La Historia de las Matemáticas en la formación de profesores de Matemáticas

Quipu, Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología vol. 16, núm. 2, mayo-agosto de 2014, pp. 203-224.

La Historia de las Matemáticas en la formación de profesores de Matemáticas LIGIA AMPARO TORRES RENGIFO* EDGAR ALBERTO GUACANEME SUÁREZ** LUIS CARLOS ARBOLEDA APARICIO*** Summary It discusses some of the results of research that characterized the curriculum strategies for education in History of Mathematics [HM] in Colombian training programs for teachers of Mathematics. Particularly, it reflects on the existence of a consensus on the need to study HM to promote the teacher´s knowledge, the need for special training of trainers of teachers and the role of research on the relationship History of Mathematics - Mathematics Teacher Education [HM-MTE]. It is argued that knowledge of the HM should be predominant in the training of teachers, which leads to the need to form a community of practice than from the Didactical of HM assume the research on the relationship HM-MTE, dialectically with their teaching.

Introducción

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urante un poco más de un año desarrollamos un proyecto de investigación a través del cual procuramos caracterizar las estrategias curriculares empleadas en algunos de los programas colombianos de formación inicial de profesores de

* Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle. Colombia. ** Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional. Colombia. *** Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle. Colombia.

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Matemáticas para educar en y desde la Historia de las Matemáticas [HM].1 En este sentido pretendimos que dicha caracterización permitiera reconocer algunos rasgos de la relación Historia de las Matemáticas – Educación del profesor de Matemáticas [HM-EPM], en tanto que no advertimos estudio previo alguno que aborde la expresión factual de tal relación en Colombia, a pesar de que en nuestro país sí han habido trabajos y reflexiones en el campo de la Educación Matemática a través de los cuales se reconoce el potencial de la relación Historia de las Matemáticas – Enseñanza de las Matemáticas y la consecuente necesidad de apropiación de la HM por parte de los futuros profesores.2

1.  El proyecto titulado “Caracterización de las estrategias curriculares de formación en Historia de las Matemáticas en programas de formación inicial de profesores de Matemáticas” fue financiado por la Universidad del Valle en el marco de su convocatoria interna del año 2010 (código CI 5220) y desarrollado en las vigencias 2010 y 2011. 2.  Ver por ejemplo: Luis Carlos Arboleda, “Historia y enseñanza de las matemáticas”, Quipu. Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología, vol. 1, núm. 2, 1984, pp. 167-194; Carlos Eduardo Vasco, “History of Mathematics as a Tool for Teaching Mathematics for Understanding”, Software Goes to School. Teaching for Understanding with New Technologies, D. N. Perkins, J. L. Schwartz, M. M. West & M. S. Wiske (Eds.), New York, Oxford University Press, 1995, pp. 56-69; María Falk de Losada y Myriam Acevedo de Manrique, Recorriendo el Álgebra: de la teoría de ecuaciones al álgebra abstracta, Bogotá, Colciencias - Universidad Nacional de Colombia, 1997; Carlos Eduardo Vasco, “Siete tensiones irresolubles en la articulación de la historia de las matemáticas con la enseñanza de las matemáticas”, Conferencia presentada en la Primera Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemología de las Matemáticas - ELHEM 1, Colombia, 2002; Maribel Patricia Anacona, “La Historia de las Matemáticas en la Educación Matemática”, Revista EMA. Investigación e innovación en educación matemática, vol. 8, núm. 1, 2003, pp. 30-46; Luis Carlos Arboleda, “Los tratados franceses en la enseñanza del análisis en Colombia (1851-1951)”, UNIÓN. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, vol. 8, 2006, pp. 101-107. Ligia Amparo Torres, Fenomenología histórica del concepto de ecuación y potencialidades de su uso en la escuela, Asesor: Edgar Alberto Guacaneme, Tesis de Maestría en Educación - Énfasis en Educación Matemática, Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle, Colombia, 2010; Gabriela Inés Arbeláez, Proceso de instauración del análisis matemático en Colombia: 1850-1950, Tesis de Doctorado en Educación - Énfasis en Educación Matemática, Asesor: Luis Cornelio Recalde, Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle, Colombia, 2010; Luis Carlos Arboleda, y Gloria Marleni Castrillón, “La historia y la educación matemática en el ‘horizonte’ conceptual de la pedagogía”, Quipu, vol. 14, núm. 1, 2012, pp. 13-32; Clara Helena Sánchez Botero y Víctor Samuel Albis González, “Historia de la enseñanza de las matemáticas en Colombia. De Mutis al siglo XXI”, Quipu, vol. 14, núm. 1, 2012, pp. 109-157; Gabriela Inés Arbeláez y Luis Cornelio Recalde, “El desarrollo del análisis matemático en Colombia (1850-1950)”, Quipu, vol. 14, núm. 3, 2012, pp. 363-394; Martha Lucía Bobadilla, Los niveles de sistematización en la obra de Lebesgue, Tesis de Doctorado en Educación - Énfasis en Educación Matemática, Asesor: Luis Cornelio Recalde, Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle, Colombia, 2012; Edgar Alberto Guacaneme, “Teoría euclidiana de la proporción en la construcción de los números reales: ¿un asunto útil para un profesor?”, Revista TED. Tecné, Episteme y Didaxis, vol. 31, 2012, pp. 113-131; y Clara Helena Sánchez Botero, “La historia como recurso didáctico: el caso de los Elementos de Euclides”, Revista TED, vol. 32, 2012, pp. 71-92.

