Kurt Gödel, un profilo

Indice

Prefazione

1. L’uomo, l’opera e il contesto storico e culturale 1.1. La vita di Gödel: alcune notizie fondamentali 1.2. Lo sviluppo della logica matematica 1.3. L’opera di Gödel

2. Il teorema di completezza semantica 2.1. Linguaggi, mondi, dimostrazioni 2.2. Se A è comunque vera, allora è dimostrabile 2.3. Completezza semantica e indecidibilità 2.4. Complementi storici e bibliografici

3. I teoremi di incompletezza 3.1. Funzioni e predicati ricorsivi

3.2. L’aritmetizzazione della sintassi di un linguaggio 3.3. Il lemma di diagonalizzazione 3.4. Enunciati aritmetici formalmente indecidibili 3.5. I teoremi di incompletezza: qualche istruzione per l’uso 3.6. Gödel e il programma di Hilbert 3.7. La mente e le macchine 3.8. Complementi storici e bibliografici

4. L’incompletezza all’opera: l’ipotesi del continuo di Cantor 4.1. Il concetto matematico di insieme 4.2. La teoria assiomatica degli insiemi 4.3. Il problema del continuo 4.4. Gli insiemi costruibili 4.5. Il risultato di Gödel 4.6. Proposizioni matematiche assolutamente indecidibili 4.7. L’incompletabilità della matematica 4.8. Complementi storici e bibliografici

5. Gli altri contributi logici di Gödel 5.1. I rapporti tra la logica classica e quella intuizionista 5.2. Un metodo di decisione per alcune classi di formule del prim’ordine 5.3. Sulla logica proposizionale classica 5.4. Sulla lunghezza delle dimostrazioni

5.5. La consistenza dell’aritmetica

6. Gödel e la filosofia 6.1. L’esistenza dei concetti matematici 6.2. Natura e limiti della conoscenza degli enti matematici 6.3. La mente umana e la dinamica della conoscenza matematica 6.4. La filosofia nell’opera di Gödel e l’immagine di Gödel “filosofo”

Bibliografia Indice dei nomi

Dalla prefazione

Kurt Gödel (1906-1978) è stato il personaggio più influente nel panorama della logica matematica del Novecento. A lui si devono alcuni risultati fondamentali da cui è dipeso lo sviluppo di temi di ricerca che rappresentano ancora oggi il punto di riferimento degli studiosi. Egli è anche noto per alcune prese di posizione di tipo filosofico molto discusse, relative ad esempio all’esistenza degli enti matematici o alla natura della mente umana. La combinazione di questo tipo di riflessioni e della straordinaria produzione scientifica che ne è all’origine, ha fatto sì che la complessa personalità di Gödel acquisisse una fama che va ben al di là dei confini piuttosto ristretti della disciplina entro la quale si inquadra il suo contributo matematico. In effetti, l’opera di Gödel è stata oggetto delle attenzioni più disparate e ha dato vita alle analisi più diverse sul significato profondo dei risultati che la nobilitano. Se questa capacità dei risultati di Gödel di varcare la soglia del proprio “habitat” è un fatto di per sé positivo, indice della loro profondità matematica e della loro fecondità concettuale, il modo con cui essi sono giunti alla notorietà attuale non è privo di effetti più discutibili. Alla base della popolarità di Gödel, ad esempio, c’è soprattutto l’interesse suscitato dai suoi celeberrimi teoremi del 1931 che sanciscono l’incompletezza dei sistemi di assiomi per la matematica (cfr. cap. 3). L’enfasi posta su uno dei contributi gödeliani, per quanto indubbiamente tra i più rilevanti della sua carriera e dell’intera indagine matematica del xx secolo, ha condotto a relegare sullo sfondo gli altri risultati da lui ottenuti,

