La derivada de la función exponencial del límite «e»
Descripción
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL LÍMITE «e» de Alfredo Salvador C. García Ciudad de México
Gödel
Se establece la definición formal de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo), 16 de Julio de 2014] como:
f x h −f x f x x = lím h h→0 Así, la derivada es una operación que se vale de la herramienta principal del Análisis, es decir, el límite, con tal de obtener una función
f x x a partir de la función f x .
Dicho concepto permite presentar el siguiente: · Teorema 1. La derivada de la función
f x =k · x
este último solamente número natural) es
(donde son valores constantes
f x x =k · · x
k
y
,
−1
Demostración. 1.
f x =k · x , es la función por derivar.
2.
f x h =k · xh
3.
f x h =k · ∑ · x−i · hi , de acuerdo al binomio de Newton [El binomio de Newton, 18 i =0 i
, evaluando la función para el valor
x h .
de Junio de 2012].
∑
4.
f x h =k · x k · ∑ · x −i · hi , separando de la serie el sumando i=0 . i=1 i
5.
f x h =f x k ·
i =1
· x −i · h i , porque el sumando separado es idéntico a la función i
por derivar.
∑
6.
f xh −f x =k · ∑ · x −i · h i , efectuando la diferencia f xh −f x . i =1 i
7.
f xh −f x · x −i · hi−1 , efectuando el producto con el factor =k · h i=1 i
1
1 . h
f xh −f x −1 =k · · x k · ∑ · x −i · h i−1 , separando de la serie el sumando h i =2 i i=1 .
8.
[
lím f xh −f x = lím k · · x −1 k · · x −i · h i−1 ∑ h h →0 h →0 i =2 i
9.
]
, representando el cálculo
del límite. f xh −f x lím −1 lím lím = k · · x k · ∑ · x −i · hi−1 , porque el límite de la 10. h h →0 h →0 h→0 i=2 i
suma es igual a la suma de los límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]. Subsecuentes teoremas de límites podrán hallarse en aquel texto o en el citado al principio. lím f xh −f x =k · · x −1 k · · x −i · lím h ∑ h h →0 h→0 i =2 i
11.
i −1
, porque el límite de una
constante es igual a la constante (primer sumando); porque el límite del producto es el producto de los límites (serie); porque el límite de la potencia es igual a la potencia del límite
hi −1 ). lím f xh −f x =k · · x −1 , porque lím h=0 . 12. h →0 h h →0 (
13.
f x x =k · · x −1 , de acuerdo a la definición de la derivada. ·
Asimismo, se demuestra la validez del · Teorema 2. La derivada de una serie de funciones equivale a la serie de derivadas de las funciones. Demostración. m
1.
f x =∑ f i x , que es la serie de funciones. i= j
m
2.
f x h =∑ f i xh , evaluando la serie con
xh .
i= j
m
3.
i= j m
4.
m
f x h −f x =∑ f i x h −∑ f i x , efectuando la diferencia f xh −f x . i= j
f x h −f x =∑ [ f i xh −f i x ] , efectuando la suma de las series. i= j m
5.
f x h −f i x f xh −f x , efectuando el producto con el factor =∑ i h h i= j
2
1 . h
6. 7.
m f i xh −f i x lím f xh −f x = lím , representando el cálculo del límite. ∑ h h h →0 h →0 i= j m lím f xh −f x = lím f i xh −f i x , porque el límite de la suma es igual a la ∑ h h h →0 i= j h →0
suma de los límites. m
8.
f x x =∑ f ix x , de acuerdo a la definición de la derivada. i= j
Y se obtiene formalmente el Teorema 2. · Ahora se reconocerá el Teorema 3. Se cumple la siguiente igualdad
[
]
[
lím lím f x , y = lím lím f x , y x →a y → b y →b x →a
]
Demostración.
[ [
] ]
[ [ [
] ] ]
1.
lím lím f x , y = lím f x , y − [ y y ] , de acuerdo al cálculo de límites. x →a y → b x →a
2.
lím lím f x , y =f x , y − − x y y x , por el mismo argumento. x →a y → b Aparte,
3.
lím lím f x , y = lím f x , y − [ x x] , y y →b x →a y →b
4.
lím lím f x , y =f x , y − − x y x y , o bien y →b x →a
5.
lím lím f x , y =f x , y − − x y y x . y →b x →a Entonces, según 2. y 5. 6.
[
]
[
lím lím f x , y = lím lím f x , y x →a y → b y →b x →a ·
De forma semejante al Teorema 2 se formula el
3
]
, se cumple.
Teorema 4. La derivada de una serie limitada es igual a la serie limitada de las derivadas. Demostración. m
lím ∑ f i x , que es una serie limitada. m → R i= j
1.
f x =
2.
f x h −f x =
m
m
lím f i xh − lím ∑ f i x , ∑ m → R i= j m→ R i=j
efectuando
la
diferencia
señalada. m
lím ∑ [ f i xh −f i x ] , efectuando la suma de las series. m → R i= j
3.
f x h −f x =
4.
m f xh −f x 1 = · lím ∑ [ f i xh −f i x ] , efectuando el producto con h h m → R i= j
Como
lím 1 = 1 m→ R h h
1 . h
(el límite de una constante es la constante misma), queda
5.
m f xh −f x 1 = lím · lím ∑ [ f i xh −f i x ] . h m →R h m →R i = j
6.
f x h −f i x f xh −f x , porque el producto de límites es igual al = lím ∑ i h h m →R i= j
m
límite del producto (por el producto de límites observado); porque se efectúa el producto de
1 . h m f i xh −f i x lím f xh −f x = lím lím ∑ h h h →0 h →0 m → R i= j
cada sumando en la serie con el factor 7.
