Investigación sobre el profesor de matemáticas en la Universidad de Huelva (España)

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11/26/2013

11:22:25 AM

Hoy en día uno de los retos en la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemá ca es poner en el mismo nivel de importancia las necesidades de los estudiantes y de los profesores. Existe una amplia gama de publicaciones dedicadas a entender cómo aprenden matemá cas los estudiantes y a iden car sus necesidades de enseñanza y aprendizaje. Sin embargo pocas son las publicaciones dedicadas a los profesores. Por eso, esta obra pone en el centro de atención la Formación de los Profesores de Matemá cas. En ella varios especialistas analizan, desde el estado del arte que guarda esta formación, pasando por el planteamiento de propuestas sobre cómo debería ser la formación profesional, hasta las tendencias actuales que en el campo de la inves gación en Matemá ca Educa va existen para explicar tan importante proceso. Esta obra es por tanto un referente ú l y necesario, para profesores, estudiantes, inves gadores, diseñadores de curriculum, autoridades educa vas y todos aquellos interesados en el campo de la enseñzana y aprendizaje de la Matemá ca.

ISBN 849969664-5

9 788499 696645

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

Editado por: Crisólogo Dolores Flores María del Socorro García González Judith Alejandra Hernández Sánchez Le cia Sosa Guerrero

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES Editado por: Crisólogo Dolores Flores María del Socorro García González Judith Alejandra Hernández Sánchez Le cia Sosa Guerrero

Primera edición: 2013

© Crisólogo Dolores Flores, María del Socorro García González, Judith Alejandra Hernández Sánchez y Leticia Sosa Guerrero (editores) © Ediciones Díaz de Santos, S. A. D. R. © Universidad Autónoma de Guerrero Javier Méndez Aponte No. 1, col. Servidor Agrario, C. P. 39070, Chilpancingo, Gro. Méx. Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Ediciones D. D. S. México Elisa 161, Col. Nativitas, C. P. 03500 Delegación Benito Juárez, México, D. F. [email protected] http://www.diazdesantosmexico.com.mx/ Ediciones Díaz de Santos C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España [email protected] http:/www.editdiazdesantos.com ISBN: 978-84-9969-664-5 (Días de Santos) Diseño de portada: Judith Alejandra Hernández Sánchez. Formación tipográfica: Gerardo Ibáñez Dolores y María del Socorro García González. Corrección de estilo: María del Socorro García González. Fecha de edición: noviembre de 2013 Impreso y hecho en México

Agradecimientos Expresamos nuestro agradecimiento a quienes hicieron posible la realización de esta obra: a los autores, que con sus propuestas contribuyen a la discusión de la pregunta central ¿Cómo formar a los profesores de matemáticas?, a los evaluadores de las propuestas, que con mirada crítica valoraron cada una de las contribuciones y a quienes ayudaron en la edición de la obra, a todos ellos: ¡Muchas gracias! Sinceramente Los Editores Chilpancingo, Gro. México, Noviembre de 2013.

Contenido Prólogo. Matemática Educativa: La formación de profesores

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Introducción Crisólogo Dolores Flores

13

Sección 1: Formación de los Profesores de Matemáticas: Dos acercamientos al estado del arte en México Introducción a la sección Leticia Sosa Guerrero

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Matemática Educativa y profesionalización docente en matemáticas. El caso de Yucatán Landy Sosa Moguel, Eddie Aparicio Landa, Martha Jarero Kumul, Isabel Tuyub Sánchez

31

La formación de profesores de matemáticas en México desde el currículum oficial Crisólogo Dolores Flores, Judith Alejandra Hernández Sánchez

49

Sección 2: Nuevas tendencias de investigación alrededor de la formación del profesor de matemáticas Introducción a la sección María S. García González

73

Conflictos para precisar el conocimiento disciplinar del profesor de matemáticas Edgar Alberto Guacaneme Suárez

77

Investigación sobre el profesor de matemáticas en la Universidad de Huelva (España) José Carrillo, Eric Flores, Nuria Climent, Luis Contreras Álvaro Aguilar, Dinazar Escudero, Miguel Montes

97

El campo de la formación del profesor de matemáticas y la exclusión de la construcción social del conocimiento matemático. El caso de un programa específico. Daniela Soto Soto

117

El conocimiento didáctico-matemático de los profesores: Pautas y criterios para su evaluación y desarrollo Luis R. Pino-Fan, Vicenç Font, Juan D. Godino

137

Profesionalización docente en matemáticas. Empoderamiento docente: Una mirada emergente Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza, Gisela Montiel-Espinosa

153

Taller de matemáticas emocionales: creencias y emociones de profesores de primaria Miriam Estela Lemus

173

CONTENIDO

Sección 3: Elementos Teórico-Metodológicos a considerar en la Formación de Profesores de Matemáticas. Propuestas Específicas Introducción a la sección Judith Hernández Sánchez

195

La instrucción heurística en la formación de profesores de matemáticas Paul Antonio Torres Fernández

201

El estudio de la práctica docente para un diseño de formación para profesores de matemáticas Víctor Larios Osorio, Vicenç Font Moll

217

La práctica docente en la formación de profesores: Una experiencia de clase Flor M. Rodríguez, Ademir Basso

233

Obstáculos y desafíos que enfrentan los profesores en escenarios de modelización Marcel David Pochulu, Liber Andrés Aparisi

