La taxonomía de Bloom y las habilidades matemáticas en Transformación Conforme

La taxonomía de Bloom y las habilidades matemáticas en Transformación Conforme Favieri Adriana Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Haedo Argentina [email protected]

Resumen. El interés por el desarrollo de habilidades matemáticas, vinculadas a la taxonomía de Bloom, es parte del quehacer educativo del docente de matemática universitario. Como docente de la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo, tengo presente la importancia del desarrollo y manifestación de habilidades de pensamiento, especialmente matemáticas, en el desempeño académico de mis alumnos. Este artículo muestra el análisis de habilidades matemáticas, vinculadas a la taxonomía de Bloom en un trabajo sobre Transformación Conforme. Se describe el análisis del trabajo para la selección de las mismas, su forma de evaluación y se muestran los resultados de la misma, estableciéndose la agrupación de habilidades de diferentes niveles de pensamiento como así también la importancia de desarrollar las habilidades vinculadas a la evaluación del trabajo realizado. Palabras Clave: Habilidades matemáticas, Taxonomía de Bloom, Transformación conforme.

1. Introducción La tarea educativa de un docente de matemática universitario no sólo abarca la transmisión de conocimientos, sino también formas de trabajar propias de la matemática, hábitos de estudio de un alumno universitario, formas de pensar que ayuden a desarrollar un profesional con pensamiento crítico, capaz de adaptarse a diferentes situaciones laborales y a enfrentarse con nuevos problemas contando con conocimientos teórico-prácticos sólidos y una variedad de recursos. Una de las maneras de contribuir al desarrollo de estas formas de trabajar propias de la matemática es tener presente las habilidades matemáticas, las habilidades de pensamiento que se ponen en juego al desarrollar, resolver ejercicios y/o problemas matemáticos. Como docente de la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo, tengo presente en mi quehacer cotidiano la importancia del desarrollo y manifestación de habilidades de pensamiento, especialmente matemáticas, en el desempeño académico de mis alumnos. Es así que mi interés se centró en el estudio de habilidades matemáticas, vinculadas con la taxonomía de Bloom, usadas por los alumnos en el desarrollo de la asignatura; en particular en un trabajo práctico sobre el tema Transformación Conforme, en el que se utilizan conocimientos de números complejos y de funciones de variable compleja.

2.

Objetivo

Estudiar qué habilidades matemáticas, vinculadas con la taxonomía de Bloom, evidencian los alumnos de Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo, en la resolución de un trabajo práctico sobre transformación conforme.

3.

