La geometria de la forma

1 1

--t.1

-- ¡

1 1

--

1

' ~

\

/

1

1

1

1

\

1

\

\\ '\

'

1

\ \

\ \

1

.

i

1

1 ·~

1 \

1 1

\

\

i

\

'. -

,

1_ _ 1

.~ -·~1 .

1 / "

// -

LA GEOMETRIA DE LA FORMA D.I. PABLO H. RAEDER

!A

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

Casa aDIJ1a ~ ~-

Dr. Gustavo Adolfo Chapela Castañares Rector General Dr. Enrique Fernández Fassnacht Secretario General Unidad Xochimilco

Dr. Avedis Aznavurian Rector de la Unidad Xochimilco M. en C. Magdalena Fresán Orozco Secretaria de la Unidad Xochimilco Arq. Raúl Hemández Valdés Director de la División de Ciencias y Artes para el Diseño Arq. J osé Luis Rojas Arias Secretario Académico de la División de Ciencias y Artes para el Diseño LA.V. Gonzalo Becerra Prado Jefe del Departamento de Síntesis Creativa

Ma. Teresa Goilia Sott-lo

Diseño y Formación Alfredo Rodríguez Silva Aida Tapia Escobar Cecilia Huiz Rodríguez Alfonso M achorro

Colaboradores Mari ha López Martíncz

Tipografía Fernando Usó

Asesoría y Apoyo en Fotomecánica

Primera edición. 1992 D.R. Universidad Autón oma Metropolitana Unidad Xochimiko Calz. delllueso 1100. Col. Villa Quietud Coyoacán. 04960. México. D. F. ISBN: 968-840-8 73 -5

INDICE INTRODUCCION l. LAS SEMILLAS

7 9

2. GEOMETRIA DESCRIPTIVA Clasificación de las superficies Poliedros regulares Radiales cónicos Radiales cilíndricos Tangenciales Alabeadas de plano director Alabeadas de cono director Curvas de segundo grado Curvas por revolución Sistemas geométricos utilizados

13 14 15 16 18 20 22 26 28 32 34

3. LA APLICACION

37

EJERCICIOS

54

BIBLIOGRAFIA

55

3

·· ... el zoólogo y el morfólogo han sido lentos en donde el fisiólogo ha buscado

con ahínco la ayuda de las ciencias matemática y física. y la razón para esta diferencia de opinión se encuentra profundamente arraigada en viejas tradi ciones y en algunas mentes y temperamentos variables del hombre. Tratar al cuerpo viviente como un mecan ismo era repugnante y hasta pecaminoso para Pascal. Aún ahora el zoólogo apenas comienza a pensar en definir el lenguaje matemático en formas orgánicas más simples. Cuando se topa con una construcción geométrica sencilla. por ejemplo. un panal. p refiere referirse a un instinto físico o una habilidad o ingenuidad. antes que la operación de ciertas fuerzas físicas o leyes matemáticas. Cuando se ve en una concha de caracol. nautilus o radiolaria alguna semejanza con una espiral o esfera está puesto. según su antigua costumb re, de creer que después de todo son algo más que una espiral o una esfera y que en ese "algo más". se encuentra lo que ni la física puede explicar. En pocas palabras. se niega a comparar lo vivo con lo muerto o aclarar. por medio de la geometría o la mecánica, las cosas que tienen algo que ver con los misterios de la vida". D 'an..)' Thompson , on grou ·th and [orm

5

INTRODUCCION Porqué no entender las formas que vemos a diario a nuestro alrededor y que consU tantemente se repiten con ligeras variantes, como algo lógico y natural, como algo que tiene un origen común más allá de nuestro entender y que las rige; como algo que podemos observar, abstraer y reproducir para nuestro beneficio propio y aprovechamiento colectivo? •

El hombre siempre ha buscado obtener de la observación directa de la naturaleza una solución a sus propios problemas y esta búsqueda continúa en todos los campos. Actualmente este tipo de búsqueda se conoce con el nombre de biónica, la cual centra su atención en la íntima relación hombre-naturaleza, ya que observa y analiza la naturaleza para proponer soluciones que satisfagan la problemática material humana.

