La construcción de la idea de área a través de tratamientos cualitativos y cuantitativos: el caso de alumnos de bachillerato

Note que Fischbein llama figuras geométricas a la idea abstracta de la figura geométrica y nosotros hasta este momento nos hemos referido a la figura como a la representación de ésta.
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Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional

Unidad Distrito Federal

Departamento de Matemática Educativa





La construcción de la idea de área a través de tratamientos cualitativos y cuantitativos: el caso de alumnos de bachillerato


Tesis que presenta
Jorge Alonso Santos Mellado
para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
en la especialidad de
Matemática Educativa


Directora de tesis
Dra. Claudia Margarita Acuña Soto


México, Distrito Federal octubre de 2012




Resumen
El presente trabajo de investigación, parte de la necesidad de considerar la naturaleza cualitativa y cuantitativa del área para su adecuado aprendizaje. Es decir, parte de haber detectado que si bien dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con la geometría, las concernientes al área de las figuras planas han sido ampliamente investigadas, casi siempre se estudia el tema sin considerar sus aspectos cualitativos y cuantitativos simultáneamente.
Para llevar a cabo nuestra investigación, partimos de una revisión de las investigaciones que se han hecho en torno al concepto de área. Dado que trabajamos con estudiantes de nivel medio superior del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal, hacemos una descripción de la institución y revisamos sus libros de texto en lo referente al tema que nos interesa.
Por otro lado, debido a que en nuestra investigación se tomaron en cuenta tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del concepto de área, un punto fundamental fue indagar sobre los elementos que podrían posibilitar a los estudiantes un adecuado aprendizaje del área. Es por esto que dentro de los elementos teóricos, que dan sustento a nuestra investigación, está la visualización. Damos un panorama general de la visualización de figuras geométricas en el sentido establecido por Duval (2003). El siguiente elemento teórico que discutimos es el de los conceptos figurales, dibujo y figura.Posteriormente, hacemos ver que el saber reconocer los elementos o propiedades relevantes de las figuras es un proceso que se aprende y se enriquece con la mediación de artefactos y manipulables (Clements y Battista, 1999).
A partir de los elementos teóricos anteriores establecemos como objetivo para nuestra investigación el cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área. Partimos de la hipótesis de investigación de que los estudiantes requieren desarrollar habilidades específicas para tratar figuralmente las representaciones gráficas de los objetos geométricos.
Además proponemos como hipótesis de trabajo que una propuesta, para un adecuado aprendizaje del concepto de área, debe tomar en cuenta tanto elementos cualitativos, como cuantitativos y debe integrar aspectos de transformación-conservación de área (comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.
Diseñamos un instrumento de investigación, el cual consiste de una serie de actividades expresamente diseñadas sobre el concepto de área, que inicialmente ofrece diversas estrategias (cuantitativas y cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras a partir de tres estrategias básicas. Posteriormente propone el problema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema de comparación gradualmente se transforma en un problema de medición de áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamiento del comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la una a la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollar estrategias que permitan comparar la unidad de área con el área de una figura dada.
Nuestras conclusiones son:
La unión de materiales manipulables y tareas problemáticas pueden proveer ricas estructuras de validación a los estudiantes.
Las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden ser una herramienta útil para aprender el concepto del área, tanto en sus aspectos cuantitativos, como en los cualitativos.
El proceso de idealización de las estrategias básicas de comparación de áreas puede derivar en consideraciones equivocadas.
Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.


abstract
This research, part of the need to consider the qualitative and quantitative nature of the area for proper learning. That is, some have detected that while within the conceptual constructs related to geometry, concerning the area of plane figures have been widely investigated, almost always studied the issue without considering the qualitative and quantitative aspects simultaneously.
To perform our research, we begin with a review of the research that has been done on the concept of area. Since we work with senior high students of Institute High School Education of the Federal District, is a description of the institution and review their textbooks regarding the topic of interest.
Furthermore, because in our research were taken into account both qualitative and quantitative aspects of the concept of area, a key point was to inquire into the elements that could enable students proper training area. That is why within the theoretical elements that sustain our research, is the display. We give an overview of the visualization of geometric figures within the meaning established by Duval (2003). The next element is discussed theoretical concepts figural, and figure drawing. Later, we see that knowing or recognizing the elements relevant properties of the figures is a learned process and is enriched with the mediation of artefacts and manipulatives (Clements and Battista, 1999).
From the previous theoretical elements establish as an objective for our research on bridging the gap between qualitative and quantitative approach to the concept of area. We hypothesize that research students develop specific skills required to treat figuralmente graphical representations of geometrical objects.
Furthermore, we propose as a working hypothesis that a proposal for a suitable area concept learning must take into account both qualitative elements and quantitative and must integrate aspects of transformation-conservation area (comparison) calculation and measurement of areas and deduction-use area formulas.
We design a research instrument, which consists of a series of activities designed expressly for the concept of area, which initially provides various strategies (quantitative and qualitative) to quantify and compare the area of figures based on three basic strategies. Then proposes the problem of comparing the area of two figures. This problem becomes gradually comparison a measurement problem areas. The activity shows how the measure is a refinement of the comparison and crucial points to move from one to the other are: establishing a unit area and develop strategies to compare the unit area to the area of a given figure.
Our conclusions are:
The union of manipulatives and problematic tasks can provide rich validation structures students.
The basic strategies of comparing areas, can be a useful tool for learning the concept of the area, both in terms of quantity as in quality
The process of idealization of the basic strategies of comparing areas can lead to erroneous considerations.
Is possible to close the gap between quantitative and qualitative approach and incorporate them into a single concept of area.



















Agradezco al Consejo Nacional de Ciencias y Tecnología por el
apoyo económico proporcionado para la realización de mis estudios de maestría.
Becario 373224





Agradecimientos
Expreso mis sinceros agradecimientos a:
México por permitirme vivir y desarrollarme como mexicano.
Mis abuelitos Carmen y Santos y a mi mamá Bertha por el apoyo que me han brindado a lo largo de mi vida.
Toda mi familia, sin excepciones, por pertenecer a ella. Especialmente quiero agradecer a Sandra por permitirme ser su compañero y por todo el amor y apoyo que me ha dado.
Todos los doctores del Departamento de Matemática Educativa por darme la oportunidad de desarrollarme profesionalmente. Especialmente quiero agradecer a la doctora Claudia Margarita Acuña Soto por todo el apoyo que me ha ofrecido y por todas las enseñanzas que he recibido de su parte.



ÍnDice
1. Introducción. 10
2. Antecedentes 12
2.1. Descripción de las investigaciones realizadas en torno al concepto de área 12
2.2. Contexto del IEMS-DF 14
2.2.1. Proceso educativo de la modalidad escolarizada. 15
2.2.2. Proceso educativo de la modalidad semiescolarizada 16
2.2.3. Plan de estudios. 17
2.2.4. Libros de texto 17
2.3. El libro de texto de Matemáticas I del IEMS-DF 17
2.4. Comentarios y aportaciones al libro de texto del IEMS-DF 24
3. Marco teórico 27
3.1. Visualización matemática 27
3.1.1. Visualización fuera de las matemáticas o icónica 29
3.1.2. Visualización en matemáticas o matemática 29
3.1.3. Reconocimiento de unidades figurales, variabilidad dimensional intrafigural, y articulación referencial del discurso matemático 30
3.1.4. Las transformaciones heurísticas de la figura inicial en otras y la articulación inferencial del discurso matemático 30
3.1.5. Producción instrumental de las figuras, dificultades de tamaño y geométricas 31
3.1.6. Aprehensión perceptiva 31
3.1.7. Aprehensión discursiva 32
3.1.8. Aprehensión operatoria 32
3.1.9. Aprehensión secuencial 32
3.2. Conceptos figurales, dibujo y figura 33
3.2.1. Conceptos figurales 33
3.2.2. Dibujo y figura 34
3.3. El concepto de la forma en niños pequeños 35
3.4. El concepto de conservación de área 37
3.5. Utilización de artefactos 39
3.6. Los manipulables 40
4. Objetivo, hipótesis y preguntas de investigación 44
4.2. Objetivo de investigación 44
4.3. Hipótesis de investigación 44
4.4. Hipótesis de trabajo 44
4.5. Preguntas de investigación 45
5. Metodología 46
5.2. Población de estudio 46
5.3. Instrumento de investigación (Diseño del taller) 46
5.3.1. Primera etapa 47
5.3.2. Segunda etapa 47
6. Puesta en marcha de la actividad, datos y comentarios 52
6.2. Primera fase 52
6.2.1. Primera sesión 52
6.2.2. Segunda sesión 61
6.2.3. Tercera sesión 64
6.3. Segunda fase 65
6.3.1. Cuarta sesión 65
7. Consideraciones, conclusiones y respuestas a las preguntas de investigación 69
7.1. Consideraciones 69
7.1.1. Sobre el objetivo de investigación 69
7.1.2. Sobre las hipótesis de trabajo 70
7.1.3. Sobre el uso de manipulables 70
7.2. Conclusiones 71
7.3. Respuestas a las preguntas de investigación 72
7.3.1. Con respecto a la pregunta: ¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo? 72
7.3.2. Con respecto a la pregunta: ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área? 72
7.3.3. Con respecto a la pregunta: ¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas? 73
8. Anexos 76
8.1. Estrategias de cuantificación de área 76
8.2. Secuencias de conservación de área 78
9. Referencias 84




Introducción.
El presente trabajo de investigación, parte de la necesidad de considerar la naturaleza cualitativa y cuantitativa del área para su adecuado aprendizaje. Es decir, parte de haber detectado que si bien dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con la geometría, las concernientes al área de las figuras planas fueron de las primeras en ser investigadas (Corberán, 1996), casi siempre se aborda el tema sin considerar sus aspectos cualitativos y cuantitativos simultáneamente.
Una de las críticas que más han reportado los investigadores con respecto al tema, es justo el hecho de que frecuentemente se ve el área de manera aislada, es decir, se toman en cuenta sólo uno o algunos aspectos relacionados con ella. En este sentido, Kordaki (2003) menciona que generalmente el tema del área se aborda de manera aislada y casi siempre cuantitativamente. Agrega que es necesario que los alumnos integren aspectos de conservación de área, de medición de áreas y de fórmulas en un solo proceso más elaborado y esencial tanto para estudiantes de grados iniciales, como para los de grados más avanzados.
En educación básica, en ocasiones, los estudiantes trabajan inmediatamente con operaciones y fórmulas para calcular áreas. Esto ocasiona que sus principales dificultades, con respecto a la noción de área, estén relacionadas con la incapacidad para cerrar la brecha entre la aproximación tradicional (expresada en el uso de fórmulas) y la aproximación cualitativa, en la cual se manipulan áreas sin el uso de números (Kordaki, 2003).
Para llevar a cabo nuestra investigación, partimos de una revisión de las investigaciones que se han hecho en torno al concepto de área. Hacemos un breve recorrido cronológico, así como una clasificación de los tipos de investigaciones realizadas. Dado que trabajamos con estudiantes de nivel medio superior del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF), hacemos una descripción de la institución y revisamos sus libros de texto en lo referente al tema que nos interesa.
Por otro lado, debido a que en nuestra investigación se tomaron en cuenta tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del concepto de área, un punto fundamental fue indagar sobre los elementos que podrían posibilitar a los estudiantes un adecuado aprendizaje del área. Es por esto que dentro de los elementos teóricos, que dan sustento a nuestra investigación, está la visualización. Ella es la base de un adecuado entendimiento de la noción de área. Un aspecto con especial interés con relación al área, es el de la visualización debido a las dificultades perceptuales que entraña (Kospentaris, Spyrou, y Lappas, 2011).
Damos un panorama general de la visualización de figuras geométricas en el sentido establecido por Duval (2003). Esta postura sobre visualización nos permite explicarla a partir de diferentes tipos de aprehensión.
El siguiente elemento teórico que discutimos es el de los conceptos figurales, dibujo y figura. Definimos conceptos figurales a partir de los componentes figurales y conceptuales que poseen las figuras geométricas y establecemos la diferencia entre dibujo y figura en el sentido establecido por Laborde y Capponi (1994), esta manera nos permite enfocamos en los procedimientos que podrían construir aproximaciones cualitativas y cuantitativas del área.
Posteriormente, hacemos ver que el saber reconocer los elementos o propiedades relevantes de las figuras es un proceso que se aprende y se enriquece con la mediación de artefactos y manipulables (Clements y Battista, 1999). Esto a su vez nos permite hablar de los manipulables como instrumentos de mediación semiótica que permiten formular y resolver problemas, es decir, no como meros medios de expresión sino que son instrumentos para el trabajo matemático.
A partir de los elementos teóricos anteriores establecemos como objetivo para nuestra investigación el cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área. Partimos de la hipótesis de investigación de que los estudiantes requieren desarrollar habilidades específicas para tratar figuralmente las representaciones gráficas de los objetos geométricos.
Además proponemos como hipótesis de trabajo que una propuesta, para un adecuado aprendizaje del concepto de área, debe tomar en cuenta tanto elementos cualitativos, como cuantitativos y debe integrar aspectos de transformación-conservación de área (comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.
Diseñamos un instrumento de investigación, el cual consiste de una serie de actividades expresamente diseñadas sobre el concepto de área, que inicialmente ofrece diversas estrategias (cuantitativas y cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras a partir de tres estrategias básicas. Posteriormente propone el problema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema de comparación gradualmente se transforma en un problema de medición de áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamiento del comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la una a la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollar estrategias que permitan comparar la unidad de área con el área de una figura dada.
Planteamos como preguntas de investigación: (1) ¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo?; (2) ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área? y (3) ¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?
Como consecuencia de la puesta en marcha de las actividades diseñadas y de los datos recolectados, hacemos algunas consideraciones, establecemos nuestras conclusiones y respondemos las preguntas de investigación: (1) La mayoría de los estudiantes tienen una idea cuantitativa, asociada a fórmulas, mediciones, perímetro. (2) Los alumnos tienen una concepción del área de una figura como el número de unidades completas de área que caben en ella y no sólo eso, sino que persisten en tal concepción. (3) Los alumnos hacen generalizaciones incorrectas, basadas en casos particulares, al aplicar las estrategias básicas de comparación de áreas.
Nuestras conclusiones son:
La unión de materiales manipulables y tareas problemáticas pueden proveer ricas estructuras de validación a los estudiantes.
Las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden ser una herramienta útil para aprender el concepto del área, tanto en sus aspectos cuantitativos, como en los cualitativos.
El proceso de idealización de las estrategias básicas de comparación de áreas puede derivar en consideraciones equivocadas.
Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.



Antecedentes
Descripción de las investigaciones realizadas en torno al concepto de área
El propósito de esta sección es proporcionar un panorama general de las diversas investigaciones y estudios que se han realizado en torno a la enseñanza y aprendizaje del concepto de área. Para tal efecto, recurrimos a la tesis doctoral Análisis del concepto de área de superficies planas. Estudio de su comprensión por los estudiantes desde primaria a la universidad (Corberán, 1996). En dicho trabajo se hace una revisión minuciosa de la literatura hasta ese momento. Complementamos con el trabajo de D' Amore y Fandiño Pinillas (2007), el cual reporta trabajos más recientes.
La inmensa mayoría de los trabajos realizados en relación con el concepto de área han sido realizados con niños entre 7 y 14 años de edad. Unos pocos han considerado a alumnos de nivel medio y, de manera excepcional, se ha trabajado con profesores de educación básica, con adultos de escuelas preuniversitarias y con futuros profesores (Corberán, 1996).
Dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con la Geometría, las concernientes al área de las figuras planas fueron de las primeras en ser investigadas (Corberán, 1996). Piaget, a partir de los años treinta del siglo XX, estableció los diferentes estadios de desarrollo de la comprensión, por parte de los niños, de los conceptos de longitud, superficie y volumen. Cabe destacar que dichos trabajos influyeron fuertemente en las investigaciones posteriores relacionadas con el área. Hasta la década de los ochenta, existía una línea de investigación basada en estudios críticos de los diferentes estadios definidos por Piaget. En la mayoría de las investigaciones posteriores a la década de los ochenta, la componente psicológica desaparece y sus objetivos se diversifican.
En los años 50 y 60, alumnos de Piaget realizaron estudios basados en las mismas certezas que su maestro. En 1983, un estudio repite los famosos experimentos de Piaget. Estudios de este tipo, que ahora son clásicos, influyeron muchos años en los análisis de dicho tema, los cuales se centraban principalmente en los fracasos de los alumnos de determinadas edades. En particular, se estudiaron con mucha atención las ideas de longitud y de superficie. Esto evidenció la gran dificultad que los alumnos tienen para apropiarse de la idea de superficie. Las investigaciones hicieron ver cómo, al variar la forma, el joven estudiante tiende a no ser capaz de aceptar la inmutabilidad de la medida de la superficie (D' Amore y Fandiño Pinilla, 2007).
A estos estudios clásicos, comenta Corberán (1996), siguieron un sinfín de investigaciones, tantas que no es fácil ceñirlas a determinadas líneas de investigación, es decir, se puede apreciar que no existe una línea de investigación común a todas ellas. En su mayoría son estudios puntuales, esto hace difícil establecer una evolución en la enseñanza y aprendizaje del concepto de área. Otro aspecto que comparten muchas de ellas es que utilizan como antecedentes trabajos realizados por investigadores de un mismo país. Esto origina que frecuentemente haya estudios de diferentes países pero con contenidos muy similares, de los cuales se pueden extraer conclusiones que pueden ser generales a nivel internacional.
Corberán (1996), agrupa, según el tipo de objetivos planteados, las investigaciones en tres categorías distintas:
Estudios teóricos sobre el concepto de área que abordan el análisis didáctico de este concepto en su globalidad desde distintos marcos teóricos.
Corberán (1996), consigna tres trabajos que han hecho un estudio teórico del concepto con teorías didácticas distintas: Freudenthal en 1983, Héraud en 1989 y Perrin-Glorian en 1992.
Existen diferencias en el tipo de estudio desarrollado por estos tres investigadores: Freudenthal realiza un estudio teórico sin concretar ninguna propuesta curricular. Héraud y Perrin-Glorian sí conducen sus investigaciones a una secuencia didáctica del área y en el caso de Perrin-Glorian, con actividades específicas. Por otra parte, el trabajo de Perrin-Glorian tiene un carácter general y es aplicable al área de cualquier tipo de superficie, mientras que el de Héraud se restringe al estudio del área del rectángulo y la extiende a la de los polígonos.
Investigaciones cuyo objetivo es determinar el grado de comprensión de los alumnos de aspectos relacionados con el área: concepciones del área; la unidad de área; la relación área-perímetro; conservación de área; procedimientos de comparación; utilización de fórmulas en el cálculo de áreas. Justo por su naturaleza de atender sólo algunos aspectos, son estudios parciales. Los podemos agrupar en dos categorías:
Trabajos que se han realizado con muestras importantes y que normalmente forman parte de investigaciones con objetivos más amplios o de carácter nacional. Sus resultados proceden del análisis de las respuestas dadas por los alumnos a un test, el cual es diseñado específicamente para cada investigación.
Trabajos que utilizaron un número de estudiantes significativamente menor que los mencionados en el apartado anterior. Ellos constituyen la mayor parte de las investigaciones que se han llevado a cabo a nivel internacional. La metodología de investigación ha sido diversa y fundamentalmente se basa en entrevistas clínicas, en experiencias en clase con grupos reducidos y en administración de tests.
Estudios cuyo único objetivo ha sido el de proponer actividades concretas o secuencias de tareas para la enseñanza de uno o varios aspectos relacionados con el área y que no son resultado de una investigación previa.
Corberán (1996), ejemplifica este tipo de investigaciones con trabajos que contienen tareas sobre: unidad de área y fórmulas; comparación; relación entre área y perímetro de un rectángulo; estimación de áreas de figuras irregulares; el geoplano como vehículo para el estudio del área de figuras poligonales sometidas a diversas transformaciones.
Por su parte, D' Amore y Fandiño Pinillas (2007), hacen un recorrido cronológico de las investigaciones que hacen referencia específicamente a las dificultades en el aprendizaje del perímetro y del área. Reseñan 17 investigaciones comprendidas entre 1979 y 2005. Mencionamos, brevemente, algunas de ellas:
Gentener (1983, citado por D'Amore y Fandiño Pinillas, 2007), sugiere el uso de materiales concretos sencillos para las primeras aproximaciones a la geometría, en general, y al estudio de las superficies, en particular.
Un discurso general fue propuesto por Speranza (1987, citado por D' Amore y Fandiño Pinillas, 2007). En éste se demuestra cómo las dificultades conceptuales relacionadas con el área y el perímetro, en escuela primaria, permanecen en alumnos avanzados, incluso en la universidad.
Un estudio, considerado un clásico por muchos investigadores, es el de Rouche (1992, citado por D' Amore y Fandiño Pinillas, 2007). En éste se demuestra cómo el rectángulo constituye el punto de partida más importante para la adquisición del concepto de superficie. Tal figura es la más adecuada para este fin, dado que en ella concurren, figuralmente hablando, casi todas las otra figuras. Esto se debe a que es posible determinar el área de un rectángulo como el producto de dos números, es decir, el producto de los lados distintos del rectángulo.
El estudio de Montis, Mallocci y Polo (2003, citado por D' Amore y Fandiño, 2007), confirma que los alumnos de entre 6 y 8 años de edad, identifican la figura de mayor área con la de mayor perímetro o con la más alta.
Por último, a manera de conclusión de esta sección, señalamos que el interés que despierta el concepto de área en la investigación de educación matemática es claro no sólo por el elevado número de trabajos que se han realizado sobre este concepto, sino también por las investigaciones en las que si bien su objetivo no es propiamente el estudio del área, ésta es utilizada como contexto en el que se enmarcan otros estudios. Esto concuerda con el hecho de que en la práctica docente el área se emplea como base de modelos para la enseñanza de otros conceptos matemáticos que aplican el área en distintas parcelas matemáticas. Como ejemplo de lo anterior, Corberán (1996) comenta investigaciones en las que se estudia el uso del número racional en tareas de comparación de áreas; se analiza si el modelo de Van Hiele puede suministrar un marco para valorar el nivel de razonamiento de niños sobre conceptos de área y perímetro; se utiliza el área para dar significado geométrico a expresiones algebraicas.