Marco teórico

3.1. La taxonomía de Bloom La taxonomía de Bloom es una clasificación de objetivos de aprendizaje y habilidades mentales con niveles de complejidad creciente que tuvo su origen en el año 1948, con el fin de facilitar la comunicación entre examinadores. Esta clasificación supone que el aprendizaje a niveles superiores depende de la adquisición de conocimiento y habilidades en los niveles inferiores. [1-2] Contempla tres dominios que se solapan, el cognitivo, el afectivo y el psicomotor, siendo el primero de ellos el más desarrollado. La versión original se publicó en el año 1956 y estaba formada por seis niveles de aprendizaje: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación. Más adelante, en la década de los 90, dos ex estudiantes de Bloom, Anderson y Krathwohl, revisaron y actualizaron la taxonomía original, publicando una nueva versión en el año 2000 con algunas diferencias. Los sustantivos fueron reemplazados por verbos para indicar habilidades de pensamiento de orden inferior hasta superior, respetando la división en seis categorías, que ahora se llaman: recordar, comprender, aplicar, analizar, evaluar y crear. [3-4] Esta clasificación jerárquica de habilidades de pensamiento es de gran ayuda al momento de establecer objetivos educativos y las acciones que podrían en evidencia que los alumnos han logrado dichas habilidades. Por otro lado, según puede verse en las discusiones llevadas a cabo en Encuentros de Educación Superior y Pedagogía 2005 en Cali Colombia, es aconsejable que las habilidades de las etapas del nivel superior de la taxonomía estén presentes en la formación de los ingenieros. [5] El usar la taxonomía como marco de referencia para una asignatura centrada en el alumno supone:  Identificar objetivos educativos más importantes. Suele pasar que en las asignaturas introductorias de una carrera sea necesario centrarse más en el desarrollo del conocimiento y en las superiores en la síntesis y evaluación; aunque es apreciable que se tengan presentes desde el principio.  Crear actividades de aprendizaje centradas en el nivel.  Establecer estrategias de evaluación adecuadas. [1] 3.2. La taxonomía original La categoría conocimiento se refiere a la habilidad relacionada con la observación y recuerdo de información; conocimiento de fechas, eventos, lugares, de las ideas principales; dominio de la materia. Se evidencia a través del recuerdo y reconocimiento de información por parte del estudiante, aproximadamente en la misma forma en que los aprendió. La categoría comprensión representa la habilidad de entender la información, captar el significado, trasladar el conocimiento a nuevos contextos, interpretar hechos, comparar, contrastar, ordenar, agrupar, inferir las causas, predecir las consecuencias. El estudiante esclarece, comprende o interpreta la información en base a su conocimiento previo. La categoría aplicación incorpora el uso de la información, la utilización de métodos, conceptos, teorías, en situaciones nuevas, y la solución de problemas usando habilidades o conocimientos. En esta categoría el alumno selecciona, transfiere, y utiliza datos y principios para completar una tarea o solucionar un problema. La categoría análisis se refiere a encontrar patrones, organizar las partes, reconocer significados ocultos, e identificar componentes. Se evidencia cuando el alumno diferencia, clasifica y relaciona las conjeturas, hipótesis, evidencias o estructuras de una pregunta o aseveración. La categoría sintetizar alude a utilizar ideas viejas para crear otras nuevas; generalizar a partir de datos suministrados; relacionar conocimiento de áreas dispersas, predecir conclusiones. Al analizar el estudiante genera, integra y combina ideas en un producto, plan o propuesta nuevos para él. Y por último, evaluar es comparar y discriminar entre ideas, dar valor a la presentación de teorías, escoger basándose en argumentos razonados, verificar el valor de la evidencia; reconocer la subjetividad. El estudiante valora, evalúa o critica en base a estándares y criterios específicos. [3-4]

3.3. La taxonomía actualizada Las categorías de las habilidades del pensamiento en la actualización son: Recordar, que es reconocer y traer a la memoria información relevante de la memoria de largo plazo. Comprender, que es la habilidad de construir significado a partir de material educativo, como la lectura o las explicaciones del docente. Aplicar, se refiere a la aplicación de un proceso aprendido, ya sea en una situación familiar o en una nueva. Analizar, es descomponer el conocimiento en sus partes y pensar en cómo estas se relacionan con su estructura global. Evaluar, es comprobar ideas, procedimientos, resultados, y criticar teorías o posturas con argumentos razonados. Crear, que involucra reunir cosas y hacer algo nuevo. [3] 3.4. Verbos para cada categoría En base a la lectura de autores del marco teórico se resume la siguiente tabla de verbos para cada categoría de pensamiento [1] [5]. Tabla 1. Tabla de verbos para cada categoría de habilidades de pensamiento. Recordar Reconocer Recordar Listar Describir Recuperar Localizar Denominar Definir Explicar Parafrasear

Comprender Entender Interpretar Ejemplificar Clasificar Resumir Ordenar Agrupar Deconstruir Delinear Estructurar

Aplicar Ejecutar Implementar Desempeñar Aplicar Clasificar Experimentar Usar Resolver Computar Descubrir

Analizar Diferenciar Organizar Atribuir Seleccionar Integrar

Evaluar Comprobar Criticar Revisar Formular Hipotetizar Experimentar Juzgar Probar Detectar Monitorear