251

Formación de Docentes-Investigadores como estrategia para mejorar la Educación Matemática Ángel Homero Flores Samaniego

267

KFLM: Un entorno de Aprendizaje para el profesor al analizar los errores de los estudiantes Leticia Sosa, Luis Manuel Aguayo, José Luis Huitrado

279

Acerca de los autores

299

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PRÓLOGO MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES ¿Cómo formar profesores de matemáticas desde la Matemática Educativa? Esa es la pregunta que ha motivado la creación de esta obra. Por ello, los editores, Matemáticos Educativos de distintos centros de investigación del país, como son: el Cimate de la Universidad Autónoma de Guerrero, el Cimate de la Universidad Autónoma de Zacatecas y del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Politécnico, convocamos a investigadores a reflexionar en torno a la pregunta antes planteada. La convocatoria fue bien aceptada y resultado de ello, 32 colegas de diferentes latitudes como son: México, Colombia, Argentina, Cuba, Brasil y España, aceptaron colaborar en la obra a través de la investigación que hacen. Conformándose así una compilación de 15 artículos que desde diferentes perspectivas reflexionan sobre lo que implica la formación de profesores de matemáticas. Debido a la diversidad de trabajos recibidos, la obra se conforma de una Introducción y 14 capítulos divididos en tres secciones, cabe mencionar que el contenido de cada capítulo es responsabilidad de los autores. Enseguida mostramos al lector un breve panorama de lo que podrá encontrar en esta obra. En la Introducción, el autor (coordinador de los editores de esta obra) da respuesta a la pregunta central: ¿Cómo formar profesores de matemáticas? Para dar respuesta a tal cuestión parte de tres premisas: el reconocimiento del problema de la desprofesionalización del campo de la enseñanza de la matemática, la identificación del objeto y el planteo del objetivo de la profesión. Plantea que el objeto de la profesión es la enseñanza y al aprendizaje de la matemática y el objetivo es propiciar el aprendizaje. Por ello afirma que el futuro profesional debiera dominar el saber matemático, conocer cómo aprenden los estudiantes, para que sobre estas bases, pueda utilizar o diseñar los métodos, procedimientos y medios didácticos que posibiliten tal aprendizaje. Por ello, plantea que la formación del profesional 11

PRÓLOGO

debiera articularse sobre la base de tres áreas fundamentales: Matemática, Pedagógica y Docente. La Sección 1: Formación de los Profesores de Matemáticas: Dos acercamientos al estado del arte en México, se estructura de dos capítulos, los cuales representan dos visiones acerca del tema, uno particular y el otro general. En el primer caso los autores ofrecen una reflexión sobre las tendencias investigativas en el campo de la profesionalización docente en matemáticas referido a lo realizado recientemente en el Estado de Yucatán. En el segundo caso se presenta un análisis descriptivocomparativo entre las prácticas determinadas en el perfil de egreso y los créditos o materias referentes al campo de la Matemática Educativa en diferentes programas de licenciatura y posgrado en México. La Sección 2: Nuevas tendencias de investigación alrededor de la formación del profesor de matemáticas, se forma de seis capítulos que tratan de nuevas tendencias en la investigación sobre la formación de profesores. En ellas se incluyen metodologías como la investigación acción, o modelos para el estudio del conocimiento del profesor de matemáticas, se resalta la importancia de constructos pertinentes en este ámbito de estudio, como los abordados desde la Teoría Socioepistemólogica, entre ellos el empoderamiento docente y la exclusión. Se presentan constructos de nuevas líneas de investigación en torno a la formación de profesores, como lo es el dominio afectivo. La Sección 3: Elementos teórico metodológicos a considerar en la formación de profesores de matemáticas. Propuestas específicas, se conforma de seis capítulos. En ella se muestran algunas propuestas específicas en torno a la profesionalización de los Profesores de Matemáticas. Cada autor plantea sus propuestas basándose en sus experiencias como formadores y en los resultados de investigaciones en el campo de la Matemática Educativa. La diversidad de ideas y planteamientos que en esta obra se vierten, tienen la pretensión de aportar elementos que puedan delinear mejores formas de entender y estructurar la formación de profesores de matemáticas. Las exigencias actuales reclaman mejores resultados de la Educación Matemática, y cualquier solución pasa inevitablemente por una mejor formación de los profesores de matemáticas. Una de las condiciones necesarias para el logro de tal mejora es la profesionalización del campo. A su vez, la profesionalización y lo que trae aparejado, puede constituirse en un campo fértil para futuras investigaciones o proyectos de desarrollo profesional, en los cuales los interesados pueden incursionar sobre la base de la información que esta obra les provee. Los Editores. 12

INVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS EN LA UNIVERSIDAD DE HUELVA (ESPAÑA) José Carrillo, Eric Flores, Nuria Climent, Luis Contreras Álvaro Aguilar, Dinazar Escudero, Miguel Montes Universidad de Huelva, España Resumen Presentamos la evolución de nuestra investigación sobre las concepciones y creencias, el desarrollo profesional y el conocimiento del profesor de matemáticas. Comenzamos desarrollando instrumentos de análisis de las concepciones sobre la matemática y de las tendencias didácticas. Abordamos la investigación sobre el desarrollo profesional con una noción de desarrollo basada en la comprensión de la práctica y en la relevancia de la reflexión del profesor, particularmente en entornos colaborativos. La investigación sobre el conocimiento del profesor se centra actualmente en el desarrollo de un modelo de análisis del conocimiento especializado del profesor de matemáticas. Palabras clave: Concepciones del profesor, Desarrollo profesional, profesor de matemáticas, Conocimiento especializado del profesor de matemáticas.

