UNIVERSIDAD DE NARIÑO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA XII COLOQUIO REGIONAL DE MATEMÁTICAS y II SIMPOSIO DE ESTADÍSTICA
La Historia de las Matemáticas como organizador curricular a favor del Conocimiento Didáctico del Contenido Lyda Constanza Mora Mendieta y Edgar Alberto Guacaneme Suárez,
[email protected];
[email protected] , Universidad Pedagógica Nacional. Resumen. En el espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra, de la
Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, se ha incorporado la Historia de las Matemáticas, en particular la de la Aritmética y el Álgebra, como un organizador curricular que busca aportar a la formación del Conocimiento didáctico del contenido matemático en la formación inicial de profesores de Matemáticas. Se presentan aquí algunas tareas que permiten evidenciar esta relación y que han sido identificadas en el marco del proyecto de investigación “El conocimiento histórico en la constitución de una visión sobre la naturaleza de la Aritmética y el Álgebra en maestros de Matemáticas en formación” financiado por el Centro de Investigaciones de la Universidad Pedagógica Nacional. Palabras claves. Fo r mac ió n de pr o feso r es, H ist o r ia de la s Mat e mát ic as, Co no c im ie nt o didáct ico de l co nt enido mat e mát ico
1. Presentación. La Historia de las Matemáticas [HM] se puede reconocer como un organizador curricular de al menos uno de los espacios académicos del Ambiente de formación pedagógica y didáctica de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional [UPN], por cuanto a partir de ella se estudian asuntos propios del Conocimiento didáctico del contenido matemático [CDCM] previstos en la programación y objetivos del espacio, como lo son: los tipos de representaciones de objetos aritméticos y algebraicos, los contextos relacionados con el tratamiento de los objetos de la Aritmética y el Álgebra, y los aspectos curriculares de la Aritmética y en Álgebra presentes en la política curricular para las matemáticas escolares en Colombia (MEN, 1998, 2006) así como en libros de texto escolares. Algunas de las tareas que se llevan a cabo en este espacio de formación (Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra [EAAA]) se comparten en este documento, con el fin de aportar a la educación de profesores de Matemáticas desde la perspectiva de un trabajo sistemático e innovador que ha estado vinculado a la investigación del grupo RE-MATE (Research on Mathematics Teacher Education) en los últimos tiempos y que ha buscado la integración de la HM con el CDCM.
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2. Desarrollo de la temática. En la literatura especializada (v.g., Furinghetti, 1997) se reporta cómo aparece/interviene la HM en la enseñanza de las Matemáticas [eM]; en particular Guacaneme (2014) propone que hay al menos tres formas de aparición/intervención, a saber: (i) Alusión a la HM en la eM, (ii) Integración de la HM a la eM y (iii) Determinación de la eM a través de la HM. Si bien estas formas están previstas para la eM (y no para el CDCM), son orientadoras para el caso que nos ocupa. Recordemos que el objetivo central de un curso, como el de EAAA, no es enseñar Matemáticas, sino contribuir a la construcción del CDCM, entendido el conocimiento didáctico de contenido, en términos de Shulman (1987), como “esa especial amalgama entre materia y pedagogía que constituye una esfera exclusiva de los maestros, su propia forma especial de comprensión profesional” (p. 11). En este sentido, a continuación se reseñan cuatro formas de intervención de la HM a favor del CDCM en la formación de profesores de Matemáticas, identificadas en el marco del proyecto de investigación “El conocimiento histórico en la constitución de una visión sobre la naturaleza de la Aritmética y el Álgebra en maestros de Matemáticas en formación”. A. Alusiones a la HM para identificar los objetos propios de la Aritmética y el Álgebra: En la Licenciatura en Matemáticas de la UPN consideramos fundamental dotar a los maestros en formación de respuestas a preguntas como: ¿qué es Aritmética o qué es Álgebra?, ¿cuáles son los objetos de estudio de estas ramas de las Matemáticas?, ¿se han transformado tales objetos a lo largo de la historia?, y ¿tiene la Aritmética y el Álgebra objetos relacionados o son estos independientes? La racionalidad de esta consideración es simple: al enseñar se debe tener claro qué se enseña, con el fin de asumir posturas conscientes y críticas frente a propuestas curriculares explícitas, tanto en la política educativa como en los libros de texto que impactan la enseñanza de las Matemáticas. En relación con esta forma intervención, en el curso EAAA se alude a anécdotas, hechos históricos, obras o problemas famosos constitutivos de la historia de la Aritmética y el Álgebra, que permiten un ámbito de evidencias sobre las relaciones entre estas dos ramas de las Matemáticas y con otras (como lo es la Geometría). Así, desde la experiencia de desarrollo del espacio académico, y fundamentados en trabajos de grado de la Maestría en Docencia de la Matemática de la UPN (Gálvez y Maldonado, 2012; Triana y
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Manrique, 2013), se han determinado algunos objetos propios de la Aritmética y el Álgebra como: los numerales o sistemas de numeración, los sistemas numéricos, la Teoría de números, la logística, el número, la lúdica aritmética, las ecuaciones, las relaciones entre los números, las estructuras de sistemas numéricos específicos y las estructuras algebraicas. La identificación y caracterización de estos objetos se hace con los maestros en formación a través de la identificación, de parte de ellos, de hitos históricos de la Aritmética y el Álgebra, a partir de un estudio del currículo de la Aritmética y el Álgebra presente en referentes curriculares colombianos (MEN, 1998, 2006) y en referentes de otros países (NCTM, 2003). B. Integración de la HM en la identificación de una secuencia curricular para la enseñanza de la Aritmética y el Álgebra: Después de que los maestros en formación han identificado qué objetos son propios de la Aritmética y el Álgebra, estos se organizan