Crear Generar Planear Diseñar Construir Idear Trazar Elaborar

3.5. Las habilidades matemáticas Entendemos por habilidad matemática la definida por Ferrer-Vicente (2000) en su tesis doctoral quien entiende a “la habilidad matemática como la construcción y dominio, por el alumno, del modo de actuar inherente a una determinada actividad matemática, que le permite buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones, procedimientos matemáticos, emplear estrategias de trabajo, realizar razonamientos, emitir juicios y resolver problemas matemáticos” [6] Hernández Fernández, Delgado Rubí, Fernández de Alaíza, Valverde Ramírez y Rodríguez Hung, (1998) se dedicaron al estudio de habilidades matemáticas y las han clasificado según su función. Esta clasificación resume las habilidades matemáticas en habilidades conceptuales, traductoras, operativas, heurísticas y meta-cognitivas [7], que se describen a continuación: Habilidades conceptuales: aquellas que operan directamente con los conceptos (Identificar, Fundamentar, Comparar, Demostrar) Habilidades traductoras: aquellas que permiten pasar de un dominio a otro del conocimiento (Interpretar, Modelar, Recodificar) Habilidades operativas: funcionan generalmente como auxiliares de otras más complejas y están relacionadas con la ejecución en el plano material o verbal (Graficar, Algoritmizar, Aproximar, Optimizar, Calcular) Habilidades heurísticas: aquellas que emplean recursos heurísticos y que están presentes en un pensamiento reflexivo, estructurado y creativo (Resolver, Analizar, Explorar) Habilidades meta-cognitivas: las que son necesarias para la adquisición, empleo y control del conocimiento y demás habilidades cognitivas (Planificar, Predecir, Verificar, Comprobar, Controlar) [7] Por otro lado resulta necesario destacar la importancia del estudio de las habilidades en relación con el contenido de la asignatura, como lo proponen Falsetti, Favieri, Scorzo y Williner, (2009); lo que provee una mejor información sobre el desarrollo de la misma y los aprendizajes de los conceptos. [8]

4.

Metodología de trabajo

Para estudiar qué habilidades matemáticas, vinculadas con la taxonomía de Bloom, evidencian los alumnos de Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Facultad Regional Haedo, en la resolución de un trabajo práctico sobre transformación conforme, se hizo, en primer lugar, un análisis de las habilidades matemáticas, por cada categoría de la taxonomía, que se pondrían en juego al resolverlo, para luego, evaluarlo en las producciones de los alumnos.

5.

Descripción del trabajo práctico

En el trabajo práctico se presentan gráficos de tres regiones en el plano, un cuarto de circunferencia de radio 60 mm centrado en el origen, una circunferencia con centro en (10,10) y radio 50mm y un cuadrado de lado 60 mm con un vértice en el origen y sus lados adyacentes sobre los ejes coordenados. Cada región debía ser rotada y graficar la región obtenida junto la original. Dadas los gráficos: y

y

60

60

40

40

40

20

 60

 



6.

 40

y

60

 20

20

20

40

60

x

 60

 40

 20

20

20

40

60

x

 60

 40

 20

20

 20

 20

 20

 40

 40

 40

 60

 60

 60

40

60

x

Escribir en variable compleja la expresión que representa cada gráfico Realizar los siguientes mapeos conformes a las tres regiones: o un giro de 90º en sentido anti-horario o un giro de 180º en sentido anti-horario o un giro de 90º en sentido horario Graficar en el plano (x,y) la región original y la rotada con distintos colores.