alimentando un’idea riduttiva della portata dell’opera di Gödel e, nel caso del risultato in questione, vanificando la possibilità di valutarne il senso tenendo conto del contesto nel quale invece è opportuno collocarlo. Un secondo problema legato alla notorietà di Gödel dipende dal fatto più generale che, per portare all’attenzione dei non specialisti l’opera di un matematico, occorre trovare un modo per prescindere dalle competenze specifiche che sarebbero necessarie alla sua corretta comprensione. Nel caso di Gödel, e nel caso particolare dei teoremi di incompletezza, questo processo di “volgarizzamento della lettera”, anzi del computo, è andato via via amplificandosi fino a perdere il contatto, in molti casi, con l’effettivo contenuto del risultato originario. Ciò ha fatto sì che si sia finito per far dire a Gödel cose che i suoi lavori non dicono affatto. Questo profilo nasce dall’ambizione di ovviare a entrambi questi problemi, restituendo un’immagine di Gödel più completa e più fedele all’originale, mantenendo allo stesso tempo l’esposizione accessibile per ciò che riguarda le conoscenze matematiche che presuppone e senza tuttavia tradirne il senso. L’ostacolo più formidabile alla realizzazione di questa ambizione è rappresentato dall’ampiezza dell’opera di Gödel e dalla profondità dei tanti temi che l’attraversano. Volendo parafrasare proprio il risultato gödeliano di incompletezza, è impossibile, per ogni profilo di Gödel che voglia essere coerente con la componente matematica dei suoi contributi, essere anche completo e riservare a ognuno di essi lo stesso spazio e lo stesso livello di accuratezza dell’analisi. Questa “regola aurea”, con cui deve fare i conti anche il presente volume, comporta che si faccia una scelta di ciò di cui si vuole parlare e, di conseguenza, di ciò di cui non si vuole parlare. La scelta, in questo caso, è stata quella di privilegiare i contributi che costituiscono la “spina dorsale” dell’opera logica di Gödel e che parte dal teorema della completezza semantica della logica dei predicati classica del prim’ordine (cfr. cap. 2), il primo risultato importante ottenuto da Gödel, passa attraverso i teoremi di incompletezza e arriva alla

dimostrazione di consistenza dell’ipotesi del continuo di Cantor con gli assiomi della teoria degli insiemi (cfr. cap. 4). La ragione della scelta risiede, oltre che nel valore assoluto dei contributi in questione, anche nella centralità che essi rivestono relativamente all’opera di Gödel, tanto per ciò che concerne la restante parte dei contributi gödeliani di natura logica e matematica quanto per alcune riflessioni a cui daranno adito e che finiranno per avere un peso prevalente in una fase più tarda della sua carriera. Resta il fatto che di una cernita si tratta e che, per quanto oculata e motivata possa essere, rappresenta certamente un compromesso rispetto all’ambizione di completezza del profilo di cui si diceva. Per renderne più chiari possibili i confini, si è proceduto a riassumere i tratti salienti della parte restante dell’opera logica di Gödel in un modo inevitabilmente sommario e senza che con questo si possa comunque pensare di aver fatto uguale cenno a tutti i contributi gödeliani del genere (cfr. cap. 5). Infine, c’è la questione relativa alla “svolta filosofica” di Gödel. A un certo punto della sua carriera, intorno all’inizio degli anni Quaranta, le problematiche legate a certe questioni di fondo inerenti alla natura della disciplina e della conoscenza matematica cominceranno a rivestire per Gödel un’importanza prevalente, al punto da diventare il centro della sua attività di ricerca. Alla luce di quell’importanza e di questa centralità, è parso doveroso riservare un giusto spazio anche alle tematiche che attraversano questa parte della produzione di Gödel (cfr. cap. 6). Alla “svolta” connessa con questo passaggio si collega il problema di determinare, con maggiore esattezza di quanto sia possibile fare dalla lettura degli scritti di Gödel, il senso di certe sue affermazioni che se da un lato rivelano in modo indubbio l’interesse per le problematiche filosofiche a esse connesse, mancano dall’altro di quella sistematicità necessaria per poter parlare a cuor leggero di una “filosofia” in un senso compiuto dell’espressione (cfr. cap. 6). A questo problema, per la cui soluzione sembra necessario passare dall’analisi delle fonti primarie alla loro interpretazione attraverso un’opportuna

integrazione per mezzo di altre fonti, si è ritenuto di poter riconoscere il ruolo del confine che non fosse opportuno oltrepassare in questa sede, date le motivazioni dalle quali prende le mosse la scrittura di questo profilo.