LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

1. Relación entre la distribución de Rayleigh y la distribución Normal Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribución normal de media cero y misma distribución tipo σ, entonces la variable aleatoria:

Z = X 2 +Y

2

sigue una distribución de Rayleigh con función de densidad: z2

z − 2 f (z ) = 2 e 2 σ σ

para z ≥ 0 .

En general si X N(µX,σ X) y Y N(µY,σ Y), y si X e Y son independientes, entonces la variable bidimensional (X,Y) sigue la distribución normal bivariada con función de densidad:

f (x , y ) =

1 e 2 πσ X σY

2 2 1   x − µ X   y − µY    +  −     2   σ X   σY    

para − ∞ < x < ∞ y − ∞ < y < ∞

En particular, si µX =µ X =0 y σX =σ X =σ , entonces:

[x − 1 2σ 2 e f (x , y ) = 2 πσ 2 1

Haciendo el cambio:

2

+y 2

]

x = r ⋅ cos φ = G1 (r ,φ ) y = r ⋅ senφ = G 2 (r ,φ )

convertimos las coordenadas cartesianas en coordenadas polares. Las nuevas variables aleatorias quedan expresadas en función de X e Y como sigue:

r = x2 +y2 y φ = arctg x Podemos obtener la función de densidad conjunta de las nuevas variables aleatorias mediante(1):

g (r ,φ ) = f [G1 (r , φ ),G 2 (r , φ )] ⋅ J (r ,φ )

siendo: r 1 [(r ⋅cos φ )2 +(r ⋅senφ )2 ] 1 − − 1 2 2 σ 2 2 f [G1 (r ,φ ),G 2 (r ,φ )] = e = e σ 2 2 2 πσ 2 πσ 2

1)

Véase el anexo 1

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TEP 03 A3 v2 (31.1.03)

Hoja 1 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

∂x ∂r J (r ,φ ) = ∂y ∂r

∂x cos φ ∂φ = ∂y senφ ∂φ

(

)

− r ⋅ senφ = r ⋅ cos 2 φ − − r ⋅ sen 2 φ = r r ⋅ cos φ

Por consiguiente: r2

r2

− − 1 r 2σ 2 ⋅ r = 2σ2 g (r ,φ ) = e e 2 2 2 πσ 2 πσ

en el dominio 0 ≤ r ≤ ∞ , esto es r ≥ 0 , y 0 ≤ φ ≤ 2π . La función de densidad marginal de la variable aleatoria R resulta de resolver la integral: ∞

h (r ) =

∫ g (r ,φ )dφ

−∞

que, teniendo en cuenta el valor de g ( r ,φ ) y su campo de definición, se transforma en: 2π

h (r ) =

∫

0

r2

r2

r2

− − − r r 2 σ 2 dφ = 2 σ 2 [φ ]2 π = r e 2 σ 2 e e 0 2 πσ 2 2 πσ 2 σ2

para valores r ≥ 0 . Para r < 0 , h(r ) = 0 . Esta es la función de densidad de la distribución de Rayleigh.

(2) En definitiva , si X e Y son variables aleatorias independientes con distribución normal de media cero y misma distribución tipo σ, entonces la variable aleatoria:

2)

Problema nº 9.7 propuesto sin resolución en Meyer (1973) p.213.

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Hoja 2 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

Z = X 2 +Y

2

sigue una distribución de Rayleigh con función de densidad: z2

z − 2 f (z ) = 2 e 2 σ σ

para z ≥ 0 .

En particular, si σ= 1, entonces se obtiene la distribución de Rayleigh estándar(3):

f (z ) = ze

−

z2 2

para z ≥ 0 .

Como resultado de la raíz cuadrada de los cuadrados de dos variables aleatorias independientes con distribución N(0,1)(4).