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Desde la perspectiva asumida en el proyecto de investigación, caracterizar las estrategias curriculares implicó responder a cuatro preguntas sobre la gestión de la HM en los programas objeto de estudio, a saber: ¿Por qué se plantea la apropiación del conocimiento histórico de las Matemáticas por parte de los profesores?, ¿Para qué se procura la apropiación del conocimiento histórico de las Matemáticas por parte de los profesores?, ¿Qué tipo de HM es propuesta para ser apropiada por los futuros profesores de Matemáticas? y ¿Cómo y cuándo se llevan a cabo los procesos de apropiación del conocimiento histórico de las Matemáticas por parte de los futuros profesores? Para ello, se siguió una estrategia que implicó esencialmente: convocar y escuchar a los representantes de nueve licenciaturas en un panel en el que cada quien expresó la manera como la HM se vincula en su respectivo programa;3 estudiar los documentos descriptivos de las licenciaturas para identificar el lugar y papel previsto para la HM; estudiar los programas de los cursos relacionados con el estudio de la HM; realizar entrevistas a directores, profesores y estudiantes de dichas licenciaturas para indagar pormenores de las estrategias curriculares implicadas en la enseñanza y aprendizaje de la HM; identificar trabajos de grado relacionados con la HM, realizados por los futuros profesores de Matemáticas; y, sintetizar y analizar la información resultante de las actividades anteriores. Como resultados del proyecto de investigación, respecto del por qué (es decir, de la racionalidad de la incorporación de la HM a los programas de formación inicial de profesores) se puede afirmar que éste radica en: la existencia de un cierto consenso sobre la pertinencia de la HM en la educación de profesores; la existencia de formadores de profesores que hacen de esta disciplina una empresa académica; la favorabilidad del ambiente normativo que reglamenta las licenciaturas respecto de la incorporación de cambios curriculares en estas; la formación autodidacta en el conocimiento histórico de las Matemáticas; y la existencia de grupos de estudio (investigación) que generan escuelas de pensamiento y acción en torno a la HM, en general, y en torno a su papel en la educación de los profesores de Matemáticas, en particular. Con relación al para qué, el estudio reveló una tendencia a señalar que la intención de incluir la HM en la educación de los profesores de Matemáticas se refiere, en esencia, a la potencialidad de esta para ofrecer perspectivas alternas a las usuales respecto de las Matemáticas y de los objetos matemáticos. Se reconocen algunos propósitos adicionales, pero esporádicos, que se refieren al carácter de laboratorio que brinda la HM para reconocer evidencias de posturas

3.  En la investigación se asumieron como objeto de estudio nueve licenciaturas de siete universidades colombianas: Universidad de Antioquia, Universidad del Cauca, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad La Gran Colombia, Universidad de Nariño, Universidad Pedagógica Nacional y Universidad del Valle.

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o planteamientos filosóficos respecto de las Matemáticas y del quehacer o actividad de los matemáticos. Igualmente, es bastante exigua la alusión a las contribuciones que el estudio de la HM pueda hacer al profesor de Matemáticas respecto de su comprensión de las particularidades de la actividad matemática en el aula, el desarrollo de sus competencias profesionales docentes o la consciencia sobre los ideales consustanciales a las Matemáticas. En lo relativo a qué tipo de HM se pone en juego en la formación de los profesores de Matemáticas, el estudio nos permitió reconocer que en varias de las licenciaturas se estudia una historia general de las Matemáticas, organizada de manera cronológica o bien evolutivamente respecto de algunas nociones o conceptos matemáticos específicos. También se logró evidenciar que las Matemáticas que en los programas de formación son objeto de estudio de la Historia son, en general, las hegemónicas u occidentales, a pesar del reconocimiento de existencia de Matemáticas en otras culturas; al respecto del estudio de la HM en Colombia, se reseña tanto la escasa literatura al respecto y lo deseable que sería su estudio. No obstante la existencia de la tendencia antes descrita, se observó que los asuntos objeto de estudio en algunas licenciaturas obedecen a los temas o problemas que se han identificado relevantes desde los grupos de estudio e investigación y que se han incorporado a sus agendas investigativas. En lo que corresponde al cómo se incluye la HM en los programas de formación, se reconoce una interesante diversidad que se expresa, de un lado, en un intervalo de variación que tiene cerca a uno de sus extremos el desarrollo de un único curso de HM y en el otro la existencia de un conjunto de más de tres cursos que configuran una línea o núcleo de formación; de otro lado, tal diversidad se expresa en la aparición colateral de la HM en cursos de Matemáticas o de Didáctica de las Matemáticas y eventualmente en los diseños curriculares para la enseñanza de las matemáticas escolares, frente a la figuración central de ésta como línea de formación. Por otra parte, se logró reconocer un cierto consenso acerca de la necesidad de un conocimiento matemático sólido como prerrequisito para el estudio de la HM. En relación con el cómo se gestiona la actividad de aula en los cursos, se advierte una tendencia a la lectura de estudio y exposición de documentos que hacen parte de la literatura usual, como estrategia metodológica. De los resultados de la investigación, presentados de manera sintética antes, hemos seleccionado algunos para ser discutidos en el presente documento, a saber: la existencia de un consenso sobre la necesidad de estudiar Historia de las Matemáticas para promover el conocimiento del profesor de Matemáticas, la necesidad de una formación particular de los formadores de profesores y el

