La música digital no podría existir sin la Transformada de Fourier

La música digital no podría existir sin la Transformada de Fourier

Por Jamie Condliffe
Traducido por Aldo Rodríguez

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Esta es la Transformada (ó Transformación) de Fourier. Podemos agradecerle a esta ecuación los streaming diarios de audio y video a través de la red, el proporcionar imagen en jpg en gran calidad en pequeños archivos e incluso alimentar sus auriculares con cancelación de ruido. Así es como funciona.

La ecuación debe su poder a la forma en que permite a los matemáticos comprender rápidamente el contenido de frecuencia de cualquier tipo de señal. Es una hazaña del pensamiento humano. En 1867, el físico Lord Kelvin expresó su eterno amor por esta bella pieza de matemáticas, también. Escribió: «El teorema de Fourier no es sólo uno de los resultados más bellos del análisis moderno, pero puede decirse que constituye un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones recónditas de la física moderna».


La transformada de Fourier fue, tal vez sin su sorpresa, desarrollada por el matemático Barón Jean-Baptiste-Joseph Fourier y publicada en su libro de 1822, The Analytical Theory of Heat (Teoría Analítica del Calor). El Barón estaba interesado en la forma en que el calor fluía dentro y alrededor de los materiales, y en el proceso de estudiar este fenómeno derivó su transformación. En ese momento, no se habría dado cuenta de la importancia de una contribución que estaba haciendo, no sólo para las matemáticas y la física, sino también para la ciencia, la ingeniería y la tecnología en su conjunto.

Su gran avance fue darse cuenta de que las señales complicadas podrían representarse simplemente sumando una serie de las más simples. Eligió hacerlo sumando sinusoides, esas ondas oscilantes de las que aprendimos en el colegio que vagan entre pico y valle con una regularidad predecible. Digamos que tocas un acorde en un piano, presionando tres teclas. Se producen tres notas diferentes, todas con frecuencias bien definidas -conocidas como tonos cuando hablamos de audio- que parecen ondas seno sinuosas y agradables:

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Pero, sumando esas frecuencias, el acorde de sonoridad agradable parece realmente más desordenado, como esto:

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Parece complicado, pero sabemos que fundamentalmente son sólo tres ondas sinusoidales simples escalonadas en el tiempo y sumadas. La clave de Fourier fue darse cuenta de que, por complicada que sea la forma de onda final, siempre puede representarse como una combinación de sinusoides, aunque eso signifique usar un número infinito. El verdadero genio de esta comprensión para mí es que si se puede determinar qué sinusoides deben agregarse para crear la forma de onda final, se sabe exactamente qué frecuencias de ondas deben agregarse -y en qué cantidades- para representar la señal . Con ese conocimiento, se puede conocer el contenido exacto de la frecuencia de su señal final.

Eso es lo que la ecuación en la parte superior del artículo lo hace de una sola vez. El término x (t) representa la señal grande y complicada que está tratando de representar por los más simples. El término e-j2πft parece un poco aterrador, pero en realidad es sólo taquigrafía que los matemáticos usan para representar esas sinusoides de las que hemos estado hablando. El bit neto es que multiplicando los dos juntos y luego envolviéndolos en una integral permite a la ecuación seleccionar cada componente de la frecuencia de sinusoides que se requieren para representar la señal . Así que el resultado de la ecuación, X (f), proporciona la magnitud y el retardo de tiempo de cada una de las señales simples que necesita agregar juntas.

Esa es la transformada de Fourier: una función que explica exactamente qué frecuencias se encuentran en la señal original. Eso puede parecer trivial. No lo es.