2. Función de distribución de Rayleigh Si la variable aleatoria X sigue una distribución Rayleigh con función de densidad: x2

x − 2 f (x ) = 2 e 2 σ σ

para x ≥ 0

su función de distribución es:

F ( x ) =1 − e

−

x2 2σ 2

para x ≥ 0

La función de distribución se calcula integrando la función de densidad: x

∫

F (x ) = f (x )dx ∞

Como f ( x) = 0 para x < 0 : x

x2

x −2 σ 2 F (x ) = e dx σ2

∫ 0

Haciendo el cambio de variable:

−

x2 =t 2σ 2

x = − 2σ 2t r dt = − 2 dx σ llegamos a:

3) 4)

La calificación de estándar no está generalizada; resulta de hacer un paralelismo con la distribución normal estándar N(0,1). Meyer (1973) p.228

______________________________________________________________________________________________________ ___ TEP 03 A3 v2

Hoja 3 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

− 2 σ 2t

F (x ) =

o

∫e (−dt ) = ∫ e dt =[e ] t

0

t

t 0

− 2 σ 2t

− 2 σ 2t

 − x2 2 = e 2 σ  

0

x2  −  =1 − e 2 σ 2  x

En resumen:

F (x ) =1 − e

−

x2 2σ2

es la expresión de la función de distribución de Rayleigh, que en el caso de la distribución Rayleigh estándar ( σ = 1) se reduce a:

F (x ) =1 − e

−

x2 2

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Hoja 4 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

Distribución de Rayleigh (de parámetro σ=1) x

f(x)

F(x)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7

0 0,19603973 0,36924654 0,50116213 0,58091923 0,60653066 0,58410271 0,52543554 0,44485968 0,35621766 0,27067057 0,19562756 0,13472343 0,08852338 0,05555507 0,03332699 0,01912327 0,01050163 0,00552172 0,00278085 0,00134185 0,00062054 0,00027509 0,00011693 0,00004766 0,00001863 0,00000699 0,00000251 0,00000087 0,00000029 0,00000009 0,00000003 0,00000001 0,00000000 0,00000000 0,00000000

0,00000000% 1,98013267% 7,68836536% 16,47297886% 27,38509629% 39,34693403% 51,32477440% 62,46889011% 72,19626995% 80,21013009% 86,46647168% 91,10783825% 94,38652372% 96,59525453% 98,01589053% 98,88910035% 99,40239771% 99,69112846% 99,84661893% 99,92681976% 99,96645374% 99,98522516% 99,99374785% 99,99745807% 99,99900705% 99,99962733% 99,99986562% 99,99995344% 99,99998450% 99,99999504% 99,99999848% 99,99999955% 99,99999987% 99,99999997% 99,99999999% 100,00000000%

3. Esperanza matemática y varianza de la distribución Rayleigh Si la variable aleatoria X sigue una distribución Rayleigh con función de densidad: x2

x − 2 f (x ) = 2 e 2 σ σ

para x ≥ 0

su esperanza matemática es:

 π  σ  2  

E (X ) =  y su varianza:

V (X ) =

4 −π σ 2

La esperanza matemática es por definición:

______________________________________________________________________________________________________ ___ TEP 03 A3 v2

Hoja 5 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

∞

∫ x ⋅ f (x )dx

E (X ) =

−∞

Como f ( x) = 0 para x < 0 : ∞

∞

x2

x2

x −2 σ 2 x 2 −2 σ 2 E (X ) = x 2 e dx = e dx σ σ2

∫

∫

0

0

Haciendo el cambio de variable:

x2 =t 2σ 2 x = 2σ 2t dx =

2σ 2 2 2σ 2t

dt =

σ dt 2t

y aplicándolo: ∞

∞

∞

2 σ 2 t −t σ E (X ) = e dt = 2 t ⋅ σ ⋅ e −t dt = 2 ⋅ σ t ⋅ e −t dt 2 σ 2t 0 0 0

∫

∫

∫

Recordando que la función gamma completa o integral euleriana de segunda especie tiene la forma(5): ∞

∫

Γ(n ) = x n −1 e −x dx 0

concluimos que: ∞

∫

∞ 1

−t

∞ 3

∫

−t

∫

t ⋅ e dt = t 2 ⋅ e dt = t 2

3 2

⋅ e −t dt =Γ( )

0

0

0

−1

con lo cual: ∞

E (X ) = 2 ⋅ σ

∫ 0

3 t ⋅ e −t dt = 2 ⋅ Γ( ) ⋅ σ 2

Teniendo en cuenta la propiedad de la función gamma(6):

Γ(n + 1) = n ⋅ Γ(n) (7)

y que :

1 2

Γ( ) = π entonces:

5) 6) 7)

Puig Adam (1973) pp.120-121 Spiegel (1988) p.342 Spiegel (1988) p.342

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Hoja 6 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