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papel de la investigación sobre la relación HM-EPM.4 Luego de ello, y para finalizar el documento, hacemos una invitación a la comunidad académica para asumir algunos retos que se desprenden de nuestra discusión. Discusión a partir de algunos resultados ¿Un consenso relativo constituye una relativización de enfoques? Como pudimos constatar a través del estudio, difícilmente existe alguien en la comunidad de formadores de profesores de Matemáticas que no abogue por la participación de la HM en un programa de formación inicial de profesores de Matemáticas. Este hecho ofrece una evidencia de alineación de la comunidad colombiana con un cierto consenso internacional sobre la necesidad de la HM en la educación de los profesores de Matemáticas. Schubring y sus colegas reseñan este consenso como un acuerdo que recorre casi la totalidad del Siglo XX;5 en Colombia, el artículo de Arboleda se reconoce como un referente importante que impulsa la discusión a este respecto;6 otros trabajos de inicio del presente siglo actualizan dicha discusión en la comunidad académica colombiana.7 Sin 4.  Ligia Amparo Torres y Edgar Alberto Guacaneme, “Aproximación a las estrategias curriculares de formación en Historia de las Matemáticas en programas de formación inicial de profesores de matemáticas”, Conferencia presentada en el XVIII Congreso Colombiano de Matemáticas, Colombia, 2011; Ligia Amparo Torres y Edgar Alberto Guacaneme, “Caracterización de las estrategias curriculares de formación en historia de las matemáticas en programas de formación inicial de profesores de matemáticas”, Conferencia presentada en el IV Encuentro de programas de formación inicial de profesores de Matemáticas & V Seminario de Matemática Educativa. Fundamentos de la Matemática Universitaria, Colombia, 2011; y Ligia Amparo Torres y Edgar Alberto Guacaneme, “La Historia de las Matemáticas en la formación inicial de profesores de Matemáticas en Colombia”, Conferencia presentada en el VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática - CIBEM, Uruguay, 2013. 5.  Gert Schubring, Éliane Cousquer, Chun-Ip Fung, Abdellah El Idrissi, Hélène Gispert, Torkil Heiede, Abdulcarimo Ismael, Niels Jahnke, David Lingard, Sergio Nobre, George Philippou, João Pitombeira de Carvalho, & Chris Weeks, “History of mathematics for trainee teachers”, History in mathematics education. The ICMI Study, J. Fauvel & J. van Maanen (Eds.), Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 91-142. 6.  Luis Carlos Arboleda, “Historia y enseñanza de las matemáticas”, Quipu, vol. 1, núm. 2, 1984, pp. 167-194. 7.  Ver por ejemplo: Carlos Eduardo Vasco, “Siete tensiones irresolubles en la articulación de la historia de las matemáticas con la enseñanza de las matemáticas”, Conferencia presentada en la Primera Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemología de las Matemáticas - ELHEM 1, Colombia, 2002; Maribel Patricia Anacona, “La Historia de las Matemáticas en la Educación Matemática”, Revista EMA, vol. 8, núm. 1, 2003, pp. 30-46; Edgar Alberto Guacaneme, “¿Qué tipo de Historia de las Matemáticas debe ser apropiada por un profesor?”, Revista Virtual Educyt, vol. 2 núm. 2, 2010. Disponible en http://dintev.univalle.edu.co/revistasunivalle/index.php/educyt/article/ view/1826/1759; y Edgar Alberto Guacaneme, “La Historia de las Matemáticas en la educación de un profesor: razones e intenciones”, Ponencia presentada en la XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Brasil, 2011.

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embargo, desde nuestra perspectiva, la existencia de tal consenso puede llegar a ocultar una profunda y significativa problemática sobre la racionalidad, el lugar y el papel de la HM como potencial eje en la formación de profesores de Matemáticas. Nos atrevemos a plantear esta problemática, haciendo un uso de la analogía propuesta por Siu y Tzanakis,8 en los siguientes términos: ¿La HM constituye la entrada, el plato fuerte o el postre en la cena que deguste el futuro profesor de Matemáticas en su formación? Veamos, a continuación, nuestra postura frente a las tres opciones. •

La HM como entrada

Exploremos, inicialmente y de manera breve, una interpretación usual de la HM como entrada. Como logramos advertir en la investigación referida, para muchos profesores de Matemáticas encargados de la formación matemática de los futuros profesores (e incluso para algunos formadores que asumen el conocimiento didáctico del contenido matemático como objeto de enseñanza en los programas de formación inicial), algunos discursos provenientes de la HM constituyen un marco introductorio de singular excelencia para el estudio de (o sobre) las Matemáticas y al incorporarlos a sus discursos matemáticos (o didácticos), les reconocen como una expresión concreta del vínculo y participación de la HM en la educación de los futuros profesores. Probablemente incorporar así la HM tenga como intención generar un ambiente de motivación o contextualización de la temática matemática o didáctica objeto de estudio; precisamente como motivación es que Siu & Tzanakis asocian a la HM como entrada.9 Un ejemplo de esto es la inclusión de algún problema del que se ocuparon los matemáticos en alguna época particular, como una manera de justificar el estudio del tratamiento y solución actual de tal problema. En este caso, tal vez la presentación o estudio del relato en torno al problema en cuestión, del problema mismo y hasta de la solución histórica, pueda constituir la manera de incorporar la HM en la formación del futuro profesor. Sin lugar a dudas, esta usual manera de uso de la HM constituye una de las referencias inmediatas al futuro profesor, que puede llegar a ser replicada en su acción de enseñanza de las Matemáticas. Desde nuestra perspectiva, si bien esta manera de uso puede ser una estrategia exitosa de motivación, asigna 8.  Man-Keung Siu y Costantinos Tzanakis, “History of Mathematics in Classroom Teaching - Appetizer? Main course? Or Dessert?”, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, vol. 3, núm. 1-2, pp. v-x. 9.  Man-Keung Siu y Constantinos Tzanakis, “History of Mathematics in Classroom Teaching - Appetizer?..., pp. vii-viii.

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un valor utilitario básico a la HM y puede no exigir, tanto al formador como al estudiante, ir más allá del relato histórico, es decir, no requerir del estudio de los análisis históricos-epistemológicos resultantes de la investigación histórica. •

La HM como postre

La dimensión de la HM en tanto postre, desde la propuesta de Siu y Tzanakis citada, constituye un ámbito de enriquecimiento para la formación en Matemáticas en la escuela. Ésta puede ser igualmente usual a la HM en tanto entrada. Desde el estudio realizado, se establece que la existencia de uno o un conjunto reducido de cursos de HM (casi siempre ubicados en los últimos años de las licenciaturas), sin que este o estos se estructuren como una de las líneas centrales de formación del conocimiento del profesor, constituye una expresión concreta de asumir la HM como postre. Así, el estudio de una historia general de las Matemáticas, organizada de manera más o menos cronológica, que recorre hitos de la evolución de las Matemáticas, constituye un ejemplo de esta aproximación. En ésta es usual que se tome como base documental alguna obra clásica y general de HM10 y que a través de exposiciones a cargo del profesor o de los estudiantes, se estudien de manera secuencial sus apartados, o algunos de ellos. En este caso es altamente probable que la formación en HM propenda más por una erudición en la información o el conocimiento histórico, que por un conocimiento histórico útil que favorezca la constitución de un conocimiento funcional del futuro profesor. En efecto, no cabe duda que el estudio de cualquiera de tales obras promueve una visión histórica de las Matemáticas deseable en cualquier profesional relacionado con éstas, que de seguro redimensiona su visión de las Matemáticas y de sus objetos. La duda radica, esencialmente, en la potencial utilidad que este conocimiento erudito pueda ofrecer a la actividad del futuro docente, en tanto encargado de fomentar el aprendizaje de las Matemáticas en el ámbito escolar. Desde nuestra perspectiva, sin un conocimiento acerca de cómo vincular eficazmente tal conocimiento a la enseñanza de las Matemáticas o sin la consciencia (probablemente basada en evidencias y experiencias profesionales propias o ajenas) de cómo ese conocimiento permea profundamente el 10.  Por ejemplo: Eric Temple Bell, Historia de las Matemáticas, Trad. R. Ortiz, México, Fondo de Cultura Económica, 1949; Jean Paul Collette, Historia de las matemáticas (vol. 1 y 2). Madrid, Siglo XXI de España Editores, 1985; Carl Benjamin Boyer, Historia de la matemática (1ª edición), Madrid, Alianza Editorial, 1986; y Morris Kline, El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Madrid, Alianza Editorial, 1994.