Abstract We present the evolution of our research on conceptions and beliefs, mathematics teacher’s development and knowledge. We started developing analysis instrument of conceptions on mathematics and of didactic tendencies. We approached the research on teacher development applying a notion of development, which is based on the understanding of practice and on the relevance of teaches’ reflection, mainly in collaborative environments. Currently, our research on teachers’ knowledge focuses on the development of an analytical instrument of mathematics teacher’s 97

INVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

specialized knowledge. Keywords: Teachers’ conceptions, Teacher development, Mathematics teacher, Mathematics teacher’s specialised knowledge. 1. Introducción Desde hace años nuestras investigaciones se han centrado en el estudio del conocimiento del profesor, incluyendo sus concepciones y creencias, e interesándonos por su desarrollo profesional. Estos intereses han conducido a la elaboración de varias tesis, trabajos y proyectos de investigación, lo que ha dado lugar a diversas publicaciones. La organización del capítulo responde al interés cronológico de nuestras investigaciones. De nuestro interés inicial por estudiar las concepciones y creencias del profesor, pasamos a ocuparnos del análisis de su desarrollo profesional, constituyendo las concepciones una dimensión importante dentro de dicho desarrollo. A continuación se expone el objeto de investigación actual del grupo, centrado en el conocimiento del profesor. Acabamos compartiendo nuestras reflexiones sobre la investigación futura del grupo. 2. La investigación sobre concepciones y creencias La actividad que los profesores desarrollan en sus aulas parece estar orientada por sus concepciones, que mediatiza las opciones respecto al contenido, la metodología, la evaluación o los recursos a emplear. Algunas concepciones, como las relativas a la naturaleza de la disciplina que se imparte, mantienen un cierto estatus contaminante. De forma consciente o inconsciente, los profesores comunican a sus alumnos informaciones de las que, incluso, pueden no estar convencidos. La visión que los alumnos tienen de la Matemática como disciplina, su finalidad en la enseñanza, la toma de conciencia de sus capacidades para aprenderla, los valores socioculturales que pueden llegar a atribuirle, el significado y sentido de los problemas, dependen en gran medida de los mensajes que reciben del profesor; mensajes que son elaborados desde sus concepciones. Nos pareció especialmente relevante el papel de las concepciones ante el desarrollo profesional de los profesores (Carrillo, Climent y Contreras, 1998), bien como impulsoras de dicho desarrollo o como posibles 98

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obstáculos que podrían justificar la escasa eficacia de determinadas estrategias de formación del profesorado. Cuando abordamos estos estudios, a principios de los 90, usamos indistintamente los términos concepciones y creencias, aunque empleamos con más frecuencia el primero, siguiendo a Thompson (1992), para quien las concepciones son el "consciente o inconsciente [conjunto de] creencias, conceptos, significados, reglas, imágenes mentales y preferencias concernientes a la Matemática" (pp. 132). Posteriormente, comenzamos a diferenciar los términos siguiendo a Ponte (1994), para quien las concepciones son constructos a modo de organizadores de las tramas conceptuales de naturaleza esencialmente metacognitiva, dejando las creencias en un dominio con mayor influencia del plano afectivo. Analizando las acciones de enseñanza y rutinas y guiones de acción descritos por Porlán, Rivero y Martín (1997), como elementos más observables del conocimiento profesional, tratamos de inferir las concepciones en forma de constructos hipotéticos. Así pues, entendimos que la concepción de un profesor sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática (CEAM, o sobre el papel de la resolución de problemas en el aula-CRP) era el conjunto de posicionamientos que supone el investigador posee el profesor, tras el análisis de las observaciones, análisis de documentos, de las opiniones y de las respuestas a preguntas sobre su práctica respecto a temas relativos a la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática [y, en particular, a la resolución de problemas] (Contreras, Climent y Carrillo, 1999). Mantuvimos el término concepciones para referirnos a las relativas a la matemática como ciencia, pero usamos la idea de tendencia didáctica de un profesor (siguiendo a Porlán, 1989) para referirnos a las relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, porque las acciones de enseñanza de un profesor no nos permiten caracterizar su perfil de manera exclusiva en un modelo determinado, a pesar de que pueda predominar ciertas características (es ese precisamente el sentido del término tendencia). Por otro lado, quisimos subrayar la idea de que lo que hacemos no es identificar concepciones (expresadas como tendencias), sino inferirlas a través de sus manifestaciones externas, que no son otra cosa que las acciones didácticas antes señaladas. Basados en los trabajos de Ernest (1989, 1991), entre otros, establecimos tres concepciones sobre la matemática articuladas en un sistema de categorías que incluía el tipo de conocimiento (¿qué lo compone 99