1 π 1 1 +1 ) = ⋅ Γ( ) = 2 2 2 2

3 2

Γ( ) = Γ( Por consiguiente:

π π ⋅σ = ⋅ σ =1 ,2533 ⋅ σ 2 2

E (X ) = 2 ⋅

Para determinar la varianza de la distribución Rayleigh, usaremos la conocida relación:

V (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 en donde: ∞

E (X ) = 2

∫x

2

⋅ f (x )dx

−∞

Como f ( x) = 0 para x < 0 : ∞

∞

x2

x2

x −2 σ 2 x 3 −2 σ 2 E (X ) = x e dx = e dx σ2 σ2

∫

2

∫

2

0

0

Con el mismo cambio de variable que antes:

x2 =t 2σ 2 x = 2σ 2t dx =

2σ 2 2 2σ 2t

dt =

σ dt 2t

Aplicándolo: ∞

E (X ) = 2

∫ 0

(2 σ t )

3 2

2

σ2

∞

e

∞

σ dt = 2 σ 2 ⋅ t ⋅ e −t dt =2 σ 2 t ⋅ e −t dt 2t 0 0

∫

−t

∫

También esta vez resolvemos la integral acudiendo a la función gamma completa: ∞

∫t ⋅e

∞

−t

dt = t (2 −1 ) ⋅ e −t dt = Γ(2 )

∫

0

0

valor que puede calcularse por la propiedad reproductiva de la función gamma ya expuesta:

Γ(2 ) = Γ(1 +1 ) =1 ⋅ Γ(1 ) =1 En resumen: ∞

E (X ) = 2 σ 2

2

∫

t ⋅ e −t dt = 2 σ 2 ⋅ Γ(2 ) = 2 σ 2

0

Por consiguiente:

V (X ) = E (X ) − [E (X )] = 2 σ 2

2

2

2

 π  4 −π 2 −  ⋅ σ  = σ 2 2  

______________________________________________________________________________________________________ ___ TEP 03 A3 v2

Hoja 7 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

En definitiva:

V (X ) =

4 −π 2 σ = 0 ,4292 ⋅ σ 2 2

4. Moda, Mediana y Cuartiles de la distribución Rayleigh Si la variable aleatoria X sigue una distribución Rayleigh con función de densidad: x2

x − 2 f (x ) = 2 e 2 σ σ entonces:

para x ≥ 0

Moda = Mo = σ

Mediana = Me = Ln 4 ⋅ σ =1 1774 , ⋅σ F [E (X )] = q E ( X ) =1 − e F (Mo ) = q Mo =1 − e

−

−

1 2

π 4

= 0 ,544062 = 54 ,4062%

= 0 ,393469 = 39 ,3469%

1 er cuartil = Q1 = Ln

16 ⋅ σ = 0 ,7585 ⋅ σ 9

3 er cuartil = Q3 = Ln16 ⋅ σ =1 ,6651 ⋅ σ La moda es el valor para el que la función de densidad es máxima, por lo que podemos obtenerla imponiendo la condición de máximo:



x2

d  x −2 σ 2 d f (x ) = e dx  σ 2 dx 

   =0  

Derivando:

 1  2 σ

 x2  − 2 σ 2 e  

   x  + σ 2   

 x2  − 2 σ 2  2 x e −   2σ 2 

x2

x2

   =0  

operando :

1 −2 σ 2 x 2 −2 σ 2 e − 4e =0 σ2 σ x2

1 −2 σ 2 e σ2

 x2 1 −  σ2 

  =0  

de donde:

x2 1 − 2 =0 σ ______________________________________________________________________________________________________ ___

Hoja 8 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

y, finalmente:

x =σ

En definitiva:

Moda = Mo = σ El valor de la función de distribución para la moda se deduce de la propia función de distribución:

F (x ) =1 − e

entrando con x = Mo = σ

q Mo = F (Mo ) = F (σ ) =1 − e

−

σ2 2σ 2

−

x2 2σ 2

=1 − e

−

1 2

= 0 ,393469 = 39 ,3469 %

Luego:

q Mo = F (Mo ) =1 − e

−

1 2

= 0 ,393469 = 39 ,3469 %

De forma equivalente se calcula el valor de la función de distribución para la media, que ya hemos visto que era:

E (X ) =

q E (X )

