthal establece la expansi´on del conjunto de medidas al conjunto de n´ umeros reales. 3.
´ cticas sobre Elementos esenciales de las sucesiones dida ´ n y nu ´ meros racionales basadas en la fenomenolog´ıa medicio ´ ctica de Freudenthal dida
A partir de la fenomenolog´ıa did´ actica de Freudenthal es posible identificar algunos elementos centrales que todas las sucesiones did´ acticas para la ense˜ nanza de la medici´on y los n´ umeros racionales deben tener. A continuaci´ on presentamos una lista de tales elementos: i. Se deben proponer modelos descriptivos que ilustren la operaci´on de suma de magnitudes. Por ejemplo, en el caso de la medici´on de longitudes, la suma supone la colocaci´on repetida de alguna vara (o cinta de longitud conocida), yuxtaponiendo cada colocaci´on de la vara, de manera que una colocaci´on de la vara se hace en el punto donde termin´o la colocaci´on anterior de la misma, sin solapamiento. Esto nos dar´ a la longitud total en comparaci´ on con la unidad de longitud. En el caso de los pesos, la suma se realiza colocando dos pesos
8
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
en un plato de la balanza y empleando la unidad sus m´ ultiplos y sus partes fraccionarias para equilibrar la balanza. Esto nos indica la suma relativa a la unidad de peso. ii. Como G = Q+ es un ejemplo particular (en efecto, un ejemplo can´onico) que satisface los axiomas de Freudenthal, no se debe perder de vista que la fenomenolog´ıa did´ actica de Freudenthal relativa a la medici´on y los n´ umeros racionales aplican directamente a la ense˜ nanza de las fracciones. As´ı pues, nuestros comentarios anteriores relativos a los modelos descriptivos/ prospectivos para la medici´on y los n´ umeros racionales aplica tambi´en a las fracciones. Esta es, quiz´as, la sugerencia m´ as ignorada en el dise˜ no de unidades did´ acticas para la ense˜ nanza de las fracciones2. iii. Es de esperar que se propongan modelos descriptivos para ilustrar la multiplicaci´on de la unidad (es decir, la medida de la unidad) as´ı como las posibles subdivisiones de la unidad. iv. La fenomenolog´ıa did´ actica de la medici´on y los n´ umeros racionales incorpora la operaci´on de los n´ umeros racionales actuando sobre las medidas. Los modelos prospectivos de la ense˜ nanza deben promover acciones que lleven a la representaci´ on en la recta num´erica de las fracciones propiamente dichas y no solo las partes fraccionarias de otras medidas. Tales modelos deben ser u ´tiles, adem´ as, para la representaci´ on de las relaciones fraccionarias de parte-todo y para la colocaci´on de las fracciones en la recta num´erica, v. Como se ver´ a, hay otros modelos miscel´ aneos que sirven para integrar y consolidar las nociones sobre los n´ umeros racionales que se obtienen de otros modelos. Nos damos ahora a la tarea de ilustrar el empleo de los modelos descriptivos y prospectivos de la EMR con el fin de crear sucesiones did´ acticas para la ense˜ nanza de las fracciones decimales y los por cientos. Para ello emplearemos algunas de las unidades de las matem´aticas en contexto, como, por ejemplo [3, Fraction Times (2006)] y una versi´on experimental de esta unidad , [2, Medida a Medida (1994)]. Organizamos esta discussion de acuerdo a la lista previa, es decir, veremos c´ omo estas afirmaciones se transforman en secuencias did´ acticas. Modelos notables u ´tiles en la instrumentaci´ on de la fenomenolog´ıa did´ actica de Freudenthal sobre las estructuras matem´aticas de la medici´on y los n´ umeros racionales. i. Modelos de cintas de papel para medir (para medir empleando una unidad de medida para la longitud). T´ıpicamente, al emplear estos modelos, se pide a los estudiantes que preparen cintas de papel de longitudes variables para emplearlas para medir las longitudes de objetos en el aula. Al medir longitudes mayores que la unidad de medida (longitud de la cinta) el estudiante deber´ a yuxtaponer, sin que haya solapamiento, la cinta de medir para obtener alg´ un m´ ultiplo entero de la longitud de la cinta. Entonces, para obtener el largo de la parte que queda a´ un sin medir (si la hubiese) , el estudiante deber´ a doblar la cinta en sub unidades 2Seg´ un [4, Wu (2014), p. 4] “A partir del grado quinto, no hay sino una sola alternativa: se debe tener una definici´ on de fracci´ on. En general, la matem´ atica escolar (si los libros de texto son indicativos de la situaci´ on) no provee una tal definici´ on, de manera que los maestros y los estudiantes se mueven a tientas en la oscuridad que rodea al asunto relativo a lo que es una fracci´ on.” Es la opini´ on de Wu que las fracciones se deben definir, no como resultados de procesos que se emplean para obtener divisiones equitativas, sino como n´ umeros en la recta num´ erica. Sin duda, esta es una sugerencia valiosa y la misma sigue directamente de la fenomenolog´ıa did´ actica de Freudenthal sobre la medici´ on y los n´ umeros racionales