Contexto del IEMS-DF
La presente investigación fue desarrollada con alumnos del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF). Es por esto que consideramos pertinente dar un breve panorama general de dicha institución, así como de los contenidos curriculares asociados al tratamiento del área tanto en los programas como en los textos usados en los cursos. Hacemos la aclaración que toda la información que presentamos en esta sección puede ser consultada en el portal electrónico oficial del IEMS-DF. La intención de incluirla en el presente trabajo es justo para tener un trabajo autosuficiente.
El Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal fue creado el 30 de marzo de 2000 como parte del Sistema Educativo Nacional. Tiene como objetivo impartir e impulsar la educación de tipo medio superior en la Ciudad de México, especialmente en aquellas zonas en las que la atención a la demanda educativa sea insuficiente o así lo requiera el interés colectivo. La educación que imparta el Instituto será gratuita, democrática, promoverá el libre examen y discusión de las ideas y estará orientada a satisfacer las necesidades de la población de la capital del país. Entre las atribuciones que el IEMSDF tiene están:
Desarrollar, instrumentar y ejecutar modelos alternativos de educación media superior en el Distrito Federal, así como sus planes y programas de estudio.
Establecer, organizar, mantener y administrar planteles de educación media superior en el Distrito Federal los cuales constituirán el Sistema de Bachillerato del Gobierno del Distrito Federal, dando prioridad a las zonas donde los servicios educativos sean insuficientes o lo dicte el interés público.
Impartir educación media superior a través de las modalidades escolar y extraescolar, cuidando en todo tiempo de llevarla a los sectores sociales más desfavorecidos y de acuerdo con el modelo educativo desarrollado por el Instituto.
Expedir certificados de estudio y otorgar diplomas y títulos académicos correspondientes al nivel medio superior.
Otorgar o retirar reconocimiento de validez a estudios realizados en planteles particulares que impartan el mismo modelo de enseñanza.
Auspiciar el establecimiento de planteles particulares en los que se impartan los modelos educativos diseñados por el Instituto.
El IEMSDF cuenta con dos modalidades escolares: Sistema Escolarizado y el Semiescolarizado. Para cada una de estas modalidades existe el diseño oficial de su proceso educativo.
Proceso educativo de la modalidad escolarizada.
Como se puede corroborar el la página electrónica oficial del IEMS-DF, su modalidad escolarizada cuenta con distintos espacios de trabajo académico: trabajo grupal, tutoría, laboratorio, horas de estudio y prácticas.
Trabajo grupal: Se le conoce comúnmente como "trabajo de clase". Se lleva a cabo grupalmente a través de sesiones de una hora u hora y media de duración, en las que un grupo de aproximadamente 30 estudiantes trabaja con un docente-tutor. En estas sesiones, el docente busca motivar a los estudiantes, darles guías y orientación para el estudio de los temas correspondientes.
Tutoría: En este espacio, el docente brinda atención personalizada al estudiante, con el fin de prevenir posibles situaciones de abandono o atraso escolar. Para ello, en el trabajo de tutoría, el docente orienta a cada estudiante en el desarrollo del proceso de aprendizaje, resuelve sus dudas y fortalece los conocimientos relacionados con la asignatura. En el IEMSDF esta labor es llamada "asesoría académica". El docente da un seguimiento más amplio a aproximadamente 15 estudiantes asignados. Esto consiste en identificar sus necesidades y situaciones particulares relativas a factores sociales, económicos, culturales, emocionales, psicológicos, físicos, etc.
Laboratorio: Espacio en el que los estudiantes, a través de experimentos y ejercicios, construyen explicaciones respecto a fenómenos naturales. Es un lugar propicio para el desarrollo de la reflexión, imaginación y creatividad.
Horas de estudio: Espacio de mayor flexibilidad y recreación para el aprendizaje, donde el estudiante –de forma individual o colectiva– elabora trabajos concretos a través de los que desarrolla y fortalece los conocimientos promovidos por el docente.
Prácticas: tiempo para reforzar habilidades adquiridas durante el aprendizaje.
En el IEMS-DF la evaluación del aprendizaje se constituye en tres tipos distintos, congruentes con el proceso formativo:
Evaluación diagnóstica: Recupera la información sobre los conocimientos que un estudiante posee antes de iniciar un curso.
Evaluación formativa: Se realiza a lo largo de cada curso. En ésta el docente debe observar qué, cómo y a través de qué, el estudiante aprende, lo que permite la retroalimentación para el logro del aprendizaje.
Evaluación compendiada: Valora logros alcanzados en el proceso de aprendizaje al finalizar el semestre.
En el IEMSDF, al docente se le conoce como Docente-Tutor-Investigador (DTI) porque es el profesional encargado de convocar al saber en los distintos espacios de trabajo académico. Es responsable del seguimiento de los estudiantes y de la sistematización del desarrollo de diversos saberes que se construyen en cada disciplina.
Proceso educativo de la modalidad semiescolarizada
Esta modalidad se diseñó en el año de 2007 para ampliar y diversificar la oferta educativa del IEMSDF. Se denomina así porque combina dos formas de trabajo académico: sesiones tipo clase (típicas de los sistemas escolarizados) y el estudio independiente (que promueven los sistemas abiertos).
Por las características de operación de la modalidad, sólo se puede ofrecer una oportunidad por asignatura para recibir el apoyo de un asesor, y en períodos de sesiones tipo clase de dos a tres horas cada una. Para las asesorías, los horarios de los grupos son de las 8 a las 20 horas, pero en una jornada diaria un estudiante tendrá, como máximo, de seis a siete horas de asesoría, tanto en sesiones sabatinas como en las que se programan de martes a viernes o en sesiones diarias.
La Modalidad Semiescolar tiene la flexibilidad para que organices tu carga académica de acuerdo con tus necesidades, de tal manera que optes por inscribirte a las asesorías tipo clase o como estudiante independiente y presentes evaluaciones globales en los periodos establecidos.
El trabajo académico se organiza a partir de cuatro elementos básicos: asesoría académica, materiales de apoyo al estudio, horas de estudio individual y evaluación del aprendizaje con fines de certificación de estudios.
Asesoría académica: Se trabaja en sesiones tipo clase dirigidas a grupos de 25 a 30 estudiantes, todos los sábados y de martes a viernes, según los espacios disponibles en los planteles del IEMSDF. También estas asesorías se dan a pequeños grupos.
Materiales de apoyo: Al inicio de las actividades académicas se proporciona gratuitamente un material de apoyo al estudio por cada una de las asignaturas. Estos materiales son un elemento académico fundamental para esta modalidad, pues vinculan con los conocimientos de cada asignatura e indican qué hacer en términos de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes. Asimismo, se indican ejercicios para la aplicación y consolidación del aprendizaje y sugieren actividades para poder estudiar, consultar, repasar y ejercitar lo propio del temario de cada asignatura.
Horas de estudio individual: En toda modalidad educativa se requiere dedicar algunas horas de estudio individual para el logro de los aprendizajes necesarios, pero, específicamente, en la modalidad semiescolar del IEMSDF este tiempo es fundamental. Independientemente de la asistencia, dedicación y participación en las sesiones de asesoría, el avance académico quedará demostrado al momento de la evaluación.
La evaluación del aprendizaje aporta los elementos que respaldan el avance académico en términos de asignaturas cubiertas (C), respecto al total que conforman el plan de estudios. El proceso está a cargo, en primera instancia, de los asesores, quienes a lo largo de las sesiones de asesoría realizan evaluaciones formativas, con las que recaban evidencias necesarias para determinar si se cubre (C) o no se cubre (NC) la asignatura correspondiente.
Los asesores de la modalidad semiescolarizada son profesionistas formados en las disciplinas del plan de estudios y tienen a su cargo la conducción del proceso de aprendizaje en los distintos grupos. Con apoyo del material de estudio, organizan el trabajo académico y asignan tareas. Además, realizan evaluaciones diagnósticas y formativas durante las sesiones de asesoría para que, a partir de los resultados, reorienten ellos mismos sus estrategias y definan las actividades que favorezcan el aprendizaje.
Plan de estudios.
El plan de estudios del IEMS-DF es el siguiente:
Primer semestre: Matemáticas I, Física I, Lengua y Literatura I, Filosofía I, Planeación y Organización del Estudio I y Computación I.
Segundo semestre: Matemáticas II, Física II, Lengua y Literatura II, Filosofía II, Planeación y Organización del Estudio II y Computación II.
Tercer semestre: Matemáticas III, Química I, Lengua y Literatura III, Filosofía III, Historia I y Artes Plásticas I.
Cuarto semestre: Matemáticas IV, Química II, Lengua y Literatura IV, Filosofía IV, Historia II, Artes Plásticas II e Inglés I.
Quinto semestre: Biología I, Historia III, Matemáticas V, Música I, Inglés II, Optativa del área de ciencias y Optativa del área de humanidades y arte.
Sexto semestre: Biología II, Historia IV, Música II, Inglés III, Optativa del área de humanidades, de artes o de ciencias y Problema eje.
Libros de texto
El IEMS cuenta con libros de texto propios para cada una de las materias. Estos libros son propuestos como materiales de apoyo para las modalidades escolar y semiescolar. Todos los materiales están disponibles, sólo para alumnos y profesores, en formato electrónico en la página web del Instituto. En el presente trabajo, estamos interesados sólo en el libro donde se expone el concepto del área, es decir, en el libro de Matemáticas I.



El libro de texto de Matemáticas I del IEMS-DF
Dado que decidimos realizar nuestra investigación en el IEMS-DF, nuestro antecedente didáctico o, dicho de otro modo, la propuesta didáctica que tomamos como antecedente directo es la expuesta en el libro de Matemáticas I del IEMS-DF concerniente al concepto de área.
El tema relacionado con la noción de área de figuras geométricas, es abordado en el curso de Matemáticas I. El libro de texto, o material de apoyo, de dicha asignatura tiene cinco temas principales:
Lenguaje simbólico.
Números naturales.
Números enteros.
Álgebra.
Geometría.
Al inicio del libro de Matemáticas I, se declara explícitamente que:
Este programa de Matemáticas no se parece a los convencionales, a los típicos que se enseñan en la mayoría de las preparatorias, ya que difiere tanto en el contenido como en la manera de enseñar y evaluar. Se pretende que tú construyas la Matemática, descubras, inventes, propongas y discutas para que de esta manera formes un método de razonamiento y de análisis, desarrollando creatividad y aprendiendo a explicar tus razonamientos (p.4).
El tema de Geometría se compone de cinco subtemas: Nociones básicas, Construcciones básicas, Polígonos, Superficies y Volúmenes. Es el subtema de Superficies es el que nos interesa.
La sección de Superficies inicia como sigue:
Propósito: El estudiante desarrollará su habilidad para medir los elementos geométricos (líneas y área de superficies). Sabrá qué medir y cómo realizarlo (p.273).
A continuación describiremos y comentaremos los puntos sustantivos de la sección de Superficies del libro Matemáticas I. Nos enfocamos en lo referente al área en general y su unidad en particular con el fin de hacer algunas observaciones que serán consideradas en el diseño de las actividades experimentales del presente trabajo.
Se define superficie de una figura:
La superficie (o área) de una figura geométrica plana es la magnitud del espacio de dos dimensiones, que se encuentra dentro de las líneas que lo componen.
Nota- Frecuentemente se usan las palabras área y superficie para referirse al mismo concepto: la medida o magnitud de un objeto plano. Por "superficie" entendemos la magnitud de un cuerpo de dos dimensiones, aunque en ocasiones será el espacio ocupado por el cuerpo geométrico (p. 274).
Se inicia propiamente el tema:
Como hemos hecho al abordar un nuevo tema, comencemos por medir la superficie de las figuras geométricas más sencillas. Estas son: los cuadrados y los rectángulos (p. 275).
Se introduce la noción de unidad cuadrada de área a través de un ejemplo:
¿Has visto las rejas de refrescos cuando los camiones repartidores o distribuidores los están entregando en las misceláneas?, ¿Sabes cuántos refrescos contiene una reja? La reja está construida con 4 hileras de 6 casillas cada una o bien, con 6 hileras de 4 casillas cada una (p. 276).

La reja tiene forma rectangular. Si consideramos que cada casilla ocupa, en la plantilla de la reja, un espacio de una unidad por cada uno de sus lados, entonces ocupa una unidad cuadrada, que dibujando todo esto se ve de esta forma:


Si ahora consideramos sólo la plantilla, sin los orificios para los refrescos, tenemos:


una unidad CUADRADA. Por convención se escribe 1u2, o simplemente u2. Entonces nuestra plantilla tiene: 24 u2 (p. 277).
De manera que la superficie de un rectángulo está dada por la longitud de su lado corto por la longitud de su lado largo o lo que es lo mismo, y así lo has leído: la superficie de un rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.
La superficie del rectángulo es igual a base por altura (p. 278).


Se recurre al hecho de que un cuadrado es un rectángulo para establecer la superficie de aquél como lado al cuadrado.
El siguiente paso es calcular la superficie de un paralelogramo.
Calculemos ahora la superficie de un paralelogramo (p. 279).

Para calcularla es necesario convertir nuestra figura en una más simple. En un rectángulo. ¿Se podrá? Intentémoslo.

Si al paralelogramo le quitamos la sección iluminada en azul más intenso y la llevamos hasta el otro extremo.


Obtenemos finalmente ¡un rectángulo!


Y para encontrar la superficie se multiplica, igual que en el rectángulo, la longitud de la base por la longitud de la altura. En corto: la superficie del paralelogramo es igual a base por altura (en unidades cuadradas).
El perímetro está dado por 2 veces la base más 2 veces el lado (no la altura, ten cuidado).
Otro ejemplo (p. 280):


Para construir con este paralelogramo un rectángulo, cortémoslo como hicimos en el ejercicio anterior, en perpendicular al extremo a la derecha de la longitud de la base, esto es:

Obtenemos,

Ahora, si la figura en tono claro la colocamos hasta el extremo del vértice izquierdo del triángulo en tono oscuro, nuestro recorte toma la siguiente forma:



Si cortamos de nueva cuenta en perpendicular al extremo a la derecha de la longitud de la base, marcamos, cortamos

y obtenemos:



A continuación, se hace otra vez el procedimiento, a manera de ejercicio, con otro paralelogramo (p. 282):











El siguiente paso en el procedimiento que se propone, es calcular el área de un triángulo.
¿Cómo calculamos la superficie de un triángulo? (p. 283).

Utilizando parte de lo que hicimos con el paralelogramo, tenemos:

Sabemos que la superficie del paralelogramo se calcula como base por altura y es lo que tenemos después de nuestra última construcción. Pero de este último número, sólo necesitamos "la mitad". ¿Qué hacemos?, pues muy fácil, al producto de la base por la altura lo dividimos por dos y tendremos la superficie del triángulo. La superficie de un triángulo es igual a base por altura sobre dos.

Después de esto, se calcula el área del rombo, romboide, trapecio isósceles, pentágono y hexágono regulares. Las dos primeras figuras las inscriben en rectángulos y de esa manera calculan el área. La tercera la transforman en rectángulo. Las dos últimas las descomponen en triángulos para determinar su área. Nosotros no profundizaremos en cómo hacen lo anterior, pues lo ya expuesto es lo que nos interesa analizar, es decir, nos interesa analizar cómo se plantea el tema de conservación de área como una estrategia que permite calcular el área.