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y cómo es?), la finalidad y el modo de evolución [proceso de construcción y tipo de razonamiento] (Carrillo y Contreras, 1994). En la concepción Instrumentalista, el núcleo de la matemática está compuesto de resultados cuya veracidad y existencia no están sujetas a discusión; su finalidad es el desarrollo de otras ciencias y su modo de evolución está basado en la creación y uso de algoritmos generados como relaciones causa-efecto. En la concepción Platónica, el núcleo está en los conceptos y valores racionales, en el marco de un cuerpo de conocimientos preexistente; su finalidad es el desarrollo de la propia ciencia matemática y emerge como explicación a problemas de la propia matemática o de otras ciencias. En la concepción de la matemática como Resolución de Problemas (Ernest, 1989; Carrillo y Contreras, 1995), la esencia está en las estructuras conceptuales, que conforman un conocimiento sometido a revisión constante; su finalidad es el desarrollo de capacidades intelectuales del ser humano y su evolución es dinámica, basada en la resolución de problemas. En cuanto a las tendencias didácticas, usamos las definidas por Porlán (1989): Tradicional, Tecnológica, Espontaneísta e Investigativa. Para caracterizar cada tendencia utilizamos un sistema de seis categorías adaptadas de Gimeno (1985): metodología, sentido de la asignatura, concepción del aprendizaje, papel del profesor, papel del alumno (el que le concede el profesor) y evaluación. Procuramos describir de la forma más amplia posible esas componentes (las seis categorías citadas) a través de un sistema de subcategorías e indicadores, que componen el modelo CEAM (Carrillo y Contreras, 1995). En la tendencia tradicional, algunas características son la exposición magistral, la programación externa al profesor y rígida, el aprendizaje memorístico y el uso de la evaluación con el único fin de medir la capacidad de retener información a corto plazo. En la tendencia tecnológica, el profesor simula los procesos de construcción del contenido, apoyado en estrategias expositivas, con una programación cerrada. Presupone un aprendizaje memorístico pero siguiendo la lógica estructural de la disciplina. La tendencia espontaneísta se caracteriza por actividades de manipulación de modelos, que se espera que produzcan conocimiento. La programación no dispone de una organización inicial. No interesan tanto los conceptos, como los procedimientos y el fomento de actitudes. 100

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En la tendencia investigativa el profesor promoverá la adquisición de conocimientos a través de la investigación mediante una organización dinámica de los contenidos. Interesan los conceptos, el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes matemáticas. El profesor piensa que se aprende investigando por lo que es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje. Pensábamos que, de alguna manera, el desarrollo profesional evolucionaba (o nos gustaría que se evolucionase) desde la tendencia tradicional hasta la investigativa (Carrillo y Contreras, 1993), siendo la resolución de problemas el vehículo ideal para ello (Contreras, Carrillo y Guevara, 1996) aunque no lo planteamos de igual forma en las concepciones sobre la matemática, de tal forma que el modelo personal de concepción de la matemática no tendría que conllevar un recorrido desde el instrumentalismo a la resolución de problemas con paso obligado por el platonismo. Además, pensábamos que podría encontrarse una correspondencia entre la concepción sobre la matemática y la tendencia didáctica de un profesor y que la capacidad de un profesor para resolver problemas estaba también mediatizada por sus concepciones sobre la matemática (Carrillo y Contreras, 1994, 1995). Sucesivas investigaciones (Carrillo, 1998; Climent, 2005) nos han hecho cambiar nuestras ideas iniciales. En cuanto a las relaciones entre concepciones sobre la matemática y tendencias didácticas, no podemos aventurarnos más allá de afirmar que las tendencias tradicional y tecnológica estén más cerca de una concepción platónica o instrumentalista de la matemática, o que una concepción de la matemática sobre resolución de problemas esté más cerca de las tendencias didácticas espontaneísta e investigativa. Además, hemos visto cómo el papel que un profesor otorga a la resolución de problemas en su aula nos informa de su tendencia didáctica (Contreras y Carrillo, 1998, Contreras, 1999) y que las concepciones del profesor pueden guardar alguna relación con su modo de resolver problemas matemáticos [como resolutor, no como profesor] (Carrillo, 1999). Hemos intentado acceder a las concepciones y tendencias didácticas a través de diversos instrumentos, en muchos casos recursivos. Hemos usado cuestionarios, a modo de detonantes, que luego se han seguido de entrevistas semiestructuradas, antes de la acción y después de la misma 101

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(evocación del recuerdo); hemos observado la acción y hemos invitado a nuestros informantes a analizar la acción de otro docente; hemos analizado los artefactos (programaciones, instrumentos de evaluación,…);; hemos pedido al profesor que nos justifique la elección de su libro de texto (Villella y Contreras, 2005). 2. La investigación sobre desarrollo profesional En Matemática Educativa, el desarrollo profesional del profesor de matemáticas (DP) ha sido objeto de estudio en una cantidad considerable de investigaciones (e.g. Jaworski, 1998; Cooney, 2001; Clarke & Hollingsworth 2002; Ponte y Chapman, 2006). En nuestro grupo, la preocupación por entender y propiciar el DP nos ha llevado a utilizar dos ideas nucleares: la reflexión y el trabajo colaborativo. Con base en las investigaciones sobre el desarrollo profesional de profesores (Carrillo y Climent, 2003; Climent, 2005; Climent y Carrillo, 2003) hemos construido una conceptualización del DP que ha sido usada como constructo teórico para estudiar dicho proceso en profesores expertos (Climent, 2005; Ribeiro, 2010) y noveles (Muñoz-Catalán, 2009) en entornos colaborativos. Nuestra comprensión del desarrollo profesional del profesor se asienta en la consideración del profesor como un aprendiz adulto cuyo desarrollo es el resultado de cambios en su estructura cognitiva, pasando a ganar madurez y complejidad (Brown y Borko, 1992). Entendido el conocimiento del profesor como la conjunción de saberes y experiencias que éste posee y de los que hace uso en el desarrollo de su labor docente (Estepa, 2000) [esto es, su interpretación del fenómeno educativo con los saberes y asunciones personales que en ésta intervienen], nos referimos a una comprensión de la práctica (Krainer, 1999) cada vez más completa. Esto supone “una toma en consideración progresiva de la complejidad de dicha práctica y del aprendizaje de los alumnos, y el análisis de ella y actuación considerando cada vez más elementos y adaptándola al aprendizaje de los alumnos concretos” (Climent, 2005, pp. 119). El desarrollo profesional del profesor supone la toma de conciencia de sus concepciones, de su actuación, de su manera de entender la profesión, de su conocimiento y sus necesidades; y, por otro lado y relacionado con lo anterior, la implicación en el cuestionamiento continuo de la práctica (Jaworski, 1998). En ese sentido entendemos la práctica reflexiva, la implicación en un análisis cuidadoso de las situaciones de enseñanza, 102