Análisis preliminar de las habilidades matemáticas, por cada categoría de la taxonomía de Bloom

Haciendo una conjunción entre los dos aspectos teóricos desarrollados en el marco teórico se realizó el análisis de las habilidades matemáticas por cada categoría de la taxonomía de Bloom, resultando los siguientes niveles de conocimiento y habilidades. Nivel recordar  Recordar la representación de regiones del plano usando números complejos  Recordar igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar  Reconocer a las funciones de variable compleja como representativas de giros en el plano.  Reconocer las ecuaciones de transformación de las rotaciones expresadas como funciones de variable compleja. Nivel comprender  Entender e interpretar la información dada en forma gráfica

 

Recodificar las regiones geométricas en forma analítica usando números complejos Ordenar y agrupar convenientemente la parte real e imaginaria de la función para determinar las ecuaciones de transformación Nivel aplicar  Aplicar la interpretación geométrica de los números complejos  Aplicar las funciones de variable compleja a giro de regiones en el plano.  Aplicar igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar  Resolver el giro de las regiones usando funciones de variable compleja  Graficar las regiones originales y las rotadas en un mismo par de ejes cartesianos Nivel analizar  Organizar la información para diferenciar la parte real e imaginaria de un número complejo  Organizar la información para diferenciar el módulo y el argumento de un número complejo  Deconstruir la función de variable compleja para determinar el ángulo de giro  Estructurar la solución de manera compacta, sencilla y clara  Integrar lo resuelto para generar la región obtenida luego del giro Nivel evaluar  Comprobar que la región obtenida es la correcta

7.

Evaluación de las habilidades en los trabajos prácticos

Con el fin de evaluar si estas habilidades, vinculadas con el tema mapeo conforme, estaban presentes en la resolución del trabajo práctico se decidió analizar si cada una de ellas se evidenciaba por escrito en las producciones de los alumnos. Para ello se utilizó una tabla de valoración en la cual, dichas habilidades se evaluaron considerando si estaba poco o nada desarrollada, moderadamente desarrollada o desarrollada. Para los fines estadísticos a cada una de estas categorías se les asignó valores numéricos: 1, 2, 3. Cabe aclarar que varias de las habilidades analizadas se solapaban, es decir, se evidenciaban juntas. Por ejemplo, recordar la representación de regiones del plano usando números complejos se solapaba con aplicar la interpretación geométrica de los números complejos y con recodificar las regiones geométricas en forma analítica usando números complejos; ya que para escribir la región correctamente el alumno necesita realizar todas estas habilidades aunque no de manera consciente.

8.

Resultados

Se analizaron 48 producciones de dos cursos de la asignatura, uno del turno tarde y otro del turno noche, siendo el curso del turno nocturno el de mayor cantidad de alumnos. Los resultados obtenidos se reflejan en las siguientes tablas: Tabla 2. Resultados habilidades nivel recordar. Habilidad Recordar la representación de regiones del plano usando números complejos Recordar igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar Reconocer a las funciones de variable compleja como representativas de giros en el plano Reconocer las ecuaciones de transformación de las rotaciones expresadas como funciones de variable compleja.

Poco desarrollada

Moderadamente desarrollada

Desarrollada

20 %

45 %

35·%

30 %

35 %

35 %

24 %

52 %

24 %

18 %

59 %

23 %

Tabla 3. Resultados habilidades nivel comprender. Habilidad Entender e interpretar la información dada en forma gráfica Recodificar las regiones geométricas en forma analítica usando números complejos Ordenar y agrupar convenientemente la parte real e imaginaria de la función para determinar las ecuaciones de transformación

Poco desarrollada

Moderadamente desarrollada

Desarrollada

20 %

45 %

35·%

20 %

45 %

35·%

24 %

52 %

24 %

Tabla 4. Resultados habilidades nivel aplicar. Habilidad

Poco desarrollada

Aplicar la interpretación geométrica de los números complejos Aplicar las funciones de variable compleja a giro de regiones en el plano. Aplicar igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar Resolver el giro de las regiones usando funciones de variable compleja Graficar las regiones originales y las rotadas en un mismo par de ejes cartesianos

