La interpretación del cálculo infinitesimal en la lógica de hegel

La interpretación del cálculo infinitesimal en la lógica de Hegel
Resumen
A partir de la afirmación de Hegel en su prólogo a la Fenomenología del
Espíritu acerca de que la matemática no puede expresar la realidad porque
sus contenidos y procedimientos son externos a la cosa, se consolidó una
línea de interpretación de su filosofía que consideró, en términos
generales, a la matemática moderna y a la dialéctica hegeliana como ámbitos
no conciliables.
En efecto, preocupado por desarrollar el conocimiento conceptual y la
filosofía especulativa, Hegel considera en esta obra que "el movimiento de
la demostración matemática no forma parte de lo que es el objeto, sino que
es una operación exterior a la cosa... la marcha de la demostración asume
estas determinaciones y relaciones y descarta otras, sin que sea posible
darse cuenta de un modo inmediato de cuál es la necesidad a que responde
esto, pues lo que rige este movimiento es un fin externo".[1]
Esto implica que el conocimiento sólo está fundado si está auto-fundado,
cuando el concepto es el propio objeto en sí mismo que deviene otro y se
recupera. Hegel supera así la dicotomía abstracta de un sujeto fijo que
conoce algo enfrentado, un objeto también inmóvil al que, no se sabe cómo,
alcanzaría. Mantener estas distinciones en su oposición sin resolverlas en
una síntesis dialéctica racional es algo propio del entendimiento, no del
espíritu. La filosofía del entendimiento ha radicado la cientificidad del
conocimiento en este formalismo. Y su mayor expresión está dada en la
matematización generalizada, que carece, según Hegel, de la precisión
científica de la que se jacta.
La mathesis universalis propia de la ciencia moderna es criticada por
Hegel: "El hecho de que las llamadas demostraciones de estos principios,
tales como la del equilibrio de la palanca, la de la proporción entre
espacio y tiempo en el movimiento de la caída, etc., demostraciones que
tanto abundan en la matemática aplicada, sean ofrecidas y aceptadas como
tales demostraciones, no es, a su vez, más que una demostración de cuán
necesitado de demostración se halla el conocimiento, ya que cuando carece
de ella acepta la simple apariencia vacua de la misma y se da por
satisfecho"[2].
La crítica de Hegel a la formalidad de la ciencia de su época también fue
otro factor que agudizó esta desconfianza filosófica sobre los
conocimientos matemáticos. La Ciencia de la Lógica plantea con claridad la
nueva perspectiva de los fundamentos filosóficos de la ciencia. La lógica
no se desentiende del contenido, y es la expresión primera del pensamiento
que se autodetermina para saberse a sí mismo en una totalidad. La
matemática, en la perspectiva lógica, también es cuestionada, pero se
incluye en el círculo dialéctico como un momento necesario. Hay que
revisar, entonces, cuál es el rol que le cabe a la demostración matemática
en el conjunto de las ciencias filosóficas, desde el despliegue lógico.
En concreto, en la Ciencia de la Lógica, la sección de la cantidad aborda
el problema de la magnitud y el número, pero deja a pie de página las
anotaciones de Hegel sobre las teorías matemáticas de la época.
Puntualmente, me refiero al cálculo infinitesimal, creado conjuntamente por
Leibniz y Newton, de gran poder explicativo para la física y de intenso
debate teórico acerca de sus implicancias filosóficas.
Si bien Hegel ya había hecho referencia al infinito matemático en la Lógica
de Jena, redacta con más precisión en la versión de 1831 de la Ciencia de
la lógica su interpretación del cálculo infinitesimal y discute con
matemáticos contemporáneos acerca de su importancia filosófica. Son tres
extensas notas referidas al concepto de infinito matemático, su
determinación conceptual y las consecuencias filosóficas de la aplicación
del cálculo diferencial.
El eje de interpretación en estos escritos maduros consiste en mostrar cómo
el cálculo logra representar científicamente, pero sin proponérselo, el
infinito verdadero. De este modo, se convierte en una expresión científica
de la tesis especulativa de la medida, la síntesis dialéctica entre
cantidad y cualidad. ¿Hay un cambio de posición en el Hegel de 1831
respecto de sus advertencias sobre el proceder matemático en 1807? ¿o más
bien intenta reformular, ahora mediante la interpretación estricta del
cálculo infinitesimal, su permanente crítica a la falta de fundamentación
filosófica de las elaboraciones matemáticas?
La presente comunicación pretende describir cómo para Hegel el cálculo
infinitesimal encarna la expresión científica del verdadero infinito,
mediante una lógica de relaciones y, particularmente en el caso del
cálculo, de la relación de potencia. Hegel supera la discusión acerca de la
existencia de los infinitésimos, nunca llevada a sus últimas consecuencias,
y mantenida en una lógica formal, de corte sustancialista y estático. Con
su interpretacíón del cálculo diferencial Hegel abre la perspectiva de una
lógica relacional. Lo importante del cálculo no es la existencia de unas
entidades últimas infinitesimales, sino la noción de función inherente a su
desarrollo. Toda función es una relación entre variables. La magnitudes
varían, pero la relación entre ellas se mantiene. La lógica muestra que la
razón es relación. Justamente, las relaciones directa, inversa y potencial
son los momentos del último movimiento previo a la sección de La Medida: la
relación (razón) cuantitativa. Y la relación es realidad infinita,
autodeterminada, die Wirklichkeit.

Bibliografía de referencia
Ellsworth de Slade, Das wahrhafte Unendliche und die Unendlichkeit der
Mathematik. Eine Studie zu den Entsprechungen zwischen Hegels Bestimmung
des wahrhaftigen Unendlichen in der "Wissenschaft der Logik" und seiner
Auffassung der Infinitesimal Mathematik, Heidelberg Universität, 1994.
Hegel, W.G.F, Ciencia de la lógica, Ed. Solar, Bs As, 1993. Trad. Mondolfo.
Hegel, W.G.F, Wissenschaft der Logik, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main,
1970
Miranda, Francisco, La interpretación filosófica del cálculo infinitesimal
en el sistema de Hegel, EUNSA, Navarra, 2003.
Moretto, Antonio, Hegel e la "Matematica dell' infinito", di Veriffiche,
Trento, 1984
Rehm, Margarete, Hegels spekulative Deutung der Infinitesimalrechnung, Köln
Universität Verlag, 1963.
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[1] Hegel, G.W.F., Fenomenología del Espíritu, FCE, México, 1992. Págs.
30-31.
[2] Ibid. pág. 31