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antes (planificación), durante (reflexión en la acción) y tras su vivencia en el aula, que puede asociarse con un papel de investigador de su práctica (uno de los aspectos con que Carrillo, 1998, caracteriza el papel del profesor desde un modelo investigativo). En Climent (2005) observamos cómo la reflexión continuada de una maestra sobre su práctica potenciaba adentrarse en cuestiones intrínsecas a la enseñanza y aprendizaje de la matemática, profundizando en aspectos relativos a contenidos específicos. Esto le permitía ampliar su conocimiento didáctico del contenido. Diferenciamos DP de cambio profesional, dado que enfatizamos la importancia de posibilitar oportunidades para que el profesor reflexione sobre su propio conocimiento y concepciones, siendo éste un posible punto de partida para un cambio elegido por el profesor (Climent y Carrillo, 2001) [frente a un cambio en la dirección establecida previamente por el investigador]. Esta perspectiva es coherente con un cambio en la perspectiva metodológica en la investigación sobre el profesor, pasando de una perspectiva analítico-positivista a la humanista al hablar de DP (“los profesores se expresan en sus propios términos, no en el de los investigadores, quienes tratan de comprender a aquéllos desde su propia visión” –Climent y Carrillo, 2003, pp. 388). El protagonismo del profesor en su DP es, por otro lado, un buen punto de partida para que éste asuma posteriormente responsabilidad en su proceso. Podemos representar el proceso de DP con una hélice, donde la progresión indica la complejización del conocimiento profesional del profesor (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2007). Interpretamos la orientación de la hélice aplicando las fases de Sfard (1991) de orientación, cosificación y condensación. La forma de la hélice viene dada por la reflexión, que es a su vez contenido y generatriz de la misma (ver figura 1). Contenido en cuanto que la incluimos en el conocimiento profesional, tomando como referente la práctica reflexiva; generatriz en cuanto a que es el medio a través del cual se crea la hélice. La reflexión permite avanzar en las tres fases mencionadas y queda como poso en el contenido del conocimiento profesional. Con base en la sistematización de nuestras observaciones pudimos establecer explicaciones al proceso de DP desde el punto de vista del modelo cognitivo. Brevemente, la fase de interiorización se caracterizaría por la familiarización con la problemática, previsiblemente a partir del análisis de situaciones cercanas; la fase de condensación implica 103

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desligarse de las situaciones particulares y percibir esa problemática como algo general, lo que supone introducir una nueva variable en la comprensión de situaciones de la práctica; y, finalmente, la fase de cosificación añadiría a lo anterior comprender la problemática con su complejidad (en el nivel relativo en que se encuentre el profesor, no cabe pensar en una comprensión «absoluta»), con sus relaciones y sus derivaciones” (Carrillo et al, 2007, pp. 34-35). Figura 1. Modelo helicoidal de representación del desarrollo profesional.

El modelo helicoidal de la Figura 1, representa el desarrollo profesional desde un enfoque cognitivo, donde consideramos concepciones, conocimiento y metacognición (toma de conciencia). Una preocupación de nuestro trabajo, ha sido considerar el desarrollo profesional del profesor en el caso tanto de profesores expertos como noveles. Caracterizamos al profesor novel como aquel en los inicios de su carrera docente (menos de cinco años de experiencia), mientras que la caracterización de experto es más exigente (en la línea de Schempp, Tan, Manross & Fincher, 1998). Consideramos como profesor experto aquel que posee determinadas características primarias (relativas a su conocimiento para la enseñanza y su práctica docente) y secundarias (como años de experiencia, resultado de evaluaciones externas, participación en actividades formativas y rendimiento de sus estudiantes) (Rojas, Carrillo y Flores, 2012). Además de contrastar la definición antes dada de DP en el caso de profesores noveles (Muñoz-Catalán, Carrillo y Climent, 2010), hemos 104

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estudiado tanto en qué términos se produce el desarrollo en entornos colaborativos, como también cómo se produce dicho desarrollo (MuñozCatalán, 2009). De este modo, un grupo de profesores o profesores e investigadores-formadores, se convierte en una comunidad de aprendizaje. Podemos representar la dinámica de estos entornos con una reinterpretación del triángulo educativo, aplicado a un entorno de desarrollo profesional (Carrillo y Climent, 2009). En este triángulo, el vértice formadores-investigadores destaca la principal actividad de los investigadores en el grupo, si bien no debe ser olvidado su papel de coaprendices (Jaworski, 2001). De hecho, uno de los beneficios de este modelo lo constituye el hecho de potenciar el desarrollo profesional de los formadores-investigadores. En este caso, el contenido foco de atención es el propio triángulo educativo (Figura 2). Figura 2. Triángulo de desarrollo profesional. Formadoresinvestigadores

