La curvatura del espacio: El tensor de Riemann—Christoffel

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Apéndice E

La curvatura del espacio: El tensor de Riemann—Christoffel Un espacio curvo frecuentemente se refiere a una geometría espacial que no es “plana”, donde un espacio plano está descrito por la geometría euclidiana (en donde el teorema de Pitágoras se cumple, i.e. la distancia mas corta entre dos puntos es la línea recta y la suma de los ángulos interiores de un triángulo da 180 ◦ ). Los espacios curvos generalmente pueden ser descritos por la geometría de Riemann. Los espacios curvos juegan un papel esencial en la teoría de la relatividad general donde la gravedad es frecuentemente visualizada como un espacio curvo. La métrica curva de Friedmann-Lemaître-RobertsonWalker es la base actual para la descripción de la espansión del espacio y forma del universo. Un ejemplo muy simple de un espacio curvo bidimensional es la superficie de una esfera. Aunque observemos a una esfera como un objeto tridimensional, si un objeto está limitado a permanecer sobre su superficie, sólo hay dos dimensiones para que pueda moverse, por ejemplo, una hormiga que se mueve sobre una esfera suspendida, sólo puede desplazarse sobre la superficie de ésta, ya que no puede atravesarla ni puede volar. Entonces, la superficie de la esfera puede ser descrita completamente por dos dimensiones de un espacio curvo. La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aun cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más “rectas” posibles a través de un espacio-tiempo curvado. Las líneas más “rectas” posibles de un espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima. Las matemáticas generales para estudiar geometrías curvas totalmente generales, se llaman geometrías de Riemann y fueron desarrolladas por Bernhard Riemann, discípulo de Gauss. La teoría de los espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la geometría del universo real durante todo el siglo XIX. Fue hasta

327 después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad especial que las geometrías no-euclídeas fueron aplicadas a otras ciencias fuera de las matemáticas. En la teoría de la relatividad, el espacio y el tiempo forman una variedad diferenciable, llamada espacio-tiempo. La curvatura del espacio-tiempo viene definida por el tensor de curvatura de Riemann—Christoffel. El tensor de Riemann—Christoffel se puede calcular de la diferencia entre las segundas derivadas covariantes del componente covariante de un vector ; − ; 

(E.1)

El término ; = (; ); es la derivada covariante de un tensor de segundo orden. Reescribiendo la derivada covariante de un tensor de segundo orden ½ ¾ ½ ¾   −  (E.2) ; =  −    y sustituyendo ; =  en cada uno de los términos del lado derecho de la igualdad µ ½ ¾¶   = (; ) =  −    ½ ¾ ½ ¾   −  =  −   (E.3)     ½ ¾ ½ ¾ µ ½ ¾¶ ½ ¾      = ; =  −   (E.4)     ½ ¾ ½ ¾ µ ½ ¾¶ ½ ¾     = ; =  −   (E.5)      entonces tenemos que ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾     −  −  −  ; =  −        µ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾¶     +  +      µ ½ ¾¶ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾     =  −  −  −  −        µ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾¶     +  +  (E.6)      Para el otro término, simplemente intercambiamos los índices  y , quedando como ;

½

¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾     =  −  −  −  −        µ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾¶     +  +     

(E.7)

328 por lo que la diferencia es ; − ;

½

¾ ½ ¾   =  −        µ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾¶     − +      ý ¾ ½ ¾ ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾!       = − + −           

y la podemos expresar como ; − ; =    en donde 





=

½

 

¾



(E.8)

½ ¾ ½ ¾½ ¾ ½ ¾½ ¾      − + −       

es el tensor de curvatura de Riemann—Christoffel, el cual es un tensor de cuarto orden. Como el tensor de Riemann-Christoffel mide la curvatura del espacio, en el caso de espacios Euclidianos, en donde la curvatura es cero, se tiene que   = 0 Debido a lo anterior, a los espacios euclidianos se les conoce como espacios planos. La consecuencia más relevante en los espacios euclidianos es que de acuerdo con la Ec. E.8 se tiene que para este tipo de espacios ; − ; =    = 0 por lo que en los espacios euclidianos ; = ;  y que implica que se pueden realizar permutaciones en el orden de las segundas derivadas covariantes. Hablando en términos generales, el tensor de Riemann-Christoffel se puede considerar como una medida de la no conmutatividad de la derivada covariante