Comentarios y aportaciones al libro de texto del IEMS-DF
El propósito de esta sección no sólo es hacer comentarios del contenido temático y de la forma de tratar el tema en el libro de texto de Matemáticas I del IEMS-DF sino, fundamentalmente, reflexionar sobre la forma en que sería posible tomar en cuenta diversos aspectos del concepto de área.
Como ya se mencionó, en el libro de texto del IEMS-DF se declara que el propósito del subtema de superficies es que el alumno desarrolle habilidad para medir elementos geométricos. Se menciona, además, que el alumno sabrá qué medir y cómo realizarlo.
Del mismo modo, hemos mencionado que Corberán (1996), clasifica como estudios parciales aquellos en los que sólo se abordan algunos aspectos relacionados con el área. Ella pone como ejemplo de los aspectos que se han abordado: unidad de área; conservación de área; utilización de fórmulas para calcular áreas. Por otra parte, una de las críticas que más han reportado los investigadores con respecto al tema, es justo el hecho de que frecuentemente se ve el área de manera aislada, es decir, se toman en cuenta sólo uno o algunos aspectos relacionados con ella. En este sentido, Kordaki (2003) menciona que generalmente el tema del área se estudia de manera aislada y casi siempre cuantitativamente. Agrega que es necesario que los alumnos integren aspectos de conservación de área, de medición de áreas y de fórmulas en un solo proceso más elaborado y esencial tanto para estudiantes de grados iniciales como para los de grados más avanzados.
Estas consideraciones nos permiten formular nuestra primera hipótesis de investigación: La construcción de la idea de área debe considerar tanto aspectos cuantitativos, como cualitativos asociados a ella. En el primer caso el área se debe calcular y medir. En el segundo, se debe conservar en independencia de su forma.
Entonces tenemos que la propuesta del libro de texto del IEMS-DF, la cual se centra en deducir, de manera intuitiva, las fórmulas para calcular el área de los principales polígonos regulares es una propuesta parcial pues el objetivo es que el alumno aprenda a utilizar las fórmulas.
Como ya vimos, en el libro de Matemáticas I, transforman un paralelogramo en un rectángulo y concluyen que por tanto el área de aquél es base por altura. Con respecto a esto, hacemos un par de acotaciones: Por un lado, no llaman la atención o no hacen explícita la conservación de área al hacer tal transformación como una propiedad distintiva del área.
Sostenemos (justo una parte de nuestra propuesta se centra en fomentar tales habilidades) que los no todos los alumnos tienen los elementos que les permitan entender que al hacer tal transformación, el área se conserva. Aunado a esto, la transformación, que se expone en el texto, carece de indicaciones sobre la conservación de la misma base y de la misma altura, así como la participación que el paralelismo tiene durante la actividad de corte, las cuales son justificaciones matemáticas del procedimiento.
Por otro lado, cuando convierten un paralelogramo en un rectángulo, lo hacen con la intención de justificar que el área de aquél es base por altura y no con la intención de mostrar que dos figuras pueden tener igual área aunque no tengan la misma forma. Al hacer esto evitan, aunque no intencionalmente, el tema de conservación de área.
Por último, en la propuesta del libro de Matemáticas I, no se establece de manera clara cuál es la función, utilidad y finalidad de la unidad de área. Únicamente la presentan y calculan áreas en términos de ella.








Marco teórico
En esta sección estableceremos los elementos teóricos que dan sustento a nuestra investigación. A continuación describimos brevemente los temas que abordaremos con objeto de sustentarla.
Dado que el tema que trabajamos se relaciona con la interpretación cualitativa y cuantitativa de la idea de área, debemos considerar las cualidades visuales de las representaciones geométricas. Debido a esto, iniciamos con un panorama general de la visualización de figuras geométricas en el sentido establecido por Duval, (2003). Esta postura sobre la visualización nos permite explicarla a partir de diferentes tipos de aprehensión. Aclaramos que, particularmente, estamos interesados en establecer cómo entendemos la aprehensión operatoria de la figuras, pero damos un panorama general de la visualización para mostrar el contexto en el cual está inserta la aprehensión operatoria de la figuras, especialmente en el uso de la reconfiguración.
El siguiente punto que discutimos es el de los conceptos figurales dibujo y figura. Definimos conceptos figurales a partir de los componentes figurales y conceptuales que poseen las figuras geométricas y establecemos la diferencia entre dibujo y figura en el sentido establecido por Laborde y Capponi (1994), esta manera nos permite enfocarnos en los procedimientos que podrían construir aproximaciones cualitativas y cuantitativas del área.
El tercer punto que discutimos es el del concepto de la forma de los niños pequeños. Aquí lo que nos interesa es establecer que el saber reconocer los elementos o propiedades relevantes de las figuras es un proceso que se aprende y se enriquece con la mediación de artefactos y manipulables (Clements et al, 1999), resultados que apuntan en la dirección de reconocer un periodo de formación de relaciones figurales que pueden o no estar presentes en las ideas de nuestros estudiantes. Esto a su vez, nos permite hablar de los manipulables como instrumentos de mediación semiótica que permiten formular y resolver problemas, es decir, no son meros medios de expresión sino que son instrumentos para el trabajo matemático.
Visualización matemática
Es indiscutible que ese modo de conocimiento que consiste en , tanto por los sentidos, la imaginación como por la inteligencia, tiene un papel importante en el desarrollo del pensamiento y en el trabajo matemático. Sin embargo, en matemáticas no es algo natural sino, más bien, " en matemáticas requiere un aprendizaje específico" (Duval, 2003).
Debemos, entonces, saber qué es en matemáticas, para tal efecto, distinguiremos, al igual que Duval (2003), visión de visualización.
La visión es una aprehensión simultánea, inmediata y directa de todo lo que es accesible en el campo de la percepción. La aprehensión visual simultánea da la posibilidad de percibir juntos y en un solo acto todos los elementos del campo perceptivo, así como sus relaciones. La aprehensión visual inmediata permite discriminar e identificar casi al instante los elementos del campo y sus relaciones. En otras palabras, es reconocer algo inmediatamente (de golpe o al primer vistazo) de manera no consciente gracias a todo lo que está almacenado en la memoria. La aprehensión visual es directa pues es la que da acceso a los objetos mismos al verlos. Es por este carácter directo que adquiere el valor epistemológico de intuición o de evidencia.
Por otro lado, la visión tiene dos limitaciones. La primera es de perspectiva, pues es siempre relativa a la posición del que observa. Si bien la visión es global (al percibir todo el campo visual), ningún objeto se ve simultáneamente completo. La segunda es de dirección intencionada o enfoque. Designamos como mirada a esa visión dirigida intencionalmente que se centra o se enfoca en una pequeña parte del campo visual. Por lo tanto, la visión es un acto local y selectivo. Estas limitaciones pueden ser compensadas con el movimiento del observador o del objeto, para cambiar de perspectiva, y con un continuo cambio en los lugares en que se enfoca la mirada.
Visualizar es crear una representación bidimensional (en papel, en un lienzo, en una pantalla de computadora) de lo aprehendido mediante la visión. Esta representación también permite una aprehensión simultánea e inmediata pero no directa, pues no se ve (en la representación) al objeto mismo, sino una representación de él.
Se pueden mencionar dos diferencias entre visión y visualización. La primera es que aquélla sucede en tres dimensiones y ésta en dos. Si bien es posible visualizar objetos de tres dimensiones, tal visualización se elabora en un medio bidimensional. La segunda es que la visualización nos permite objetos que en realidad no existen o que mediante la visión no es posible aprehender, como una sirena o el sistema solar.
La visualización debe permitir que la representación creada a través de ella, pueda ser aprehendida simultánea e inmediatamente. Esto quiere decir que uno debe poder identificar y discriminar las formas y figuras (así como sus relaciones y la configuración global) plasmadas en una imagen o dibujo con la suficiente rapidez para que uno pueda reconocer al instante lo que la representación visualiza. Así, a través de la visualización, se pueden movilizar procesos propios de la visión.
Muchas veces podemos utilizar una visualización (dibujo, imagen) en lugar de todo un discurso escrito, descripción o explicación debido a que ésta cubre las funciones cognoscitivas de ilustración, de economía y de identificación, con lo que, aparentemente, la visualización se vuelve más potente para la comprensión. Esto plantea la cuestión de qué diferencias hay entre la escritura y un dibujo. Queda claro que ambos son representaciones, sin embargo, cognoscitivamente, las representaciones discursivas (frases de un enunciado, cálculo algebraico) no se aprehenden visualmente de la misma manera que las representaciones no discursivas (imágenes, figuras). Debemos tener en cuenta la aprehensión sucesiva y la aprehensión simultánea.
El acto de leer (aprehensión de una representación discursiva) implica prioritariamente una aprehensión sucesiva, debido a su carácter lineal. Por otro lado, la percepción de una figura implica inicialmente una aprehensión simultánea la cual origina una primera identificación pero, a pesar de esto, debe haber aprehensiones sucesivas que se precisen y enriquezcan a través de la exploración. Tal exploración puede considerarse como el análogo de .
La forma en que leemos un escrito no es la misma en que leemos una figura, pues en ésta última no hay un orden de entrada, como sí lo hay en la primera, además, las focalizaciones sucesivas pueden situarse en diversos lugares de la figura. Hay más libertar para segmentar en subfiguras.
La visualización de dibujos y figuras genera aprehensión simultánea e inmediata pero no directa, pues no dan acceso a los objetos mismos -como sí lo hace la visión-. Esto ocasiona que la visualización no tenga el carácter de intuición o evidencia que posee la visión, sin embargo, está la excepción de las figuras geométricas, pues al tener atributos topológicos, afines y métricos, en ocasiones se les trata como si fueran el objeto mismo y no una representación de él. Así, se entiende por qué a veces se les concede a las figuras geométricas el valor epistemológico de intuición.
Con lo expuesto en el párrafo anterior, vemos que no es lo mismo visualizar una imagen (fotografía, pintura, pues se sabe que sólo es una representación y no el objeto mismo) que una figura geométrica (triángulo, círculo, pues se les considera como el objeto mismo), es decir, hay una visualización fuera de las matemáticas y otra dentro de ellas.
Visualización fuera de las matemáticas o icónica
Para poder decir que algo producido en un material bidimensional es en verdad una visualización intencional y explícitamente producida es necesario que una relación de se imponga entre ella y lo representado. Esta relación puede ser esencialmente de dos tipos. La primera es una simple relación de semejanza entre la representación y lo representado. Sólo hay un factor de escala entre ellos. La segunda es una relación de conservación de estructuras topológicas (se conserva el arreglo, configuración y las relaciones de los elementos del objeto representado), por ejemplo, una cara se puede representar con un cuadrado grande para la cara y cuadrados pequeños para los ojos, nariz y boca. A las visualizaciones que funcionan a partir de las relaciones de anteriores se les llama icónicas.
Visualización en matemáticas o matemática
En este tipo de visualización los criterios de similitud entre la representación y lo representado no son pertinentes. Para poder delinear qué es la visualización matemática, necesitamos establecer dos diferencias entre ella y la icónica.
Mientras que una visualización icónica deja ver el parecido entre la representación y lo representado, la visualización matemática lo que permite ver son las propiedades, el comportamiento, o las relaciones que hay en los elementos (o entre ellos) de lo representado. Esto significa que dos visualizaciones matemáticas del mismo objeto pueden ser distintas en su aspecto o en términos visuales y en su discurso explicativo, pero deben permitir ver las propiedades, el comportamiento y las relaciones de dicho objeto.
Mientras que la visualización icónica no implica la capacidad de producirla para estar en condiciones de saber lo que representa, la matemática sí la implica. En otras palabras, no es necesario saber dibujar una mesa para poder reconocerla en un dibujo. En cambio, es requisito saber construir una figura geométrica o una gráfica para saber lo que representa.
Por lo tanto, si una visualización lo que nos deja ver son las propiedades, el comportamiento y las relaciones de lo representado y si es necesario saber construirla para poder reconocerla, entonces, tal visualización es matemática.
Con esto, vemos que las visualizaciones icónicas tienen un alto grado de naturalidad o espontaneidad para las personas, pues únicamente hay que notar el parecido que hay entre un círculo y una llanta de automóvil para poder decir que aquél es una representación de ésta. Por otra parte, las visualizaciones matemáticas no son naturales o espontáneas debido a que tienen requisitos. De hecho, en las primeras iniciaciones escolares, las figuras geométricas elementales tienen un valor icónico para los estudiantes. Un alumno, inicialmente, visualiza una figura geométrica icónicamente pues no conoce sus propiedades y no es capaz de construirla (sólo es capaz de asociarla con las formas que le rodean) pero progresivamente puede ir aprendiendo a visualizarla matemáticamente. La visualización matemática se aprende y se perfecciona. Hay un largo camino para lograr visualizar matemáticamente las figuras en geometría. Abordaremos dos grandes factores que intervienen en dicho camino. Primero: las habilidades que deben ser desarrolladas para alcanzar la visualización matemática. Segundo: los tipos de aprehensión que esas habilidades fomentan en la figuras geométricas.
De acuerdo con Duval (2003), las habilidades que deben ser desarrolladas forman tres grupos:
Reconocimiento de unidades figurales, variabilidad dimensional intrafigural, y articulación referencial del discurso matemático
El reconocimiento de unidades figurales tiene que ver con la capacidad de distinguir en las figuras geométricas, incluso en las más simples, tantas subfiguras o unidades figurales como sea posible. Una figura es una configuración de diversas unidades figurales y nunca una sola unidad figural. Por ejemplo, la figura de un cuadrado (unidad figural bidimensional o 2D), debe ser vista como una configuración en la cual se pueden distinguir subfiguras: el cuadrado mismo, cuatro segmentos (unidades figurales monodimensionales o 1D), cuatro puntos (unidades figurales adimensionales o 0D).
La variabilidad dimensional intrafigural se refiere a la capacidad de distinguir unidades figurales de distintas dimensiones en la figura.
Estas dos habilidades están íntimamente relacionadas debido a que ser capaz de variar dimensionalmente dentro de la figura permite distinguir sus unidades figurales y a su vez, esta sinergia promueve la articulación referencial entre la figura y el discurso matemático: permite distinguir a qué unidad figural específica se refiere cada parte del discurso (descripción, explicación, razonamiento deductivo) matemático que acompaña a esa figura.
Cabe aclarar que en una figura se pueden reconocer diversas subfiguras y que no todas ellas facilitan la obtención de resultados matemáticamente importantes. Algunas ayudan más que otras a descubrirlos. Incluso algunas los obstaculizan.
Las transformaciones heurísticas de la figura inicial en otras y la articulación inferencial del discurso matemático
A una figura inicial siempre es posible hacerle transformaciones para encontrar la respuesta a alguna cuestión. Decimos que la figura inicial al añadir nuevos trazos (rectas, segmentos, círculos), al girarla, desplazarla, hacer un reacomodo de sus unidades figurales. Todo esto dentro de la propia figura o saliéndonos de ella. Las transformaciones heurísticas de la figura inicial se refieren a transformarla en otra que la conserva como subfigura o como sobrefigura para indagar sobre un resultado o el porqué de dicho resultado.
Al igual que en el punto anterior, cabe aclarar que una figura se puede trasformar en otra de diversas maneras y no todas ellas facilitan la obtención de resultados. Hay figuras que ayudan más que otras a descubrirlos. Incluso algunas los obstaculizan. Uno de los conflictos que enfrentamos al hacer tratamientos figurales, en la búsqueda de solución al problema propuesto, es que no hay un camino, sino muchos para realizar tal inspección. En general nos guiamos por la experiencia que hemos obtenido al enfrentar situaciones semejantes.
La exploración más productiva es aquella que se apoya en conceptos y razonamientos matemáticos, sin embargo, no es el único elemento que determina la solución del problema debido a que también participan la imaginación y la orientación espacial, además, de funciones cognitivas como la Gestalt y la perspectiva.
Cuando hemos desentrañado la solución del problema podemos recapitularla en términos de los conceptos y razonamientos matemáticos. Es en este sentido que se establece una articulación inferencial o deductiva entre la figura y el discurso matemático: los conceptos y razonamientos justifican ciertas transformaciones a la figura y la nueva figura, a su vez, facilita inferencias para obtener el resultado.
Producción instrumental de las figuras, dificultades de tamaño y geométricas
Hemos dicho que un requisito de la visualización matemática es saber construir la figura para ser capaces de reconocerla. Según Duval (2003), una persona, dependiendo de su grado de conocimientos y de los instrumentos a su alcance, puede construir al menos en tres distintos niveles una figura geométrica, es decir, podemos distinguir tres tipos de producción instrumental.
A mano alzada: los únicos instrumentos que se utilizan son el lápiz y el papel. Se reproducen las propiedades más ostensivas de las figuras. Este tipo de producción es un tanto icónica pues plasma las propiedades visibles y depende en gran medida de la habilidad para dibujar o para respetar los trazos de la persona que construye la figura, pero al mismo tiempo, hay consideraciones matemáticas como colinealidad, concurrencia, perpendicularidad.
A mano y con instrumentos (regla, compás, escuadra): al utilizar instrumentos se le da más importancia a las propiedades matemáticas y menos a la capacidad de reproducir icónicamente, pues ahora el énfasis está en la capacidad técnica (manipular con precisión los instrumentos) del que realiza la construcción.
Con un sistema informático (software geométrico): en este tipo de producción instrumental se aprecia con mayor nitidez que para visualizar matemáticamente una figura es necesario saber construirla y conocer las propiedades que la generan. Un software geométrico (Cabri, GeoGebra) tiene unas cuantas instrucciones geométricas básicas. Para construir una figura es necesario elaborar una secuencia de instrucciones que respeten un orden matemático de construcción establecido por el programa. Si no se conoce este orden, las propiedades de las instrucciones y lo que pueden generar, no es posible construir la figura adecuadamente.
Por otro lado, al producir una figura geométrica debe tenerse en cuenta que sus formas y sus unidades figurales son independientes de su dimensión pero, al mismo tiempo, deben respetarse las proporciones que la figura guarda entre sus distintas unidades figurales, pues de otro modo no se obtendrán las propiedades (colinealidad, concurrencia) que se desean construir y, por lo tanto esa figura, no servirá como modelo de tal propiedad matemática.
Ahora describiremos los tipos de aprehensiones, desde el punto de vista de Duval (2003), que podemos hacer de las figuras geométricas y, posteriormente, las relacionaremos con las tres habilidades que acabamos de describir.
Aprehensión perceptiva
Es la más elemental, la primera en ser usada en el transcurso de la etapa educativa y la primera que se desarrolla en la evolución cognitiva. Se refiere a la capacidad de reconocer formas ya sea en dos o en tres dimensiones. Por ejemplo, un alumno al ver un círculo reconocerá una llanta o una tapa redonda. Este tipo de aprehensión, implica la capacidad de nombrar las figuras y de reconocer en una figura algunas de sus subfiguras (Deliyianni, Gagatsis, Monoyiou, Michael, Kalogirou y Kuzniak, 2009). También puede ser llamada aprehensión icónica
Aprehensión discursiva
Es el proceso de relacionar las figuras geométricas con sus discursos y propiedades matemáticos e inversamente. Está relacionada con el hecho de que las propiedades matemáticas representadas en una figura no pueden ser determinadas a través de la aprehensión perceptiva, por ejemplo, al aprehender discursivamente el dibujo de un triángulo no sólo se le reconoce por su forma y se es capaz de nombrarlo, sino que también se perciben todas sus propiedades y se puede establecer un discurso con ellas. Este tipo de aprehensión implica conocer las propiedades de las figuras y saber que el aspecto perceptible de una figura depende de sus propiedades matemáticas (Deliyianni et al, 2009).
Aprehensión operatoria
La aprehensión operatoria se produce cuando el sujeto es capaz de llevar a cabo alguna modificación a la configuración inicial, para resolver un problema geométrico. Se añaden o quitan elementos, se manipulan la figura y sus componentes. Elia, Gagatsis, Deliyianni, Monoyiou y Michael (2009), mencionan diversas modificaciones posibles. Por ejemplo, cuando a la figura inicial se le añaden trazos, cuando la figura se divide en partes y éstas se reconfiguran (modificación mereológica), cuando se hace una figura de mayor o menor tamaño (modificación óptica), cuando la figura se rota o se cambia de orientación (modificación de lugar). Todo esto, conservando las propiedades de la figura. Todas estas modificaciones pueden ser llevadas a cabo mental o físicamente a través de varias operaciones.
Aprehensión secuencial
La aprehensión operatoria se produce cuando el sujeto es capaz de elaborar una secuencia de instrucciones relativas al uso de instrumentos que permitan construir (o explicar cómo se construyó) una figura desde su inicio y no sólo secuenciar instrucciones para modificar una figura ya existente. En otras palabras, se produce cuando se tiene la capacidad de crear y no sólo de modificar.
Hemos mencionado que las visualizaciones icónicas tienen un alto grado de naturalidad para las personas. Podemos precisar que esto se debe a que sólo es necesario aprehender perceptivamente la figura. Sin embargo, para visualizar matemáticamente hay que tomar en cuenta la multifuncionalidad de las figuras en geometría. Para tal fin, es menester articular la aprehensión perceptiva con alguna de las otras aprehensiones.
La habilidad de reconocer unidades figurales favorece que una persona articule la aprehensión perceptiva y la discursiva, lo que implica que el sujeto es capaz de variar dimensionalmente en la figura. La habilidad de hacer transformaciones heurísticas permite articular la aprehensión perceptiva y la operatoria, lo que implica que el sujeto es capaz de transformar la figura. La habilidad de producir instrumentalmente las figuras, permite articular la aprehensión perceptiva y la secuencial, lo que implica que el sujeto es capaz de secuenciar instrucciones que permitan crear figuras.
En este momento, es pertinente hacer una aclaración: un sujeto al visualizar una figura geométrica no está obligado a aprehenderla de todas las formas que acabamos de describir. El tipo de aprehensión que haga de ella, dependerá de la función que la figura esté desempeñando en ese momento. Por ejemplo: si una figura funciona como ilustración, debe aprehenderse discursivamente; si tiene función heurística o inferencial, debe aprehenderse operatoriamente; si tiene función de modelo, una aprehensión secuencial es adecuada. Por supuesto que habrá momentos o tareas que requieran más de un tipo de aprehensión o su coordinación.
Con lo anterior, vemos que para funcionar como figura geométrica, un dibujo debe provocar aprehensión perceptiva y al menos una de las otras tres (Deliyianni et al, 2009), cada una de las cuales tiene leyes específicas para organizar y procesar el conjunto de estímulos visuales.
Por lo tanto:
Visualizar figuras en geometría es algo que se aprende a través de desarrollar habilidades específicas que permiten aprehender las figuras de diversas maneras.
El tipo de aprehensión que se hace de una figura está determinado por la función que desempeña en ese momento.
Hasta aquí, hemos detallado qué es la visualización matemática de las figuras geométricas y también hemos comentado que la aprehensión operatoria de ellas es especialmente útil para resolver problemas. Investigaciones recientes ponen especial interés en este tipo de aprehensión y detallan las habilidades y procesos para conseguirla (Elia et al, 2009; Deliyianni et al, 2009).
Para que los alumnos logren aprehender operatoriamente las figuras deben promoverse los tres tipos de modificaciones –mereológica, óptica y de lugar-. Esto dotará a las figuras geométricas de su función heurística. Los alumnos, al enfrentarse a tareas donde es necesario modificar figuras geométricas, tienen rendimientos similares con las modificaciones ópticas o las de lugar pero su rendimiento es significativamente menor cuando de modificaciones mereológicas se trata (Elia et al, 2009). Esto puede deberse a que para tales modificaciones se necesitan procesos figurales más complejos que los requeridos en las otras modificaciones y, en ese sentido, son necesarias actividades que desarrollen las habilidades de los estudiantes para modificar figuras.