π = F [E (X )] = F ( ⋅ σ ) =1 − e 2

 π     2 ⋅σ   −

π ⋅σ 2

2

2σ2

=1

π 2 σ −2 2 −e 2σ

=1 − e

−

π 4

= 0 ,544062 = 54 ,4062%

Resumiendo:

q E ( X ) = F [E (X )] =1 − e

−

π 4

= 0 ,544062 = 54 ,4062 %

La mediana es por definición el valor de la variable que corresponde a una probabilidad del 50%:

F (Me ) = 0 ,5

por lo que resultará de resolver la ecuación:

0 ,5 =1 − e

−

x2 2σ2

esto es:

e

−

x2 2σ2

= 0 ,5

Aplicando logaritmos:

−

x2 1 Lne = Ln0 ,5 = Ln 2 2 2σ

Operando:

1 x2 1  = −Ln = Ln   2 2 2σ 2 

−1

= Ln 2

x 2 = 2 σ 2 Ln 2 = σ 2 Ln 2 2 = σ 2 Ln 4 ______________________________________________________________________________________________________ ___ TEP 03 A3 v2

Hoja 9 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

x = σ 2 Ln 4 = σ Ln 4 En definitiva:

Mediana = Me = Ln 4 ⋅σ =1 1774 , ⋅σ Análogamente, se calcula el primer cuartil, que por definición es aquél valor x de la variable aleatoria X para el que la función de distribución es del 25%:

F (Q1 ) = 0 ,25 Entonces:

0 ,25 =1 − e e

−

x2 2σ 2

−

x2 2σ 2

= 0 ,75

3 x2 − = Ln0 ,75 = Ln 2 4 2σ x2 3  Ln =   2σ 2 4 

−1

4  = Ln   3  2

4  4  16  x 2 = 2 σ 2 Ln   = σ 2 Ln   = σ 2 Ln   3  3  9 

16  x = σ Ln   9  En definitiva:

Q1 = Ln

16 ⋅ σ = 0 ,7585 ⋅ σ 9

En el caso del tercer cuartil:

F (Q 3 ) = 0 ,75 0 ,75 =1 − e e

−

x2 2σ 2

−

x2 2σ 2

= 0 ,25

1 x2 − = Ln0 ,25 = Ln 2 4 2σ x2 1  Ln =   2σ 2 4 

−1

= Ln 4

x 2 = 2 σ 2 Ln 4 = σ 2 Ln 4 2 = σ 2 Ln16 x = σ Ln16 En definitiva:

______________________________________________________________________________________________________ ___

Hoja 10 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

Q3 = Ln16 ⋅ σ =1 ,6651 ⋅ σ 5. Estimador máximo-verosímil del parámetro de la distribución Rayleigh

Si la variable aleatoria X sigue una distribución Rayleigh con función de densidad: x2

x − 2 f (x ) = 2 e 2 σ σ

para x ≥ 0

y se toma una muestra aleatoria x1 , x2 ,..., xn de tamaño n, entonces

n 2  ∑xi  σˆ =  i =1 

2n

es el estimador máximo-verosímil del parámetro σ de la distribución(8). Para una muestra aleatoria de tamaño n la función de verosimilitud es:

L(x1 , x 2 ,..., x n ;σ ) = f (x1 ) ⋅ f (x 2 ) ⋅ ... ⋅ f (x n ) = x1 2

xn2

x2 2

− − − x x x 2 2 2 = 12 e 2 σ ⋅ 22 e 2 σ ⋅ ... ⋅ n2 e 2 σ = σ σ σ

n

∏ i =1

xi 2  − x  i 2σ 2  2e σ 

n

1  − ∑ x 2j 1  2 σ 2 j =1  = 2n e  σ 

n

∏ (x

)

i

i =1

El estimador máximo-verosímil de σ será el que maximice la función de verosimilitud, o bien su logaritmo: 1 n 2 n   − ∑x j 1 2 σ 2 j =1  (x i ) = Ln [L(x1 , x 2 ,..., x n ;σ )] = Ln  2 n e σ i =1   n  − 1 ∑ x 2j   n  2 n   1   2 σ j =1 Ln = Ln  2 n  + Ln e + (x i ) = −2 nLnσ +  − 1 2 ∑ x j2  +   σ   2 σ j =1   i =1     

