La complejidad de interpretar demostraciones matemáticas a partir de textos Mabel A. Rodríguez
[email protected] Universidad Nacional de General Sarmiento –Argentina– Rodríguez, M. (2013). La complejidad de interpretar demostraciones matemáticas a partir de textos. En García Pupo (Ed.), Actas del III Simposio de Matemáticas y Educación Matemáticas, Bogotá: UAN
Temática: habilidades matemáticas. Interpretación de textos matemáticos Resumen: En este trabajo reportamos parte de una investigación que intenta favorecer el desarrollo de la habilidad matemática general interpretar un texto matemático en el contexto de Introducción a la Topología, asignatura de la Licenciatura en Matemática de la Universidad Abierta Interamericana, Argentina. Para dichos sujetos nos planteamos como objetivo describir el desarrollo alcanzado de dicha habilidad considerando textos cuya finalidad sea presentar una demostración sobre el tema “conjuntos numerables”. Detallamos el trabajo teórico y metodológico realizado en el que operativizamos la variable desarrollo de la habilidad “interpretar un texto matemático” tanto desde una perspectiva general como sujeta al contenido mencionado y diseñamos y fundamentamos un instrumento para recabar datos. En la conferencia mostramos algunos resultados de su aplicación en una prueba piloto. Palabras claves: habilidades matemáticas – interpretación de demostraciones matemáticas Introducción En la enseñanza de Matemática en general, pero con más intensidad a Nivel Superior, una preocupación de los docentes es ir logrando gradualmente autonomía en sus estudiantes. De hecho muchos investigadores y docentes sostienen esto. Entre ellos Toro (2004) considera la autonomía como el gran propósito de la educación y menciona que “La universidad y los profesores en este nivel deben tener como propósito crear un ambiente fértil en el cual el estudiante, de manera autónoma, estudie, cree, integre y aplique” (p.120). Con el propósito de favorecer la autonomía de estudiantes de carreras de Profesorado y Licenciatura en Matemática en las que trabajamos, siempre consideramos como un rasgo potente de la formación que ésta debe darles a los estudiantes herramientas para que por sí solos puedan aprender algo nuevo (en el sentido de no haber recibido enseñanza sobre ese tema) a partir de textos de Matemática de Nivel Superior. Entendemos que en asignaturas avanzadas de las dos carreras mencionadas, esto debiera ocurrir y, de no ser así, habría que considerar el modo de que los estudiantes adviertan esa dificultad y colaborar con ellos para que comiencen a subsanarla. En dos universidades de Argentina1, durante los últimos años hemos constatado las serias dificultades que los estudiantes tienen a este respecto. Esto lo hemos observado sostenidamente, año tras año, no sólo en materias como Topología, Fundamentos del Análisis (ver por ejemplo Formica, González, Rodríguez, 2009) sino incluso en materias de Didáctica de la Matemática en las que los estudiantes debían aprender algún contenido del Nivel Medio que no fue enseñado en las materias de Matemática Superior, para discutir cómo enseñarlo en la escuela y necesitaban estudiarlo primero para manejarlo profundamente. Distintos docentes advertimos que los estudiantes sólo alcanzaban una lectura superficial de los textos matemáticos. Bastaba pedir que interpreten una definición, un enunciado de un teorema o su demostración y, si esos contenidos no fueron enseñados o explicados en clase, lo que lográbamos era que “repitieran” esos enunciados o demostraciones sin manifestar comprensión. El hecho de que fueran capaces de “leer los símbolos” parecía ser suficiente indicador, para los estudiantes, de estar comprendiendo. Esta realidad nos preocupa pues tanto profesores como licenciados en Matemática necesitan para su 1
La Universidad Nacional de General Sarmiento y la Universidad Abierta Interamericana