Moderadamente desarrollada

Desarrollada

20 %

45 %

35·%

18 %

59 %

23·%

12 %

59 %

29 %

15 %

32 %

53 %

12 %

35·%

53 %

Tabla 5. Resultados habilidades nivel analizar. Habilidad Organizar la información para diferenciar la parte real e imaginaria de un número complejo Organizar la información para diferenciar el módulo y el argumento de un número complejo Deconstruir la función de variable compleja para determinar el ángulo de giro Estructurar la solución de manera compacta, sencilla y clara Integrar lo resuelto para generar la región obtenida luego del giro

Poco desarrollada

Moderadamente desarrollada

Desarrollada

20 %

59 %

21·%

20 %

59 %

21·%

20 %

59 %

21·%

28 %

40 %

32 %

18 %

39·%

43 %

Tabla 5. Resultados habilidades nivel evaluar.

9.

Habilidad

Poco desarrollada

Comprobar que la región obtenida es la correcta

58 %

Moderadamente desarrollada 32 %

Desarrollada 10·%

Discusión de los resultados

Puede apreciarse, como se estableció a priori, que varias de las habilidades se solapaban, ya que se presentaban juntas al hacer la evaluación. Estas son: Las habilidades que resultaron al mismo nivel de desarrollado son recordar la representación de regiones del plano usando números complejos, del nivel recordar, entender e interpretar la información dada en forma gráfica y

recodificar las regiones geométricas en forma analítica usando números complejos del nivel comprender y aplicar la interpretación geométrica de los números del nivel aplicar. Estas habilidades se encontraron moderadamente desarrolladas en casi la mitad de los trabajos y un 35 % desarrollada. Otras habilidades que se juntaron fueron reconocer a las funciones de variable compleja como representativas de giros en el plano, del nivel recordar y ordenar y agrupar convenientemente la parte real e imaginaria de la función para determinar las ecuaciones de transformación del nivel comprender. En un poco más de la mitad de las producciones se encontró evidencia de desarrollado moderado y el resto se divide entre desarrollada y poco desarrollada. También se encontraron los mismos niveles de desarrollo en reconocer las ecuaciones de transformación de las rotaciones expresadas como funciones de variable compleja, del nivel recordar, y en aplicar las funciones de variable compleja a giro de regiones en el plano, del nivel aplicar. Casi el 60% de los alumnos tiene un desarrollo moderado y un 23% presentan estas habilidades desarrolladas. De la misma manera de agruparon resolver el giro de las regiones usando funciones de variable compleja del nivel aplicar, y graficar las regiones originales y las rotadas en un mismo par de ejes cartesianos. Aquí la mayoría de los alumnos ha evidenciado buen desarrollo de las habilidades. Tres habilidades del nivel análisis evidenciaron el mismo comportamiento, organizar la información para diferenciar la parte real e imaginaria de un número complejo, organizar la información para diferenciar el módulo y el argumento de un número complejo y deconstruir la función de variable compleja para determinar el ángulo de giro. Casi un 60% evidenció desarrollo moderado y un 21% desarrollo completo. Otras dos habilidades del nivel análisis también se solaparon, estructurar la solución de manera compacta, sencilla y clara e integrar lo resuelto para generar la región obtenida luego del giro, presentándose un 43% de buen desarrollo y un 39% de desarrollo moderado. La habilidad recordar la igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar del nivel recordar, tuvo un comportamiento parejo en desarrollo moderado y completo. Y la habilidad aplicar igualdad de números complejos tanto en forma binómica como polar con mayoría, 59 % presentó desarrollo moderado y un 29 % completo. La habilidad con menor desarrollo fue comprobar que la región obtenida es la correcta del nivel evaluar, ya que la mayoría, un 58% tuvo poco desarrollo y un 32% desarrollo moderado, sólo el 10% la presento en forma completamente desarrollada.