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conocimiento del profesor de Matemáticas, difícilmente el futuro profesor podrá hacer un uso adecuado del conocimiento histórico adquirido, lo cual puede conducir a la trivialización del mismo. •

La HM como plato fuerte

Una posible interpretación de la HM como plato fuerte, desde lo planteado por Siu y Tzanakis, la identifica como parte del contenido a ser abordado en el estudio de las Matemáticas. Para nosotros asumir la HM como plato fuerte implica considerarla como una línea fundamental de formación del conocimiento del profesor de Matemáticas, que la ubique en un nivel semejante al asignado comúnmente a las Matemáticas o, de manera cada vez más consciente, a la Didáctica de las Matemáticas, en los programas de formación inicial de profesores de Matemáticas. En el estudio en cuestión, la HM no aparece como línea de formación con una presencia o despliegue semejante a las líneas de formación en Matemáticas o en Didáctica de las Matemáticas; sin embargo, sí se reconocen algunas interesantes propuestas y desarrollos que asumen la HM como una línea de formación,11 a través de un conjunto de cursos básicos del programa de formación usualmente complementado con cursos electivos y la elaboración de trabajos de grado en temáticas de la HM. Ahora bien, consideramos que reconocer efectivamente la HM como plato fuerte implica abordar una reflexión sobre el significado e implicaciones que ello conlleva. En este sentido hay que reconocer la necesidad de abordar las preguntas acerca de las intenciones formativas que se le asociarían, los objetos de estudio de la Historia que se constituirían en objetos de aprendizaje por parte del profesor, y las estrategias efectivas y eficientes para promover la apropiación y uso del conocimiento histórico, entre otras. Con respecto a las intenciones formativas debemos declarar que identificamos en el conocimiento histórico un potencial que trasciende su aspecto erudito y le asigna un valor funcional. El conocimiento histórico de las Matemáticas adquiere este carácter funcional, en tres ámbitos de acción del quehacer del profesor.12 En el ámbito micro cuando se manifiesta en las acciones 11.  Este es el caso de las licenciaturas estudiadas en la Universidad del Valle, la Universidad del Cauca y la Universidad de Nariño. Este hecho no nos parece casual sino más bien una evidencia de una escuela de pensamiento generada desde el grupo de Historia de las Matemáticas de la Universidad del Valle. 12.  No sobra precisar que estos tres ámbitos no necesariamente son independientes y que quizá su interrelación sea uno de sus rasgos distintivos.

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del profesor en el aula o en la consciencia que él tenga del lugar que le asigna en sus prácticas docentes. En el ámbito meso, en tanto oriente acciones del profesor con la intención de redimensionar el currículo escolar en Matemáticas, de tal manera que en este se reconozcan (y esté orientado por) las relaciones de las Matemáticas con las demás disciplinas, con el Arte, la Literatura y demás expresiones humanas científicas, artísticas y hasta espirituales. En el ámbito macro cuando se afecte la percepción y valoración social de las Matemáticas en tanto se supere una concepción de las mismas que les identifica con aspectos estrictamente algorítmicos y utilitarios, y permita reconocer en ellas maneras especializadas o particulares de razonar, conocer, sentir y crear. Adicionalmente, el carácter funcional del conocimiento histórico de las Matemáticas se expresa en cuanto se logren afectar los procesos de reflexión para, en y desde la práctica del profesor de Matemáticas o las estrategias y objetos de estudio del profesor. En este sentido, se hace una apuesta en relación con el papel de acicate y guía que tendría el discurso histórico (eventualmente pensado como discurso meta-matemático), a favor de los procesos reflexivos que aportan a la constitución del conocimiento del profesor, construido en la praxis; igualmente se hace una apuesta en torno a la necesidad de que el profesor, en tanto profesional o intelectual de la educación, mantenga activada su actitud de aprendizaje a partir de la identificación tanto de sus necesidades formativas, como del reconocimiento de la HM como fuente o recurso para suplirlas o encararlas. Abordar la pregunta en torno a los objetos de la HM que serían deseables y oportunos en la educación de los profesores de Matemáticas remite a la discusión sobre la pertinencia. En uno de los programas de investigación más notables en el ámbito internacional, se establece que, atendiendo a la búsqueda de relevancia, se decidió que los objetos de estudio de la HM se refirieran directamente a los objetos de las matemáticas escolares.13 Sin embargo, creemos que es preferible asumir una postura complementaria a esta, pues si bien consideramos que se debe estudiar la historia de los objetos matemáticos que tienen una expresión y lugar escolar, se debe también estudiar la historia de problemas fundamentales en relación con aquellos. Aclaramos que no nos referimos acá a los problemas matemáticos, sino a problemas meta-matemáticos; la designación de objetos, el papel de las mediaciones instrumental y simbólica, los cánones de rigor y prueba, la tensión entre lo intuitivo y lo formal en la constitución de objetos y teorías, la realidad y existencia de los objetos matemáticos, las formas de razonamiento matemático, 13.  Maxim Bruckheimer y Abraham Arcavi, “Mathematics and its History: An Educational Partnership”, Using History to Teach Mathematics: An International Perspective, V. J. Katz (Ed.), Washington, Mathematical Association of America, 2000, p. 136.