´ FREUDENTHAL Y EL CONCEPTO DE MEDICION
9
de longitude para obtener medidas de 1/2, 1/4, 1/8, etc. Como el proceso de dividir en dos nos lleva naturalmente a la representaci´ on di´ adica (base dos) de las fracciones de la unidad y como nuestro sistema num´erico est´a basado en la base diez, el proceso de doblar en dos sucesivamente, aunque constituye un modelo descriptivo pr´actico, debe transformarse en modelos “mentales” basados en dobleces repetidos de diez partes iguales (los cuales no son tan f´aciles de obtener manualmente como los dobleces repetidos en dos partes iguales). Al
Figura 1. Cintas de papel para la medici´on de longitudes emplear el modelo en situaciones en las que, digamos, se mide el volumen de l´ıquidos contenidos en tanques, entonces el modelo que se obtiene es el de una cinta doblemente calibrada, es decir, una recta doble. La cinta estar´ a calibrada en unidades de capacidad (como litros o galones) en un lado y en fracciones en el otro. Tales rectas dobles se pueden transformar como para incluir lecturas que no corresponden a las marcas en la recta para as´ı promover que los estudiantes estimen los m´ ultiplos y las sub partes de la unidad; v´eanse las Figuras 2, y 3. El proceso, como se ha dicho, presenta al estudiante lecturas de capacidad que no corresponden a las marcas en la “cinta” que no corresponden a ninguno de los dobleces de la cinta, y se les pide que determinen las lecturas correspondiente en ambos lados de la recta doble. Los modelos descriptivos presentados anteriormente son de utilidad para que el estudiante adquiera las acciones mentales involucradas en la estimaci´on de los tama˜ nos de las partes fraccionarias que no correspondan a marcas en la barra de medir. Esta es un destreza muy importante en el proceso de medici´on y en la comprensi´ on de la representaci´ on decimal de los n´ umeros racionales. Adem´as, los estudiantes pueden emplear el modelo de las rectas dobles para afianzar la interpretaci´on de “parte-todo” de las fracciones en el contexto de una recta doble calibrada en fracciones en uno de sus lados y en otra escala en su lado opuesto. ii. Modelos de rectas dobles Al introducir rectas dobles, los estudiantes tienen la opci´on de leer escalas de dos maneras distintas y hacer transferencias entre los distintos formalismos rotacionales de los n´ umeros racionales (fracciones, por cientos y decimales); v´ease la Figura 4. Las gr´ aficas circulares, empleadas inicialmente para representar datos de naturaleza fraccionaria para resolver problemas de repartici´on justa, progresivamente se transforman en gr´ aficas circulares con dos escalas y eventualmente
10
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
Figura 2. Barras para la medida de capacidad
en rectas dobles; v´ease la Figure 5. N´otese que en esta Figura la gr´ afica circular se “desdobla” en una recta con dos escalas, que sirven para mostrar dram´aticamente las relaciones parte-todo de los datos fraccionarios originales. Los modelos de las rectas dobles calibradas se introducen a partir de los modelos de las cintas de papel, tal y como se ilustra en la Figura 6. En la Figura, las escalas para medir los vol´ umenes de l´ıquidos contenidos en tanques se ven suspicazmente similares a cintas de papel con dobleces. De forma similar, el contexto de los mapas provee rectas dobles de inter´es seg´ un se muestra en Figura 7. iii. Modelos relativos al dinero El dinero es un contexto muy u ´til para obtener las equivalencias b´asicas entre las fracciones, los decimales y los por cientos asociados a las partes fraccionarias de las monedas en las que se divide el d´olar. Empleando tales partes fraccionarias, se obtienen importantes equivalencias entre los formalismos rotacionales de las fracciones, los decimales y los por cientos. Por ejemplo, una tabla como la de la Figura 8 requiere que los estudiantes establezcan v´ınculos entre el proceso de divisi´ on larga, los decimales y las fracciones. Por ejemplo, los formalismos de por cientos y decimales para las
´ FREUDENTHAL Y EL CONCEPTO DE MEDICION
11
Figura 3. Estimaci´ on de cantidades fraccionarias
Figura 4. Contexto de doble escala
1 1 1 1 , 10 , 4 , 2 } se hacen claras en el contexto del valor de las monedas fracciones { 20 (en centavos de d´olar) y las partes fraccionarias que representa cada moneda con respecto al d´olar. Hay excepciones notables en esta lista, como 13 . La divi´ on larga, apropiadamente interpretada, lleva a los estudiantes a entender el
12
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