Conceptos figurales, dibujo y figura
Hemos dicho que la visualización de dibujos y figuras no generan aprehensión directa (en el dibujo de una mesa no vemos a la mesa misma, sino una representación de ella) salvo la de figuras geométricas, a las que a veces se les trata como el objeto mismo y no una representación de él. Es por esto que es preciso abordar los temas de cuál es la naturaleza de las figuras geométricas y de qué maneras pueden ser entendidas por los alumnos. Las figuras geométricas tienen, básicamente, dos componentes: el figural y el conceptual (Fischbein, 1993). Éstos, al estar íntimamente ligados entre sí hacen necesario distinguir entre figuras y dibujos (Laborde y Capponi, 1994).
Conceptos figurales
Debido a que no es posible acceder directamente a los objetos geométricos o figuras geométricas, que son conceptos abstractos, es que tenemos la necesidad de representarlas para poder trabajar con ello. Como señala Fischbein (1993), la geometría trata con entidades abstractas llamadas figuras geométricas, las cuales poseen simultáneamente características figurales y conceptuales.
Las características figurales de una figura geométrica son sus atributos espaciales específicos: forma, posición, tamaño, color, grosor de sus trazos. Cabe aclarar que cuando utilizamos una figura en procesos heurísticos, algunas de sus características figurales son irrelevantes como el color o el grosor de sus trazos, mientras que otras (forma, posición, tamaño) pueden favorecer u obstaculizar dichos procesos. Las características figurales se deben a la representación concreta que hacemos de una figura geométrica.
Las características conceptuales de una figura geométrica son las que no dependen de la representación concreta que hagamos de ellas: idealidad, abstracción, generalidad y perfección. En otras palabras, son las que están determinadas por las propiedades del objeto geométrico que representan.
Un concepto figural es una figura geométrica en la cual son tomados en cuenta, simultáneamente, sus características figurales y conceptuales.
Enfatizar las dos formas como puede ser pensada una figura geométrica, como concepto y como objeto, atiende a la importancia de establecer la naturaleza de los objetos con los que se trabaja. Además esta diferencia es muy importante en la enseñanza debido a que los estudiantes suelen considerar que el objeto definido es realmente el objeto representado y no logran percibir el papel ilustrativo de éste.
Dibujo y figura
Como contribución a la noción de conceptos figurales, y para hacer visible la dualidad de las figuras geométricas, se establece la diferencia entre dibujo y figura.
El dibujo es en sí la representación concreta y tangible (que se hace con trazos en un papel o con pixeles en una pantalla) de un objeto geométrico ideal. El dibujo hace referencia al objeto geométrico. Se resaltan las características figurales mencionadas: forma, posición, tamaño, color, grosor de sus trazos.
La figura es un representante de una clase de objetos, en la cual, todos sus elementos comparten un conjunto de propiedades geométricas que la definen, de ahí su carácter ilustrativo. Al pensar con una figura no se piensa en un dibujo específico, más bien, se piensa en cualquiera que represente al objeto geométrico y en todas las propiedades que lo definen. La figura es una mancuerna formada por el objeto geométrico ideal (con todas sus propiedades) y todos los dibujos que representan a dicho objeto geométrico (Laborde y Capponi, 1994).
Un software geométrico permite apreciar la noción de figura en los términos mencionados. Hemos comentado que en ellos las figuras se construyen a partir de unas cuantas instrucciones básicas: el usuario le especifica al software las relaciones subyacentes (determinadas por los objetos matemáticos) y éste preserva sólo esas relaciones mientras que deja las características superficiales (el dibujo) completamente maleables (Larios, 2006).
Por otro lado, al trabajar con figuras geométricas debemos reconocer que es posible realizar diversos procesos con ellas. Cuando un profesor dibuja un rectángulo en el pizarrón, habla de él como si en realidad fuera un rectángulo y espera que sus alumnos lo interpreten de manera similar. Sin embargo, sin nos fijáramos cuidadosamente, podríamos ver que en realidad no es exactamente un rectángulo. Es evidente que el profesor espera que los alumnos realicen un proceso de idealización (en el sentido de considerar el rectángulo como un concepto figural dotado de idealidad). En otras palabras, para el profesor, el rectángulo, implícita o explícitamente es una figura ideal (Malaspina y Font, 2010) alrededor de la cual él y sus alumnos producen discursos.
El rectángulo, dibujado en el pizarrón o en una hoja de papel, es concreto y ostensivo (en el sentido de que está hecho con gis o tinta y que es observable) y como resultado de un proceso de idealización, adquiere el carácter de objeto no ostensivo (en el sentido de que es un objeto matemático que no puede ser presentado directamente). Por otro lado, este objeto no ostensivo es particular. Este tipo de objeto individualizado se llama objeto extensivo (Malaspina y Font, 2010). Por lo tanto, como resultado del proceso de idealización, se ha pasado de un objeto ostensivo extensivo a uno no ostensivo que sigue siendo extensivo. Así el proceso de idealización duplica entidades. Además del objeto ostensivo, el cual existe en el mundo de las percepciones sensoriales, se crea un objeto idealizado no ostensivo.
Además del proceso de idealización, existe otro proceso de generalización que permite ver el rectángulo como un caso particular de cualquier figura con una forma similar. A ese tipo de objeto se le llama objeto intensivo. En ese sentido, el proceso de generalización permite ver lo general en lo particular. Permite apreciar que el rectángulo es un elemento de un conjunto en el cual sus elementos tienen ciertas características en común. Es así que, a través de un doble proceso de idealización y generalización, una figura puede transitar de ser ostensivo extensivo a ser no ostensivo intensivo, pasando por no ostensivo extensivo.
El concepto de la forma en niños pequeños
Una vez aclarada la diferencia entre dibujo y figura y recordando que para lograr trabajar eficientemente en geometría se debe articular la aprehensión perceptiva con alguna de las otras tres, debemos reflexionar sobre el tema de qué tan natural o espontánea es la aprehensión perceptiva para un alumno, al menos en sus primeros años escolares.
Con respecto a esto, podemos decir que diversas evaluaciones del aprendizaje de las matemáticas indican que los estudiantes de primaria no están en condiciones de aprender los conceptos básicos de geometría ni de resolver problemas geométricos, debido, no sólo a que su aprendizaje geométrico anterior ha sido memorístico, sino también a que con frecuencia no reconocen componentes, propiedades y las relaciones entre ellos. Uno de los principios de la enseñanza para una adecuada comprensión es que se debe construir sobre las ideas existentes que tiene un niño. Por lo tanto, es importante conocer qué criterios utilizan los niños pequeños para clasificar o distinguir unas figuras de otras (Clements y Batistta, 1999).
Las líneas de investigación referentes a las concepciones geométricas de los niños, han ofrecido fundamentos útiles pero también han dejado vacíos que obstaculizan el mejoramiento de los planes de estudio y enseñanza. Las tres principales líneas de investigación se han basado en la teorías de Piaget, de van Hiele y de los psicólogos cognitivos. Una de las principales aportaciones de Piaget e Inhelder (1967), sobre las concepciones de los niños acerca del espacio, es que las representaciones espaciales se construyen a través de la progresiva organización de las acciones motrices que el niño interioriza. En este sentido, la fuente de la construcción de las representaciones espaciales no está en el pensamiento, sino en la manipulación directa del espacio.
De acuerdo con la teoría de van Hiele, el pensamiento geométrico de los estudiantes se desarrolla, auxiliado por la instrucción, a través de varios niveles de conocimiento (van Hiele, 1986). El primer nivel es el visual y hay otros cada vez más sofisticados: el descriptivo y analítico, el abstracto y de relación, el formal deductivo y el matemáticamente riguroso.
En el nivel visual, los estudiantes identifican formas de acuerdo a su apariencia, su reconocimiento es visual del tipo Gestalt. Utilizan prototipos visuales, dicen, por ejemplo, que una figura dada es un rectángulo porque "se ve como una puerta." Los niños en este nivel no atienden a las propiedades geométricas o rasgos que caracterizan a una figura. Clements y Battista (1992) sugieren un nivel anterior al visual, al que llamaron precognitivo. En este nivel, anterior al nivel visual, los niños pueden únicamente percibir un subconjunto de las características visuales de una figura y no son capaces de identificar muchas formas comunes o distinguir de entre las figuras de la misma clase. Del mismo modo, no son capaces de distinguir los círculos, triángulos y cuadrados de entre otras figuras menos comunes. Las personas en este nivel comienzan a construir esquemas o redes de relaciones (basados en conceptos geométricos y patrones preestablecidos) que les permitirán crear patrones de clasificación.
Muchos niños llaman a una figura cuadrado debido a que (Clements, Swaminathan, Zeitler y Sarama, 1999). Otros, al decidir si una figura es un cuadrado, toman en cuenta atributos que para ellos son relevantes, como el tener cuatro lados y cuatro , pero clasifican algunos rombos como cuadrados debido a que se apoyan en la apariencia general sin percatarse de las propiedades que los definen. Estos niños, aun cuando su prototipo, el cuadrado, tiene características de perpendicularidad, basan sus juicios en la similitud (es decir, está cerca de la perpendicularidad) en lugar de basarlos en la identidad (perpendicularidad) y, por lo tanto, aceptan formas que . El no considerar tales atributos relevantes (perpendicularidad) o el confiar en atributos irrelevantes ocasiona clasificaciones erróneas. Esta situación se genera debido a que los juicios se apoyan en la apariencia general.
Un acercamiento que haga clasificaciones enfatizando los atributos relevantes de las figuras y que no preste atención, a los irrelevantes logra que los niños hagan un mayor número de clasificaciones correctas. Por último, es indispensable que las personas sean capaces de hacer clasificaciones correctas, en el sentido descrito, para un alto desempeño con configuraciones geométricas más complejas (Clements, Swaminathan, Zeitler y Sarama, 1999). Por lo tanto, para que las personas puedan acceder a todos los niveles de van Hiele y a una adecuada aprehensión perceptiva de las figuras, es necesario que construyan de manera consiente los componentes y propiedades relevantes de las figuras geométricas como objetos cognitivos. Este proceso requiere la mediación de artefactos y manipulables en las tareas de construcción física.
Ayudar a los niños a transitar a través de los niveles de van Hiele puede ser tomado como un objetivo educativo fundamental.
La importancia de hacer clasificaciones de figuras de acuerdo con sus atributos relevantes redunda en un tratamiento figural adecuado para iniciarse en la visualización matemática. Hacer un uso adecuado de las definiciones que establecen las propiedades de las figuras estudiadas, es un trabajo que antecede a un tratamiento figural prometedor para la solución de problemas matemáticos. Por lo tanto, un punto esencial de la educación es crear actividades que resalten los atributos relevantes de las figuras, lo cual será el inicio de una adecuada visualización matemática de dichas figuras.
Hasta ahora hemos detallado lo que entendemos por visualizar figuras geométricas, la noción de conceptos figurales, la diferencia entre dibujo y figura y que para lograr adecuadas aprehensiones perceptivas es necesario aprender a reconocer los atributos relevantes de las figuras. Cualquiera de los puntos anteriores puede ser considerado como una meta a lograr por la educación pero también, todas ellas en conjunto, pueden ser consideradas como un medio o prerrequisito para afrontar satisfactoriamente el aprendizaje de la geometría. En particular estamos interesados en ligar la teoría expuesta con el concepto geométrico de conservación de área, debido a que la visualización está en la base de su entendimiento. Kospentaris, Spyrou y Lappas (2011) mencionan que, con respecto a la investigación realizada en conservación de área, un aspecto con especial interés es el de la visualización debido a las dificultades perceptuales que entraña.
Para hablar del concepto de conservación de área, debemos primero establecer un acuerdo acerca del área de una figura.
El concepto de conservación de área
El área, entendida como el espacio dentro de una figura bidimensional, y el concepto de conservación de área son ideas fundamentales para un adecuado entendimiento del área.
El área es un atributo estable de las figuras. Puede ser definida como la porción de superficie plana, medible y definida, encerrada por una figura. Además el área puede permanecer inalterada mientras la figura cambia de forma. Entender la conservación del área es entender que un área, la cual se compone de sub-áreas o partes acomodadas de cierta manera, puede permanecer invariante a pesar de que sus partes o sub-áreas se reacomoden o reorganicen de diversas formas. Estos reacomodos implican la conservación tanto en las partes como en el área completa. La capacidad de entender el área de la manera anterior es un prerrequisito indispensable para comprender la medición de áreas, debido a que cuando medimos el área de una figura, asumimos que sus partes permanecen inalteradas y que se pueden acomodar de diversas formas sin que el área total se modifique.
Conservación de área significa que el valor cuantitativo de un área permanece inalterado, mientras que la figura puede ser cualitativamente nueva (Piaget, Inhelder y Szeminska, 1981). La comprensión de este concepto es un proceso que da sentido a porqué el área de una figura se puede representar de manera numérica (cantidad de unidades cuadradas), visual (la región determinada por una figura) y simbólica (fórmula).
Los significados que los estudiantes pueden dar al concepto de la conservación de área están muy relacionados con las herramientas que utilizan y las figuras con las que trabajan. El entendimiento de conservación de área puede ser ampliado si se utilizan representaciones visuales dinámicas de las figuras (Kordaki, 2003).
Estudios anteriores relacionados con la conservación de área se han basado en la obra de Piaget (Piaget, Inhelder y Szeminska, 1981) y han investigado el pensamiento de los estudiantes con respecto al concepto de conservación de área como un paso preliminar para la medición de áreas. Este punto de vista se manifiesta en las herramientas propuestas a los estudiantes: papel y tijeras en combinación con acciones sensoriales y motoras como cortar, mover y pegar las piezas de una figura para formar otras con área equivalente. Este tipo de actividades permite comprender que dos figuras distintas pueden tener la misma área pero no resalta el hecho de que tal transformación es una estrategia que permite calcular numéricamente el área y establecer una fórmula. Vemos pues, que la conservación de área ha sido investigada en forma aislada de la medición de área y de las fórmulas de área. Es esencial que los alumnos, de educación básica y media, integren estos tres conceptos, que se interrelacionan, en un solo concepto de área (Kordaki, 2003). La comprensión de todos estos conceptos en su conjunto es un proceso más elaborado, pero también esencial para los estudiantes de grados iniciales de educación, así como para los de grados más avanzados.
Aspectos esenciales en el entendimiento de conservación de área son el de compensación, la relación parte-todo, reversibilidad y transitividad (Kospentaris, Spyrou y Lappas, 2011). Los estudiantes pueden dominar estos aspectos a través de tareas que involucren materiales físicos, manipulables y dinámicos. Entender el concepto de conservación de área a través de actividades como estas, es un prerrequisito indispensable para entender el de medición de área. A pesar de esto, está noción ha sido poco atendida (Kospentaris, Spyrou y Lappas, 2011).
Por otro lado, los estudiantes tienen problemas para entender que dos figuras con distinta forma pueden tener la misma área, así como para entender un área como la suma de sus partes. Además, el que tengan problemas con la noción de conservación de área está relacionado con que sus conclusiones se basan solamente en su aprehensión perceptiva. Los estudiantes comparan el área de dos figuras distintas centrando su atención en el hecho de que tienen distinta forma (que para ellos es lo que más domina) y, en consecuencia, piensan que tendrán distinta área. Al hacer conclusiones, los estudiantes no pueden relacionar información numérica con información visual si no coincide (si numéricamente tienen igual área no pueden tener distinta forma). Adicionalmente, los estudiantes confunden las áreas con los perímetros y utilizan éstos últimos como alternativa para comparar. Esto ocasiona que piensen que las áreas se conservan si los perímetros se conservan e inversamente.
Otras dificultades, con respecto a la conservación del área, están relacionadas con el concepto de unidad de superficie. En algunos casos, sólo cuentas unidades de área completas, mientras que en otros, cuentan partes que son más grandes que la mitad de la unidad, como si fueran una unidad completa (Hart, 1989).
La comprensión del concepto de conservación de área también está relacionada con el tipo de figuras que se conservan. La mayoría de las investigaciones se centran en el estudio de las dificultades con figuras geométricas estándares como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y triángulos. Sin embargo, no toman en cuenta que los estudiantes entienden la conservación de área en cuadrados y paralelogramos pero enfrentan dificultades con los rectángulos y triángulos (Johnson, 1986). También aparecen dificultades con las figuras irregulares. En estas figuras los estudiantes parecen perder las ideas fundamentales de conservación de área y de unidad de superficie. La idea de la conservación del área permite la construcción cualitativa de la idea de área.
Como hemos mencionado antes, un estudio, considerado un clásico por muchos investigadores, es el de Rouche (1992), citado en (D' Amore y Fandiño Pinillas, 2007). En él se muestra que el rectángulo es la figura privilegiada en el aprendizaje del concepto de superficie. Además se demuestra cómo el rectángulo constituye el punto de partida más importante para la adquisición del concepto de superficie. Esta figura es el punto crucial que puede ser considerada no sólo un prototipo, sino el paradigma por excelencia, dado que es la figura mejor reconocida y en él se puede medir y calcular el área de manera más sencilla, a diferencia de otras figuras que el alumno conocerá en la escuela primaria, como por ejemplo, el triángulo, paralelogramo, trapecio.
Consideramos que para hacer un tratamiento cualitativo y cuantitativo del área, en términos de establecer a la unidad de área como el vínculo natural entre ellos, debemos arribar a la construcción de rectángulos de áreas conocidas para poder compararlos.
Así, bajo la consideración de que se puede determinar el área de un rectángulo como el producto de las medidas de dos segmentos, podemos perfilar la posibilidad de usarlo como un ejemplo del uso de medidas indirectas. Este hecho, que nos permitirá hacer del rectángulo la base para la construcción de una idea adecuada de área, al poder cuantificar de manera sencilla el área en un rectángulo, podremos relacionar áreas iguales en contenedores de distinta forma. Para los alumnos, este hecho es difícil de aceptar y, por tanto, de construir conceptualmente la relación de igualdad entre ellas.
Las dificultades relacionadas con la conservación de área permanecen a pesar de que los estudiantes avanzan escolarmente, incluso hasta que son adultos. Por otro lado, se ha observado que estas dificultades persisten, incluso, en personas que se preparan como futuros profesores (Hart, 1989).
A pesar de que la noción de conservación de área es importante, no es enfatizada debidamente en los planes de estudio de primaria y secundaria. En tales instancias, los estudiantes trabajan inmediatamente con operaciones y fórmulas para calcular áreas. Esto ocasiona que muchas de las dificultades con respecto a la conservación de área estén relacionadas justo con la prematura aproximación cuantitativa al área, la cual utiliza fórmulas, sin tomar en cuenta una aproximación cualitativa, que enfatiza la noción de conservación de área sin el uso de números (Johnson, 1986). Una aproximación cualitativa reconoce la necesidad de que los estudiantes comprendan el concepto de conservación de área, a través, de dividir el área en partes y reorganizarlas para formar nuevas figuras equivalentes.
Por otro lado, las dificultades que los estudiantes enfrentan con la medición de áreas son atribuidas, primeramente, a la manera aislada en que se estudia el área, sin una relación dinámica con su perímetro y, en segundo lugar, a la incapacidad para cerrar la brecha entre la aproximación tradicional (expresada en el uso de fórmulas) y la aproximación cualitativa que manipula áreas sin el uso de números.
Vemos pues que para que haya un adecuado entendimiento de la noción de conservación de área y, en consecuencia, del de medición de área, es necesario involucrar a los alumnos en tareas que integren sus aspectos cualitativos y cuantitativos. También que un aspecto fundamental para lograr tal entendimiento es el uso de artefactos visuales, dinámicos y manipulables. Por tal motivo, debemos hablar de dichos temas.
Utilización de artefactos
De acuerdo con el marco teórico de mediación semiótica, con perspectiva vygotskyana, desarrollado por Bartolini Bussi y Mariotti (2008), el ser humano, dentro de su esfera de práctica, utiliza artefactos en la consecución de sus logros que de otra manera habrían permanecido fuera de su alcance. Del mismo modo, sus actividades mentales son apoyadas y desarrolladas por medio de signos, es decir, también en el terreno de la actividad mental el ser humano utiliza artefactos en la consecución de sus logros. De acuerdo con Vygotsky, los signos son producto de procesos de internalización y son llamados herramientas psicológicas. En la perspectiva vygotskyana hay una profunda analogía entre signos y artefactos.
La invención y el uso de signos como medio auxiliar en la solución de un problema psicológico determinado es análoga a la invención y el uso de herramientas en un aspecto psicológico. El signo actúa como un instrumento en la actividad psicológica de la misma manera que una herramienta lo hace en un trabajo específico (Vygotsky, 1978).
Vygotsky distingue dos clases de instrumentos mediadores, en función del tipo de actividad que posibilitan: la herramienta y el signo. Una herramienta modifica al entorno materialmente, mientras que el signo es un constituyente de la cultura y actúa como mediador en nuestras acciones, de ahí el término acción mediada. A diferencia de la herramienta, el signo no modifica materialmente el mundo físico, sino que modifica la conciencia de la persona que lo utiliza como mediador y en definitiva, actúa sobre la interacción de una persona con su entorno.
Por otro lado, si tomamos en cuenta el proceso de enseñanza-aprendizaje necesitamos considerar también los aspectos cognitivos. Para tal efecto, la distinción dada por Rabardel (1995) entre artefacto e instrumento es útil. Un artefacto en un objeto material o simbólico per se. Un instrumento (que se distingue del artefacto) es definido como una entidad híbrida compuesta tanto por componentes tipo artefacto, como por componentes esquemáticos que son llamados esquemas de utilización. Los esquemas de utilización son progresivamente elaborados cuando un artefacto es utilizado para realizar una tarea específica. Por lo tanto, un instrumento es una construcción individual.
Según Rabardel (1995), un esquema de utilización es una estructura activa en la que se incorporan experiencias del pasado y organizada de tal manera que se convierta en una referencia para la interpretación de nuevos datos. Por lo tanto, un esquema de utilización es una estructura con una historia que cambia a medida que se adapta a una amplia gama de situaciones y depende de los significados atribuidos a la situación por el individuo.
Cuando un artefacto es introducido en el proceso de resolver una tarea específica, se reconoce una doble relación semiótica: la primera entre el artefacto y la tarea (en este sentido el artefacto es primario ya que se usa directamente en la solución) y la segunda entre el artefacto y una pieza de conocimiento (en este sentido el artefacto es secundario porque representa esquemas de utilización que pueden estar relacionados con la pieza de conocimiento). El objetivo es que los aspectos prácticos, representativos y teóricos sean incorporados (al menos potencialmente) en la actividad semiótica con el mismo artefacto. Cuando un profesor usa intencionalmente los artefactos como instrumentos de mediación semiótica (Bartolini Bussi y Mariotti 2008), él se encarga de transformar los signos (discursos, movimientos, dibujos, etcétera) producidos por sus alumnos en conocimiento matemático.
Vygotsky, (1974) identifica varios sistemas semióticos incluidos el lenguaje, diversos sistemas de conteo, técnicas mnemotécnicas, sistemas de símbolos algebraicos, obras de arte, escritura, esquemas, diagramas, mapas, etcétera. Durante la solución de una tarea, otros sistemas entran en juego, tal como los gestos (entendidos en un sentido amplio como un movimiento físico de una parte del cuerpo (por ejemplo, manos, brazos, ojos, cara).
Para detallar más el uso de artefactos en un salón de clase como un instrumento semiótico con una intención didáctica, vale la pena abordar el tema de los materiales didácticos.
Los manipulables
Es común que en las reformas al currículo matemático se sugiera el uso de materiales didácticos (ábaco, dados, fichas, geoplano, tangram) como un factor importante para mejorar la calidad educativa. Se suele argumentar que este tipo de materiales ayudan a comprender tanto el significado de las ideas matemáticas como las aplicaciones de éstas a situaciones del mundo real (Kennedy, 1986). Sin embargo, es necesario profundizar sobre lo que significa utilizar recursos didácticos (porque no basta con meramente utilizarlos) para mejorar la enseñanza de las matemáticas.
Un material didáctico es cualquier medio o recurso que se usa en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (Godino, 1998). Cabe destacar que los materiales didácticos pueden ser de muy diversa índole: desde libros de texto, software matemático, hasta los propios dedos de las manos o piedrecitas. Distinguimos dos grupos:
Ayudas al estudio: Recursos didácticos que se asumen como parte de la función del profesor, es decir, propiamente el dar clases, presentación de problemas, ejercicios, conceptos. Se incluyen los libros escolares.
Instrumentos (semióticos) para el razonamiento matemático: Objetos físicos tomados del entorno o específicamente preparados, así como materiales gráficos, textos, palabras, los cuales pueden funcionar como medios de expresión, exploración y cálculo en el trabajo matemático.
Son justo los recursos didácticos del segundo grupo, a los que denominamos manipulables y hacemos énfasis en su cualidad de objetos ostensivos. Existen dos clases: manipulables tangibles: activan la percepción táctil y los manipulables gráfico-textuales-verbales: participa la percepción visual o auditiva.
Una vez aclarado lo que entendemos por manipulables, debemos preguntarnos cuál es la función que deben desempeñar en la enseñanza de las matemáticas. Esta pregunta la debemos plantear dentro del marco del papel que los medios de expresión tienen en la actividad matemática. A su vez, esto se puede plantear dentro del marco, más general, del estudio de las relaciones entre lenguaje y pensamiento (una situación o una entidad abstracta, cualquiera que sea su naturaleza, necesitan el lenguaje para ser comunicadas o pensadas). Los medios expresivos son fundamentales en el triángulo epistemológico (signo, concepto, objeto) en sus distintas formulaciones y en las funciones que se establecen entre sus elementos (Godino y Recio, 1998).
Con lo anterior vemos que los manipulables tangibles, junto con el lenguaje ordinario y los símbolos matemáticos, permiten formular y resolver problemas, es decir, no son meros medios de expresión sino que son instrumentos para el trabajo matemático. En resumen: son instrumentos semióticos.
Como afirma Bosch (1994): "El sujeto humano piensa y actúa manipulando objetos sensibles -los ostensivos- que le vienen dados por las instituciones o que él mismo crea deliberadamente [...] los materiales ostensivos son constitutivos de la construcción conceptual y la determinan en gran medida".
Una vez que hemos reconocido a los manipulables como instrumentos semióticos potenciales (porque no los son en sí mismos, sino que depende del uso que se haga de ellos), debemos analizar qué tan eficaz es un manipulable en términos de qué tan bien adaptado está a la función requerida. Por ejemplo, un concepto matemático, como la circunferencia, no se puede plasmar o cristalizar mediante un manipulable, lo que se dibuja es un objeto ostensivo que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente.
Los objetos matemáticos se construyen a partir de sistemas de prácticas que se llevan a cabo ante diversos tipos de tareas y con ayuda de instrumentos semióticos, no por la mera abstracción empírica de cualidades de objetos ostensivos (Godino y Batanero, 1994). Consecuentemente, el uso irreflexivo de materiales manipulables puede constituir un obstáculo para la apropiación efectiva del conocimiento matemático.
La transición de la acción directa sobre material tangible a la acción imaginada, apoyada en sistemas de signos, puede causar conflictos. En el caso de la circunferencia, un estudiante podría pensar que el dibujo hecho con un manipulable es en sí la circunferencia. La circunferencia, como objeto geométrico, es un objeto abstracto, controlada por su definición. Posee cualidades conceptuales como idealidad, abstracción, generalidad y perfección. Las metáforas de y los objetos matemáticos son esenciales para la comprensión matemática, es por esto que los manipulables resultan útiles, pero también nos pueden hacer pensar que manipulamos y vemos los objetos matemáticos, siendo que éstos son intangibles e invisibles.
El lenguaje y la práctica escolar otorgan a los objetos matemáticos connotaciones tangibles y visuales de las que progresivamente los alumnos deben desprenderse en los niveles superiores de enseñanza. Al mismo tiempo, una enseñanza desprovista de manipulación, es decir, acercamientos puramente sintácticos y formalistas, pueden ocasionar un aprendizaje memorístico, rutinario y carente de sentido para los estudiantes.
El uso de manipulables debe permitir el planteamiento de problemas significativos para los estudiantes, apropiados a su nivel y que pongan en juego los conceptos, procedimientos y actitudes buscadas. Los manipulables no ofrecen experiencia matemática por sí mismos. Ésta la activan las personas al enfrentarse a tareas que les resultan problemáticas.
Ahora bien, no es suficiente que el material permita proponer problemas ingeniosos resolubles mediante ideas brillantes al alcance de mentes privilegiadas. Hay que superar la ilusión de que el aprendizaje matemático se produce enfrentando al sujeto a problemas aislados, atípicos e ingeniosos. El estudio matemático se hace buscando las similitudes entre los problemas, reduciéndolos a otros más simples para los que tenemos técnicas de solución, y extendiendo las soluciones a otras situaciones y contextos.
El aprendizaje matemático no es consecuencia directa y exclusiva de la confrontación de los alumnos con tareas más o menos problemáticas. Los problemas matemáticos propuestos en clase formarán parte de dispositivos más generales y complejos que son las situaciones didácticas (Brousseau, 1997). Estas situaciones deben contemplar no sólo los momentos de la acción- investigación personal de los alumnos con las tareas -fase para la cual el material tangible puede desempeñar un papel crucial- sino que deben diseñarse e implementarse, además, momentos de formulación-comunicación de las soluciones, justificación-discusión de las mismas, institucionalización de los conocimientos pretendidos (compaginar las técnicas, el lenguaje y los conceptos puestos en juego con la cultura matemática correspondiente).
Lo que se debe considerar como recurso didáctico no es el material concreto o visual, sino la situación didáctica integral que atiende tanto a las prácticas donde se actúa o interactúa como a las discursivas, de las que emergen las técnicas y estructuras conceptuales matemáticas.
Por último, podemos decir que el uso de materiales manipulables tangibles es adecuado siempre que tales materiales sirvan de apoyo para la reflexión matemática. Enfatizamos que se debe tener precaución con el uso ingenuo de los manipulables, pues como ya dijimos, por sí mismos son objetos inertes.

