La transformada de Laplace

0

Contenido 

Breve Biografía. ......................................................................................................................... 2

1.

Introducción............................................................................................................................... 3

2.

Definición de la transformada de Laplace. ................................................................................ 3 2.1.

3.

Linealidad de la transformada. .......................................................................................... 6

Transformada inversa de Laplace. ............................................................................................. 8 3.1.

4.

Linealidad de la transformada inversa. ............................................................................. 9

Fracciones Parciales. Factores lineales y no lineales. .............................................................. 10 4.1.

Factores lineales no repetidos. ........................................................................................ 10

4.2.

Factores lineales repetidos. ............................................................................................. 12

4.3.

Factores cuadráticos. ........................................................................................................ 13

5.

Transformada de Laplace de derivadas. .................................................................................. 15 Derivadas de la transformada de Laplace. ................................................................... 16

5.1. 6.

Teoremas de traslación: desplazamiento sobre el eje s, desplazamiento sobre el eje t. ...... 16 6.1.

Desplazamiento en el eje s ............................................................................................... 17

6.2.

Desplazamiento sobre el eje t. ......................................................................................... 17

7.

Transformada de Laplace de integrales. .................................................................................. 21 7.1.

Convolución. ..................................................................................................................... 22

7.2.

Propiedades de la convolución. ....................................................................................... 22

7.3.

Teorema de la convolución. ............................................................................................. 22

7.4.

Transformada de una integral.......................................................................................... 24

8.

Transformada de una función periódica.................................................................................. 24

9.

Solución de problemas con valores iniciales. .......................................................................... 26

10.

Función delta de Dirac. ......................................................................................................... 27

10.1.

Impulso unitario. .......................................................................................................... 28

10.2.

La función delta de Dirac. ............................................................................................. 28

10.2.1. 11.

La transformada de la función delta de Dirac ......................................................... 28

Aplicaciones. ......................................................................................................................... 31

11.1.

Resortes Acoplados ...................................................................................................... 31

11.2.

Redes eléctricas. ........................................................................................................... 34

Bibliografía ........................................................................................................................................ 38

1

La transformada de Laplace. 

Breve Biografía.

Figura 1. Pierre Simon Laplace.

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 28 de marzo de 17491 - París; 5 de marzo de 1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Compartió la doctrina filosófica del determinismo científico. 1 Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son  Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.  Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anécdota, el libro inicia con palabras que más o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es sino el sentido común reducido a cálculos", puede ser que sí, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de Laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

1

http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace

2

 Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.  Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporáneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.  La ayuda prestada a los jóvenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jóvenes se encuentran: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX2 1. Introducción. La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. 2. Definición de la transformada de Laplace. Definición 1. Sea ( ) una función en , * ( )+

). Entonces se dice que la integral ∫

( ) ( 1)

Es la transformada de Laplace de

siempre y cuando la integral converja.

La integral en (1) como podemos observar es una integral impropia entonces se la puede expresar de la siguiente manera: ∫ 2

( )

∫

( )

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm

3

Siempre y cuando el límite exista. Cuando la integral de la función de la definición (1) converge, el resultado nos da una función de s. En el análisis general siempre se utiliza una letra minúscula para expresar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo: * ( )+

( )

* ( )+

( )

* ( )+

( )

Ejemplo 1. Aplicando la definición 1, determinar la transformada de Laplace de la función constante ( ) * +

( )

Como

∫

∫

cuando

siempre esta fijo y * +

, por lo tanto:

( )

Para A continuación mostraremos el código de MATLAB para este problema: syms s y y=1; ans=laplace(y,s); pretty(ans)

Ejemplo 2. Aplicando la definición 1, determinar la transformada de Laplace de la función ( ) * +

( )

∫

Utilizando la tabla de integrales resolvemos la integral y nos queda: * +

( )

∫

* +

( )

A continuación mostraremos el código de MATLAB para este problema: syms t y=t ans=laplace(y) 4

pretty(ans) Ejemplo 3. Aplicando la definición 1, determinar la transformada de Laplace de la función ( ) *

+

( )

∫

∫ (

(

)

(

∫

)

(

)

)

[

]

Para A continuación mostraremos el código de MATLAB para este problema: y=5*exp(4*t)-6*sin(2*t); ans=laplace(y); pretty(ans) Ejemplo 4. Aplicando la definición 1, determinar la transformada de Laplace de la función ( ) *

+

( )

∫

∫

Utilizando la tabla de integrales resolvemos la integral y nos queda: *

( )+

( )

[

[

(

(

)]

)]

Para Código de MATLAB para este problema: syms t syms b y=sin(b*t) ans=laplace(y) Ejemplo 5. Aplicando la definición 1, determinar la transformada de Laplace de la función 5

( )