~

Las personas que de alguna forma tienen que ver con la creación, diseño y materialización de formas nuevas que vienen a satisfacer necesidades mínimas del hombre, por costumbre, tradición o simple ignorancia, siguen apegados a viejos patrones y cánones formales, sin atreverse a cuestionar los actuales y a experimentar con alternativas.

Esa búsqueda prosigue ahora con diseñadores como Bruno Munari (crecimiento de las plantas), Gui Bonsiepe (imparte cursos sobre biónica en Brasil), Carmelo Di Bartola (fundador del Centro de Estructuras Naturales, en Milán, Italia) y muchos otros que tratan de encontrar respuestas en la naturaleza.

La búsqueda de soluciones a problemas planteados, obteniendo la respuesta directamente de la naturaleza, se ha venido desarrollando a través de los siglos.

Dentro del vasto campo de la biónica, el estudio y análisis de las formas naturales tienen gran importancia ya que cualquier objeto de diseño (sea arquitectónico, industrial o gráfico) siempre llevará alguna envolvente que lo id en tifiq u e o una estructura interna que lo soporte.

En este estudio se pretende mostrar un panorama general de las superficies y sus posibilidades de materialización formal, ampliar las fuentes de inspiración tomando y analizando ejemplos de la naturaleza: concretamente las semillas y sintetizar enseñando muestras de trabajos en los que el desarrollo de la envolvente se obtuvo con base en la geometría descriptiva. Estas muestras pueden servir como fundamento sobre el cual smjan nuevas combinaciones formales; asimismo, facilitar al estudiante una herramienta más con la cual: " ... despertar resonancias lógicas y afectivas en el que las contempla, o sea, practicar la estética".*

En el presente estudio, el enfoque se centra en el carácter formal de los objetos, específicamente en las formas de las estructuras que envuelven a las semillas. Todo el estudio se basa en la geometría descriptiva, comprendida como una disciplina ordenadoray clasificadora de la forma que permite: a) Fomentar la capacidad de abstracción para poder entender el lenguaje bi y tridimensional. b) Manejar objetos y volúmenes en el espacio, sintetizándolos en una imagen planimétrica por medio de representaciones ortogonales. e) Tener la posibilidad de graficar imágenes de los objetos de diseño y obtener la información necesaria para su posterior materialización y producción, de acuerdo con una metodología adecuada.

Leonardo da Vinci y sus máquinas voladoras sentaron un precedente para el diseño de los actuales aviones. El observó, tomó notas y apuntes de todo aquello que podría ser determinante para poder volar. Para ello, se basó primordialmente en el vuelo de las aves; en el tipo y características especiales de su estructura ósea; en las cualidades y colocación de las plumas, posición y actitud del ala en los diferentes momentos del vuelo; cómo despegan y cómo se posan. Estudió también las áreas de soporte, temperatura ambiente y corrientes de aire.

*Matila C. Ghyka. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes.

7

l 1 ! ·~

1!'

41 1

-.;.

•

'

1 LAS SEMILLAS

e

olocar en el suelo húmedo una pequeña semilla y verla crecer hasta convertirse en arbusto o frondoso árbol, es verdaderamente mágico. Magia es lo que han [lecho las semillas por la humanidad. El codo de fraile se utiliza como cascabel en nzas autóctonas

Todas las grandes culturas antiguas han girado alrededor de las semillas. Gracias a éstas pudieron establecerse como pueblos sedentarios y florecer como verdaderas civilizaciones en las más variadas regiones del planeta: la cultura del arroz en Asia, del maíz en América. la del trigo en Europa y la del sorgo en Africa.