Profesor

Profesores

! ! ! ! Estudiantes Matemáticas ! ! ! TRIANGULO EDUCATIVO

En estos entornos el profesor co-construye conocimiento, llegando a ! ser la práctica y la experiencia dinamizadores tanto del desarrollo como de la dinámica del grupo (a través de la reflexión sobre la práctica). El análisis compartido de la práctica constituye una actividad clave en los procesos de DP que aquí se favorecen, mostrando en algunos casos (como en el de la maestra novel de Muñoz-Catalán, 2009) especial potencialidad para poner atención sobre aspectos significativos de la propia práctica y pensar sobre ella de un modo diferente. La finalidad de la actividad de análisis de episodios de aula puede ser la construcción conjunta de una idea de buena práctica, con sus imágenes asociadas. En el proceso de definición correspondiente, el grupo hace explícitas, detalla y delimita las características que asocia a buena práctica, transformando su compresión sobre ésta. 105

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El análisis detallado de procesos de desarrollo profesional de profesores en torno a la construcción compartida de una caracterización de buena práctica nos ha permitido dar concreción a la idea de desarrollo profesional como mejora de la comprensión de la práctica (así, en Carrillo y Climent, 2011, aportamos indicadores que se refieren, por ejemplo, a añadir variables o establecer nuevas relaciones entre variables para interpretar el proceso de aprendizaje de la matemática; aprender estrategias para conseguir determinados fines en la enseñanza de la matemática; o ganar competencia en hacer explícitas sus decisiones). 3. Conocimiento del profesor de matemáticas El conocimiento del profesor de matemáticas, abordado desde los trabajos de Shulman (1986), en los que se diferenciaba conocimiento de la materia y conocimiento didáctico del contenido, ha sido objeto de estudio de este grupo de investigación. En particular, el modelo de Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT: Mathematical Knowledge for Teachingi), propuesto por Ball, Thames & Phelps (2008), es una perspectiva ampliamente usada, tanto para el análisis del conocimiento del profesor, como para el diseño de tareas que mejoren su práctica. El modelo propone seis subdominios de conocimiento, tres referentes al conocimiento de la materia, y otros tres al conocimiento didáctico del contenido. En cuanto al conocimiento de la materia, el primer subdominio a considerar es el del conocimiento común del contenido (CCK), comprendido por el conocimiento de las matemáticas que cualquier ciudadano bien instruido pudiera tener. Así, podemos entender que en el contexto de la educación en los primeros niveles escolares, el contenido objeto de aprendizaje por los estudiantes podría identificarse con este CCK. De igual manera, toma relevancia el conocimiento matemático complementario a éste, el que solo tiene sentido para el profesor de matemáticas, al que se denomina conocimiento especializado del contenido (SCK), constituido por el tipo de reflexiones que puede hacer un profesor de matemáticas sobre el contenido, que otros usuarios de la matemática no tendrían necesidad de hacer, como puede ser justificar un algoritmo no convencional de un alumno desde un punto de vista matemático. Asimismo, existe un conocimiento prospectivo del contenido, que permite al profesor saber qué contenidos pueden ser abordados tras conocer los que está impartiendo (en una secuencia matemáticamente lógica); responde a la idea de conocimiento del horizonte matemático (HCK). 106

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Si fijamos ahora la mirada en el conocimiento didáctico del contenido, el primero de los subdominios propuestos es el relativo a la enseñanza (KCT), cuyo contenido es el referido al conocimiento de distintos recursos de los que el profesor puede hacer uso a la hora de impartir sus clases. Si pensamos ahora en el receptor de la enseñanza, nos acercamos al subdominio del conocimiento del contenido y los estudiantes (KCS), en el que se consideran los aspectos del contenido, relacionados con los estudiantes, como las dificultades y errores habituales, o saber qué contenido será más dificultoso para un estudiante. Finalmente, conocer el conocimiento del currículo del país se recoge en el subdominio del conocimiento curricular (KCC). En el grupo de la Universidad de Huelva se han desarrollado varias investigaciones que usan este modelo con diferentes propósitos: Climent, Romero-Cortés, Carrillo, Muñoz-Catalán y Contreras (2013); Ribeiro (2010); Ribeiro y Carrillo (2011); Ribeiro, Carrillo y Monteiro (2012); Ribeiro, Monteiro y Carrillo (2010); Sosa (2011); Sosa y Carrillo (2010), entre otras. En su tesis doctoral, Leticia Sosa indagó en el conocimiento matemático para la enseñanza puesto en juego por dos profesoras en relación con el tema de las matrices, generando más de 70 descriptores generales para los diferentes subdominios del modelo, así como categorías dentro de los subdominios del KCS y KCT (Sosa y Carrillo, 2010). C. Miguel Ribeiro profundizó, también en su tesis doctoral, en el abordaje metodológico para el estudio de la modelización en las clases. Por su parte, en el artículo de Climent et al (2013) se vierten los resultados de un proyecto de investigación que estudió los conocimientos y las concepciones que ponen en juego estudiantes para maestro de primaria cuando analizan una grabación de vídeo de un aula de primaria. El análisis profundo del modelo MKT, la elucubración teórica y el desarrollo de trabajos de investigación empírica nos han llevado a preguntarnos sobre el carácter especializado que tiene el conocimiento del profesor, es decir, ¿hablamos de un conocimiento único, que no tiene sentido para ningún otro profesional?, ¿o nos referimos más bien a un conocimiento específico de su profesión, que le es indispensable para desarrollarse y llevar a cabo su trabajo de manera efectiva? Siendo conscientes de la naturaleza del conocimiento profesional y de la complejidad que representa la comprensión de los modelos de análisis del conocimiento del profesor como artificios analíticos, planteamos un 107