Objetivo, hipótesis y preguntas de investigación
Objetivo de investigación
El objetivo de nuestra investigación es indagar la forma cómo es posible cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área. Nos proponemos hacerlo a través de un instrumento de investigación que pretende integrar los aspectos de transformación-conservación (comparación), medición y fórmulas en un solo concepto de área.
En esta investigación hemos considerado la importancia de la unidad de área como un elemento central que articula el aspecto cuantitativo con el cualitativo de la noción de área y por tanto imprescindible en la puesta en marcha de la presente investigación.
El instrumento de investigación, inicialmente, ofrece diversas estrategias (cuantitativas y cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras a partir de tres estrategias básicas y de la unidad de área. Posteriormente propone el problema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema de comparación gradualmente transforma en un problema de medición de áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamiento del comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la una a la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollar estrategias que permitan comparar la unidad de área con el área de una figura dada.

Hipótesis de investigación
Enlistamos a continuación nuestras hipótesis de investigación:
Primera hipótesis de investigación: La construcción de la idea de área debe considerar los aspectos cuantitativos y cualitativos asociados a ella. En el primer caso, el área de debe calcular y medir. En el segundo, el área se debe conservar en independencia de su forma.
Segunda hipótesis de investigación: Los estudiantes requieren desarrollar habilidades específicas para tratar figuralmente las representaciones gráficas de los objetos geométricos.
Tercera hipótesis de investigación: Dadas dos figuras, es necesario hacer reconfiguraciones, en las cuales un elemento central es el rectángulo, para poder comparar el área tanto cualitativa como cuantitativamente.
Cuarta hipótesis de investigación: El procedimiento de transformar figuras en rectángulos permite comparar y dar sentido a las fórmulas de triángulos y paralelogramos. Además la unidad de área permite vincular las propiedades cualitativas con las cuantitativas a través de la comparación de rectángulos.

Hipótesis de trabajo
Enlistamos enseguida nuestras hipótesis de trabajo:
Primera hipótesis de trabajo: Una propuesta que tome en cuenta tanto elementos cualitativos como cuantitativos debe integrar aspectos de transformación-conservación de área (comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.
Segunda hipótesis de trabajo: Si los alumnos tienen las herramientas necesarias, es decir, si previamente han desarrollado la visualización (en su modalidad de aprehensión operatoria) de la figuras, a través de actividades expresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso de artefactos como mediadores semióticos (software geométrico, Geoplano, cortado de papel) y son capaces de reconocer los elementos o propiedades relevantes y significativos de las figuras, entonces estarían en condiciones de incorporar en un solo concepto de área tanto sus aspectos cualitativos, como los cuantitativos.

Preguntas de investigación
Dado que el tema principal de nuestra investigación es el concepto del área y que tenemos por objetivo cerrar la brecha entre los enfoques cuantitativos y cualitativos de ella, es importante preguntarnos acerca de las concepciones que los estudiantes tienen de tal concepto. Además, como en nuestro instrumento de investigación, las estrategias de conservación de área son el principal elemento que posibilita construir la idea del área cuantitativa y cualitativamente, entonces, también, debemos preguntarnos sobre cómo asimilan y utilizan tales estrategias.
Enlistamos enseguida nuestras preguntas de investigación:
¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo?
¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área?
¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?