Imagine que está en el negocio de enviar archivos de audio a través de Internet. Puedes simplemente enviar toda la canción por la red de la manera en que originalmente se importó (WAV,AIFF, RAW) pero son bastante grandes de esa manera. La razón de su tamaño es que son una grabación completa, sin pérdidas (looseless): cada frecuencia se preserva de la grabación, a través de la mezcla, a la pista final. Ahora, tomemos en una Transformada de Fourier de un pequeño fragmento de una pista, nos daremos cuenta que existen algunos componentes de frecuencia que son increíblemente dominantes y otros que apenas se registran.

El formato de archivo MP3 hace exactamente esto, pero lanza a un lado los componentes de frecuencia apenas perceptibles para ahorrar espacio, así como algunos de los que están en el extremo superior de nuestro rango auditivo, porque nos resulta difícil distinguir entre ellos de todos modos. Realiza este proceso a través de la canción, cortándola en millones de secciones, determinando los componentes de frecuencia importante, desechando aquellos que no son importantes. Lo que queda son sólo las frecuencias más importantes -o notas- que se pueden reproducir en sus oídos para representar con bastante precisión la pista original. Y lo mejor parte, un archivo que es menos de una décima parte del tamaño.

También es muy similar a la forma en que el codificardor Ogg Vorbis, utilizado por Spotify para el cliente de escritorio, funciona (en realidad, Vorbis utiliza una versión computacional rápida de la Transformación de Fourier llamada transformada de coseno discreta, pero en líneas generales es la misma idea). Por cierto, Shazam y SoundHound usan estas mismas transformaciones -tiene una base de datos de contenido de frecuencia distintivo de millones de canciones.Y mientras estamos hablando de audio, los auriculares con cancelación de ruido también usan las transformadas de Fourier: un micrófono registra el ruido ambiente que te rodea, mide el contenido de la frecuencia a lo largo de todo el espectro y luego cambia el contenido para agregar un "sonido" a tu mezcla de audio "cancelando" el ruido circundante.



Hasta ahora sólo he hablado de señales de tiempo como el audio, Fourier desarrolló su ecuación en primera instancia para ayudarlo a resolver problemas relacionados con el flujo de calor a través de los materiales. Esto significa que también funciona en problemas que son espaciales. Para Fourier eso significaba agregar tipos simples de flujos de calor y estructuró sus ecuaciones a las que llamó 2D para representar los cambios más complejos. Y de la misma manera, la transformada de Fourier 2D puede usarse para construir imágenes digitales más eficientemente que hacerlo pixel por pixel…. en otras palabras:

Los archivos de imagen sin pérdida tienen el color de cada uno de los píxeles definidos por separado. Cuando guarda uno como JPG, toda la imagen se divide en trozos más pequeños y la transformada de Fourier 2D del bloque tomado. Esto proporciona una descripción de las frecuencias espaciales de cómo cambia el color y el brillo en este pequeño parche de la imagen. Al igual que en el caso de MP3, un JPG echa a un lado algunos de los componentes de alta frecuencia, que en el caso de una imagen proporcionan el detalle nítido y fino. Para la mayoría de nosotros, nuestros ojos no pueden detectar diferencias sutiles de color, por lo que los componentes de frecuencia que proporcionan píxeles a píxeles de variación apenas se muestran. Evidentemente, si se acelera la compresión, comienza a lanzar frecuencias más bajas y bajas, y es cuando las cosas pueden empezar a verse un poco bloqueadas, ya que las variaciones de color entre los subbloques se vuelven más evidentes.

Para los ojos y oídos entrenados, los sistemas de compresión como MP3 y JPG son apenas perceptibles la mayor parte del tiempo: se ven y suenan bien, pero logran ocupar una fracción del espacio que demandan sus hermanos sin pérdida (RAW files). En otras palabras, hacen que las imágenes digitales y la música sean prácticas, permitiéndonos compartirlas fácilmente, lo cual es una hazaña increíble para una sola ecuación. Sin duda, Fourier que fué lo suficientemente práctico para escribir un libro sobre el flujo de calor, aprobaría el uso de sus ecuaciones.

Imágenes Christine Daniloff/MIT