trabajo profesional poder leer, interpretar, comprender en profundidad Matemática a partir de textos. Este problema advertido originó una investigación parte de la cual reportamos aquí. En la investigación nos focalizamos en el desarrollo de una habilidad matemática que favorece la autonomía de estudiantes: la interpretación de textos matemáticos. En función de lo recién descripto para este trabajo restringimos esta habilidad a textos matemáticos cuyo contenido sea desconocido para el estudiante y más puntualmente nos focalizamos en demostraciones existentes en textos. Es decir, no estamos trabajando en la producción de demostraciones, sino en la comprensión de las mismas que el estudiante debe lograr autónomamente, sin previa explicación del docente, a partir de su lectura y análisis en textos. En la investigación nos enfrentamos a la complejidad de describir el desarrollo alcanzado de esta habilidad en los estudiantes. Metodológicamente el trabajo es de corte cualitativo y hemos avanzado en aproximaciones teóricas y en el diseño y fundamentación de un instrumento para recabar datos. Presentamos en la siguiente sección el marco teórico considerado, un desarrollo teórico específico de la habilidad que trabajamos y diseñamos y fundamentamos un instrumento que resulta útil tanto para la evaluación de su adquisición en estudiantes como para organizar la enseñanza de esta compleja habilidad. Incluiremos en la conferencia algunos resultados de una prueba piloto realizada en un curso de Topología Básica en la Universidad Abierta Interamericana en 2012. Desarrollo El estudio de las habilidades matemáticas podría ubicarse, en Educación Matemática, dentro del Enfoque Cognitivo. Tomando aportes de Ferrer Vicente (2000), Delgado Rubí (1997), Campistrous (1987) y (1989), y Formica, González y Rodríguez (2009) consideramos la siguiente definición como la más apropiada para realizar nuestro trabajo. Una habilidad es un desempeño deliberado, no casual, adecuadamente realizado que permite resolver correctamente una cierta problemática planteada (Rodríguez, 2012). Esta primera definición es general y con desempeño nos referimos a un “hacer”. Cuando la problemática involucra la Matemática, será una habilidad matemática. Si pensamos en ejemplos de habilidades matemáticas podemos considerar: graficar funciones elementales, calcular volúmenes de cuerpos, optimizar funciones de varias variables, optimizar funciones de una variable, optimizar funciones lineales sujetas a restricciones lineales, etc. En cada ejemplo se observa la presencia de algún contenido matemático. Asimismo podemos concebir una raíz común que puede particularizarse con diversos contenidos. En los ejemplos recién mencionados, “optimizar”. Es así que consideramos habilidades matemáticas generales (HMG) y habilidades matemáticas sujetas a contenido (HMSC). Las primeras de ellas, desde nuestra perspectiva coinciden con el concepto que Delgado Rubí (1997) caracteriza. Cuando mencionamos en la definición de habilidad que es un desempeño deliberado, nos interesa resaltar que el sujeto, previo a actuar, debe tomar conciencia y decidir cuáles serán sus desempeños. Esto lo asociamos con un primer nivel de control que el sujeto debe tener si tiene desarrollada una habilidad. Esto debe plasmarse en cada actuación del sujeto cuando pone en juego una HMSC. Un segundo nivel de control pondrá de manifiesto que el sujeto tenga una perspectiva amplia de una HMG y la domine sujeta a distintos contenidos matemáticos. Puede verse un desarrollo teórico más extenso y un estado del arte en Rodríguez (2012). Estas características asociadas al control nos indican que no basta advertir que un sujeto resuelve correctamente una situación para que estemos seguros que tiene desarrollada la/s habilidad/es necesarias. Podría resolver correctamente y no tener el control de sus decisiones, estando más cercano al plano heurístico. D. Rubí (1997) sostiene una concepción sistémica en el trabajo con habilidades matemáticas generales. Entiende que el trabajo con las HMG se da en un todo de naturaleza jerárquica. Es decir pueden establecerse jerarquías entre HMG. Es interesante que expresa que cada una de las habilidades podría, a su vez, considerarse como un sistema y también un sistema podría ser un subsistema de otro mayor que incorpora otras habilidades. Este rasgo nos resulta relevante a la hora de fijar una HMG para trabajar pues nos permite, en alguna medida y a los fines analíticos, aislarla,