Figura 5. Contextos propios para escalas dobles
Figura 6. Barras calibradas para medir vol´ umenes de l´ıquidos en tanques
Figura 7. La escala de un mapa significado de las siguientes expresiones (exactas): 1 1 = 0,3 + ; 3 10 1 1 = 0,33 + ; 3 100 1 1 = 0,333 + . 3 1000
´ FREUDENTHAL Y EL CONCEPTO DE MEDICION
13
Figura 8. Tablas de dinero
As´ı pues, la expresi´ on 13 = 0,333 · · · supone la ocurrencia un proceso la toma de un l´ımite que expresa, en efecto, que los decimales finitos 0,3, 0,33, 0,333, etc se hacen progresivamente m´ as cercanos a 13 . Por ello, la “division larga” es la base para establecer que cada fracci´ on se puede escribir como un decimal, finito o infinito. Si el decimal es infinito, entonces es peri´odico, es decir, contiene alg´ un bloque de d´ıgitos que se repite indefinidamente. Sin duda, hay mucho que decir sobre el significado de un decimal infinito, lo cual, no viene al caso en este momento. Solo apuntamos dos datos centrales para las sucesiones did´ acticas que atienden las etapas m´ as avanzadas del estudio de los n´ umeros racionales. Primeramente que los decimales infinitos no repetitivos no representan n´ umeros racionales y, en segundo lugar, que la completez de los n´ umeros reales se puede enunciar diciendo que toda sucesi´on de d´ıgitos (es decir, enteros entre 0 y 9) arbitrariamente dada corresponde a los d´ıgitos de la expansi´on decimal de alg´ un n´ umero real (por necesidad, irracional). Claro est´a, la divisi´ on larga que nos da las expansiones decimales para las fracciones necesita un sustituto para hallar la expansion decimal de cualquier n´ umero real aunque no sea racional. Los decimales finitos o las fracciones decimales (es decir, las fracciones cuyos denominadores son potencias de diez) son precisamente los n´ umeros que admiten dos representaciones decimales, a saber, una finita y otra infinita que termina en la repetici´on indefinida del d´ıgito 9. Al principio tales discusiones en el contexto did´ actico son todas informales y heur´ısticas, pero la explicaci´on u ´ltima de la existencia de dos expansiones decimales para un mismo n´ umero racional es siempre la misma y por ello constituye una situaci´ on paradigm´ atica de la ense˜ nanza. En efecto, haciendo referencia a la divisibilidad repetida del segmento unitario en diez subintervalos homog´eneos, vemos que el n´ umero 0,999 · · · queda en el d´ecimo intervalo de la divisi´ on descrita del intervalo unitario, y tambi´en queda en el d´ecimo intervalo del d´ecimo intervalo obtenido en el paso anterior, y as´ı sucesivamente. Por ello, de la geometr´ıa de la recta se desprende que 1 = 0,999 · · · . Dicho de otro modo, 0,999 · · · est´a ubicado en el ultimo intervalo que se obtiene cuando el intervalo unitario se divide en diez intervalos homog´eneos, en el u ´ltimo intervalo cuando el intervalo unitario se divide en 100 subintervalos homog´eneos, en el u ´ltimo intervalo cuando el intervalo unitario se divide en 1000 subintervalos homog´eneos y as´ı sucesivamente. Por ello sabemos que 1 = 0,999 · · · . Adem´as, por ejemplo, 0,44 = 0,43999 · · · , ya que 0,00999 · · · = 0,999··· = 1012 = 0,01, de 102 suerte que 0,44 = 0,43+0,01 = 0,43+0,00999 = 0,43999 · · · . De la misma manera, 0,25 = 0,24999 · · · , etc. Todas estas discusiones se realizan informalmente
14
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
hasta que la noci´on de l´ımite hace su entrada al escenario did´ actico. Finalmente, es una propiedad importante de los n´ umeros racionales que el proceso de divisi´ on larga discutido anteriormente nunca puede dar como resultado un decimal infinito que termine en en la repetici´on indefinida del d´ıgito 9. iv. La automatizaci´ on de las competencias aritm´ eticas/ algebraicas relativas a los formalismos asociados a la graf´ıa de los n´ umeros racionales Sin duda, existen relaciones que vinculan los formalismos de escritura de los n´ umeros racionales y la did´ actica se vale de ejercicios que siven para automatizar el reconocimiento de tales v´ınculos y facilitar la aritm´etica impl´ıcita en tales ejercicios. Considere el siguiente ejemplo: Complete la siguiente tabla empleando s´ olo el dato (que puede tomar por ciento): 36 × 75 = 2 700. Entonces, 18 × 75 = 72 × 75 = 9 × 150 = 36 × 25 = 36 × 150 = 3,6 × 1,50 = 7,2 × 7,5 = 0,9 × 1,5 = 0,36 × 1,25 = v. Modelo de la recta de saltos de diez Por la importancia que tienen en nuestro sistema de notaci´on decimal las ampliaciones por factores de poten1 1 , 100 etc. cias de diez, como, 1, 10, 100 etc. (supra unidad) o factores de 1, 10 (sub unidad), es posible proveer modelos descriptivos para puntualizar tales propiedades estructurales de nuestro sistema num´erico decimal; v´ease la Figura 9.