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modelo de conocimiento que más que mostrar una realidad, nos ayude a diseccionarla para comprenderla. Bajo estos supuestos, tratamos ahora de enfocar la especialización del conocimiento del profesor de matemáticas desde otra perspectiva, en lugar de hablar del conocimiento especializado del contenido (como una parte del conocimiento profesional), hablamos del conocimiento especializado del profesor de matemáticas (Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge, MTSK de aquí en adelante). Intentando alejarnos de la idea del conocimiento matemático para la enseñanza, pensamos en el conocimiento del profesor de matemáticas que solo tiene sentido para él, donde, por lo tanto, el carácter especializado define a todo el conocimiento que se considera (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, en prensa). Nos interesa poner énfasis en la especialización del MTSK, que permite diferenciarlo del conocimiento de pedagogía y psicología general (TPPK), del conocimiento especializado del profesor de otra materia (XTSK) y del conocimiento especializado de otro profesional de la matemática (MYSK) (Escudero, Flores y Carrillo, 2012). Desde esta nueva perspectiva, estamos trabajando en la construcción y refinamiento de este modelo que pretende ser útil para la investigación, en términos de ofrecer una categorización amplia pero específica, que permita seccionar (con propósito analítico) el conocimiento del profesor de matemáticas, con el fin de analizar unidades de conocimiento de naturaleza distinta, de manera profunda. Comenzamos la construcción del modelo partiendo de los dos grandes dominios del MKT. En lo que se refiere al dominio del conocimiento matemático (MK), proponemos una reinterpretación y cambio de enfoque: eliminar la referencia al conocimiento común del contenido (puesto que nos interesa sólo el conocimiento que se refiere al profesor de matemáticas y no el de cualquier otro ciudadano instruido), deja de ser necesario asimismo el conocimiento especializado como diferencia del anterior, y el conocimiento del horizonte matemático amplía su definición al considerar ideas sobre la conexión y complejización de contenidos matemáticos (Carrillo et al, en prensa). Respecto al conocimiento didáctico del contenido (PCK), hemos renombrado y reinterpretado los tres subdominios del MKT, ajustándolos a lo que, entendemos, es su contenido y a las diferentes interpretaciones que hacen algunos autores sobre este dominio de conocimiento, además ampliamos y al mismo tiempo delimitamos estas nociones, poniendo énfasis en la importancia de partir del contenido matemático para 108

INVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

describir cómo este condiciona la enseñanza o qué características de aprendizaje pueden surgir al abordar un determinado contenido. A continuación describimos de manera sucinta los subdominios tomando como base el documento presentado por Carrillo et al (en prensa) en el CERME 8, comenzando con los correspondientes al MK: Conocimiento de los tópicos matemáticos (KoT): Incluiría el conocimiento de conceptos y procedimientos matemáticos con sus correspondientes fundamentos, además de aspectos fenomenológicos, significados, o ejemplos específicos que caractericen aspectos concretos del tópico abordado. Conocimiento de la estructura de la matemática (KSM): El conocimiento matemático del profesor debe incluir no solo conceptos como elementos aislados, sino integrados en un sistema de conexiones, que le permita comprender ciertos conceptos avanzados desde una perspectiva elemental y desarrollar ciertos conceptos elementales mediante el tratamiento a través de herramientas avanzadas. Incluimos también la idea de complejización de contenidos (Montes, Aguilar, Carrillo y Muñoz-Catalán, en prensa). Conocimiento de la práctica matemática (KPM): Situaríamos aquí el conocimiento de las formas de conocer y crear o producir en Matemáticas (conocimiento sintáctico según Schwab, 1978), aspectos de la comunicación matemática, el razonamiento y la prueba, saber que es definir y usar definiciones, además de establecer relaciones generales (entre conceptos, propiedades, etc.). Debe distinguirse el conocimiento de las relaciones o conexiones entre conceptos, propio del conocimiento de la estructura, del conocimiento del modo como se establecen dichas relaciones. En el dominio del conocimiento didáctico del contenido distinguimos los siguientes subdominios: Conocimiento de las características del aprendizaje matemático (KFLM): Responde a la necesidad del profesor de conocer el modo de pensar del alumno frente a las actividades y tareas matemáticas. Se refiere al conocimiento de las características del proceso de comprensión de los estudiantes sobre los distintos contenidos, los errores, dificultades, y obstáculos asociados a cada concepto, así como el lenguaje habitualmente asociado al concepto tratado en clase. Se incluye también el conocimiento sobre teorías de aprendizaje, explícito o tácito, que posea el profesor y los