¡ • t

1~

Muchos de los o~jetos y artefactos más antiguos. rescatados en excavaciones recientes. se relacionan con la semilla, como son utensilios para cocinarla. molerla o sembrarla.

\

l

El hombre siempre ha venerado, respetado y reconocido lo que la semilla significa. La utiliza no sólo como alimento sino también como ritual y símbolo en instrumentos musicales. adornos. en la magia yen diferentes manifestaciones artísticas. Produce bebidas como el chocolate. el anís y el café; extrae el aceite o usa las fibras - algodón- para vestirse. Es tanto el uso que pareciera que la plarúa produce semillas para beneficiar sólo al hombre, pero la verdad es que lo hace exclusivamente con el fin de reproducirse. Todas las especies deben multiplicarse; las plantas lo hacen por medio de las semillas. Estas se producen al efectuarse la polinización, misma que fecunda al óvulo en el que comienza a gestarse la semilla portadora de todas las características de la especie original y única capaz de reproducirse. Para que la polinización se lleve a cabo, la naturaleza se vale de varios elementos como el viento y el agua; pero el más in te resan te son los insectos, que han llegado a un alto grado de especialización para poder satisfacer esa simbiosis entre planta y animal. El más conocido polinizador es la abeja, ya que al mismo tiempo que poliniza lleva al panal el pólen y néctar que le sirven de alimento a ella y sus crías.

La higuerilla explota para soltar y lanzar su semilla

Si bien la polinización ha logrado un asombroso grado de adaptación a una función específica, la propia semilla, cuando llega a su madurez, utiliza medios para protegerse y propagarse. 10

La semilla en sí se encuentra casi siempre dentro de un cofre que la aísla del medio ambiéntey cuenta con mecanismos propios para liberarla y esparcirla lo más lejos posible de la planta madre. Estos mecanismos son muchos y variados. cubriendo aspectos que van desde la expulsión de la semilla. pasando por su distribución y diseminación. hasta la forma en que debe hacer con tacto con la tierra.

El tulipán de la India suelta semillas que planean largas distancias antes de caer al suelo

Al abrirse el cofre muchas semillas, como el diente de león. cuentan con pequeños "paracaídas con los que el viento las impulsa lejos a muchos metros de la planta original: otras, como el fresno se valen de pequeñas alas que les permiten deslízarse a grandes distancias como si fueran verdaderos ''planeadores".

/.

¡'

Otra forma de garantizar su reproducción es elaborar gran cantidad de semillas, acomodándolas perfectamente en un mínimo espacio e irlas soltando poco a poco al secarse como en el caso del Tulipán de la India.

l ,/

El cardo prefiere anclarse al pelo de los animales que pasean cerca y así poder alejarse de la planta original.

• ¡:

Otras. como las semillas de la higuerilla, explotan lanzando la semilla a grandes distancias. Algunas más, como las del pirúl, son tragadas por los pájaros, liberándolas posteriormente con el excremento, sin dañarlas. La semilla del cocotero puede flotar meses en el mar hasta llegar a tierra firme y allí poder desarrollarse. Hay semillas como la avena silvestre que al caer a tierra "camina" hasta encontrar un sitio apropiado para enterrarse o la del geranio o pico de cigüeña, cuya semilla cuenta en un extremo con una especie de "cola" que comienza a retorcer y enrollar como tirabuzón según la temperatura y humedad del medio ambiente, hasta caer sobre la tierra para allí poder autosembrarse con la misma serie de movimientos.

¡'

~' /; 1 j

/ ' rt, \ 1.~, Geranio o pico de cigüeña con tirabuzón

/

1

Esta gran variedad de funciones hace que la semilla adquiera distintas formas externas. De allí el interés en utilizarlas como ejemplos en el presente estudio.

11

~.......

/

......