Figura 9. Modelo de la recta de saltos de diez vi. Modelos de segmentos de divisibilidad infinita Nuestro sistema de notaci´ on decimal se basa en la amplificaci´on o la contracci´on repetida por factores de diez. En efecto, un decimal como 0,96 representa un n´ umero x que se ubica en el d´ecimo intervalo que se obtiene al dividir el intervalo [0, 1] en diez
´ FREUDENTHAL Y EL CONCEPTO DE MEDICION
15
subintervalos congruentes. Tambi´en se ubica en el s´eptimo intervalo al dividir el intervalo [0,9, 1] en diez subintervalos congruentes. Similarmente ocurre para decimales infinitos. La u ´nica excepci´on a esta regla son los decimales finitos en el caso que se elige la representaci´ on de ´estos que terrmina en un bloque infinito de nueves. En tal caso despu´es de cierto punto en el proceso de division infinita por factores de diez, el n´ umero siempre habr´ a de ubicarse en el d´ecimo intervalo de cada etapa de la sudivisi´on. En cualquier caso, los modelos de segmentos de divisibilidad infinita son u ´tiles para comprender la densidad de las fracciones decimales en la recta num´erica; v´ease el ejemplo de la Figura 10
Figura 10. Infinite divisibility segments vii. Toda sucesi´on did´ actica para el estudio de la medici´on y los n´ umeros racionales (fracciones, por cientos y decimales) debe llevar al estudio del ´algebra, disciplina en la cual debe haber un sistema num´erico de fondo. Este sistema, claro est´a, en esta etapa de estudio, consiste el conjunto de todos los decimales posibles, peri´odicos o no. Los n´ umeros racionales consisten de todos los n´ umeros con expansiones decimales peri´odicas. Los n´ umeros irracionales son los n´ umeros con expansiones decimales infinitas y no peri´odicas. Como se ha mencionado anteriormente, en este contexto, el axioma de completitud o completez de los n´ umeros reales establece que toda sucesi´on de d´ıgitos (enteros del 0 al 9) son los d´ıgitos de la representaci´ on de alg´ un n´ umero real. Pero esta etapa del estudio de los decimales, en nuestro ambiente educativo de hoy, se suele reservar para los estudios universitarios. Referencias [1] Hans Frudenthal Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Commpany Dordrecht, 1973. [2] Gravemeijer K., Ruesink, N.,Allison, J., Meyer, M.R., tranlated and Adpated, L´ opez, J. M., Garc´ıa Mu˜ niz, V. Medida a Medida. In Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.) Mathematics in Context. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc. The Teacher’s Guide for this unit was prepared by David C. Webb, Teri Hedges, Mieke Abels, and Truus Dekker. Holt, Rinehart and Winston 1994. [3] Keijzer R., van Galen, F., Gravemeijer, K., Abels, M., Dekker, T., Shew, J. A., Cole, B. R., Brendeful, J. & Pligge, M. A. Fraction times. In Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.) Mathematics in Context. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc. The Teacher’s Guide for this unit was prepared by David C. Webb, Teri Hedges, Mieke Abels, and Truus Dekker. Holt, Rinehart and Winston 2006. [4] Hung-Hsi Wu Fractions, dedimals and rational numbers. Notes for education researchers and K-8 teachers Unversity of Califoria at Berkeley 2008, revised 2014.
16
´ ´ ´ OMAR HERNANDEZ RODR´IGUEZ AND JORGE M. LOPEZ FERNANDEZ
Department of Graduate Studies, Faculty of Education, University of Puerto Rico, R´ıo Piedras E-mail address:
[email protected] Department of Mathematics, University of Puerto Rico, R´ıo Piedras E-mail address:
[email protected]
Unidad Medida a medida
Version de Prueba
©Encyclopcedia Britannica Educational Corporation, 1994
Reservados todos los derechos
1
A. SOBRE EL SER PRECISO · .
·.
·
.
·
Marcas y Medidas
·Versi6n .4e Prueba
©Encyclopa!dia Britannica Corporation, 1994 . Educational ·.. ; .
Reservados todos tos der~chos
Medida a Medida
2
~~-;::~ro-"7"'C""~ ···.. ~
. ..
Q
Algunas reglas calibradas son muy parecidas a las cintas de' :· medir. Las reglas a-h que se muestran a continuaci6n se encuentran en tanques de almacenamiento de una fabrica.
2. Para cada de las reglas a-h, escribe cuantos litros de agua hay en el tanque y cual fr~cci 6n del tanque esta lleno. Discute con tus coinpafleros c6mo llegaste a tus contestaciones.
200
200
300
"f.
b. 0
c.
1000
400
I
100
200
300
I
I
I
800
500
1000
I Versi6n de Prueba
··•·::--··
·· · ·--~) Encyclopcedia Britannica Educational Corporation. 1994· ·--·· --·-
· · •~- - -- Reser:vados todos.los derechos.
-
·--·- .
A. Sobre el Ser Preciso .
Ftacciones E
.. 3 . . Los antigu fracc fracc nrtl~~1~~;~,;~
He aquf algu_n as de las fracciones egipcias .
.
:
. .
. II>16
.
'~-
. .. ~
3. Crea un simbolo que deba
seguir a 6~ y explica cual fracci6n representa .
.
-;.
.... ·.
,•
. . Utilizando los simbolos que · represen.tan estas fracciones ·:~-·egipcias es P.o sible dibujar el ojo de Horus, el dios del sol. De acuerdo a Ia mitologia, el dios de las tiriieblas despedaz6 el ojo de · · Horus. Mas tarde, Thoth, el dios de · la sabiduria, re:s taur6 el ojo .
..