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o los procesos de creación y comunicación de los desarrollos matemáticos, constituyen algunos ejemplos de estos problemas. Estimamos que el estudio de tales problemas proveería al profesor de herramientas de análisis que, conjugadas adecuadamente con aquellas provenientes del estudio de las Matemáticas y de la Didáctica de las Matemáticas, le permitan ampliar su visión de la actividad matemática que se da, o se puede dar, en las instituciones escolares. Esta aproximación se podría complementar con la perspectiva de los estudios histórico críticos en donde desde una perspectiva histórica se estudian problemas que previamente se han documentado desde la investigación didáctica sobre la actividad matemática en el aula;14 tal perspectiva implica el estudio de la actividad de un sujeto epistémico al abordar un problema histórico semejante en el ámbito de la actividad matemática científica, para dar luz al camino del diseño de estrategias para encarar tales problemas. El paso del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico, la diversidad en los razonamientos en los dominios discretos y continuos, los retos al pensamiento matemático al pasar de lo finito a lo infinito, las relaciones entre las representaciones y de estas con el objeto representado, o la relación entre número y magnitud, constituyen algunos ejemplos de los problemas reseñados. Además de estas aproximaciones, referidas a los objetos y a los problemas, es necesario que como objeto de estudio se incorpore el uso de la HM en la educación en Matemáticas. Afortunadamente la literatura especializada incluye una infinidad de documentos que reportan estrategias de uso (o si se prefiere, de integración) de la historia en la actividad matemática del aula, diseñadas e implementadas por profesores de Matemáticas.15 Igualmente en tal literatura se reseñan estrategias de definición de micro-currículos de Matemáticas que atienden fundamentalmente a dimensiones o aspectos históricos. Se espera entonces que el estudio de algunos de tales documentos ofrezca al profesor marcos de referencia que aviven su creatividad y posibilidad de hacer uso de la historia que ha estudiado y apropiado. En relación con las estrategias para promover la apropiación y uso del conocimiento histórico podemos reconocer al menos dos expresiones, a saber: la organización curricular de la línea de formación y la metodología de estudio 14.  Por ejemplo Eugenio Filloy, Aspectos teóricos del álgebra educativa, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1999. 15.  Por ejemplo: Constantinos Tzanakis, Abraham Arcavi, Carlos Correia de Sa, Masami Isoda, Chi-Kai Lit, Mogens Niss, João Pitombeira de Carvalho, Michel Rodriguez, Man-Keung Siu, “Integrating History of Mathematics in the Classroom: an Analytic Survey”, History in Mathematics Education. The ICMI Study, J. Fauvel & J. van Maanen (Eds.), Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 201-240; y John Fauvel, Éliane Cousquer, Fulvia Furinghetti, Torkil Heiede, Chi Kai Lit, Harm Jan Smid, Yannis Thomaidis, Constantinos Tzanakis, “Bibliography for Further Work in the Area”, History in Mathematics Education..., pp. 371-418.

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de la Historia. En primer lugar, en cuanto a la primera expresión, afirmamos que no hemos identificado en la literatura especializada referencia alguna a una propuesta de organización curricular que exhiba una línea de formación en HM en los programas de formación de profesores, lo cual no obsta para que nos demos la posibilidad de pensar en lo que la definición de una línea tal podría implicar.16 Aunque el número de cursos o seminarios de tal línea no sea lo más importante, seguramente ésta no se agota en uno o dos cursos, por cuanto el estudio de los objetos, problemas y usos puede requerir más tiempo. Más allá de la definición de un número específico de cursos, surge la necesidad de establecer la conexión entre ellos, de tal suerte que la línea no sea simplemente la sumatoria de los cursos, sino la articulación de lo sugerido como asuntos a ser estudiados en estos, en atención a las intencionalidades reportadas antes. De manera semejante a la articulación entre los seminarios o cursos que configuren la línea, vemos necesaria la presencia de una interrelación entre la línea y las demás líneas de formación que caractericen el programa de formación inicial de profesores. Así, por ejemplo, reconocemos la necesidad de explicitar las relaciones que la línea de formación en HM tendría con una línea de formación en el conocimiento matemático o con una línea de formación en torno al conocimiento didáctico del contenido matemático. Una explicitación de tales vínculos requeriría de un trabajo interdisciplinario entre los profesionales responsables de las diferentes líneas de formación. Advertimos que si bien se podría reconocer la existencia de las diferentes líneas de formación a pesar de la ausencia de la explicitación de tales vínculos, la articulación entre los conocimientos logrados en cada una de estas quedaría al arbitrio del egresado del programa de formación, muy probablemente como parte de su ejercicio docente (o de manera simultánea a este); sabemos que abogar por una articulación tal es el objetivo de muchos formadores de profesores que ven en este su principal reto investigativo y docente. Coadyuvando con una línea de formación como la aludida antes, se podría suponer, por un lado, el desarrollo de trabajos de grado o monografías a través de las cuales los futuros profesores realicen el estudio de temáticas de la HM y expliciten el efecto que éste tiene para su conocimiento y las implicaciones para su futuro ejercicio docente; por otro lado, se podría explicitar la integración de la HM en los ejercicios implicados en las prácticas profesionales que, en el marco del programa de formación, se realizan para promover el conocimiento práctico del futuro profesor, antes de que se titule como profesional de la educación.

16.  Estos pensamientos se alimentan de las propuestas de líneas que en al menos tres universidades colombianas hemos identificado y citado antes.