,/ 1

\

1

' ~•

/

~-~

/ /

\

/'

(

2 GEOMETRIA DESCRIPTIVA

CLASIFICACION DE LAS SUPERFICIES Superficies

Regladas

Desarrollables

Alabeadas

Poliedros Regulares

Tetraedro Cubo (exaedro) Octaedro Dodecaedro Isocaedro

Radiales cónicos

Cono Pirámide

Radiales cilíndricos

Cilindro Prisma

Tangenciales

Helicoide desarrollable (convoluta helicoidal)

De tres directrices De plano director

Hiperboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Conoide Helicoides alabeados

De cono director Curvas

Segundo grado

Esfera Elipsoide Paraboloide elíptico Hiperboloide de un manto

Revolución

Toro Escocia

Varias

Helicoides curvos Serpentines

Combinación entre todas las superficies anteriores

Para efecto del estudio, vamos a dividir en dos partes las superficies de la clasificación anterior.

Superficies no desarrollables. Como su nombre lo indica, no se pueden reproducir. Para hacerlo se realizan aproximaciones; nunca se obtiene un resultado fiel al cien por ciento en la lámina de la cual provienen.

Superficies desarrollables. Son aquellas superficies que se pueden reproducir fielmente por medio de cortes y dobleces a partir de un plano (hoja de papel, lámina o madera). 14

SUPERFICIES DESARROLLABLES

POLIEDROS REGULARES O PLATONICOS Tetraedro

Estos poliedros se generan a partir de los polígonos regulares: el triángulo es el más simple. Al unir triángulos entre sí llegamos a forma r una pirámide de base triangular: el cuarto triángulo es la base para obtener un tetraedro. Octaedro

Al formar con cuatro triángulos una pirámide, no podemos cerrar la base con un cuadrado regular ya que se anularía la primera característica de los sólidos platónicos. Todas las caras son idénticas: por lo tanto. sustituimos la base cuadrada por otra pirámide invertida, para obtener un octaedro. Icosaedro

Con cinco triángulos equiláteros formamos una pirámide de base pentagonal. Pero ahora no podremos colocarle una pirámide pentagonal invertida, ya que obtendríamos vértices pentagonales y otros cuadrangulares. Romperíamos la segunda regla de los sólidos platónicos. Todos los vertices son idénticos. Separamos las pirámides y colocamos entre ellas una faja de 10 triángulos equiláteros y el resultado final es un icosaedro. Con seis triángulos equilá teros formamos un exágono que es, a su vez, un polígono. pero con el cual no podemos armar un poliedro regular. Cubo El siguiente polígono. después del triángulo, es el cuadrado. Al unir seis de ellos formamos un exaedro o cubo. Dodecaedro

El último polígono con el cual podemos generar un poliedro regular es el pentágono. Al unir doce de estos polígonos obtenemos al dodecaedro. Gran cantidad de formas naturales basan sus estructuras en estos poliedros regulares. Uno de los ejemplos preferidos son los granos de polen.

15

RADIALES CONICOS Desarrollo Cono

En la montea del cono trazamos la espiral de Arquímedes. Dividimos la base en 12 partes iguales y también la generatriz 1-V, por donde trazamos círculos concéntricos. v'

Con la verdadera magnitud de la generatriz del cono (VM) trazamos un círculo, intersectándolo 24 veces con la medida 1-2 del círculo que es la base del cono. La VM dividida en 12 es el radio de nuestro desarrollo. Por cada división trazamos círculos concéntricos ( 12). Donde intersecten con su correspondiente generatriz obtenemos un punto para el paso y el trazo de las dos espirales, límite de nuestro desarrollo. Pirámide oblicua de la base pentagonal v'

Montea La pirámide recta es una variante del cono

recto por lo que escogimos esta oblicua para ejemplificar este tipo de desarrollo. Básicamente es un desarrollo por triangulación, igual que en el caso anterior. Aquí basta con tener las verdaderas magnitudes de las aristas de cada uno de los triángulos, para sumarlos en el orden dado en la montea, a la hora de trazar el desarrollo.

Las verdaderas magnitudes

se obtuvieron por el método de giros.