Versi6n de Prueba
© Encyclopa!dia Britannica EduCational Corporation, ·199~
.
Reservados todos los derechos
Antes d.e que el dios de las tinieblas despedazara el ojo de Horus, la suma de los simbolos que formaban el ojo era de 1. Para reconstruir el ojo de Horus., Thoth . .·~ utilizo los sfmbolos de las fracdones.
:4. · LPudo Thoth restaurar el ojo de Horus completamente? Debes estar·preparado para defender la contestaci6n .
. ·:···~--
··· Versi6n d.e Prueba ·.
"'. \1!·- ·- - -·~ Encyclopcedia Britannica Educational Corporation, 1994
Reservados todos I~ derech(!S .
A. Sobre e l Ser Preciso
--~
Aceite de Ricino
_.U,.~?-'"
VersiOn de Prueba
5
Los antiguos egipcios utilizaban el aceite de ricino para fro tar-sus cuerpos, en sus lamparas y con prop6sitos medicinales. El aceite de ricino se obtiene de las semillas de una planta de origen africano. Algunos egipcios derramaban sal sabre las semillas y luego las prensaban. Otros utili~aban molinos para triturar las semillas y luego colocaban la masa asi obtenida en canastas con el prop6sito de prensarlas para extraer el aceite.
~ Encyclopredia Britannica Educational Corporation, 1994
Reservados todos los derechos
Medida a Medida
6
La Campania de Aceite .d e Ricino Tut e Hijos empleaba un·gran . numero de trabajadores para recoger las semillas y Il)Olerlas. Otros trabajadores estaban a cargo de prensar la masa molida y recoger el aceite que se escurria a traves de las canastas. Este aceite se recogia en.ollas, las cuales en ocasiones se vertian en cubos mas grandes. Los trabajadores construyeron varas de medir para calcular la cantidad de aceite contenida en los cubos.
~
AI colocar una vara de medir en un cubo con aceite y luego sacarla, el aceite que permanecia sabre la vara mostraba Ia cantidad de aceite en el cubo. Los trabajadores colocaron una marca sabre las varas para indicar la cantidad de aceite tenido en una olla llena. Por siguiente, el contenido de los cubos se medfa en terminos de ollas. '
Version de Prueba
© Encyclopaedia Britannica Educational Corporatio~. 1994
Reservados lodes los derechos
"
7
A. Sobre el Ser Preciso
Vara de Referencia
a.
b.
c.
d.
e. 5.
Escribe la cantidad de aceite que indican las varas ere que se muestra a la izquierda. Utiliza una cinta de medir de papel como hiciste en la pagina 1.
Los trabajadores median la cantidad de aceite en unidades de 1, !, i, ~ y 116 de una olla. Para anotar las medidas, ellos utilizaban las combinaciones de sfmbolos que mencionamos anteriormente.
·. "
t
Por ejemplo, 1 y de olla se escribirfa como:
/
• r
1
-· -6. · -litiliza este sistema para expresar las cantidades de aceite de ricino indicadas por las varas a-e a la izquierda. Escribe debajo de cada vara en lenguaje de simbolos la cantidad de aceite indicada par la vara. J.
r
~ 'l
.,f!
H }~
·U
Versi6n de Prueba
©Encyclopcedia Britannica Educational Corporation, 1994
ReseNados todos los derechos
8
~ ,~, l
I
i
.
Versi6n de Prueba
Medida a Medida
©Encyclopcedia Britannica Educational Corporation, 1994 . . . ... __ ....... ... __ ..
Reserva.~Q~lo.9.~~l9.s. ~~re~~~~ •.• _ ,..
A.·Sobre el Ser Preciso ·
(' ~
.
,, }
. ·t,. '
9
La rueda se hada girar en sentido de las manecillas del reloj partiendo de su posicion inicial. Nose intentaba hacer girar Ia rueda nuevamente hasta tanto Ia misma no hubiese regresado a la posicion inicial. A continuaci6n se muestran algunos d e los giros alcanzados por cinco empleados diferentes.
b.
a.
d.
c.
e.
7.
Utilizando fracciones, describe cuanto se giro la ru eda en cada uno de los casas.
8.
Utiliza el sistema de notaci6n egipcio para expresar es tas fracciones.
1
2
1
4
1
8
1
16
Cada aflo se tallaba sabre una piedra el nombre del empleado qu e hacia girar mas la ru eda, asi como la cantidad que este Ia hacia girar. La tabla siguiente muestra los logros alcanzados par los trabajadores que mas hicieron girar Ia rueda en los ultimos cinco aflos.
9.
VersiOn de Prueba
~ Encyclopa!O~a
Britannica Educational Corporation. 1994
Prepara un listado de los trabajadores en el arden de la magnitud de sus giros.
Reservados todos los derechos
Me.dida a Medida
10
AI utilizar ellenguaje de simbolos puedes expresar la·s cantidades de aceite de ricino de maneras diferentes. Por ejemplo, 1~ ollas de aceite de ricino se podrfa expresar de las mimeras sigui~nt~.s:
Los empleados de Ia Campania Tut e Hijos preferian utilizar Ia notaci6n que utilizaba el numero menor de simbolos, ya que asi trabajaban rhenos al esculpir los simbolos en las tablas de piedra. 10. LQue notaci6n utilizarian los trabajadores para representar 1~ ollas de aceite de ricino?