10. Conclusiones y trabajos futuros El análisis y evaluación de las habilidades matemáticas vinculadas con la taxonomía de Bloom en este trabajo sobre mapeo conforme nos ayuda a reflexionar sobre algunas cuestiones importantes para el docente de matemática universitario. Por un lado la agrupación de habilidades de diferentes niveles de pensamiento permite un mayor rango de niveles cognitivos abarcados por un mismo objetivo y actividad. Las habilidades tuvieron un comportamiento parejo entre moderadamente desarrollada y desarrolladas en los cuatro primeros niveles, siendo el de menor desarrollado la habilidad del nivel evaluar. La organización de la información es necesaria para la deconstrucción de la función de variable compleja para determinar el ángulo de giro. El tener la habilidad de estructurar la solución de manera compacta, sencilla y clara favorece la integración de lo resuelto para generar la región obtenida luego del giro. La correcta resolución del giro de las regiones usando funciones de variable compleja del nivel aplicar ayuda a graficar las regiones originales y las rotadas en un mismo par de ejes cartesianos. Es importante reconocer las ecuaciones de transformación de las rotaciones expresadas como funciones de variable compleja para poder aplicarlas al giro de regiones en el plano. Es preciso recordar la representación de regiones del plano usando números complejos, entendiendo e interpretando dicha información gráfica para poder recodificarlas a su forma analítica. El poco desarrollo de la habilidad comprobar que la región obtenida es correcta nos alerta sobre el cuidado que debería tener el docente en su quehacer diario destacando la importancia de comprobar las soluciones, de controlar los procesos realizados. También debería presentarse atención al diseño de actividades, ejercicios y/o problemas, tratando de priorizar aquellos que demanden no solo habilidades de los niveles recordar, comprender, aplicar y

analizar, sino también habilidades de nivel evaluar; lo que garantizaría un desarrollo completo de habilidades del pensamiento matemático. Estas conclusiones alientan a seguir trabajando en esta línea, en profundizar en el estudio de habilidades matemáticas, vinculadas con la taxonomía de Bloom, usadas por los alumnos en el desarrollo de la asignatura. De allí que mis futuros trabajando estén orientados al desarrollo y manifestación de habilidades de pensamiento, especialmente matemáticas, en el desempeño académico de mis alumnos de Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo.

Referencias 1. Barkley, E.; Cross, P.; Howell-Major, C.: Técnicas de aprendizaje colaborativo: manual para el profesorado universitario. Morata (2007) 2. Woolfolk, A.: Psicología educativa. Pearson Educación (2006) 3. Eduteka: Taxonomía de Bloom de habilidades de pensamiento. Eduteka. http://eduteka.org/TaxonomiaBloomCuadro.php3 (2010). Accedido el 10 de Abril de 2013 4. Fowler, B: La Taxonomía de Bloom y el Pensamiento Crítico. Eduteka. http://goo.gl/S76dFe (2002). Accedido el 8 de Abril de 2013 5. Universidad del Valle: Encuentros de educación superior y pedagogía 2005. Artes gráficas del Valle Ltda (2007) 5. S/f: La Taxonomía de Bloom. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán. http://goo.gl/LUnkxN (s/f). Accedido el 12 de Abril de 2013 6. Ferrer-Vicente: La resolución de problemas en la estructuración de un sistema de habilidades matemáticas en la escuela media cubana. Tesis doctorales en Ciencias Sociales. http://www.eumed.net/tesisdoctorales/2010/mfv/La%20habilidad%20matematica.htm (2000). Accedido el 18 de Abril de 2013 7. Hernández Fernández H.; Delgado Rubí, J.; Fernández de Alaíza, B.; Valverde Ramírez, L.; Rodríguez Hung, T.: Cuestiones de didáctica de la matemática: conceptos y procedimientos en la educación polimodal y superior. Homo Sapiens Ediciones (1998) 8. Falsetti, M., Favieri, A., Scorzo, R. y Williner, B. Estudio de Habilidades Matemáticas para el Cálculo Diferencial en estudiantes de Ingeniería. En J. E. Sagula (Ed), Memorias del 10mo Simposio de Educación Matemática, pp. 303321. (2009). Chivilcoy: EMAT. Formato CD ROM