\

Desarrollo pirámide

Al comenzar a trazar el desarrollo, escogemos la generatriz más larga. en este caso la V-4.·Esto se hace para controlar la dirección y el sen ti do que debe tomar el desarrollo. Vamos trazando triángulos hasta terminar con la generatriz V-1 en ambos extremos del desarrollo. Las generatrices se marcaron con unas curvas suaves para que al armar el desarrollo den un efecto especial requerido.

Al obtener el desarrollo de la pirámide oblícua, mencionamos que las verdaderas magnitudes las obtuvimos por el método de giros. Este método consiste en colocar una recta 4-V paralela a la línea de tierra, o sea perpendicular a las líneas de proyección de la montea, por medio del giro de uno de los puntos.

Giro

~

En este caso el punto 4 pasa girado a ser (4). Los puntos V y V permanecen en su lugar de origen. En el plano vertical el punto 4' se desplaza horizontalmente hasta la referencia vertical de (4) obteniendo (4'). Su unión con V nos da la verdadera magnitud \11\11 buscada.

V

(4')

""

1(~)

1

1

Obsérvese al cono, de allí surge este método. El punto fijo es el vértice. El móvil: un punto en la base.

17

RADIALES CILINDRICOS Cilindro recto (por espiral) . 1'

! . . '",

"

....

· 3 - 4

1

5

1

. 6

7 8

.'3

Desarrollo por espiral

'1 v·'Í'

V

~

/

'

/

/

-

--

/

'

V

_/ me:iida 'Z ''

s iguie.nie

/

10

fá3 . ~

.7 1

/

1

- 11 '

..........-1 ~1· 1 L

' '

' ' ' 1 o

¡~~

/1 1 1 :\ 1 ~\

/

IY~ '~~

~

1-----

z

1

1

V/

/

"""- 7

'"

~~..,

/1_/

~----..::~

1\----

/

/

A"'~ ~-v

/

'\

/1/

1

'..::

\\

1

--

,t_

-

~-~~ ~h--~-~ ·" / t0.

h' \ ~

-

+-

--

-

~~ ...............______............... ~"'-.. '":--..~ -----

-

1

........

-..;

-

-

~

-

/

~~ \___L----/ ----~n

i t ~ ---r------~ '---------

-;::__.-

~~ ----l---

czr

:L

~r::--" 1"--------. ~----/

t~~~/

\ //V 1 ~

,---......_

-

V~~1\-

1\

~ Á.

o

¡ ·-

t,.t~~

rT).-,.·

1S

~~

•

8

~

,8

1>

Primer acercamiento formal

Al realizar los primeros esquemas notamos inmediatamente las semejanzas, si es que existen, entre semillas aparentemente muy diferentes. En estapáginaylasiguiente tenemos un ejemplo de esta naturaleza. La primera abstracción en ambos casos resultó idéntica. Geometría para ambos casos

A la derecha un ejemplo de lo que podría ser la montea promedio para los tres casos mostrados. Dividimos la planta en la montea en 12 partes y la vista frontal en cortes horizontales cada centímetro. Al dividir así notamos que únicamente vamos a requerir del desarrollo de dos gajos diferentes. Los cortes en la planta dan lugar a tres perfiles diferentes, mismos que utilizaremos para obtener el desarrollo.

50

• J.1

Desarrollos

Cómo obtener el desarrollo Para obtener el desarrollo vamos a combinar el sistema de gajos y el de triangulación. V

V

Los gajos los utilizamos para obtener los cortes horizontales y los perfiles en el trazo de la montea. De allí vamos a obtener todas las verdaderas mangitudes, excepto las diagonales de los trapecios. Estas tenemos que obtenerlas por el método de giros. Una vez obtenidas todas las dimensiones, procedemos a triangular. como en casos anteriores. Al invertir los dos desarrollos así obtenidos, tendremos ya la tercera parte del volumen completo que buscamos.

o

o

z

•

2

51

.

cotas c:n cms ..se i 1

SEMILLA CODO DE FRAILE

1 ; li

;

1

,1

1 \' . • 1 1 \ ''••' - /

J

_Li.:~ .