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En segundo lugar, debemos reconocer que la metodología de estudio de la HM es un asunto muy complejo que, para asignar a la HM el lugar de plato fuerte, requiere de mayor atención desde la investigación sobre la formación de profesores de Matemáticas. Consideramos que el asunto metodológico no ha sido un tema central de estudio pues advertimos que en la literatura internacional existen muy pocos documentos que lo aborden; en efecto, la búsqueda bibliográfica de documentos que refieran y expliciten metodologías empleadas para la apropiación de la HM para la formación de profesores nos arroja un número exiguo de documentos, entre los cuales sobresale el capítulo que refiere cinco aproximaciones metodológicas que emplea en la formación de profesores de primaria.17 Asimismo, en la investigación referida en este documento, no logramos ubicar evidencias empíricas de que los formadores de profesores hayan generado una reflexión profunda y sistemática acerca de, por ejemplo, la relación que existe (o debiera existir) entre el tipo de recurso (v.g., libros, artículos, videos, páginas web) y las especificidades metodológicas que orientan su participación en los procesos de apropiación de la HM, o de las implicaciones metodológicas y conceptuales que conlleva incorporar como objeto de estudio los resultados de la investigación histórica contemporánea expuesta en libros y artículos de reciente publicación o presentada de viva voz por parte de los historiadores y filósofos de las Matemáticas. Al respecto del primer ejemplo recién mencionado, desde nuestra intuición reconocemos que la metodología empleada debe tener una estrecha relación con el tipo de recursos; así, por ejemplo, creemos que la predilección del desarrollo de seminarios, como estrategia para el estudio de documentos resultantes de la investigación histórica, se justifica en el tipo de discurso que tales documentos incorpora, que la realización de talleres está acorde con la puesta en juego de problemas matemáticos provenientes o tratados por o en la HM, o que el diseño curricular de tareas para la educación en Matemáticas está mediado por la reflexión sobre las posibilidades de incorporar la HM en la enseñanza. Por otra parte, la mayoría de las experiencias de formación de profesores consultadas en esta investigación y en las reportadas en la literatura evidencia un esquema metodológico usual “profesor – alumnos” (en singular y en plural, respectivamente) poco cuestionado y con exiguas posibilidades de transformación. No obstante tal condición, logramos evidencias de que en al menos uno de los programas objeto de estudio en la investigación, existen experiencias de 17.  Bjørn Smestad, “History of Mathematics for Primary School Teacher Education, or, can you do something even if you can’t do much?”, Recent Developments on Introducing a Historical Dimension in Mathematics Education, V. J. Katz y C. Tzanakis (Eds.), Mathematical Association of America, 2011, pp. 201-210.

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asumir un curso entre varios profesores especialistas en diferentes temáticas históricas o con la participación de varios profesores invitados, o experiencias que procuran incorporar al currículo del curso la asistencia a conferencias y eventos de HM, entendidos usualmente como actividades extracurriculares. Adicionalmente, en varios de los programas de formación estudiados se emplea como estrategia de formación en HM, la realización de trabajos de grado en temáticas y problemáticas de la HM o de la HM en relación con la enseñanza de las Matemáticas. La formación de los formadores En uno de los volúmenes del International Handbook of Mathematics Teacher Education18 se plantea la formación de los formadores como uno de los asuntos importantes y relativamente emergentes en el campo de la educación del profesor de Matemáticas; sin embargo, al parecer allí no hay una referencia explícita a la formación en y desde la HM de los formadores de profesores, intuyéndose entonces que este es un terreno casi inexplorado por la investigación en el campo de la educación del profesor de Matemáticas. A este respecto, ya en la conferencia inaugural de la Primera Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemología de las Matemáticas, Vasco planteó una tensión que se refiere a la necesidad de una formación en HM para los profesores de Matemáticas frente a la ausencia de académicos, preparados profesionalmente en HM, que asuman la docencia de la HM para los futuros profesores; al respecto, avizoraba la posibilidad (e invitaba para que así fuera) de que cada vez existieran más formadores que, incluso en calidad de diletantes, construyeran aprendizajes en y desde la HM.19 Si bien esta tensión sigue siendo válida, hoy en día en Colombia tiene un matiz especial que se reconoce a través de los resultados del estudio del que surge este documento. En primer lugar, encontramos que si bien el número de formadores con títulos de postgrado en HM (i.e., historiadores de las Matemáticas) no ha cambiado respecto de lo reportado por Vasco en la conferencia aludida, sí hay profesionales con títulos o formación de postgrado en el nivel de Maestría y Doctorado que han tomado seminarios de HM a lo largo de su formación y que han involucrado, de manera protagónica o sustancial, en sus trabajos de grado o tesis el estudio de la HM y su relación con la Educación Matemática; lo interesante es que la mayoría 18.  Barbara Jaworski y Terry Wood (Eds.), The International Handbook of Mathematics Teacher Education. The Mathematics Teacher Educator as a Developing Professional, (vol. 4), Rotterdam, Sense Publishers, 2008. 19.  Carlos Eduardo Vasco, “Siete tensiones irresolubles en la articulación de la historia de las matemáticas con la enseñanza de las matemáticas”, Conferencia presentada en la Primera Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemología de las Matemáticas - ELHEM 1, Colombia, 2002.

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de ellos se han encargado de liderar la formulación de propuestas curriculares en HM para la formación de profesores de Matemáticas. Asimismo, encontramos formadores de profesores que de manera autodidacta han abordado el estudio de la HM y han asumido el reto de orientar cursos de HM en los programas de formación de profesores de Matemáticas. En este sentido, reconocemos que se ha ido formando una masa crítica de profesionales (aún exigua) que se encarga del diseño y desarrollo curricular de la HM para la formación de profesores. En segundo lugar, reconocemos que si bien en algunas instituciones existen equipos de profesores que se encargan del desarrollo curricular de líneas de formación en HM y en otras instituciones, este trabajo se hace por parte de individuos que trabajan de manera un tanto aislada, infortunadamente hoy en día no hay en Colombia una comunidad de práctica que aglutine y convoque los esfuerzos de equipos e individuos; quizá las Escuelas Nacionales de Historia y Educación Matemática, constituyan el evento periódico que contribuyen a la constitución de una comunidad tal. En tercer lugar, advertimos que la HM se hace presente no solo en los cursos de formación en HM sino que cada vez más formadores en Matemáticas o en Didáctica de las Matemáticas hacen uso de aspectos de esta en sus actividades docentes. Así, reconocemos que algunos cursos o conjunto de cursos de Matemáticas definen su estructura atendiendo a cierta evolución histórica de la rama de las Matemáticas que abordan; igualmente advertimos que el conocimiento histórico se involucra de manera sustancial en relación con discursos provenientes de la Didáctica de las Matemáticas para temáticas matemáticas específicas. Igualmente relevante es la actividad de asesoría o dirección de trabajos de grado, usualmente monografías, en los que los futuros profesores profundizan en temas de la HM y eventualmente exploran su utilidad en su conocimiento o en su actuar docente; una mención especial merecen las asesorías de trabajos de grado en aquellos programas que tienen líneas de formación respaldadas en la investigación en HM que realizan los formadores y sus equipos. Al respecto de los tres aspectos señalados antes, debemos reseñar que bajo el reconocimiento que los formadores de profesores se están educando fundamentalmente en los postgrados que forman en Matemáticas o en Educación Matemática, es ideal que en estos programas, si aún no se hace, se incorpore o se consolide la HM como uno de los objetos de estudio. Para los formadores en ejercicio que cuentan ya con estudios de postgrado la estrategia seguramente deberá incorporar el desarrollo de escuelas o seminarios institucionales de desarrollo profesional en donde los asuntos y problemáticas de la HM sean el centro de estudio. En otras palabras, independientemente de que la HM sea asumida como entrada, plato fuerte o postre en los programas de formación inicial de profesores de Matemáticas, urge asignar un lugar a la HM en la