1 1. Utiliza el menor numero de simbolos posibles para escribir las sigui ~t:ttes cantidades de aceite:
a. ~ ~~~~
b./•••
c . • • ~~l>-1>-
ci . Encyclopdibuja al menos_otras tres cantidades y expresa cada valprcomo fracciones y tainbi-" ·
.
! d6lar
.
50 centavos
.
'\:t.< $0.50
.
.
%.;'·>'4.
.
.
dos monedas de veinticihco centavos ·. .. ~:-
Tambien, podrfas escribir ~ de d6lar 6 150°0 d6lar, a pesar d~ ·que no vemos tales . expresiones en las tiendas o en los anuncios. · ·.-" · VersiOn de Prueba
© Encyclopcedia Britannica Educational Corporation. 1994
Reservados todos los derechos
•
B. Un Carnbio Beneficioso
17
El punto que aparece en $0.50 se conoce como el punto decimal y 0.50 se conoce como un numero o fracci6n decimal. Es posible que hayas descubierto en las actividades anteriores que el dinero sirve para revelar muchas relaciones que existen entre los numeros decimales y las fracciones comunes. 0.50 = 15o0o 7.
0.50 =i
0.50 = ~
Es posible que hayas descubierto otros ejemplos en los que el valor de un numero decimal es igual al de una fracci6n comun. Prepara una lista de tales ejemplos.
Si compras algo que cuesta $4.32, podrfas pagar con 4 d6lares, 3 monedas de diez centavos y 2 monedas de un cent(:lVO. Si no tienes las tres rrtonedas de diez centavos, podrias pagar con 4 d6lares, 2 monedas de diez centavos y 13 monedas de un centavo.
$135.45
8. Copia Ia tabla a Ia izquien;la, y escribe cuatro formas diferentes de pagar $135.45 utilizando solamente billetes de $100, billetes de $10, billetes de $1, monedas de 10 centavos y monedas de 1 centavo. Haz lo mismo para $0.85.
$0.85
Tambien podriamos expresar las formas de pago en terminos de fracciones de d6lar. $ 135.45 = 135 +
Por ejemp 1o:
9.
4
1.0
+
5
1oo
o~
135 +
2
10
+
25
1 oo
Prepara un lista de todas las formas diferentes de pagar $0.85 en fracciones de d6lar. Una forma de ahorrar dinero requiere la .colocaci6n de mon~das de un centavo en un tubo calibrado hecho para este fin. El tubo se llena cuando tiene l 00 centavos.
-.
10. L_Cuanto dinero hay en cada uno de los tubos que se muestran? .•
·~
.;.
.• '
t.,.; :..
Version de Prueba
© Encyclopcedia Britannica Educaiional Corporation, 1994
Reservados todos los derechos
18
Medida a Medida
11. Susana, Jamal y Jacinto decidieron recoger dinero entre los miembros del Club de Drama para comprar un regalo de cumpleafios a su maestro. Susana recogi6 $12.06, Jamal $13.04 y Jacinto $10.20. Utiliza la calculadora para hallar la . cantidad total de dinero que recogieron. LC6mo se diferencia la can tidad que se observa en la calculadora de la que obtendrfas si efectuaras el calculo con papel y lapiz?
:
12. A continuaci6n aparecen tres cantidades de d6lares expresadas en fracciones de d6lar. LCual de elias es la mas facil de escribir con signa de d6lar y por que?
'
~
.... , .-
2 ' 6 b . 3 + 10 +100
c.
3+
3
10
14
+ roo
13. Observa la tabla que completaste en la Hoja de Actividad 1. Comparalo con las relaciones que has descubierto entre fracciones, decimales y dinero. Escribe varios parrafos describiendo tu comparaci6n.
Ij ~
I
Las c.antidades que representan dinero no son las (micas c&ntidades que se escriben. como decimales y no como fracciones comu.nes: La mayoria de las calculadoras muestran decimales en Iugar de fracciones. Sin embargo, algunos numeros decimales se pueden asociar facilmente con las fracciones. Por ejemp lo, hemos vista en las actividades de esta unidad que 0.25 est.
l ~
Version de Prueba
' "":' '
© Encyclopcedia Britannica Educational COfpora.lion, 1994
Reservados lodos los derechos
',)
B. Un Cambio Beneficioso
19
Las fraccio.ries son u tilies alto mar medidas. Tambieri.son utiles en los problemas de division. Par ejemplo: Dos niflos comparten un sandwich submarino. A cada uno le toea! sand~ich.
o · Cuatro estudiantes comparten tres pizzas. A cada estudiante le toea~ pizzas.