Metodología
La finalidad de esta sección es presentar el contexto en el cual desarrollamos nuestra investigación. Describiremos la población de estudio y las características del taller diseñado.
El taller se llevó cabo en cuatro sesiones durante la semana del 12 al 16 de diciembre de 2011. Cada sesión tuvo una duración de 90 minutos. En el taller se hizo uso del geoplano. Los alumnos lo manipularon al realizar las actividades de tipo cuantitativo. Además tuvieron el apoyo de un programa computacional que simula un geoplano. Al realizar las actividades con enfoque cualitativo, se trabajó con el recortado de papel, como una forma de recomposición y conservación del área, con el apoyo del software geométrico GeoGebra.
Población de estudio
La investigación la realizamos en el plantel Iztapalapa III del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF), ubicado en la Colonia Miravalle de la delegación Iztapalapa del Distrito Federal.
Trabajamos con un grupo de primer semestre de preparatoria. Dicho grupo cursaba en ese momento la asignatura de Matemáticas I. Tuvimos a disposición el horario destinado a la asignatura mencionada para implementar nuestro instrumento de investigación.
Trabajamos con un grupo de entre diez y quince estudiantes por sesión, con edades entre los 15 y los 17 años.
Instrumento de investigación (Diseño del taller)
El instrumento de investigación consistió de un taller expresamente diseñado, el cual se llevó cabo en cuatro sesiones durante una semana. Lo llamamos instrumento de investigación debido a que nos sirvió como medio para recolectar datos y con ellos estudiar los efectos que nuestra propuesta produce. Cada sesión tuvo una duración de 90 minutos.
Durante la implementación del taller participaron el profesor asignado al curso, un asistente y el investigador encargado.
El instrumento de investigación incluyó actividades, previamente diseñadas, que involucran tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del concepto de área. Esto con el fin de cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo con los que comúnmente se trata el tema. Según hemos reportado en nuestro marco teórico y a través de una de nuestras hipótesis de investigación, una propuesta que tome en cuenta tanto elementos cualitativos como cuantitativos debe integrar aspectos de transformación-conservación de área (comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.
Ahora bien, según una de nuestras hipótesis de trabajo, si los alumnos tienen las herramientas necesarias, es decir, si previamente han desarrollado la visualización (en su modalidad de aprehensión operatoria) de la figuras, a través de actividades expresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso de artefactos como mediadores semióticos (software geométrico, geoplano, cortado de papel) y son capaces de reconocer los elementos o propiedades relevantes y significativos de las figuras, entonces están en condiciones de incorporar en un solo concepto de área tanto sus aspectos cualitativos como los cuantitativos.
El hecho de que nuestra hipótesis de trabajo requiera de actividades previas está respaldado por el marco teórico, pues con respecto a la visualización, tenemos que visualizar figuras en geometría es algo que se aprende a través de desarrollar habilidades específicas que permiten aprehender las figuras de diversas maneras (Duval, 1999). Por otra parte, es necesario que las personas construyan de manera consiente los componentes y propiedades relevantes de las figuras geométricas como objetos cognitivos. Este proceso requiere la mediación de artefactos y manipulables en las tareas de construcción física. Es importante aprender a hacer clasificaciones de figuras de acuerdo con sus atributos relevantes y, por lo tanto, un punto esencial de la educación es crear actividades que resalten los atributos relevantes de las figuras, lo cual será el inicio de una adecuada visualización matemática de dichas figuras (Clements, Swaminathan, Zeitler y Sarama, 1999). Este tipo de aprendizaje debió haberse construido en la infancia, aún así, debe ser reactivado para dar paso a un tratamiento figural.
Dado lo anterior, dividimos nuestro taller en dos etapas. En la primera, se involucra a los estudiantes en actividades geométricas con las cuales desarrollen la aprehensión operatoria y aprendan a reconocer los elementos relevantes de las figuras con respecto a su área. En tales actividades están presentes, en todo momento, los manipulables como elementos de mediación semiótica. La segunda etapa, basada en las habilidades y estrategias desarrolladas en la primera, se integran tanto elementos cualitativos como cuantitativos en un solo concepto de área.
Primera etapa
La primera etapa consiste en actividades en las cuales los alumnos aprenden a calcular el área de figuras a través de familiarizarse con dos métodos distintos, los cuales están basados en las estrategias básicas de comparación y medición de áreas (dichas estrategias las presentamos en la siguiente sección).
En el primer método para calcular áreas los alumnos cuantifican el área de un triángulo, en términos de la unidad cuadrada, a partir de inscribirlo en un rectángulo y aplicar las estrategias básicas de comparación de áreas. Se inicia con triángulos rectángulos en los cuales es posible calcular directamente su área con sólo aplicar las estrategias básicas y posteriormente se cuantifica el área de un triángulo cualquiera de forma indirecta, al inscribirlo en un rectángulo y aplicar varias veces las estrategia básicas.
En el segundo método, los alumnos calculan el área de un triángulo. Primero obtienen a partir del triángulo, un paralelogramo con el doble de área. Luego el paralelogramo se transforma las veces que sea necesario en otro que conserva la base y la altura, y por lo tanto, el área del original. Posteriormente, el paralelogramo se transforma en un rectángulo de igual área, en el cual es posible cuantificar directamente su área en términos de la unidad de área. Finalmente para obtener el área del triángulo original, se divide por dos el área obtenida del rectángulo.
En ambos métodos, en todo momento se discuten las dificultades que los alumnos enfrentan.
En los anexos del presente trabajo, se encuentran las secuencias completas y detalladas de las dos estrategias desarrolladas en esta etapa.
Segunda etapa
Esta segunda etapa consiste en una actividad que inicia con un problema concreto de comparar el área de dos figuras geométricas (dos triángulos). Gradualmente este problema motiva la necesidad de medir el área de una figura en términos de una unidad. Este problema, a su vez, conduce a la aplicación de las estrategias desarrolladas en la primera etapa, lo cual simplifica la medición del área de una figura en términos de la unidad. Finalmente se hace ver que el medir áreas es consecuencia del comparar áreas a través de una unidad y que la fórmula para calcular el área de determinado tipo de figuras, es consecuencia de que todas las figuras de ese tipo tienen propiedades o elementos en común. Se hace explícito que el comparar y medir áreas son procesos que están íntimamente relacionados y que dos elementos que están fuertemente involucrados en esa relación son la unidad y la conservación de área. Con esto se integran tanto aspectos cualitativos, como cuantitativos del área en esta actividad. Es importante mencionar que esta actividad supone que los alumnos están familiarizados con diversos elementos que fueron presentados y desarrollados en la primera etapa.
Un esquema detallado de esta actividad es el siguiente:
Se presentan dos triángulos y se plantea la cuestión de que si tienen igual área, es decir, se inicia con un problema de comparación de áreas.
Dado que los alumnos ya desarrollaron diversas estrategias de medición de áreas en la primera etapa, se les pide que traten de hacerlo sin recurrir a ellas ni al uso de fórmulas (que casi siempre conocen), sino solamente con comparación directa.

Se intenta determinar si los triángulos tienen igual área por comparación directa, es decir, se superpone uno en el otro.

Se hace la observación de que, en general, dos figuras al sobreponerlas no empalman adecuadamente como para poder determinar si tienen igual área o si una tiene más que la otra. Se propone buscar una estrategia que permita responder la cuestión. Los alumnos, a partir de la primera etapa, tienen elementos que les permiten proponer las partes de una figura que no quedaron empalmadas y sobreponerlas en las partes de la otra que tampoco quedaron empalmadas.
Este paso se dedica a que los alumnos lleven a cabo la estrategia (si es necesario, con papel y tijeras). La intención es que a partir de llevarla acabo, encuentren que no es una estrategia adecuada pues al recortar las figuras no empalmaran adecuadamente y será necesario recortar varias veces sin lograr determinar si tienen igual área.
Se pide a los alumnos que reflexionen acerca de porqué no es fácil comparar el área de los dos triángulos por comparación directa.
La intención es que perciban que la forma que tengan las figuras es determinante para poder comparar por simple comparación directa área. Cabe aclarar que dados dos triángulos en general no siempre es posible comparar su área por superposición, aunque a veces sí lo sea. Lo que nos interesa resaltar es que la superposición directa no funciona en todos los casos y debido a ello es necesario otro tipo de método de comparación. Se plantea la cuestión de cómo deberían ser los triángulos para que pudieran ser comparados por superposición directa. La intención es que los alumnos noten que para que pudieran ser comparados por superposición directa, deberían tener la "misma forma", es decir, ser semejantes. Se explica que, en general, dos triángulos no son semejantes y por eso no funciona la estrategia elegida. Enseguida preguntamos qué clase de figuras sí pueden ser comparadas por superposición directa. La finalidad es hacer ver que los cuadrados siempre pueden ser comparados directamente. Ahora bien, debemos mostrar que los cuadrados tienen características o elementos que, en general, las demás figuras no tienen, a saber: todos sus lados iguales y todos sus ángulos rectos o de noventa grados.
Después de haber examinado bajo qué condiciones es posible comparar el área de dos figuras por comparación directa y de concluir que tal estrategia no es útil en general, se propone tratar de establecer si los triángulos tienen igual área por medio de la comparación indirecta. Explicamos que compararemos cada uno de los triángulos con la unidad de área establecida en la primera etapa. También explicamos que medir el área de una figura es compararla con otra, que previamente hemos establecido como unidad de área. Asimismo, el número que le asignamos a una figura (el cual depende de la unidad de área) al medirla, no es su área, sino solamente la representa numéricamente en términos de la unidad de área. Por último, consideramos importante explicitar el papel que juega la unidad de área: La unidad de área permite cuantificar el área de las figuras y, por tanto, permite comparar el área de dos figuras cuando no se les puede comparar entre ellas directamente. Es decir, la unidad de área es la que posibilita la comparación indirecta de áreas a través de medirlas en términos de ella.
Este paso consiste en medir el área de los triángulos en términos de la unidad. En la primera etapa se aprendieron dos estrategias para calcular el área de triángulos. Se discutió que la forma más eficiente de calcular el área de un triángulo, consiste en primero transformarlo en un triángulo rectángulo con igual base e igual altura, lo cual ocasiona que todos los triángulos con igual base e igual altura tengan la misma área. Esta área a su vez es la mitad del área del rectángulo en el cual puede ser inscrito el triángulo rectángulo obtenido. Con esto se hizo ver que la fórmula para calcular el área de un triángulo se puede obtener conociendo su base y su altura. En resumen, en la primera etapa, desarrollamos todos los elementos que necesitamos en este momento. Por lo tanto, en este paso sólo se retoma la primera etapa y sus resultados.
Este paso consiste en hacer una reflexión sobre lo que se ha hecho. Se inició con la comparación del área de dos triángulos. Al no poder hacerlo a través de la comparación directa, se introdujo la unidad de área como el elemento que permite hacer la comparación indirectamente. Esto propició medir el área en términos de la unidad. A su vez para lograr cuantificar de manera eficiente el área de una figura es necesario tomar en cuenta propiedades cualitativas, en particular, la conservación de área. Por último, se hizo explícito que calcular el área a través de transformaciones de la figura que conservan el área, permite detectar los elementos relevantes en la cuantificación y, por tanto, le otorga sentido o significado a las fórmulas con las que calcula el área de los triángulos y paralelogramos.
A manera de conclusión de la segunda etapa, señalamos que efectivamente es una propuesta que integra tanto aspectos cualitativos como cuantitativos. Incorpora tres elementos en un solo concepto de área: transformación-conservación de área; de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de área para triángulos y paralelogramos. Afirmamos que actividades como la nuestra, contribuyen a cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo con que comúnmente se estudia el tema.
A continuación mostramos las estrategias básicas de comparación de áreas, así como en un esquema de las estrategias desarrolladas en la primera etapa del taller.
El diagrama presenta las estrategias básicas de comparación de áreas, las cuales se pueden enunciar como sigue:
El área de cualquier triángulo es la mitad del área del cuadrado, rectángulo o paralelogramo que lo contenga de tal forma que dos de sus lados sean lados de la figura y el tercero, sea una diagonal.
También muestra las estrategias puestas en funcionamiento tanto en el enfoque cuantitativo, del lado izquierdo, como en el cualitativo, a la derecha. Se exihibe que tales estrategias son unificadas a partir de la idea de unidad de área.
Es importante señalar que el punto anterior incluye las tres estrategias básicas de compración de áreas, las cuales se refieren a un cuadrado, a un rectángulo y a un paralelogramo. Cada una dice que si dividimos tal figura (el cuadrado, el rectángulo o el paralelogramo) en dos triángulos, al trazar cualquiera de sus diagonales, se obtienen dos triángulos de igual área.
El objetivo de presentarlas como estrategias básicas es que los estudiantes, al resolver problemas de cálculo y de conservación de áreas, el elemento central fuera precisamente la aplicación de tales estrategias básicas. En otras palabras, las llamamos estrategias básicas de comparación de áreas, debido a que a través de ellas desarrollamos, a su vez, las estrategías que desarrollamos en la primera etapa de nuestro instrumento de investigación. Así, en la primera etapa desarrollamos dos estrategias, una de tipo cuantitativo (en la cual para calcular el área de un triángulo se le inscribe en un rectángulo y se aplican las estrategias basicas de comparación de áreas) y otra de tipo cualitativo (en la cual para calcular el área de un triángulo, primero se obtiene un paralelogramo a partir de él, luego el paralelogramo se transforma en rectágulo y se aplican las estrategias básicas para calcular el área del rectángulo y para hacer ver que las transformaciones del paralelogramo conservan el área).



Otra aclaración pertinente es que a su vez las estrategias desarrolladas en la primera etapa del instrumento de invetigación tienen variantes. Por ejemplo, la estrategia cuantitativa la dividimos en tres momentos (como se explicará a detalle más adelante), según el triángulo tuviera dos de sus lados, uno o ninguno, colocados en posición vertical u horizontal con respecto al geoplano.



Puesta en marcha de la actividad, datos y comentarios
Primera fase
Primera sesión
Iniciamos la primera sesión con una breve presentación. Les explicamos a los alumnos que trabajaríamos con ellos una actividad de geometría relacionada con la noción del área de las figuras geométricas. Se explicó también que en esta primera sesión trabajaríamos con el geoplano y nos apoyaríamos de un software de computadora que representa un geoplano, el cual estaba proyectado en el pizarrón.

Les presentamos el geoplano, explicamos qué es y para qué se usa. Del mismo modo, explicamos en qué consistía el software en el que nos apoyamos para desarrollar el taller.
Inicialmente les pedimos que, de manera individual y por escrito, respondieran la siguiente pregunta:
¿Para ti, qué es el área de una figura geométrica, por ejemplo, de un triángulo o de un cuadrado?
La mayoría de las respuestas fueron del tipo cuantitativo, es decir, involucran fórmulas, mediciones, perímetro, etcétera:



Sin embargo, también algunos alumnos dieron respuestas del tipo cualitativo:


"El área es el contenido de la figura", en la primera respuesta o "El área de una figura es por lo cual uno se puede dar cuanta con qué tipo de figura contamos", en la segunda.
Uno de los propósitos del taller es que los alumnos desarrollen diversas estrategias que les permita comparar y, en consecuencia, calcular el área de figuras geométricas, concretamente de triángulos y paralelogramos. Por lo tanto, iniciamos estableciendo nuestra unidad de área o de superficie. Hicimos el convenio que en el geoplano, nuestra unidad de longitud sería la distancia entre dos puntos consecutivos verticales u horizontales y que nuestra unidad de área sería la superficie encerrada por un cuadrado cuyo lado midiera la unidad. De esta manera nos alejamos de la unidad de área como el centímetro cuadrado, pero conservamos la acción de contar unidades de este tipo.
Como en esta primera sesión la intención es generar ideas intuitivas sobre cómo se comporta el área de las figuras geométricas, trabajamos con el geoplano como un manipulable o un artefacto de mediación semiótica. Sin embargo, debemos tener presente que el geoplano tiene limitaciones específicas como las siguientes: Si se colocan segmentos verticales u horizontales, éstos tienen una longitud entera de unidades. Tiene una cuadrícula fija de puntos. Esto implica que en ocasiones las figuras no puedan ser movilizadas o colocadas en la posición más conveniente y también propicia cierta tendencia a colocar las figuras en posiciones prototípicas (vertical u horizontal). En particular, en los cuadrados y rectángulos con lados verticales y horizontales se simplifica obtener su área. Entre sus ventajas tenemos que la manipulación es sencilla y da evidencias perceptuales inmediatas.

Una vez establecida la unidad de área, les pedimos que calcularan el área de un cuadrado construido en el geoplano. Los alumnos no tuvieron problema en decir que lo único que debían hacer era contar cuántas unidades de área o cabían en él.

En seguida les pedimos que calcularan en área de un rectángulo. Tampoco tuvieron problema para decir que sólo debían contar cuántas unidades de área cabían.
Explicamos que saber cuántas unidades de área caben en figuras como las que les acabábamos de presentar, es decir, en cuadrados y rectángulos no representa mayor reto pues la tarea se reduce a contar, debido a la coincidencia del número entero de unidades y las áreas consideradas. Además creamos el consenso de que el área de una figura se puede representar numéricamente con el número de unidades cuadradas que caben en ella. No consideramos actividades en las que se cambiase el tamaño de la unidad de área porque consideramos que eso daría un sesgo distinto al objetivo de la actividad.
El siguiente paso fue presentarles un triángulo con un lado colocado horizontalmente.

Cuando les preguntamos a los alumnos, cuántas unidades de área o caben en el triángulo, ni siquiera nos permitieron terminar la pregunta, cuando algunos de ellos ya estaban contestando:
La primera respuesta fue: "uno".
Casi inmediatamente otro alumno dijo: "dos".
Otros alumnos dijeron: "dos, dos".
Esto nos lleva a suponer que los alumnos en ese momento estaban pensando en completos, es decir, ¿cuántos completos caben en el siguiente triángulo? Esto nos hace considerar que para los alumnos el área de una figura está fuertemente asociada con las unidades de área y más específicamente al número de unidades completas, como cuadrados físicos, que caben dentro de una figura. En este momento, si la unidad de área no cabe completa, entonces no la toman en cuenta.
Les pedimos que construyeran en su geoplano el triángulo en cuestión y que nos explicaran en él sus respuestas.
Una pareja de alumnos, al reproducir el triángulo en el geoplano, inicialmente volvió a decir que cabía uno pero justo como tenían el geoplano a su disposición pusieron el cuadrado que sí cabía con una liga. Trataron después de poner otro cuadrado y vieron que no cabía completo. A partir de las ligas que ya habían puesto, empezaron a observar que los pedazos de cuadrados que sobraban los podían y acomodar en otra parte del triángulo. Esto permite sugerir que los alumnos con sólo ver el triángulo proyectado (primero les presentamos en triángulo a través del proyector, ellos sólo veían y escuchaban lo que hacíamos) no fueron capaces de percatarse que se pueden hacer reconfiguraciones a la unidad de área, pero al tener el manipulable la reconfiguración estuvo su alcance, lo cual es un argumento a favor del uso de manipulables.
La mayoría de los alumnos no logró asociar que el preguntarles cuántas unidades de área cabían en el triángulo, significaba medir su área. No les preocupaba que cuando ya habían puesto la unidad de área que sí cabía completamente, aún sobraran regiones del triángulo sin cubrir. Ellos pensaban que ya habían respondido. Es por lo anterior que explicamos que, por ejemplo, en el cuadrado que previamente les habíamos mostrado, el que cupieran 16 unidades de área significaba que el cuadrado tenía un área de 16 unidades. Explicamos que al poner esas 16 unidades de área en el cuadrado lo habíamos cubierto totalmente.
Desde el punto de vista de la construcción de sus creencias, la unidad de área, como cuadrito, se sobrepone a la de superficie en un sentido más amplio. Además, hasta este momento, impera la idea de que el área es un número a final de cuentas y que encontrar el área es encontrar cuántos cuadritos (completos) caben dentro de la figura.

Por el contrario, en el triángulo al poner la unidad de área que sí cabía completamente, no habíamos cubierto el triángulo en su totalidad. Esto significaba que el área era mayor a una unidad. Al tratar de poner la siguiente unidad, teníamos dificultades porque la unidad no estaba totalmente contenida y, en consecuencia, no podíamos ir contando con exactitud cuántas unidades de área cabían en el triángulo.
Explicamos que en las figuras previas (el cuadrado y el rectángulo) no habíamos tenido problemas porque los cuadraditos cabían de manera exacta en las figuras pero que en el triángulo actual las unidades de área ya no quedaban contenidas de manera exacta. El siguiente paso fue explicarles que justo las actividades que desarrollaríamos nos permitirían calcular el área de triángulos en términos de nuestra unidad de área. Continuamos explicando que para lograr eso, nos apoyaríamos de una regla básica de comparación de áreas. En ese momento, les presentamos las estrategias básicas de comparación de áreas.
A partir de ese momento, calculamos el área de triángulos en términos de la unidad de área. Trabajamos en tres momentos que incrementan su complejidad, lo cual debe llevarlos a adecuaciones que buscan una generalización.
Primer momento
En el primer momento, les presentamos triángulos rectángulos con catetos verticales y horizontales. Esto porque en dichos triángulos, a través de una sola aplicación de una de las estrategias básicas se puede determinar su área.