{

Como tenemos diferentes intervalos tenemos que descomponer la integral en tres partes diferentes. ( )

∫

∫

( )

∫

∫

(

∫ (

( )

)

)

Para Código de MATLAB para este problema: syms t syms s y1=2*exp(-s*t); ans1=int(y1,0,5); pretty(ans1) y2=0*exp(-s*t); ans2=int(y2,5,10); pretty(ans2) y3=exp(4*t)*exp(-s*t); ans3=int(y3,10,inf); pretty(ans3) 2.1. Linealidad de la transformada. Teorema 1. Sean , y funciones las cuales sus transformadas de Laplace existen para y la c sea una constante, entonces para : *

+ *

Ejemplo 6. Determinar *

* +

+ * +

*

+

( 2) ( 3)

+ 6

Aplicamos la propiedad de linealidad entonces nos queda de la siguiente manera: *

+ * +

*

+

*

+

*

+ *

*

+

+

Con los ejemplos determinamos las siguientes transformadas: * +( )

*

+( )

*

+( )

Ahora tenemos que multiplicar por las constantes: *

+

Código de MATLAB para este problema: syms t s y1 y2 y3 y1=1; ans1=laplace(y1,s); pretty(ans1) y2=5*exp(4*t); ans2=laplace(y2); pretty(ans2) y3=-6*sin(2*t); ans3=laplace(y3); pretty(ans3) anst=ans1+ans2+ans3; pretty(anst) O también se lo puede calcular directamente usando: y=5*exp(4*t)-6*sin(2*t); ans=laplace(y); pretty(ans)

7

Tabla 1. Breve tabla de transformadas de Laplace ( )

( )

* +( )

1

(

)

(

)

(

)

3. Transformada inversa de Laplace. Definición 2. Dada una función una función ), y satisfaga, continua ,

( ), si existe una función

* +

( ) que sea

( 4)

Entonces decimos que ( ) es la transformada inversa de Laplace de * +. notación

( ) y se utiliza la

Ejemplo 1. Aplicando la definición 2, determine: a)

{ } En este ejemplo { }

{ } 8

Código en MATLAB: syms s y t y=1/(s^5); ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) {

b)

} √

En este ejemplo identificamos {

}

√

{

√

}

√

√

Código en MATLAB: syms s y t y=1/(s^2+7); ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) 3.1.Linealidad de la transformada inversa. * + * + y Teorema 2. Suponiendo que , ), y c sea cualquier constante entonces: *

+ *

* +

++

* + existen y son continuas en

*

+

( 5)

* +

( 6)

Ejemplo 2. Usando las propiedades de la linealidad del teorema 2 evalué: {

}

Se reescribe la función dada de s como dos expresiones para aplicar la linealidad. {

}

{

}

{

}

{

}

Como

9

{

}

Código en MATLAB: syms s t y=(-2*s+6)/(s^2+4); ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) 4. Fracciones Parciales. Factores lineales y no lineales. El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.3 Debemos considerar tres casos:  Factores lineales no repetidos.  Factores lineales repetidos.  Factores cuadráticos. 4.1. Factores lineales no repetidos. Si tenemos una función distintos:

( ) se puede factorizar como un producto de factores lineales ( )

(

)(

)

(

)

En el cual los números reales distintos entre si, por lo tanto el desarrollo en fracciones parciales tiene la forma: ( ) ( ) Donde son números reales. En el siguiente ejemplo mostraremos como determinar las constantes Ejemplo 1. Determinar

3

* +.

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_parcial

10

( )

(

)(

)(

)

Descomponemos en fracciones parciales: (

)(

)(

)

(

)

(

)

(

)

Multiplicamos por cada uno de los denominadores: (

)(

(

) )

Se igualan los coeficientes de incógnitas

(

)(

(

,

)

)(

(

)(

)

(

)

y 1 para formas un sistema de tres ecuaciones con tres

Se resuelve el sistema de ecuaciones y nos da de la siguiente manera: (

)

)(

)

,

(

y

)

(

. Entonces nos queda

)

(

)

Luego del desarrollo en fracciones parciales se usa el teorema 2 de la linealidad para resolver. {

(

)(

)( {

(

) )

}( )

}

{ {

(

(

) )

}

(

) {

(

( )

)

}( )

}

Codigo de MATLAB: syms s t y=(7*s-1)/((s+1)*(s+2)*(s-3)); ans=ilaplace(y,t); 11

pretty(ans) 4.2. Factores lineales repetidos. Si ( ) es un factor de la función ( ) y si suponemos que ( ) es la máxima potencia de que se divide a ( ). Entonces el desarrollo en fracciones parciales que corresponde al término ( ) es: ( Donde

)

(

)

son números reales.