sin pretensión de haber identificado todas las habilidades que deberían estar mínimamente desarrolladas para acceder a ésta, etc., sabiendo que es parte de un sistema. Respecto, específicamente de la habilidad “interpretar un texto matemático” (ITM), ésta es una habilidad matemática general. Consideramos que el segundo nivel de control de esta habilidad incluye reconocer para cada contenido con el que se trabaje: (a) reconocer la estructura discursiva de cada sección del texto que trabajará (si presenta una definición, luego ejemplifica y muestra aplicaciones, por ejemplo o si discute sobre una noción, ahonda en precisiones y finalmente presenta una definición, etc.) (b) identificar las distintas finalidades de las secciones del texto a interpretar: si demuestra un resultado, si comunica sólo el enunciado de una proposición, si explica un procedimiento o esboza la idea de una demostración, si muestra una aplicación, si exhibe un procedimiento, si define un concepto nuevo, si ejemplifica un concepto o propiedad, si plantea analizar de la validez de alguna proposición, etc. (c) según la finalidad identificada, particulariza cómo encarar la interpretación. Este último punto requiere mayor precisión. A continuación avanzamos en función de lo que mostramos en este trabajo. En este trabajo, comenzamos con la ITM sujeta a contenidos: conjuntos numerables. No avanzamos en trabajar con la misma habilidad para distintos contenidos, por lo que no llegamos a trabajar con el segundo nivel de control. Por lo tanto, no incluimos aquí que el estudiante ponga de manifiesto que reconoce la estructura discursiva del apartado. Simplemente le decimos que trabajaremos con “una demostración” de una propiedad de conjuntos numerables. Respecto del ítem (c) recién mencionado, incluimos aquí su desarrollo para la finalidad “demostrar un resultado”, y no así los demás. Para ello se requiere ser capaz de: - expresar oralmente qué dice el resultado, explicar qué intenta probar - reconocer cuáles son los datos con los que se cuenta y a dónde se debe llegar - realizar una mirada global sobre la demostración tratando de identificar cómo encara el autor la misma (si lo hace por el absurdo, si aplica algún resultado, si necesita probar resultados intermedios en medio, etc.). Esto significa describir cómo es el plan para demostrar sin entrar en los detalles. Llamamos a este punto mirada global de la demostración. - reconocer que entre algunos pasos y otros faltan explicaciones, que debe entender cada paso que está explicado y que deberá completar las explicaciones que faltan. Llamamos a este punto mirada local de la demostración. Al considerar esta HMG sujeta al contenido “conjuntos numerables”, podemos aún ser más específicos con el tipo de actuación esperada. Esto se da, en particular en la mirada global de las demostraciones. Un estudiante que tenga desarrollada la HMSC (para conjuntos numerables) debería mostrar, como manifestación del control alcanzado que probar la numerabilidad de un conjunto A podría hacerse lo siguiente (retomaremos esto al encontrar el símbolo && más adelante) - encontrando explícitamente una función biyectiva entre A y el conjunto de los números naturales o entre el conjunto de naturales y A. - encontrando explícitamente una función biyectiva entre A y otro conjunto que ya sepa que es numerable. En este caso debe comprender que apela a que la coordinabilidad entre conjuntos es transitiva o a que la composición de funciones biyectivas es otra función biyectiva. - considerando un conjunto C que sepa de antemano que es numerable y probando que C domina a A, A domina a C y aplicando el Teorema de Bernstein que garantiza la equivalencia entre A y C. - mostrando que existe una función f : A → N inyectiva y apelando al Teorema de Equivalencias2 - mostrando que existe una función g : N → A suryectiva y apelando al Teorema de Equivalencias.