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educación de los formadores, como ya se viene haciendo en algunos ambientes académicos nacionales, que supere ampliamente la concepción de esta como una exquisitez intelectual que degustan solo aquellos formadores que sienten atracción por ella. Adicionalmente, reseñamos que es necesario emprender empresas académicas colectivas, institucionales e interinstitucionales, en las que participen los equipos y los individuos que están directamente implicados y a cargo de la promoción del conocimiento histórico en los programas de formación de profesores de Matemáticas. Tales empresas se refieren, por ejemplo, a: el desarrollo de seminarios en donde se discutan las propuestas que se tienen en marcha o que se están diseñando, para formar en y desde la HM, la divulgación de literatura especializada que presente y discuta innovaciones e investigaciones relativas a la relación Historia de las Matemáticas – Educación Matemática, el desarrollo de proyectos interinstitucionales de innovación e investigación. No obsta reseñar en este punto que la Red de Educación Matemática de América Central y El Caribe ha establecido como uno de sus asuntos centrales de interés tal relación. En lo presentado en los dos párrafos anteriores vemos una nueva expresión de la tensión aludida antes o, si se prefiere, una nueva tensión no reseñada dentro de las siete en las que centró su atención Vasco,20 o bien, sencillamente, un gran reto para la comunidad académica colombiana que asume como empresa académica la formación de profesores de Matemáticas. Por otra parte, debería ser claro que así como existe ya un consenso en que para desarrollar procesos de docencia de las Matemáticas –de manera profesional– no es suficiente con saber Matemáticas, debería haber un consenso –o al menos una discusión académica– en que para enseñar HM o procurar el aprendizaje de la HM no es suficiente con saberla. Desde nuestra óptica, es inaplazable reflexionar en la posibilidad de existencia de un conocimiento didáctico del contenido histórico de las Matemáticas,21 deseable en el formador de profesores que, entre otros asuntos, le permita reconocer los distintos fenómenos que develan procesos de relación entre un conocimiento histórico 20.  Carlos Eduardo Vasco, “Siete tensiones irresolubles en la articulación de la historia de las matemáticas con la enseñanza de las matemáticas”... 21.  Empleamos la categoría “conocimiento didáctico del contenido” bajo la conceptualización lograda por Jesús Pinto en su tesis doctoral, pero recontextualizándola para la HM y no para las Matemáticas (Ver Pinto Sosa, Jesús Enrique, Conocimiento didáctico del contenido sobre la representación de datos estadísticos: estudios de casos con profesores de Estadística en carreras de Psicología y Educación, Tesis de Doctorado en Educación Matemática, Asesora: María Teresa González, Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales, Universidad de Salamanca, España, 2010).

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y un conocimiento histórico a ser enseñado, advertir las implicaciones que para la enseñanza y el aprendizaje de la HM tienen las posiciones del formador frente a las formas de “hacer HM”, capturar las relaciones entre los tipos de HM disponibles y algunas intenciones formativas específicas, advertir las relaciones de pre-requisito o co-requisito del conocimiento matemático en función del conocimiento histórico o conocer las singularidades del aprendizaje de la HM. Tal reflexión debe incorporar tanto las experiencias formativas en curso como los resultados de la investigación que en diferentes partes del mundo se desarrolla en torno a la relación HM-EPM. La investigación en HM–EPM A partir de la investigación realizada se pudo constatar que la HM constituye una línea de formación en algunos de los programas de formación inicial de profesores de Matemáticas estudiados y que precisamente esta línea ha sido configurada por formadores con una trayectoria académica considerable en HM; a partir de ello es pertinente vislumbrar un panorama de desarrollo para tales propuestas de innovación curricular que las potencie más allá de su nicho de creación y funcionamiento y que las incorpore a un programa de investigación como objeto de estudio. Consideramos que la investigación en y sobre la relación HM-EM constituye el ámbito investigativo propicio para tal desarrollo. En otras palabras, la investigación del sistema didáctico,22 en general, y de los fenómenos de apropiación de la HM, en particular, se conjetura como una estrategia para trascender la acción formativa y brindar una sistemática base académica que potencie el conocimiento histórico a favor del conocimiento del profesor de Matemáticas. Así, se entrevé que los mismos formadores de profesores asuman como objeto de investigación sus propuestas y prácticas de formación en y desde la HM. Bajo esta visión, y quizá con un espíritu de búsqueda de conocimiento y consciencia sobre los procesos de formación de profesores, surge un sinnúmero de cuestiones que pueden orientar el trabajo investigativo ulterior. Un primer conjunto de tales cuestiones alude a la naturaleza del conocimiento histórico y sus relaciones con, e implicaciones para, el conocimiento del profesor de Matemáticas. Estas cuestiones planteadas a modo de interrogante pueden ser: • ¿Los resultados de la investigación en HM requieren ser traspuestos para que ingresen en las actividades de formación de profesores? 22.  Conformado por los formadores en o desde la HM, los profesores en formación y la HM (y, por supuesto, sus interrelaciones y el medio donde coexisten).