Ejemplo 2. Determinar

* +. ( )

(

) (

)

Aquí tenemos un factor repetido que es y el termino no es repetido entonces tendremos el desarrollo en fracciones parciales de la siguiente manera.

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

Se multiplica por los denominadores y se obtiene: ( Si reemplazamos por

)(

)

(

)

(

)

ya que el término se anula nos queda: ( )

De igual manera si se reemplaza por

( )

nos queda: ( )

( )

12

Reemplazando estos dos valores en la primera ecuación nos da que:

Por lo tanto:

(

) (

)

(

(

)

)

(

)

Luego del desarrollo en fracciones parciales se usa el teorema 2 de la linealidad para resolver. {

(

) (

) {

(

}( )

)

{

}

{

(

)

(

)

(

)

}

{

(

(

)

)

}( )

}

Código MATLAB syms s t y=(s^2+9*s+2)/((s-1)^2*(s+3)); ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) 4.3.Factores cuadráticos. Si ( ) es un factor cuadrático de la función ( ) que no se puede reducir a factores lineales con coeficientes reales, la parte de desarrollo en fracciones parciales correspondiente es: ( (

)

( ,(

)

Ejemplo 3. Determinar

) )

( -

,(

) )

-

* +. ( )

(

)(

)

En este ejemplo se observa que el termino ( ) no se puede reducir debido al discriminante entonces se tiene que completar el cuadrado quedando:

13

(

)

(

)

El desarrollo de nuestras fracciones parciales va quedar de la siguiente forma:

(

)(

( (

)

) )

Multiplicamos ambos lados por el denominador común y se obtiene: , ( Tenemos que

)

-(

(

)

con estos datos en nuestro primer caso nos dará: , (

Con

)

)

-( )

( )

tenemos: , ( )

-( )

( )

Con s = 0: , (

)

-( )

( )

Con los tres valores ya calculados finalmente nos queda:

(

)(

)

( (

) )

( )

Luego del desarrollo en fracciones parciales se usa el teorema 2 de la linealidad para resolver. {

(

)(

)

}( )

{

( (

) )

( )

}( ) 14

{

(

}

)

{

(

}

)

{

}

Código de MATLAB: syms s t y=(2*s^2+10*s)/((s^2-2*s+5)*(s+1)); ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) 5. Transformada de Laplace de derivadas.

Teorema 3. Sea > α,

( ) continua en ,

), ambas de orden exponencial . Entonces para s

* +( )

* +( )

( ) ( 7)

( ) ( ) continuas en [0, ∞) y sea ( ) ( ) continua por Teorema 4. Sea ( ) ( ) ), con todas estas funciones de orden exponencial α. Entonces para s > α, partes en ,

{

( )

}( )

(

* +( )

)

(

( )

)

( )

(

)

( ) ( 8)

Ejemplo 1. Usar el teorema 3 y el hecho de que *

+( )

( )

Para determinar *

Sea ( ) (2), tenemos

entonces ( )

y

* +( ) *

+( )

( )

+

Al sustituir esto en la ecuación

* +( ) *

( ) +( ) 15

*

+( )

Al dividir entre *

tenemos

+( )

Código de MATLAB: syms t b y=cos(b*t); ans=laplace(y); pretty(ans) 5.1.Derivadas de la transformada de Laplace. Teorema 5. Sea * +( ) ( ) y suponga que ( ) es continua por partes en , orden exponencial entonces para : *

( )+( )

Ejemplo 2. Determinar *

(

)

( )

), y de

( 9)

+ +( )

*

( )

Se deriva y se obtiene: ( )

(

)

Utilizamos la formula (9) y se obtiene: *

+( )

( )

(

)

syms t b y=t*sin(b*t); ans=laplace(y); pretty(ans) 6. Teoremas de traslación: desplazamiento sobre el eje s, desplazamiento sobre el eje t.

16

6.1. Desplazamiento en el eje s ( )

Teorema 6. Si la transformada de Laplace

*

( )+( )

( ) existe para s > α, entonces:

(

) ( 10)

Ejemplo 1. Usando el teorema 6 que se refiere al primer teorema de traslación evalúe: a)

*

+ *

+

(

)

(

)

Código en MATLAB: syms t b y=exp(5*t)*t^3; ans=laplace(y); pretty(ans) b)

*

+ *

+

(

)

(

)

Código en MATLAB: syms t b y=exp(-2*t)*cos(4*t); ans=laplace(y); pretty(ans) 6.2. Desplazamiento sobre el eje t. Función escalón unitario. En ingeniería se puede encontrar funciones que están ‘Desactivadas’ o ‘activadas’. Por ejemplo una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de cierto tiempo. Es conveniente definir una función especial que es el numero 0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t=a y entonces el numero 1 (activada) después de ese tiempo. Esta función se la conoce como escalón unitario o función de Heaviside. Definición 3. La función escalón unitario

(

) se define como: 17

(

)

{ ( 11)

Tambien podemos tener una función general definida por tramos es igual a: ( )

{

( ) ( )

Y esto es lo mismo que: ( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

( 12)

Ejemplo 2. Exprese ( )

{

En términos de funciones escalón unitario y trace la gráfica.