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Teorema (Munkres, 2001, p-51): Son equivalentes: (i) A es numerable, (ii) ∃f : A → N inyectiva, (iii) ∃g : N → A suryectiva
- mostrando que existe una función f : A → C inyectiva donde C es algún conjunto numerable y apelando a una generalización posible del resultado mencionado. - análogamente con la g suryectiva Etc. El problema de investigación, reformulado en términos teóricos tiene como propósito favorecer el desarrollo de la habilidad matemática general “interpretar un texto matemático” en el contexto de Introducción a la Topología, asignatura de la Licenciatura en Matemática de la Universidad Abierta Interamericana, Argentina. Además, para dichos sujetos nos planteamos como objetivo describir el desarrollo alcanzado de la habilidad ITM en textos cuya finalidad sea presentar una demostración sobre el tema “conjuntos numerables”. Para ello, metodológicamente, necesitamos operativizar la variable desarrollo de la habilidad ITM tanto general como sujeta al contenido mencionado y establecer un instrumento para recabar datos. El instrumento seleccionado para recabar datos que nos permitan describir el grado de desarrollo de la habilidad en estudiantes avanzados de carreras de Matemática es un rubric. Presentamos a continuación ese instrumento diseñado para la HMG. Hemos atendido al segundo nivel de control y veremos en el siguiente rubric cómo particularizamos los indicadores tanto del control como de los desempeños (indicadores operativos).
HMG: Interpretar un texto matemático NIVEL MENOS DESARROLLADO
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL DE MAYOR DESARROLLO
Operativización de la habilidad INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Reconocer la estructura discursiva de las secciones del texto
INDICADORES OPERATIVOS
No analiza globalmente el texto para identificar secciones y sus particularidades Lee ingenuamente el texto, considera que “leer los símbolos” y reproducirlos es interpretar
Identificar las secciones del texto a medida que las lee. No repara en su estructura. Reconoce que leerá una definición, o un ejemplo, etc. sin advertir “cuestiones comunes” a cada una de ellas
Reconoce que primero identificará las distintas secciones del texto y su estructura Menciona la organización general del texto
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Identificar las finalidades de las secciones del texto No se plantea reconocer qué finalidad persigue cada sección INDICADORES OPERATIVOS
Lee el texto, sin previo análisis
Reconoce la finalidad de las secciones cuando está explicitada en el texto y cuando no está, no lo hace. Anticipa que se encontrará con una definición o propiedad cuando el texto lo explicita
Tiene claro que debe entender qué es lo que en cada sección se intenta comunicar Es capaz de expresar si el texto intenta demostrar, ejemplificar, etc.
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Para cada finalidad, encara su interpretación No advierte que ante cada finalidad, el texto tendrá características diferentes
Con algunas finalidades, es capaz de anticipar las características esperables
Lee el texto, sin previo análisis
Reconoce que el texto persigue alguna finalidad y en alguna anticipa, previo a la lectura, las características esperables
INDICADORES OPERATIVOS
Identifica las características esperables en el texto, según la finalidad comunicación de la sección Explica claramente cómo son las características de cada sección, según su finalidad.
Consideramos ahora esta HMG sujeta al contenido “conjuntos numerables”. Estamos, entonces, frente a una HMSC. Ya aquí desaparece el segundo nivel de control. Siguiendo con lo propuesto para este trabajo, la única finalidad del texto que detallamos a continuación es “demostrar un resultado”.