[
límite.
[
] ]
, representando el cálculo del
8.
m f i xh −f i x lím f xh −f x = lím lím ∑ h h h →0 m → R h →0 i= j
9.
lím f xh −f x = lím lím f i xh −f i x , porque el límite de la suma es ∑ h h h →0 m → R i= j h →0
, por el Teorema 3.
m
igual a la suma de los límites. m
10.
f x x =
lím ∑ f i x x , de acuerdo con la definición de la derivada, m → R i= j
demostrándose el teorema en cuestión. ·
4
Finalmente, se deducirá la derivada de la función exponencial del límite «e», partiendo de la serie correspondiente a la misma [La función exponencial del límite «e», 30 de Julio de 2013]: x
f x =e , que es la función a derivar. lím n x i lím n x i f x = =1 2. 1 ∑ 1 ∑ , válida según se demuestra en el texto citado. Es →0 i =0 i ! →0 i=1 i ! n n necesario que no está definida. Nótese la x≠0 , porque la potencia 00 1.
implementación de los teoremas de límites correspondientes.
lím n i f x =1 1 f i x representa la expresión en 2. siendo f i x = x . 3. ∑ →0 i=1 i! n 1 f i x x = · i · x i −1 , es la derivada de cada término en la serie, según el Teorema 1, luego 4. i! 1 f i x x = · i · x i−1 , donde se distingue i del factorial y i · i−1 ! x i −1 f i x x = se expresa en consecuencia. i−1 ! lím n f x x = 1 ∑ f x , retomando la función en 3., es el cálculo de la derivada. Cabe 5. → 0 i =1 ix n decirse que la derivada de x =1 es x x =0 según el Teorema 1, siendo =0 . Asimismo, la derivada de la serie se obtiene de acuerdo al Teorema 4.
lím n x i −1 f x = 6. 1 ∑ , de acuerdo a la expresión en 4. x → 0 i =1 i−1 ! n lím n−1 i x f x x = 1 7. ∑ , como otra forma de simbolizar la expresión en 6. →0 i =0 i! n lím x n =0 [demostrado en La función exponencial del límite «e» para declarar 8. Porque 1 →0 n! n que esa función representada como serie es convergente], es posible indicar que
lím n−1 x i lím x n f x x = 1 1 ∑ . Luego, como la suma de límites es igual al límite de la →0 i =0 i! →0 n ! n n lím suma, se tiene f x x = 1 →0 n
[∑
n−1 i=0
xi x n i! n !
]
9. Finalmente, 5
.
lím n i x f x x = 1 ∑ , que es igual a →0 i =0 i ! n f x x =ex , cuando
x≠0 (por el momento).
· Cuando x =0 , el mismo resultado es válido, aunque la demostración requiere de otros argumentos: 1. 2. 3.
4.
f 0h =e0h =eh , evaluando con x=0h . h 0 h f 0h −f 0 =e −e , o bien, f 0h −f 0 =e −1 . n lím hi f 0h −f 0 = 1 1∑ −1 , con la función exponencial como serie. →0 i=1 i ! n lím n h i f 0h −f 0 =1 1 ∑ −1 , siguiendo los teoremas de límites correspondientes. → 0 i=1 i ! n
O bien,
lím n hi f 0h −f 0 = 5. 1 ∑ , reduciendo términos semejantes. →0 i =1 i ! n f 0h −f 0 1 lím n hi = ·1 6. ∑ , efectuando el producto con el factor 1 . h h → 0 i =1 i ! h n lím 1 1 = 7. Como 1 , →0 h h n n f 0h −f 0 lím hi −1 =1 ∑ , considerando que el producto de límites es igual al límite h → 0 i=1 i ! n del producto. 8.
lím n hi−1 f 0h −f 0 =1 1 ∑ , separando el término h → 0 i=2 i! n
i=1
de la serie, aunado a
los teoremas de límites correspondientes. 9.
[
lím n h i−1 lím f 0h −f 0 = lím 1 1 ∑ h →0 i=2 i ! h →0 h →0 n
6
]
, representando el cálculo del límite.
lím h h→0 i!
lím n lím f 0h −f 0 =1 1 ∑ h →0 i=2 h →0 n lím h=0 correspondientes. Y dado que , h →0 lím f 0h −f 0 =1 , es decir 11. h h →0 10.
12.
f x 0 =e
0
i−1
, considerando los teoremas de límites
x =0 en la siguiente expresión:
, que permite incluir el caso
f x x =ex , cuando f x =e x ∎ 27 de Noviembre de 2014 Última corrección: 23 de Diciembre de 2014
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