A . ~
Division
6+12 0.25
3+4 0.1
Version de Prueba
© Encyclopcedia Britannica Educational Corporation, 1994
Reservados todos los derechos
Medida a Medida
20
Algunas reladones comunes entre fracciones y decimales incluyen las siguientes:
lo
= 0.1 t = 0.25
1
2
~
= 0.5
=
0.75
Resumen Usualmente los precios se escriben como·numeros decimates de dos digitos a Ia qerecha del punta decimal. Estos dos dfgitos se pueden leer como centavos. Por ejemplo, $1.25 se lee como "un d6lar y 25 centavos". Como l centavo es 1~o de d61ar, $1.25 se puede leer tambien como l + 1~5o d6lares. Por lo tanto 1.25 = 1 +
25 1o o
6 1 + 1 o + 1go. 2
En esta secci6n has visto numerosas relaciones entre los numeros decimales y las fracciones. Algunas relaciones comunes son las siguientes: 0.25 0.50 0.75 0.10 0.01
= = = = =
4
1
(25 centavos)
. .!.
(medio.d6lar)
2
4
3
(tres cuartos de d6lar)
1 10
(diez centavos)
1 100
(un centavo)
Puedes cambiar una fracci6n a un numero decimal dividiendo. Si un numero decimal termina en ceros, estos se pueden omitir. Por ejemplo, 34.50 = 34.5.
Version de Prueba
© Encyclopcedia Britannica Educational Cotporation, 1994
Reservados todos los·derechos
~-
21
C• .MAS 0 MENOS I·- -
.
·
.
Adivina e1 precio Hay un nuevo juego de television llamado "El Precio Baboso". En el, cuatro participantes tratan de' adivinar los precios de varies objetos que se muestran. El prop6sito del juego consiste en tratar de acercarse lo mas posible a los precios correctos de los objetos. No importa que el precio adivinado quede por encima o por debajo del precio real. Lo que si importa es que el precio adivinado este lo mas cerca posible del precio real. La persona cuyo precio es el mas distante del precio real recibe como premia un liquido verde y baboso, el cual se le derrama sabre la cabeza desde arriba. juan, Neysa, Ana y Leonardo participan en el programa de hoy. 'La primera tarea consiste en adivinar-el precio de una version de · casa del juego "El Precio
I Precios sugeridos:
I
$8.50
I
Ana $7.~0 Leonardo $8.00
El precio real es
I
Versi6n de Prueba
e Encyclopa!dia Britannica Educational COtpOfalion, 1994
~e
$7 .99.
Reservados todos los derechos
I 1:
il:
.,.•'
Medida a Medida
24
!~ ! !i
Cierto dfa, Ia caja registradora del supermercado se averi6. Portal raz6n el cajero tuvo que calcular los totales utilizando papel y lapiz. El cajero experiment6 algunas dificultades al.tratar de .eomple.t ar los calculos. Con el fin de verificar los calculos del cajero, algunos de los clientes hicieron un estimado rapido de sus totales.
I·
i!
'
,!
iiiI!; .,::J·! ...'!• J.;
j.
•I'·
6.
!-
rI' "'I· li
Estima rapidamente Ia cantidad que el cliente debera pagar por cada total. Debes estar pre·parado para defender la contestaci6n.
.;.
a . $1.25 $1.25 $1.25 $1.25
I'
r'''·
I''I.
I'•
I'; jl
w !if.,
b. $2.98 $1.95 $0.97
c. $3.25
d. $0.80
$4.75 $2.01 $4.05
$1.25 $1.99 $1.19
Lo que sabemos basta ahora ...
~~ I
li'II 1!1
j!i
AI comparar numeros a veces es conveniente utilizar una recta numerica. En algunos casas resulta conveniente pensar que los numeros con dos lugares decimales representan d6lares y centavos.
.J: Iii
'Itil' j'i
~: !if
AI estimar una cantidad debemos tener una idea general de su tamafio. Por ejemplo, $9.98 es aproximadamente 10 d6lares.
ij.
'"
~~
u:I••
Tambien es importante identificar algunos "puntas de refe_rencia". Por ejemplo:
~
+ mimeros enteros
1:
--.00
(3.10 es un poco mas que 3.00; 6.93 es un poco menos que 7.00)
1:, ·i!l
"'·'I' ,.,~·
+ mitades
,..pll
--.so
(0.43 es como 0.50; 12.61 es como 12.50)
;t ~;
t!,, ~· ,{
1::·I· f; I·
+cuartos (0.23 es como 0.25)
--.25
(0.80 es como 0.75)
--.75
l
r
En la vida diaria encontramos varios tipos de numeros decimales. Algunos !J1Uestran un Iugar o dfgito a Ia derecha del punto decimal, (por ejemplo, las puntuaciones olfmplicas), otros tienen dos lugares o dfgitos ala derecha del pun to decimal (por ejemplo, el dinero) y aun otros rriuestran, mas de dos lugares o digitos a Ia derecha del pun to · decimal (por ejemplo, los precios en las estaciones de gasolina). Examinemos mas de cerca los numeros decimales que tienen un s6Io digito a la derecha del punta decimal.
Version de Prueba
© Encyclopce': ":·'·\!~y~~R,·,::::·~,~;~:1.: .~~,~;, ~ ~r;;~,t~~ Encyclopcedia B~itannica Edu~)!on~l Corpora_\i2!1_1994 ··- _ •
. . Reservados todos los derechos
·.J
G. Mas o Menos
31
Cilindros Graduados A continuaci6n se muestran varies cilindros graduados. La mayor parte de las veces estos cilindros se ut.i lizan para medir liquidos a utilizarse en experimentos. En este caso se mide agua. ·
28. Dibuja el nivel del agua en cada cilindro. Luego, en cada fila, escribe los numeros del menor al mayor en los blancos que aparecen a la derecha.