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• ¿Las obras matemáticas en su formulación original constituyen efectivamente conocimiento histórico de las Matemáticas y su estudio es pertinente en el contexto de la formación de profesores de Matemáticas? • ¿La historia de las matemáticas escolares o la historia de la educación en Matemáticas, constituyen parte de la Historia de las Matemáticas y debería ser estudiada por un futuro profesor de Matemáticas? • ¿Los procesos de uso de la HM en la estructuración de estrategias curriculares para educar en Matemáticas y la incidencia de la HM en la conformación de consciencia profesional del profesor de Matemáticas hacen parte del conocimiento histórico para la formación de profesores? • ¿La intención de favorecer el conocimiento del profesor de Matemáticas en y desde la HM demanda a los investigadores en HM la producción de discursos históricos específicos? • ¿Las actividades realizadas por los historiadores presentan especificidades que serían deseables incorporar al conocimiento del profesor de Matemáticas? • ¿Cuáles podrían ser las características de las temáticas de una línea de formación en HM que articule la formación inicial, en ejercicio y avanzada del profesor de Matemáticas? Un segundo grupo de preguntas refiere a aspectos relacionados con las estrategias metodológicas o con la organización curricular propuesta para articular la HM a la formación de profesores de Matemáticas; algunas de ellas se formulan como sigue: • ¿Para favorecer el conocimiento de los profesores de Matemáticas el discurso histórico, en tanto discurso meta-matemático, cómo puede, e incluso debe, articularse con el discurso matemático o con otro discurso meta-matemático (v.g., el proveniente de la Didáctica de las Matemáticas)? • ¿Qué implicaciones tendría para la organización curricular de un programa de formación de profesores asumir una de las dos posturas siguientes: el estudio del conocimiento matemático es una condición a priori y sine qua non para el estudio de la HM o bien el estudio del conocimiento matemático se puede dar de manera simultánea y dialógica al estudio de la HM? • ¿Las formas y contenidos discursivos de la HM condicionan las estrategias metodológicas que se pueden llegar a emplear en los cursos diseñados para formar en y desde la HM a los futuros profesores?

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• ¿Qué teorías o posturas sobre el aprendizaje serían adecuadas para favorecer el estudio de la HM en los futuros profesores o profesores en ejercicio? Un tercer grupo de cuestiones se relaciona con la intencionalidad de vincular la HM en la formación de profesores; algunas preguntas al respecto serían: • ¿Existen propósitos específicos de aprendizaje de la HM para la formación de profesores de Matemáticas? • ¿Qué aprendizajes efectivamente logran los estudiantes de los programas de formación de profesores de Matemáticas a través del estudio en y desde la HM? • ¿Desde una perspectiva de conocimiento funcional, es posible reconocer los efectos de la formación en y desde la HM de manera inmediata al desarrollo de los procesos formativos o estos solo se pueden observar a través de estudios longitudinales sobre el actuar docente de los egresados de los programas de formación? Un cuarto y último grupo de preguntas alude a la racionalidad o justificación de la inclusión de la HM en los programas de formación de profesores de Matemáticas; algunas de estas son: • ¿Qué acciones se deberían realizar para que la valoración de la HM y el reconocimiento de su necesidad en la formación de profesores de Matemáticas sea acicate suficiente para movilizar a la comunidad de formadores a atender la inclusión de la HM en los programas de formación? • ¿Las posturas que reivindican un conocimiento funcional del profesor de Matemáticas efectivamente contemplan el conocimiento histórico como un componente esencial que se vincule al diálogo de saberes requerido para alcanzar tal conocimiento? • ¿Además de la existencia de una comunidad conocedora y crítica sobre la HM, qué otras condiciones se requieren para que esta oriente procesos significativos de enseñanza y aprendizaje en y desde la HM, a favor del conocimiento de los profesores de Matemáticas? Las preguntas anteriores, y de seguro otras que se propongan, constituyen perspectivas de investigación cuya respuesta demanda acciones de las comunidades académicas profundamente interesadas en la formación de profesores de Matemáticas.

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A modo de invitación

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ara finalizar queremos concretar la formulación de unos retos a los que vemos se debe enfrentar la comunidad de formadores que orienta la educación en y desde la HM de los profesores de Matemáticas. Un primer reto se refiere a abordar la discusión acerca de si la HM puede y debe constituir uno de los platos fuertes que se ofrezcan a los futuros profesores de Matemáticas (o a los actuales profesores en ejercicio) para cualificar y mejorar su formación profesional y su desempeño docente. Dependiendo de la respuesta o postura asumida, deberán preverse y abordarse las consecuencias efectivas implicadas para los programas de formación y sus agentes de gestión. Un segundo reto se refiere a la necesidad de constituir una comunidad de práctica que asuma como horizonte común la formación en y desde la HM para los profesores de Matemáticas y que permita el crecimiento en experiencias y consciencia individual y colectiva en torno a este objeto. Un tercer reto alude a la necesidad de investigar sobre las prácticas de formación en y desde la HM para favorecer el conocimiento del profesor de Matemáticas para trascenderlas como acción y generar conocimiento desde ellas. En suma, y con el convencimiento de que estos son solo algunos de los retos que se pueden avizorar, estamos extendiendo una invitación a configurar un campo experimental que estudie las particularidades de circulación del conocimiento histórico de las Matemáticas en ámbitos de formación de profesores; campo que probablemente constituya uno de los ambientes de investigación de lo que podría llegar a llamarse la “Didáctica de la Historia de las Matemáticas”. Referencias Anacona, Maribel Patricia, “La Historia de las Matemáticas en la Educación Matemática”, Revista EMA. Investigación e innovación en educación matemática, vol. 8, núm. 1, 2003, pp. 30-46. Arbeláez, Gabriela Inés, Proceso de instauración del análisis matemático en Colombia: 1850-1950, Tesis de Doctorado en Educación - Énfasis en Educación Matemática, Asesor: Luis Cornelio Recalde, Instituto de Educación y Pedagogía, Universidad del Valle, Colombia, 2010. Arbeláez, Gabriela Inés y Luis Cornelio Recalde, “El desarrollo del análisis matemático en Colombia (1850-1950)”, Quipu. Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología, vol. 14, núm 3, 2012, pp. 363-394.

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