Grafica 1. Función del problema realizada en MATLAB

Codigo en MATLAB para trazar la función: t=0:0.005:10; f=((t>=0)&(t=5).*(0);

18

plot(t,f,'r'),grid title('\bfEJEMPLO1')

Utilizando la ecuación (12) tenemos: ( )

(

)

Grafica 2. Función del problema para comprobar el resultado realizada en MATLAB

Teorema 7. Si ( )

* ( )+ y * (

, entonces: ) (

)+

( )

( 13)

( ) está dada por:

Y recíprocamente una transformada inversa de Laplace de *

( )+( )

(

) (

)

( 14)

)+( )

( 15)

La ecuación (13) también implica: * ( ) (

)+( )

* (

19

Ejemplo 3. Usando la formula (15) evalué: {

}

De acuerdo con las entidades tenemos que

, ( )

{

(

}

)

y (

* ( )+

:

)

Grafica 3. Función de la respuesta realizada en MATLAB

Código de MATLAB: syms s t y=exp(-2*s)/(s-4); ans=ilaplace(y,t); ezplot(ans,[0,10]) pretty(ans)

Ejemplo 4. Determinar * Ahora en este caso tenemos que ( )

( ,y

)+ . Por lo tanto: 20

(

)

(

)

(

)

Determinamos la transformada de Laplace: * (

)+( )

*

+( )

Entonces aplicando la formula (15) obtenemos: *

(

)+( )

Grafica 4. Función de la respuesta realizada en MATLAB

Código de MATLAB: syms t s Y f=cos(t)*heaviside(t-pi) ezplot(f,[0,10]) F=laplace(f,t,s); pretty(F) 7. Transformada de Laplace de integrales.

21

7.1.Convolución. son continuas por tramos en , , se define mediante la integral:

Definición 4. Si las funciones producto especial, denotado por

∫ ( ) (

Y se llama convolución de

), entonces un

)

( 16)

. La convolución de

es una función de t.

7.2.Propiedades de la convolución. Teorema 8. Sean ( )

( )

( ) continuas en partes en ,

). Entonces ( 17)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

( 18) ( 19) ( 20)

7.3.Teorema de la convolución. Teorema 9. Sean ( ) Entonces:

( ) continuas en partes en ,

*

+( )

( ) ( )

), y de orden exponencial

.

( 21)

O de manera equivalente su inversa: * ( ) ( )+( )

(

)( )

( 22)

Ejemplo 1. Evaluar: {∫

(

)

}

Separamos las funciones: ( )

( )

22

El teorema de convolución nos dice que la transformada de Laplace de la convolución de es el producto de sus transformadas de Laplace. {∫

(

)

* +

}

*

+

(

)(

)

Código de MATLAB: syms t s funcion=('int(sin(t-u)*e^(3u),0,t)') f=sin(t) g=exp(t) F=laplace(f) G=laplace(g) ans=F*G Ejemplo 2. Evaluar: {

(

)

}

En este caso tenemos ( )

( )

Por lo tanto: ( )

( )

{

}

( )

Utilizando la ecuación (22) nos da: {

(

)

}

∫

(

)

(

)

Utilizamos la siguiente identidad trigonométrica: , Sustituyendo

y

(

(

)

(

)-

) se realiza la integración. 23

{

(

)

∫,

}

[

(

(

(

))

)

(

(

))-

]

Código de MATLAB: syms s k y t y=1/(s^2+k^2)^2; ans=ilaplace(y,t); pretty(ans) 7.4.Transformada de una integral. ( ) Definición 5. Cuando ( ) y * ( )+ , el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es: {∫ ( )

( )

}

( 23)

Y la forma inversa de (23): ∫ ( )

{

( )

}

( 24)

8. Transformada de una función periódica. ) Definición 6. Si una función periódica tiene periodo , entonces ( ( ). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene integrando sobre un periodo. Teorema 9. Si ( ) es continua por tramos en , periodo T, entonces. * ( )+

∫

), de orden exponencial y periódica con

( )

( 25)

Ejemplo 1. Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra. 24

( )

{

Grafica 5. Función realizada en MATLAB

Usando el teorema 9: * ( )+

∫

( )

[∫

(

∫

]

)

Código de MATLAB: Código de la función: t=linspace(0,2,2000); y=1.*(t