∏

∏

n

∑ Ln (x ) i

i =1

Derivando respecto al parámetro desconocido σ :

d [Ln [L(x1 , x 2 ,..., x n ;σ )]] 1 n = −2 n −  ∑ x 2j σ  j =1 dσ

 − 4 σ  2  2 σ 2

(

)

 n  = − 2 n +  ∑ x 2j   σ  j =1 

 1  3 σ

Imponiendo la condición de máximo:

d [Ln [L(x1 , x 2 ,..., x n ;σ )]] =0 dσ

es decir,

8)

López (1994) problema nº 2.47 resuelto en pp.101-102

______________________________________________________________________________________________________ ___ TEP 03 A3 v2

Hoja 11 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

−

2n  n 2  1 + ∑x j  =0 σˆ  j =1  σˆ 3

operando:

 n 2  ∑ x j  j =1

 1  2 = 2 n  σˆ

 n 2  ∑ x j j =1 =

  

 n 2  ∑ x j j =1 σˆ = 

  

σˆ 2

2n

En definitiva:

2n

es el estimador máximo-verosímil del parámetro de la distribución Rayleigh.

6. Relación entre la distribución Rayleigh y la distribución Weibull

(9)

Considerando la distribución Weibull de parámetros A, B y C con función de densidad:

C f (x ) = B

C

C −1

x −A    B 

e

 x −A  −   B 

para x ≥ 0

La distribución Rayleigh coincide con la distribución de Weibull de parámetros:

A =0

B = 2 ⋅σ C =2 Partiendo de la función de densidad de Weibull: C

C −1

C x −A f (x ) =   B B 

e

 x −A  −   B 

En el caso particular de que los parámetros fueran:

A =0

B = 2 ⋅σ C =2 nos queda:

2 f (x ) = 2 ⋅σ

 x −0   2 ⋅σ

  

2 −1

e

 x −0 −  2 ⋅σ

  

2

x2

x − 2 = 2 e 2σ σ

que efectivamente es la función de densidad de Rayleigh. 9)

McLaughlin (1999) pp. 119-120

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Hoja 12 de 14

TEP 03 A3 v2

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

7

Relación entre la distribución Rayleigh y la distribución chi (χ)

(10)

Considerando la distribución Chi (χ) de parámetros A, B y C con función de densidad: C −1

x −A   B   f (x ) = C

22

−1

e

1  x −A  −   2 B 

2

para x ≥ 0

C  B ⋅ Γ  2 

La distribución Rayleigh coincide con la distribución Chi de parámetros:

A =0 B =σ C =2 Partiendo de la función de densidad Chi: C −1

x −A   B   f (x ) = C

e

−1

1  x −A  −   2 B 

2

C   2 

2 2 B ⋅ Γ En el caso particular de que los parámetros fueran:

A =0 B =σ C =2 entonces:

f (x ) =

 x −0     σ 

2

2 −1

2 −1 2 σ

e

1  x −0  −   2 σ 

2  ⋅ Γ  2 

2

=

x e σ2

−

x2 2σ 2

que es la función de densidad de Rayleigh.

10)

McLaughlin (1999) pp. 21-22

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Hoja 13 de 14

LA DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH ______________________________________________________________________________________________________ ___

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Anexo 1

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Funciones de variables aleatorias bidimensionales

(11)

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad conjunta f(x,y). Definimos las variables aleatorias Z y W como una función de las variables aleatorias X e Y:

Z = H1 (X ,Y ) W = H 2 (X ,Y ) en donde las funciones H1 y H2 satisfacen las siguientes condiciones: • las ecuaciones:

z = H1 (x , y ) w = H 2 (x , y ) se resuelven para x y para y sólo en función de z y de w:

x = G1 (x , y ) y = G 2 (x , y ) • las derivadas parciales:

∂x ∂x ∂y ∂y , , , ∂z ∂w ∂z ∂w existen y son continuas. Designartemos como k(z,w) la función de densidad conjunta de la variable aleatoria bidimensional (Z,W). Se demuestra que

k (z ,w ) = f (G1 (z , x ),G 2 (z ,w ))J (z ,w ) en donde

∂x ∂(x , y ) ∂z = J (z ,w ) = ∂(z ,w ) ∂y ∂z es el Jacobiano de la transformación (x,y)

∂x ∂w ∂y ∂w

(z,w).

k(z,w)≠0 para los valores de (z,w) que corresponden a valores de (x,y) para los cuales f(x,y) ≠0.

11)

Meyer (1973) pág.109

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