Primer acercamiento formal En esta semilla notamos inmediátamente la forma esférica que se une a otra forma geométrica: una conoide.

-r~

r--- ~;

1C

11

Geometrización La abstracción de la presente semilla la reducimos a la utilización de dos formas básicas: la esfera y la conoide (página 24 y 28).

La planta en la montea la dividimos por medio de dos ejes: uno vertical y el horizontal para obtener cuatro cuadrantes idénticos pero opuestos entre sí. El cuarto de círculo de uno de los cuadrantes lo dividimos en seis partes iguales . obteniendo los gajos para la media esfera. Por estos puntos trazamos rectas horizontales para dividir al eje a-h. para obtener los puntos b, c,d,e, f.gsobre el eje y los puntos 1, 2. 34, 5. 6, 7, sobre la base de la conoide y unión con la media esfera. Las verdaderas magnitudes para la conoide las obtuvimos en la vista frontal de la montea a excepción del círculo con los números y las medidas entre las letras del eje, que obtenemos en la vista horizontal.

52

Desarrollo

El desarrollo de la conoide la obtenemos por el método ángulo recto entre dos rectas s~ mantiene si una de ellas se encuentra en la montea en verdadera magnitud. En el dibujo del desarrollo se indican los ángulos rectos: 'i Comenzamos trazando la recta B-1 en verdadera mgnitud. El ángulo recto en el punto By la medida B-C. De allí construimos el primer trapecio obteniendo el punto 2 con la intersección de las rectas C-2 y 1-2. Continuamos así hasta terminar el trazo de la conoide con la recta H-7. Sobre las rectas que van del1 al 7 construimos los seis gajos del octavo de esfera. Dos piezas idénticas y otras dos invertidas completan el desarrollo total de esta semilla. El gajo que parte de la recta 6-7, lo trazamos aparte del desarrollo completo. ya que el ángulo que obtenemos hubiera obligado a que los dos últimos gajos se traslaparan.

Desarrollo (trazo)

E

o

e

1..'

ll

Ll

8

i

V

y

53

EJERCICIOS ~

A conti nuación presenta mos dos ej emplos con los que puedes comenzar a practicar.. Achiote (normal) \

.6

J j

1

i .

-

/

'('

~r ;.. {;1

~;

/ '/'

. .,

i 1

, d.

•. b

1

...

t

1

/,

-· •

!

.

.··~

;

·--

"' -7

..

i b

i 6

"' -7

1. ¡,

... .7

Achiote (aberración)

4

1 !

'¡ /

:v

4

~·

t cala~ en

e.sc J 1

tFn".>

2

54

-

2

BIBLIOGRAFIA Doczi Gyorgy. The powerojlimits proportional harmonies in na tu re. Art and arquitecture, Ed. Shambhala publications. Inc .. Boston & London. 1985. Ghyka. MaUla C .. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Tercera edición. Ed . Poseidón. España. 1983. The geometry o.f art and l!fe. Ed. Dover

publications. Inc .. New York. 1977. El número de oro. I los ritmos. Segunda

edición, Ed. Poseidón. España. 1984. Rowe. Charles y McFarland. James. Geometría descriptiva. Sexta edición. Compañía Editorial ContinentaL México. 1976. Torre Garbo, Miguel de la, Geometría descrip tiva, Segunda edición. Ed. U NAM. México, 1975.

Wentworth Thompson. D'arcy. On growth and form, Quinta edición. Ed. The university press. Cambridge. 1971.

55

..

GEOMETRIA DE LA FORMA Se terminó de imprimir en e l mes de Febrero de 1992 en los talleres de servicio de Asesoría Gráfica calle de Andorra no. 1 tel. 5 32 40 70 y el tiraje fue de 1500 ejemplares.