HMSC: Interpretar un texto matemático que demuestre un resultado sobre conjuntos numerables NIVEL MENOS DESARROLLADO
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL DE MAYOR DESARROLLO
Operativización de la habilidad a evaluar EXPRESAR ORALMENTE QUÉ DICE EL RESULTADO INDICADORES DE CONTROL
No reconoce que primero debe entender lo que el resultado está planteando
Reconoce que primero debe dedicarse a entender qué expresa el resultado
Reconoce que primero debe dedicarse a entender qué expresa el resultado, explora
INDICADORES OPERATIVOS
Intenta seguir la demostración
INDICADORES DE CONTROL
No se plantea pensar qué significa “probar lo que debe probar” Empieza a tratar de entender la demostración. Ni se da cuenta que no comprende el enunciado
Hace una lectura superflua del enunciado y considera que “poder leerlo” es suficiente
Es capaz de explicar el significado del enunciado en palabras
RECONOCER DATOS Y QUÉ ES LO QUE SE DEBE PROBAR
INDICADORES OPERATIVOS
Se pregunta ¿qué es lo que debo probar? Avanza tratando de desentramar qué es lo que se intenta probar
Tiene claro que debe entender qué es lo que debe probar Es capaz de expresar de otros modos lo que debe probar, busca modos equivalentes de decirlo.
TENER UNA MIRADA GLOBAL INDICADORES DE CONTROL
No advierte que debe reconocer la estructura global de la demostración
Intenta identificar la estructura global
INDICADORES OPERATIVOS
Intenta ir explicando cada cosa que lee
En la lectura, “se pierde”, no advierte cómo es la organización del razonamiento
INDICADORES DE CONTROL
No reconoce que entre un paso y otro faltan explicaciones
INDICADORES OPERATIVOS
Repite los pasos hechos
Identifica la estructura global Anticipa cómo podría alcanzarse la tesis en función del contenido (ejemplo &&) Explica claramente cómo se organiza la demostración, describe, no necesita el texto escrito
TENER UNA MIRADA LOCAL Reconoce que entre un paso y otro faltan explicaciones No es capaz de completar detalles faltantes
Reconoce lo que falta Es capaz de completar lo que falta
Todavía en un plano más desarrollado, podemos considerar un texto en particular. Pegamos aquí del Munkres (2001), el siguiente resultado y especificamos el rubric para él.
Ante esta demostración, proponemos el siguiente rubric.
Rubric para la HMSC para el teorema anterior NIVEL MENOS DESARROLLADO Operativización de la habilidad a evaluar
NIVEL MENOS DESARROLLADO
NIVEL MENOS DESARROLLADO
El resultado desconocido sobre el que trabajarán es UNIÓN NUMERABLE DE CONJUNTOS NUMERABLES, ES NUMERABLE EXPRESAR ORALMENTE QUÉ DICE EL RESULTADO
INDICADORES DE CONTROL
INDICADORES OPERATIVOS
No reconoce que primero debe entender lo que el resultado está planteando
Reconoce que primero debe dedicarse a entender qué expresa el resultado
Reconoce que primero debe dedicarse a entender qué expresa el resultado, explora
Intenta seguir la demostración
Hace una lectura superflua del enunciado y considera que “poder leerlo” es suficiente
Es capaz de explicar el significado del enunciado en palabras Se tiene una familia de conjuntos numerables, indexada por un conjunto de índices que a su vez es numerable, se quiere probar que si se hace la unión de esa familia, el conjunto que se obtiene es también numerable
RECONOCER DATOS Y QUÉ ES LO QUE SE DEBE PROBAR INDICADORES DE CONTROL INDICADORES
No se plantea pensar qué Se pregunta significa “probar lo que debe ¿qué es lo que probar” debo probar? Empieza a tratar de Avanza tratando de
Tiene claro que debe entender qué es lo que debe probar Es capaz de expresar de otros modos lo que debe probar, busca modos
OPERATIVOS
entender la demostración. Ni se da cuenta que no comprende el enunciado
desentramar qué es lo que se intenta probar
equivalentes de decirlo. Puede simbolizar, proponer una notación para los conjuntos numerables así como para el conjunto de índices, expresando que todos ellos son numerables. Plantea la unión de esos conjuntos y deja en claro que deberá probar que ese nuevo conjunto es numerable
TENER UNA MIRADA GLOBAL INDICADORES DE CONTROL