I I 29. l_Cual de las cantidades del problema 28 fue lamas dificil para dibujar? LPor que?
I I
Versi6n de Prueba
- ~ Encyclopredia
Britannica Educational Corporation, 1994 -
Reservados todos los derecllos
Medida a Medida
32
{_ Resumen
Como te indicamos anteriormente, si un numero decimal termina ·e n ceros, los ceros se pueden omitir. Sin embargo, en muchas ocasiones tales ceros se utili zan para indica r la precision de una medida. Por ejemplo, 0.5 podria obtenerse luego de redondear. Esto significa que el numero original queda entre 0.45 y 0.5~. Si 0.50 se obtuvo como. resultado al redondear, el numero original quedarfa entre 0.495 y 0.505. Un numero decimal se puede redondear. Por ejemplo, 5.657 se podria redondear a 5.7. En tal caso habremos redond eado a "un Iugar decimal" habiendo tenido que escoger entre 5.6 y 5.7. Escogimos 5.7 por 5.6, ya que este ultimo numero esta mas cercano a 5.7 que a 5.6. Esto se puede mostrar en una recta numerica. 5.65 5.657
1'--wi
5.6 5.7
5
6
AI redondear se cometen errores de medici6n. El numero red ondeado no representa Ia situaci6n exactamente. Por ejemplo, considera los numeros 5.5557 y 5.5 511. Si redondeas estos numeros a un Iugar decimal y los sumas, obtendrias 5.6 + 5.6 11.2
Sin embargo, si sumas los numeros originales y luego redondeas, obtienes 5.5557 + 5.5511 11.1068 este numero redondea a 11.1.
.·
Versi6~ de Prueba
\
@ Encydopcedia Brilannica ~ducalional Cor~!J!~...!. j9.94
.8eservados lodos.los derechos.
33
n v
Descripci6n de·Numeros Los numeros dedmales se utilizan en varias actividades deportivas, aunque no siempre de la misma manera. Por ejemplo, a veces los utilizamos para referirnos al tiempo, a puntas o a distancias.
1. Examina los numeros siguientes y explica el s ignificado de cada uno de ellos.
Tiempo Carl Lewis corri6 los 100 metros en ·9.84 segundos
IVt. 235 215 209 240
232
200 165
U.S.
P!s. 21.2 29.1 22.4 16.9 28.3 22.3 17.0
Puntuacio:a Una gimnasta acumul6 9.75 puntas en el evento de las barras paralelas
Reb. A.st. 7.4 2.3 8.9 2.5 6.3 2.4 8.8 1.3 10.7 1.9 4.8 3.0 2.6 8.2
OUiOOOR CHAMPIONSHIPS
AtEugene, Ore · . Friday's finals
-/sg.;,
d
I
Version de Prueba
Podrias describir un numero de varias maneras. Par ejemplo, Carl Lewis corri6 los l 00 metros en 9.84 segundos, o en casi 10 segundos, o entre los 9 y los 10 segundos, o en 9 segundos o en 9 + 18o + 1 ~o segundos 2.
Trata de· describir los otros ejemplos (9.75 y 8.49) de otras maneras.
3.
Aqui estan algunos numeros decimales que con frecuencia aparecen en la secci6n deportiva de los peri6dicos. Explica que representa cada grupo de numeros decimales y presenta ejemplos espedficos. Cuando sea apropiado, discute .c6mo se pudo haber determinado cada lugar decimal.
.,.~
MEN
'K vin Young, .,,.e 400.hurdles Oertick y~ng, ln!emaliOnai·LA. ~9 3 oavid Patnck, Recbo\( RC. 48. · 4 Torrance Zeliner, ReebOCk RC, 489~5. 5, Kevin Heners~n, Ma2:da TC, 48. · 'Eric 'ThOmas, Bl1nn Goldwin TC. 49.76.B6, an Bronson, Mazda' College, 49.85. 7• ry Sanders, Sl. 1C 50.24. 8, laHY Au9usune·s. 50.75~d Williams. Midas ~c. 10,000- 1,1 Plaseoda ASICS 00· 2 • Steve 28:02 .. . 41 . 3, oan •Nelson. lnterna\IOnal, 28.0l. .02.4 4. ·4, Gerard 28 Hike-Running Room. 28·08.03. 5, Ed · ooiiakowski, una~a~~e 28.30.so. 6, Peler Eves\one, .ReebO 8·S0.2S. 7. Joe Lem;av. Shel1"f, M'das1C.:2· 8 Brad sarqu,s\, Nike-RR. 28:~;., 70 g', Andy Sa!l, ~ike· Mizuno TC. 28. · M·ark Coogan, M1das RR. 29:0).73. ~o't 1 Jonathan Hurne· · 1C; 29:03.20. g.'o3.53.:· 12. Oanny Reebocl