El primer triángulo que presentamos fue uno rectángulo con catetos iguales y de longitud la unidad. Les pedimos que lo reprodujeran en su geoplano y que utilizaran alguna o algunas de las estrategias básicas de comparación de áreas para calcular su área.
Los alumnos, en general, tuvieron dificultades para poder utilizar las estrategias en el problema que tenían. Las estrategias establecen que cuando se tiene un cuadrado o un rectángulo y se le divide en dos triángulos al trazar una de sus diagonales, los triángulos obtenidos tienen igual área que a su vez es la mitad de la del cuadrado o rectángulo correspondiente. Es decir, las estrategias parten del hecho de tener un cuadrado o un rectángulo pero los alumnos, en el problema actual, tenían un triángulo. No fueron capaces, a partir del triángulo, de reconstruir el cuadrado del cual, el triángulo actual fuera su mitad.
Al pedir a los alumnos que reprodujeran el triángulo y que utilizaran la estrategia, les dimos tiempo para que trabajaran. Transcurrido un tiempo y debido a que nos percatamos que tenían dificultades, sugerimos construir el cuadrado correspondiente para poder aplicar la estrategia. Esta experiencia puede sugerir que, en efecto, algunos de los alumnos no poseen una aprehensión operatoria de las figuras geométricas que les permita resolver problemas. Justo uno de los propósitos fundamentales de estas sesiones de trabajo con los alumnos era fomentar la aprehensión operatoria.
Una vez que les sugerimos que construyeran, en el caso actual, el cuadrado del cual el triángulo que tenían era la mitad, no tuvieron dificultades para decir que el triángulo tenía la mitad de área del cuadrado. Además, que como el cuadrado era la unidad de área, entonces el triángulo tenía media unidad de área.
Propusimos calcular el área de varios triángulos rectángulos. Varios alumnos aún no eran capaces de construir el rectángulo que les permitiera aplicar las estrategias básicas, sino que insistían en cubrir el triangulo con unidades de área. Explicamos que si bien, tal estrategia no es errónea, sí es engorrosa y que, sobre todo, nos interesaba que fuera capaces de aplicar las estrategias básicas.

Trabajamos con varios triángulos rectángulos hasta que todos los alumnos fueron capaces de aplicar las estrategias.
Hicimos un cierre de este primer momento en el que volvimos a aclarar que el intentar cubrir los triángulos con unidades de área no es una estrategia errónea pero sí más tardada y complicada. Acordamos que nuestro objetivo era aplicar las estrategias básicas.
Segundo momento
En el segundo momento, presentamos triángulos que tuvieran solamente uno de sus lados colocado horizontal o verticalmente. Esto debido a que en tales triángulos para calcular su área, en términos de la unidad de área, es suficiente con aplicar un par de veces las estrategias básicas.

Presentamos un triángulo como el que se muestra en la imagen y les pedimos que determinaran su área. Los alumnos no tuvieron dificultad para construir el rectángulo que inscribe al triángulo en cuestión.
Un alumno, al preguntarle cuál era el área del triángulo, inmediatamente contestó:
"10".
Al preguntarle el por qué:
"Porque es la mitad del rectángulo y éste tiene área de 20 unidades".
Su compañera inicialmente estuvo de acuerdo, pero al preguntarles que si estaban seguros, ella dijo:
"No tiene área de 10 unidades".
Aludió a la forma del triángulo, es decir, a que en el caso actual ninguno de los lados del triángulo era diagonal del rectángulo y, en consecuencia, no se podían aplicar las estrategias básicas. Ella dijo que el triángulo no era la mitad a través de darse cuenta que no se podían aplicar las estrategias básicas.
La respuesta del alumno sugiere que él aplica las estrategias básicas, sin tomar en cuenta que no se puede aplicar de manera directa, es decir, generaliza el resultado que obtuvo con los triángulos rectángulos. En ese caso concreto, el triángulo sí tenía área igual a la mitad del rectángulo pero para poder determinarla era necesario aplicar dos veces la estrategia básica. El alumno dio una respuesta correcta pero su razonamiento no fue el adecuado.
En general, los alumnos tuvieron dificultades para lograr aplicar las estrategias básicas en el triángulo. Se les permitió trabajar cierto tiempo y, al igual que en el primer momento, sugerimos estrategias.
Les propusimos que una vez que construyeran el rectángulo, calcularan su área. Enseguida que, en lugar de determinar el área del triangulo, determinaran el área de los dos triángulos rectángulos que quedaban fuera del triángulo, pero dentro del rectángulo. A este tipo de triángulos sí se les podía calcular el área utilizando las estrategias básicas. Por último, para determinar el área que nos interesaba, bastaría con restarle al área del rectángulo la de los dos triángulos rectángulos.

Explicamos lo anterior en el proyector y posteriormente les pedimos que practicaran la estrategia con otros triángulos similares. En este segundo momento usamos una estrategia indirecta pues, como se aprecia, no calculamos el área del triangulo directamente sino que lo hicimos auxiliándonos de triángulos rectángulos.


Hicimos un cierre de este momento. Explicamos que en este tipo de triángulos no basta con aplicar una sola vez las estrategias básicas y también que en realidad ya no se la aplicamos al triángulo que nos interesa sino a triángulos rectángulos convenientes.
Tercer momento
En el tercer momento de la actividad, trabajamos con triángulos que no tenían ningún lado colocado vertical ni horizontalmente con referencia al geoplano.
Los alumnos no tuvieron dificultad para construir el rectángulo correspondiente ni para identificar los triángulos rectángulos que permiten calcular el área. La estrategia que usaron es completamente análoga a la trabajada en el segundo momento sólo que, en el caso actual, se requiere aplicar tres veces las estrategias básicas.

Algunos alumnos persistieron en el razonamiento que habían mostrado en el segundo momento. Decían, sin hacer razonamientos o cálculos, que el área del triángulo era la mitad del área del rectángulo.
En el segundo momento, al trabajar con triángulos con un lado vertical u horizontal sí se cumple que el triángulo tiene la mitad de área de su rectángulo correspondiente, aunque no es posible determinarlo a través de una sola aplicación directa de las estrategias básicas, sino que es preciso aplicarlas dos veces. El que en los triángulos usados en el segundo momento sea válido el resultado se debe a que es posible trazar una de las alturas del triángulo que lo divide en dos triángulos rectángulos y esa misma altura también divide al rectángulo en dos rectángulos. En los triángulos del tercer momento y restringidos al geoplano, ya no es posible trazar una de sus alturas con las propiedades descritas. Esto ocasiona que el área del triángulo no sea la mitad del rectángulo en el cual está inscrito.
Por ejemplo, un equipo de tres alumnos que estaban trabajando juntos, al determinar el área del triangulo mostrado en la imagen, tuvieron dificultades porque uno de ellos decía que el triángulo tenía área de 10 unidades pues el rectángulo tenía 20 unidades de área. Al realizar el procedimiento de restar el área de los triángulos rectángulos a la del rectángulo, obtenían que el triángulo debía tener área de 9 unidades. El alumno que inicialmente había dado el resultado de 10 unidades comentó:
"…yo tengo entendido que el área del rectángulo es 20 y la mitad es equivalente al triángulo que está en medio".
Idea que se generalizó de las situaciones antes trabajadas. Posteriormente calculamos el área de algunos triángulos sin lados verticales u horizontales con dos propósitos: reforzar la estrategia y mostrar que en este tipo de triángulos no se cumple que su área sea la mitad de la del rectángulo en el cual está inscrito.
Como cierre del tercer momento, explicamos que para los triángulos con los que habíamos trabajado era necesario aplicar tres veces las estrategias básicas, sin embargo, la forma de hacer el cálculo era totalmente análoga a la utilizada en el segundo momento, es decir, construir rectángulos adecuados para tomar sus mitades.
Otro punto que enfatizamos en este cierre es que no siempre que un triángulo esté inscrito en un rectángulo, tendrá la mitad de su área. Puntualizamos que para los triángulos presentados en el tercer momento no se puede concluir en automático que tenga la mitad del área de su rectángulo correspondiente.
Por último, como observación general de los tres momentos, explicamos que con las técnicas aprendidas somos capaces de calcular el área de cualquier triangulo que se pueda construir en el geoplano y, sobre todo, que en todo momento estuvimos utilizando las estrategias básicas.
Segunda sesión
Iniciamos la segunda sesión con un recuento de lo realizado en la primera. Les pedimos que calcularan el área de un triángulo para ejercitar lo aprendido.
Esta segunda sesión estuvo dedicada a presentar una estrategia que permite transformar un paralelogramo en un rectángulo que conserva el área. Trabajamos con el geoplano en todo momento.
Metodológicamente, el transformar un paralelogramo en un rectángulo para calcular su área, responde al hecho de que queremos integrar en una sola estrategia elementos cualitativos y cuantitativos. Los elementos cualitativos están propiamente en transformar el paralelogramo en rectángulo. Tal transformación es la parte central de la estrategia y es la que muestra la propiedad que posee el área de permanecer constante en transformaciones de una figuras que conservan el área. Los elementos cuantitativos de esta estrategia se hacen presentes al cuantificar el área del rectángulo a través de determinar cuántas unidades de área caben en él. Los alumnos realizaban la cuantificación multiplicando las longitudes de los lados distintos del rectángulo o contando directamente cuántas unidades de área cabían en él.
Al iniciar propiamente con la segunda sesión, presentamos la tercera estrategia básica de comparación de áreas. Dice que si un paralelogramo es dividido en dos triángulos, al trazar cualquiera de sus diagonales, entonces él área de éstos es la mitad del área del paralelogramo.
Dividimos la segunda sesión en dos momentos.
Primer momento
En el primer momento presentamos un paralelogramo como el que se muestra en la figura, es decir, uno en donde es posible trazar desde un vértice una altura de tal forma que interseca a la base inferior del paralelogramo.
Explicamos que este tipo de paralelogramos los podemos descomponer, al trazar dos de sus alturas, en dos triángulos rectángulos y un rectángulo.

Posteriormente explicamos, con el apoyo visual del software, que uno de los triángulos rectángulos lo podemos desplazar y colocarlo junto al otro triángulo rectángulo de tal forma que el paralelogramo se convirtiera en un rectángulo.
Los alumnos no tuvieron dificultad en asimilar la transformación.

Explicamos, además, que si queremos calcular el área del paralelogramo, una forma de hacerlo es transformarlo primero en un rectángulo que tiene exactamente la misma área y posteriormente, en lugar de calcular el área del paralelogramo, calcular la del rectángulo pues es más sencillo. Hicimos notar que el paralelogramo y el rectángulo en el que lo transformamos tenían la misma base y la misma altura, esto con el fin de que fueran percatándose de los elementos que la transformación no altera.
Desde la primera sesión habíamos creado el acuerdo de que a los cuadrados y a los rectángulos es sencillo calcularles el área en términos de la unidad de área a través del conteo directo. Utilizamos este hecho para, en el caso actual, poder establecer que el área del rectángulo que se había obtenido era de ocho unidades y, en consecuencia, el paralelogramo inicial tenía área de ocho unidades.
El siguiente paso fue proponerles otro paralelogramo, pedirles que lo reprodujeran en su geoplano, construyeran un rectángulo con la misma área y que, en consecuencia, obtuvieran el área del paralelogramo.
Los alumnos no tuvieron dificultades para realizar correctamente lo pedido. Hicimos un tercer ejercicio con otro paralelogramo. Insistimos frecuentemente en este momento, que el transformar primero la figura en otra, en este caso en un rectángulo, a la cual es más fácil calcular el área, es una estrategia de cálculo de áreas. Tal estrategia requiere que la transformación conserve el área.
Como cierre de este primer momento, hicimos notar que: Para poder transformar el paralelogramo tuvimos que descomponerlo en varias subfiguras y reorganizarlas de otro modo. Tal reorganización en todo momento conserva el área de la figura inicial pues no se añaden ni se quitan piezas. El objetivo de transformar el paralelogramo en un rectángulo es calcular el área de aquél de manera más sencilla. El paralelogramo inicial y el rectángulo obtenido tenían igual base e igual altura.
Segundo momento
El segundo momento estuvo dedicado a transformar paralelogramos, como el que se muestra en la figura, en rectángulos que tuvieran igual área. La característica de estos paralelogramos es que al trazar una de sus alturas, desde cualquier vértice, éstas no cortan a la base del paralelogramo opuesta al vértice desde el cual se traza la altura.

Explicamos que, al trazar la diagonal menor, en este tipo de paralelogramos los podemos dividir en dos triángulos con igual área.
Recordamos que nuestra tercera estrategia de conservación de áreas dice que si en un paralelogramo se traza una de sus diagonales, se originan dos triángulos de igual área. Explicamos que justo eso es lo que haríamos en el caso actual. Propusimos trazar la diagonal menor del paralelogramo para dividirlo en dos triángulos. Luego desplazar uno de los triángulos para formar un nuevo paralelogramo. En resumen, propusimos aplicar la secuencia que permite transformar este tipo de paralelogramos en rectángulos
A los alumnos les costó trabajo llevar a cabo la transformación en el geoplano debido a que en él no se pueden trasladar figuras. También en el software que se estaba utilizando, al simular un geoplano, no es posible trasladar las figuras que se han construido. En este sentido tanto el geoplano, como el software utilizado no permiten mover figuras que es justo lo que se requiere hacer para poder asimilar la estrategia. Para presentar exitosamente esta estrategia se requieren manipulables dinámicos, asimismo, se requiere un software dinámico que permita mover de lugar las piezas.
Trabajamos en el geoplano con algunos paralelogramos. La estrategia fue dividir el paralelogramo en dos triángulos y desplazar uno de ellos para transformar el paralelogramo en otro. Este proceso se debe repetir tantas veces como sea necesario, generalmente dos o tres, hasta que el paralelogramo se transforma en uno del tipo de los trabajados en el primer momento. Cuando obtenían un paralelogramo de los del primer momento, debían transformarlo en rectángulo con la técnica que habían aprendido para esos paralelogramos.
Hicimos un cierre de esta segunda sesión. Explicamos que en esta sesión habíamos aprendido que una figura se puede transformar en otra con la propiedad de que ambas tienen igual área. Explicamos que la transformación no es arbitraria en varios sentidos. No se transforma la figura en cualquier otra con igual área, sino que se transforma en otra para la cual es más sencillo calcularla. El paralelogramo original y el rectángulo obtenido tienen la misma base y la misma altura. Enfatizamos que esas propiedades es importante resaltarlas. Concluimos que a diferencia de las estrategias aprendidas en la primera sesión, en donde se trataba de calcular el área de varias figuras para obtener el área de la que nos interesaba, en ésta transformamos la figura para simplificar el cálculo, es decir, en este caso nuestra estrategia toma en cuenta aspectos cualitativos más que cuantitativos.
Tercera sesión
La tercera sesión estuvo dedicada a que los alumnos llevaran a cabo con papel la estrategia de transformar un paralelogramo en un rectángulo de igual área. También estuvo dedicada a mostrarles a través de un software dinámico, Geogebra, tal transformación.
Por parejas les proporcionamos una hoja de papel que tenía impreso un paralelogramo. También les proporcionamos tijeras, reglas y cinta adhesiva para que pudieran realizar la actividad. En general, los alumnos comprendieron bien la tarea y la llevaron a cabo sin contratiempos.



Realizamos la actividad explicando cómo debían llevarla a cabo y utilizamos la movilidad del material para mostrar cómo reorganizábamos las subfiguras del paralelogramo para formar otro.


Como cierre de esta tercera sesión discutimos que básicamente habíamos hecho lo mismo que en la segunda, sólo que en esta habíamos tenido a nuestra disposición materiales que nos permitieron apreciar mejor las propiedades del área. Al igual que en la segunda sesión, enfatizamos que dos figuras distintas pueden tener igual área; que transformar el paralelogramo en rectángulo tiene la finalidad de calcular más fácilmente el área y que la figura inicial y la final, tienen la misma base y la misma altura .
Segunda fase
Cuarta sesión
La cuarta sesión estuvo dedicada a incorporar, en una actividad que transita de la comparación a la medición de áreas, lo que se había aprendido en las sesiones anteriores.
Inicialmente contrastamos y discutimos las técnicas cuantitativas y cualitativas que habíamos visto en las sesiones anteriores. El objetivo era mostrar que para calcular el área de una figura, en general, una estrategia que involucra aspectos cualitativos del área es más eficiente.
Argumentamos que, con la primera estrategia aprendida, para calcular el área de un triángulo es necesario inscribirlo en un rectángulo, calcular el área de uno o varios triángulos rectángulos y la del rectángulo y hacer operaciones con los datos obtenidos. Hicimos ver que si bien, una vez aprendida la estrategia, no es difícil llevarla a cabo, en ocasiones resulta no ser tan eficiente en cuanto a tiempo requerido y economía de cálculos necesarios. En cambio, con la segunda estrategia, calcular el área de un triángulo resulta más eficiente pues, una vez aprendida, sabemos que un triángulo lo podemos transformar en un solo paso en un triángulo rectángulo de igual base e igual altura. Con esto el cálculo de su área se reduce a aplicar una sola vez las estrategias básicas de comparación de áreas.
Al iniciar propiamente con la sesión, les presentamos dos triángulos y preguntamos si tenían igual área.

Enfatizamos que lo que nos interesaba en este momento no era calcular su área sino únicamente comparar su área para poder decidir si es igual.
Inicialmente les propusimos compararlos directamente a través de encimar uno en el otro. La intención era llegar al consenso de que la comparación directa, en general, no es una estrategia eficiente para comparar el área de dos figuras.
A partir de este momento, les propusimos utilizar las estrategias que habían aprendido. Es decir, una vez que se acordó que para comparar dos figuras, estrategias de comparación directa no son las adecuadas, recurrimos a estrategias de comparación indirecta.
En este momento de la actividad explicamos e hicimos ver que el medir el área de una figura, en términos de la unidad cuadrada de área, es una estrategia de comparación indirecta pues para comparar dos figuras, primero las comparamos cada una con la unidad de área para así obtener un número que representa su área. Enfatizamos el significado de la medición como un refinamiento de la comparación.
La estrategia de comparación indirecta que se propuso fue transformar cada triángulo en uno rectángulo y calcular su área en términos de la unidad de área. Con esto se obtuvieron dos números y, al compararlos, se concluyó que los triángulos tenían igual área.
Al final de la cuarta sesión, les presentamos un triángulo y les pedimos que explicaran detalladamente cómo calcularían su área. Les pedimos que fueran lo más explícitos posible. Mostramos y comentamos dos imágenes de sus respuestas. Resaltamos que los alumnos, después de haber discutido la medición como un refinamiento de la comparación y las transformaciones de figuras que conservan el área, lograron integran tanto aspectos cuantitativos como cualitativos en sus respuestas.