No advierte que debe reconocer la estructura macro de la demostración
Intenta identificar la estructura macro
Identifica la estructura macro Explica claramente cómo se organiza la demostración, describe, no necesita el text. Entiende que usará el teorema de las equivalencias (en la implicación que establece que “ser capaz de encontrar una función suryectiva entre N y el conjunto analizado implica que el conjunto analizado será numerable”. Debe reconocer cuál de las implicaciones usa y deberá reconocer que “no es exactamente el teorema” el que aplicará, sino una generalización del mismo. El autor no usa N, sino N x N que es otro numerable. Ahí debe reconocer que en vez de N está N x N, debe saber que N x N es numerable y que vale cambiar en el teorema N por cualquier otro numerable. Esto último plantea que debe advertir una generalización del teorema de las equivalencias (no necesariamente debería poder probarlo). Luego debe reconocer que para mostrar la existencia de la función suryectiva que busca, “construirá una”. Debe entonces entender que tiene que: decidir cómo definirla primero y luego probar que resulta suryectiva. Luego debe reconocer que para la propuesta de la función deberá utilizar otras funciones suryectivas que sí sabe que existen debido a que sabe que cada conjunto es numerable y que el conjunto de índices también (ahí está usando la implicación recíproca del mismo teorema de equivalencias). Debería reconocer que en un caso “sabe que algo es numerable”, entonces tiene asegurada la existencia de las funciones suryectivas, a diferencia de lo que debe hacer en la demostración que es “probar que algo es numerable”, para lo que construirá una función suryectiva apropiada.
INDICADORES OPERATIVOS
Intenta ir explicando cada cosa que lee
En la lectura, “se pierde”, no advierte cómo es la organización del razonamiento
INDICADORES DE CONTROL
No reconoce que entre un paso y otro faltan explicaciones
Reconoce que entre un paso y otro faltan explicaciones
Reconoce lo que falta
No es capaz de completar detalles faltantes
Es capaz de completar lo que falta. Aquí debería entender cada uno de los pasos. Cómo se define la función buscada, el rol que juega la función suryectiva que va al conjunto de índices (selecciona el conjunto de la familia que está involucrado en la otra función suryectiva) Debe reconocer y poder plantear el enunciado más general del teorema de las equivalencias, entender cada una de las aplicaciones del teorema que producen funciones suryectivas. Completar la prueba de la suryectivdad de la función propuesta.
TENER UNA MIRADA LOCAL
INDICADORES OPERATIVOS
Repite los pasos hechos
Habiendo terminado esta etapa con una fuerte componente teórica y con los instrumentos diseñados y fundamentados hemos realizado una prueba piloto en 2012 con la que obtuvimos los primeros resultados. Esa implementación tuvo inconvenientes pues los estudiantes de la materia en la que realizábamos el trabajo de campo, Introducción a la Topología de la Universidad Abierta Interamericana, por diversos motivos, abandonaron el curso sin embargo tenemos algunos resultados que presentaremos en la conferencia.
Bibliografía [1] Delgado Rubí, J. (1997), Las habilidades matemáticas, Pre-print del Seminario - taller de Didáctica de la Matemática UTN Regional Haedo, Argentina. [2] Ferrer Vicente, M. (2000). La resolución de problemas en la estructuración de un sistema de habilidades matemáticas en la escuela media cubana. Recuperado el 1 de junio de 2011 de www.eumed.net/tesis/2010/mfv/ [3] Formica, A.; González, V.; Rodríguez, M. (2009). Habilidades matemáticas en estudiantes avanzados de Profesorado de Matemática. Poster presentado en el 10º Simposio de Educación Matemática. Universidad Nacional de Luján, Chivilcoy. [4] Munkres, J. (2001). Topología. 2da. Ed. España: Prentice Hall.
[5] Rodríguez, M. Habilidades matemáticas: una aproximación teórica. Enviado a Mathema, enero de 2012. [6] Toro, J. (2004). La autonomía, el propósito de la educación. Revista de Estudios Sociales, 19, 119-124.