en una línea de tiempo desde la HM y se compara con la secuencia curricular propuesta por los Lineamientos (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de competencias en Matemáticas (MEN, 2006), con el ánimo de reconocer si la secuencia de enseñanza de estos objetos se corresponde con su historicidad. En este sentido, por ejemplo, se procura reconocer si la secuencia típica en la enseñanza de los sistemas numéricos (N, Z, Q, R, C) se corresponde con la secuencia constructiva históricamente, o si la secuencia de enseñanza de las ecuaciones las involucra como herramienta y como objeto de estudio en sí mismas, tal como se dio históricamente. C. Integración de la HM para el reconocimiento de representaciones de los diferentes números (naturales, enteros, racionales, irracionales y reales): Está claro que uno de los aspectos que componen el sentido numérico es la comprensión de distintas representaciones de los números. En esta dirección y buscando que los maestros en formación estén dotados de diversas representaciones de los números para disponer de opciones para llevar al aula, la HM se utiliza como medio para que los maestros en formación reconozcan representaciones relacionadas a distintos sistemas numéricos. Por ejemplo, para los números irracionales históricamente aparecen las representaciones radicales, los segmentos inconmensurables, la representación decimal infinita no periódica, las fracciones continuas infinitas, las series, entre otras. Más allá de reconocer tales representaciones, la idea en el curso EAAA es que se destaquen ventajas y
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desventajas de estas al ser llevadas al aula de la Educación Básica o Media y que se construyan justificaciones al porqué aparecen o no en los textos escolares. D. Determinación del orden temático en parte del curso EAAA a través de la HM: En las más recientes versiones del curso EAAA se ha planteado un orden temático en el abordaje de elementos propios de la enseñanza y el aprendizaje de sistemas numéricos que atiende al orden histórico; en este sentido, se estudian las representaciones, los posibles errores cometido por los estudiantes y reportados en investigaciones, así como posibles interpretaciones y modelos de enseñanza, cuando estos existen, de los números naturales, los números racionales, los números enteros y los números reales. Esto se constituye en una evidencia de determinación de la HM en la estructura temática del curso en cuestión. 3. Conclusiones. Si bien se ha planteado ampliamente la relación entre la HM y la eM, la relación entre HM y el CDCM no ha merecido hasta ahora suficiente atención. En este sentido, los desarrollos logrados en la Licenciatura en Matemáticas de la UPN (específicamente en el curso EAAA), visibilizados a través del proyecto de investigación arriba citado, asumen y evidencian que la HM es un insumo de gran potencial en la organización de tareas que aportan a la formación del futuro profesor de Matemáticas. Al parecer, las tareas organizadas con base en la HM permiten conocer y relacionar aspectos didácticos, pedagógicos y matemáticos (que naturalmente hacen que el conocimiento didáctico del contenido matemático se consolide), contribuyendo con ello a la formación de profesionales más conscientes de su rol, de los obstáculos que se dieron en la historia para la comprensión de ciertos objetos matemáticos (como lo son, por ejemplo, los números enteros), y que por ende su aprendizaje en los escolares no es inmediato; profesionales conscientes, por ejemplo de que en la enseñanza y aprendizaje de los objetos aritméticos y algebraicos, muy seguramente van a aparecer algunos de los obstáculos consustanciales a estos, que no se deben necesariamente a dificultades cognitivas, sino a obstáculos epistemológicos. De otro lado, reconocer la historicidad de las Matemáticas ayuda a que el maestro en formación inicial sea consciente de contextos de interés donde surgieron ciertos objetos, que
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posiblemente pueden contribuir a que sean replicados o ajustados en la actualidad en la enseñanza de las Matemáticas. Finalmente, queremos reseñar que en lo reseñado anteriormente identificamos la posibilidad de considerar la HM como organizador curricular, idea que se convierte en reto/posibilidad de la investigación que adelantamos en RE-MATE, a la vez que abre una perspectiva protagónica a la HM tan ausente en la mayoría de los programas de formación inicial de profesores del país.
4. Referencias bibliográficas. Furinghetti, F. (1997). History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice: Case Studies in Linking Different Domains. For the Learning of Mathematics, 17 (1), 55-61. Guacaneme, E.A. (2014). Potencial formativo de la teoría euclidiana de la proporción en la constitución del conocimiento del profesor de Matemáticas. Tesis de doctorado en revisión. Cali: Universidad del Valle. Gálvez, A. y Maldonado, A.F. (2012). El papel de la historia de la Aritmética en un curso de didáctica para la formación de profesores de matemáticas. Tesis no publicada de maestría. Bogotá, D.C.: Universidad Pedagógica Nacional. Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos curriculares de Matemáticas. Bogotá: MEN. Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares básicos de competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá: MEN. National Council of Teacher of Mathematics. (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática (M. Fernández, Trad.). Sevilla : SAEM Thales. (Trabajo original publicado en 2000). Shulman, (1987). Knowledge and teaching: foundations of the new reform Harvard Educational Review, 57(1), 1-22. Traducción castellana (2005): Conocimiento y enseñanza: fundamento de la nueva reforma. Profesorado. Revista de Currículum y Formación de Profesorado, 9(2), http://www.ugr.es/~recfpro/rev92ART1.pdf. Triana, J. y Manrique, J.F. (2013). El papel de la Historia del Álgebra en un curso de Didáctica para la formación inicial de profesores de Matemáticas. Tesis no publicada de maestría. Bogotá, D.C.: Universidad Pedagógica Nacional.
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