Como se aprecia en la imagen, el alumno logra no sólo dar una explicación de cómo calcular el área del triángulo, sino que logra crear toda una secuencia que permite entender los pasos a seguir para hacer tal cálculo. Vemos que al inicio y al final de la secuencia dibuja el mismo triángulo, lo cual muestra el resultado final es el área del triángulo inicial.
Al iniciar, dibuja otro triangulo a lado del original, lo que le permite considerar el paralelogramo. Esto pone en evidencia que el alumno es capaz de aprehender operatoriamente la figura, es decir, es capaz de modificarla con el fin de resolver el problema. Adicionalmente, enfatiza las propiedades relevantes en ese momento del paralelogramo: su base y su altura. Esto muestra que el alumno reconoce los elementos relevantes en el problema a resolver. En este caso, la base y la altura son las magnitudes que permanecerán invariantes.
Posteriormente, transforma el paralelogramo en otro en dos ocasiones y finalmente en un cuadrado. Enfatiza en todo momento los elementos invariantes (base y altura). Con esto, el alumno muestra que es capaz de integrar aspectos cualitativos en la resolución del problema, es decir, utiliza la conservación de área como estrategia que le permitirá calcular el área del triángulo.
Una vez obtenido el cuadrado, lo divide en unidades de área para calcular su área en términos de ella. En este momento integra aspectos cuantitativos en la determinación del área del triángulo. Además integra la idea de unidad de área como medio para calcular numéricamente el área del cuadrado. Enseguida, hace la división numérica del resultado obtenido por dos. Con esto muestra que es capaz de asociar aspectos aritméticos muy relacionados con el uso de fórmulas, para obtener el resultado. Resaltamos que aunque no puso explícitamente una fórmula (porque no era necesario), el alumno sí reconoce los elementos que deben aparecer en ella y sólo hacer la división que tendría que hacer al sustituir la información del triangulo en la fórmula.
Por último, una vez obtenida el área del cuadrado, lo divide en dos triángulos rectángulos y a cada uno le asigna la mitad de área y hace referencia que cada uno de ellos tiene el área del triángulo original.
Como comentario final. Esta imagen nos da elementos para asegurar que, con actividades como las que desarrollamos, es posible integrar tanto aspectos cualitativos como cuantitativos en un solo concepto de área.

En la respuesta que se muestra en esta imagen, el alumno explica que hay dos formas de calcular el área del triángulo. Una es completar el paralelogramo y transformarlo en rectángulo. La otra, explica el alumno, consiste en desplazar el vértice superior del triángulo hasta que quede encima de uno de los vértices inferiores. Hace referencia a que tal desplazamiento debe ser sobre una línea paralela a la base. Con esto se logrará tener un triángulo rectángulo de la misma área al que es fácil calcularle su área porque es la mitad de un rectángulo.
Vemos que este alumno desde el inicio destaca los elementos relevantes del triángulo al marcar la base y la altura. Utiliza la conservación de área (aspectos cualitativos) como estrategia para convertir el triángulo original en un rectángulo con igual base. Calcula el área como base por altura entre dos porque es la mitad del rectángulo (aspectos cuantitativos).
Al igual que en el caso anterior, respuestas como estas permiten ver que es posible integrar los aspectos cualitativos y los cuantitativos en el concepto del área.



Consideraciones, conclusiones y respuestas a las preguntas de investigación

Consideraciones
En esta sección, presentamos las consideraciones hechas a partir de las indagaciones teóricas realizadas y de la implementación del instrumento de investigación diseñado para el presente trabajo. Dividimos las consideraciones en tres bloques. En el primero, están las concernientes al objetivo de investigación. En el segundo, las referentes las hipótesis de investigación. Por último, en el tercer bloque de consideraciones, presentamos las referentes al uso de manipulables como artefactos de mediación semiótica.
Sobre el objetivo de investigación
Hemos dicho que el objetivo del presente trabajo es llevar a cabo una investigación basada en el diseño e implementación de un instrumento de investigación. Dicho instrumento es una actividad que integra aspectos cualitativos y cuantitativos del concepto de área. La finalidad de la actividad es cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo con que comúnmente se estudia el tema. Dado lo anterior, presentamos las siguientes consideraciones:
Ofrecer a los estudiantes de diversas técnicas de comparación y de cálculo de áreas, permite una mejor comprensión de la noción del área de algunas de las figuras geométricas (triángulos, paralelogramos) tanto en sus aspectos cuantitativos, como en los cualitativos.
Establecer de manera clara cuál es la función, utilidad y finalidad de una unidad de área es un elemento clave que favorece el cierre de la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo de la noción de área.
Un elemento que permite articular aspectos cualitativos con aspectos cuantitativos del concepto de área, es el utilizar una estrategia de conservación de área no sólo para hacer ver que dos figuras de distinta forma pueden tener igual área, sino como una estrategia que permite transformar una figura en otra en la cual se simplifica el cálculo de su área. Es decir, la conservación de área también es una estrategia de cálculo de áreas.
Actividades basadas en conservación de área se han utilizado para mostrar que dos figuras de forma distinta pueden tener igual área. Conservación de área ha sido utilizada para mostrar que el área, como concepto matemático, tiene una propiedad específica: el que una figura pueda alterar su forma y perímetro y mantener invariante su área.
Conservación de área, no solo puede ser utilizada para mostrar la propiedad anterior, sino que también puede ser utilizada como una poderosa estrategia del cálculo de áreas. Para ello se requiere que las transformaciones que apliquemos a las figuras no sólo se enfoquen a mantener el área constante (como la mayoría de las investigaciones), o a alterar el perímetro y mantener el área. También es importante que se enfoquen en la forma de la figura resultante, es decir, que al transformar una figura en otra, conservando el área, la forma de la figura resultante, facilite el calcular el área en términos de la unidad cuadrada de área.
Prestar atención no sólo a la conservación de área o a la mancuerna conservación de área y variabilidad del perímetro, sino también a la forma de las figuras resultantes es un elemento que posteriormente permite integrar la conservación de área con el cálculo de áreas en términos de una unidad cuadrada de área.

Sobre las hipótesis de trabajo
En las hipótesis de trabajo mencionamos que si los alumnos previamente han desarrollado la visualización de la figuras y son capaces de reconocer los elementos o propiedades relevantes y significativos de las figuras, entonces están en condiciones de incorporar en un solo concepto de área tanto sus aspecto cualitativos, como los cuantitativos. También propusimos el desarrollo de tales habilidades, a través, de actividades expresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso de artefactos como mediadores semióticos (software geométrico, Geoplano, cortado de papel). Dado lo anterior, algunas consideraciones que podemos hacer, como consecuencia de implementar tales actividades, son los siguientes:
Las estrategias cuantitativas desarrolladas promueven la aprehensión operatoria de las figuras y son un buen instrumento que permite que los alumnos desarrollen y ejerciten la visualización de algunas familias de figuras geométricas. Es por esto que pensamos que actividades que involucran estrategias de este tipo son necesarias pues activan y estimulan mecanismos cognitivos que posteriormente permiten un mejor desempeño en tareas de visualización de figuras geométricas. Cabe aclarar que si bien en términos de estricto cálculo de áreas, este tipo de estrategia es menos eficiente que las cualitativas, su valor radica, como ya dijimos, en la visualización de figuras geométricas que propicia y estimula.
Las estrategias cualitativas desarrolladas permiten no sólo calcular el área de figuras de forma eficiente, sino que permiten justificar el uso de fórmulas para calcular áreas pues muestran, por ejemplo en caso de los triángulos, que las variables que aparecen en determinada fórmula son precisamente los elementos relevantes y que permanecen constantes al transformar la figura.
Los alumnos descubren que, en cuanto a comparar o medir áreas, una cualidad o propiedad relevante de las figuras es el ángulo recto. Ellos descubren que conviene transformar la figura en otra que conserva el área pero que tiene propiedades en común con la unidad de área (un ángulo recto), pues esto permite medirlo muy fácilmente en términos de ella. Asimismo se percatan que es fácil medir el área de una figura cuando comparte una propiedad o elemento (el ángulo recto) con la unidad de área. Los alumnos incorporan la conservación de área como una estrategia de comparación y medición de áreas. De esta manera, para determinar un elemento cuantitativo de una figura (su área, expresada en unidades cuadradas), recurren a propiedades cualitativas de la figura (la transforman en otra con igual área y con un ángulo recto).

Sobre el uso de manipulables
Retomando el marco teórico, podemos comentar que dentro de los manipulables u objetos ostensivos, existen dos clases: los manipulables tangibles (activan la percepción táctil) y los manipulables gráfico-textuales-verbales (participa la percepción visual o auditiva). Con respecto a los manipulables que utilizamos y al uso que los alumnos hicieron de ellos, resaltamos las siguientes consideraciones:
Manipulables poco dinámicos les permiten a los alumnos comprender adecuadamente aspectos cuantitativos del concepto de área. Con el uso de este tipo de manipulables, como el geoplano y un software que simula un geoplano, es posible calcular el área de algunas familias de figuras geométricas con estrategias cuantitativas. Estas estrategias se llevaron a cabo en la primera sesión de trabajo con los alumnos. Consisten en obtener el área de una figura a partir de obtener el área de algunos triángulos rectángulos y de un rectángulo y operar con ellas.
Los manipulables dinámicos permiten comprender adecuadamente aspectos cualitativos del concepto de área. Con manipulables dinámicos, como el cortado y pegado de papel y un software dinámico como Geogebra, es posible calcular el área de figuras geométricas a través de combinar estrategias cualitativas y cuantitativas. Este tipo de estrategias se desarrollaron en la segunda sesión. Consisten en obtener el área de una figura a partir de transformarla en otra al reconfigurarla y trasladar sus subfiguras.
Los alumnos fueron capaces de reconfigurar la unidad de área a través de manipular con el geoplano. No lo habían logrado hacer cuando sólo veían y escuchaban en el software geométrico. Esto pone de manifiesto lo reportado en el marco teórico: los manipulables tangibles, junto con el lenguaje ordinario y los símbolos matemáticos, permiten formular y resolver problemas. Por lo tanto podemos decir que, efectivamente, los manipulables no son meros medios de expresión, sino que son instrumentos para el trabajo matemático y que utilizados en la situación adecuada, permiten percibir elementos que a su vez, posibilitan resolver determinados problemas.

Conclusiones
Como conclusiones de nuestra investigación, presentamos las siguientes:
La unión de materiales manipulables y tareas problemáticas pueden proveer ricas estructuras de validación a los estudiantes. El geoplano aunado a la tarea de calcular el área de un triángulo permiten crear argumentos para validar que no siempre que un triángulo esté inscrito en un rectángulo, tendrá la mitad de su área. El cortado de papel aunado a la tarea de calcular el área de un paralelogramo permiten validar la idea de que un paralelogramo tiene exactamente la misma área que un rectángulo de igual base e igual altura.
Las estrategias básicas de comparación de áreas proveen, a los estudiantes, herramientas que les permiten abordar satisfactoriamente las tareas propuestas en el taller. Como ya se reportó en la sección anterior, los alumnos fueron capaces de determinar el área de las figuras (cuantitativa y cualitativamente) a través de aplicar las estrategias básicas. Si bien, en algunos casos, inicialmente se presentaron dificultades relacionadas con su adecuado uso (punto a tratar en la siguiente conclusión), se lograron superar. Es así que las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden ser una herramienta útil para estudiar el concepto del área, tanto en sus aspectos cuantitativos como en los cualitativos.
El proceso de idealización de las estrategias básicas de comparación de áreas puede derivar en consideraciones equivocadas, como la realizada por algunos de nuestros estudiantes: "El área de un triángulo inscrito en un rectángulo es la mitad de la de éste."
Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área. Esto, a través, de fomentar diversos procedimientos (unos enfatizan los aspectos cuantitativos y otros los cualitativos) que permiten calcular el área de figuras en términos de la unidad de área. Evidencia de esto son algunas de las respuestas (mostradas en las imágenes de la sección anterior) que los alumnos dieron cuando se les pidió que explicaran cómo calcularían el área de un triangulo. En ellas se puede apreciar que los alumnos integran tanto elementos cuantitativos como cualitativos.

Respuestas a las preguntas de investigación

Con respecto a la pregunta: ¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo?
Algunos de los alumnos tienen una idea cuantitativa del área de la figuras. La asocian con las fórmulas a través de las cuales se le calcula; con mediciones a realizar en la figura; con el perímetro de la figura; por mencionar sólo algunas. Sin embargo, algunos estudiantes tienen ideas cualitativas con respecto al área de una figura, como por ejemplo que es el contenido de la figura o que es por lo cual uno se puede dar cuenta del tipo de figura con que se cuenta.
Con respecto a la pregunta: ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área?
Los alumnos, inicialmente, al cuantificar el área de una figura en términos de la unidad de área, sólo consideran el número de unidades de área completas que caben dentro de la figura. Esto concuerda con lo reportado en el marco teórico, en donde hemos mencionado que, con respecto a la conservación del área, algunas dificultades están relacionadas con el concepto de unidad de área. A veces, sólo cuentan unidades completas o cuentan partes que son más grandes que la mitad de la unidad, como si fueran una unidad completa. De igual manera, inicialmente, persisten en calcular el área de las figuras geométricas a través de cubrirlas con unidades de área. Esta práctica la mantienen incluso después de conocer estrategias de cálculo de áreas. Esto puede sugerir que la noción del área como el número de unidades cuadradas que caben dentro de la figura es una noción fuertemente arraigada en los estudiantes.
A partir de lo anterior, podemos ver que, efectivamente, los alumnos tienen una concepción del área de una figura como el número de unidades completas de área que caben en ella. Esto lo pudimos constatar en la puesta en marcha de nuestro instrumento de investigación. Como ya lo reportamos (en la primera sesión de la primera fase de la aplicación del taller), los alumnos, al preguntarles cuántas unidades cabían en un triángulo, contestaron que sólo cabía una o dos. Con esto vemos que inicialmente sólo consideran unidades completas de área.
Adicionalmente, resaltamos que inicialmente los alumnos no lograron asociar que el preguntarles cuántas unidades de área cabían en el triángulo, significaba medir su área. No les preocupaba que cuando ya habían puesto la unidad de área que sí cabía completamente, aún sobraran regiones del triángulo sin cubrir. Ellos pensaban que ya habían respondido.
Desde el punto de vista de la construcción de sus creencias, la unidad de área, como cuadrito, se sobrepone a la de superficie en un sentido más amplio. Además, la idea de que el área es un número a final de cuentas. Hasta este momento, impera la idea de que encontrar el área es encontrar cuantos cuadritos (completos) caben dentro de la figura.
Por otro lado, los alumnos no sólo tienen una idea del área de una figura como el número de unidades que caben en ella, sino que persisten en tal concepción. Como se reportó (en el primer momento de la primera sesión), a pesar de que ya contaban con las estrategias básicas de comparación de áreas, al proponerles calcular el área de varios triángulos rectángulos, varios alumnos aún no eran capaces de construir el rectángulo que les permitiera aplicar la estrategia básica, sino que insistían en cubrir el triangulo con unidades de área. Esto da evidencia de que tal concepción está arraigada. De hecho, durante el desarrollo del taller en donde más tiempo tuvimos que trabajar para lograr un adecuado entendimiento.
Con respecto a la pregunta: ¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?
Algunos alumnos hacen generalizaciones incorrectas al llevar a cabo el proceso de idealización de las estrategias básicas de comparación de áreas. Al pasar de la figura en su forma ostensivo y extensivo a su forma no ostensivo e intensivo, toman en cuenta un caso particular de la figura como no ostensivo intensivo y consideran sus propiedades, pero sólo en la figura presente. Al hacer esto, llegan a conclusiones erróneas debido a que no logran ver las relaciones mereológicas de las figuras (Deliyianni et al, 2009), que, en este caso, se componen de dos tareas cognitivas complementarias pero distintas. La primera se forma con la separación de los elementos que la conforman para poder detectar, por ejemplo, la disposición de los lados. En la segunda se detectan dos triángulos que se unen por la hipotenusa o un rectángulo que tiene sobrepuesto un triángulo rectángulo.
Las actividades desarrolladas en el segundo y tercer momento de la primera sesión, nos sugieren que perciben un triángulo inscrito en un rectángulo y no un rectángulo que es dividido en dos triángulos por una diagonal. En principio estas idealizaciones no son incorrectas pero pueden ser articuladas de forma incorrecta como en la siguiente asociación:
AAAAAABAAAAAAABA
A
A
A
A
A
A
B
A
A
A
A
A
A
A
B
A

En las actividades del primer momento, un triángulo rectángulo se inscribe en un rectángulo. Esto origina dos triángulos iguales y cuya área es la mitad de la del rectángulo (primer renglón de la imagen).
En las actividades del segundo momento, se tiene un triángulo con un lado horizontal o vertical. En un proceso distinto al anterior, tenemos un triángulo que puede ser dividido en dos triángulos rectángulos si se considera una de sus alturas. Cada uno de ellos se inscribe, por separado, en un rectángulo (para poder aplicar la estrategia básica) y cuando se unen de nuevo, el triángulo queda inscrito en el rectángulo (segundo renglón de la imagen). Esto inspira la idea de que siempre que tenemos un triángulo inscrito éste tiene la mitad del área del rectángulo, idea errónea y encontrada entre nuestros estudiantes.
En el tercer momento, se tiene un triángulo cuyos lados no son verticales ni horizontales. Los alumnos generalizan los resultados obtenidos de los momentos y figuras anteriores. Concluyen en automático, es decir, sin aplicar la estrategia básica que el triángulo tiene la mitad del área que el rectángulo (tercer renglón de la imagen).
Incluso algunos estudiantes mostraron la generalización incorrecta en las actividades del segundo momento. En automático concluían que un triángulo, como el mostrado en el segundo renglón de la imagen, tenía la mitad de área que su rectángulo respectivo. En ese tipo de triángulos sí se cumple tal resultado, pero lo que deseamos enfatizar es que daban su respuesta a partir de que veían un triángulo inscrito en un rectángulo y no a partir de observar que tales triángulos se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos a los cuales es posible aplicar la estrategia básica.
Fue en los triángulos del tercer momento donde los estudiantes pudieron confrontar los resultados obtenidos con este tipo de generalizaciones con los obtenidos a través de la aplicación de las estrategias básicas. A través de enfrentar tal conflicto, los alumnos descubren que las generalizaciones que habían hecho no son correctas y que en los triángulos del tercer momento es necesario descomponer el triángulo en tres triángulos rectángulos (tal descomposición se muestra en los anexos en la sección de estrategias de cuantificación de áreas).
Encontramos que el proceso de idealización es complejo y que en él participan tanto los procesos de visualización como los procesos lógicos que los alumnos desarrollan.



Anexos

Estrategias de cuantificación de área
A continuación presentamos las tres estrategias que se desarrollaron en el taller para los estudiantes.
Primera estrategia: Triángulos rectángulos. Se requiere inscribir el triángulo en un rectángulo y aplicar una vez las estrategias básicas de comparación de áreas.


Segunda estrategia: Triángulos con un lado colocado en posición vertical u horizontal. Se requiere inscribir el triángulo en un rectángulo y aplicar dos veces las estrategias básicas.


Tercera estrategia: Triángulos sin lados colocados en posición vertical u horizontal. Se requiere inscribir el triángulo en un rectángulo y aplicar tres veces las estrategias básicas.




Secuencias de conservación de área
A continuación presentamos dos secuencias que permiten transformar un paralelogramo en un rectángulo con igual área.
Primera secuencia: Esta secuencia es la que se utilizó en el desarrollo del instrumento de investigación. A través de la reconfiguración se lleva a cabo la transformación. Se hace notar que en todo momento, la altura y la base de las figuras permanece constante y, por lo tanto, el área también.













Segunda secuencia: Esta secuencia es la que se utiliza en el libro de texto Matemáticas I del IEMS-DF. Como ya se reportó en los antecedentes, en dicho libro no se apoyan en trazos auxiliares (como el establecer una retícula), no se hace explicita la conservación de la altura y la base de las figuras y, por lo tanto, del área. Estos elementos sí son tomados en cuenta en esta secuencia.














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