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INVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

modos de aprendizaje situados en un contexto específico del aula que atiende. Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT): Incluimos aquí el conocimiento de recursos, materiales, modos de representar el contenido y el potencial que puede tener, ejemplos adecuados para cada etapa o contexto determinado, el conocimiento del abordaje de una secuencia estructurada de ejemplos para ayudar a entender el significado de un contenido matemático, así como el conocimiento de condiciones específicas del aula a la que se dirigen determinadas secuencias de aprendizaje, las cuales norman el proceder del profesor, todo esto en función del contenido matemático que se aborda. Subrayamos, en su propia denominación, la integración de matemáticas y enseñanza, pues no se trata de conocimiento de matemáticas por un lado, y de la enseñanza, por otro; no se incluyen aquí conocimientos pedagógicos en contextos de actividades matemáticas, sino tan solo aquello en donde el contenido matemático condiciona la enseñanza. Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS): Entiende de los contenidos propuestos en las normativas curriculares institucionales, para saber lo que se prescribe en cada etapa, es decir, dar una ubicación temporal y contextual al contenido abordado. Además se introduce el conocimiento de objetivos y estándares de aprendizaje no oficiales que pueda tener el profesor, así como objetivos y estándares procedentes de asociaciones profesionales o de los investigadores, así como los que proceden de la experiencia del profesor respecto de los logros de aprendizaje, añadiendo un elemento de juicio y crítica en relación con lo prescrito por la administración educativa. 4. Reflexiones finales Desde principios de la década de los 90 del siglo pasado, nuestro grupo se ha preocupado de la investigación sobre el profesor, comenzando por sus concepciones y creencias, y luego ampliando el foco al desarrollo profesional sin olvidar el interés primigenio. Asimismo, en nuestros trabajos de desarrollo profesional el conocimiento profesional constituye uno de los aspectos centrales en los que se observa y describe el progreso del profesor.

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INVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

En trabajos actuales, hemos aumentado la potencia en el enfoque hacia el conocimiento, dado que entendemos que una mejor comprensión de qué conocimiento necesita el profesor de matemáticas y cómo se pone en juego nos posibilitará abordar el estudio del DP de un modo más profundo, así como conformar propuestas formativas. Entre los logros de nuestra investigación podemos destacar: a) El desarrollo de instrumentos para la obtención de información y análisis de datos relativos a concepciones y creencias respecto de la matemática, la enseñanza de la matemática y la resolución de problemas, b) Relaciones plausibles entre concepciones y modos de resolver problemas por parte del profesorado, c) Conceptualización del desarrollo profesional en maestros noveles y expertos sobre la base de la reflexión, d) Detalle del conocimiento didáctico del contenido en relación con la enseñanza y el aprendizaje, e) Instrumento de análisis de interacciones en grupos colaborativos de profesores, f) Comprensión de la trayectoria de un grupo colaborativo, g) Modelo cognitivo de desarrollo profesional, h) Instrumento de modelización de la enseñanza, i) Teorizaciones emergentes de las relaciones entre objetivos, creencias y conocimiento en acción del profesorado, j) Comprensión del conocimiento y desarrollo profesional de maestros desde sus objetivos, comunicación promovida, creencias y conocimiento matemático para la enseñanza, k) Categorías de subdominios del conocimiento matemático para la enseñanza en Bachillerato, l) Creación del modelo de conocimiento especializado del profesor de matemáticas. En nuestros trabajos futuros, una vez consolidado el modelo mencionado, pretendemos abordar estudios de desarrollo profesional centrados en la evolución y la promoción de dicho conocimiento.

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las siglas en inglés de los modelos de conocimiento y de sus dominios y subdominios.

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ACERCA DE LOS AUTORES

Luis Manuel Aguayo Rendón

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Educación. Especialidad en Educación Matemática. Línea de Investigación: Formación de profesores. Institución de Adscripción: Universidad Pedagógica Nacional, Unidad 321, Zacatecas. Lugar de residencia: Guadalupe, Zacatecas, México.

299

ACERCA DE LOS AUTORES

Álvaro Aguilar González

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestro, especialidad Educación Primaria. Línea de Investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía Lugar de residencia: Huelva, España.

300

ACERCA DE LOS AUTORES

Eddie de Jesús Aparicio Landa

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestro en Ciencias, especialidad Matemática Educativa. Línea de Investigación: Construcción social del conocimiento matemático y procesos de formación docente en Matemáticas. Institución de Adscripción: Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán. Lugar de residencia: Mérida, Yucatán, México.

301

ACERCA DE LOS AUTORES

Liber Aparisi

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Profesor de Matemática. Línea de Investigación: Modelización y Resolución de problemas. Institución de Adscripción: Instituto Nacional de Formación Docente (INFD). Lugar de residencia: Ciudad de Buenos Aires, República Argentina.

302

ACERCA DE LOS AUTORES

Ademir Basso

Correspondencia: [email protected] Grado académico: Doctor en Educación Matemática. Línea de investigación: Evaluación en Matemática y Matemática Educativa. Institución de Adscripción: Facultad UNILAGOS. Departamento de Matemáticas. Lugar de residencia: Paraná. Brasil.

303

ACERCA DE LOS AUTORES

Ricardo Cantoral Uriza

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Ciencias, especialidad Matemática Educativa. Línea de Investigación: Construcción Social del Conocimiento Matemático. Institución de Adscripción: Departamento de Matemática EducativaCinvestav, IPN. Lugar de residencia: Ciudad de México.

304

ACERCA DE LOS AUTORES

José Carrillo Yáñez

Correspondencia: [email protected] Grado académico: Licenciado en Matemáticas y Doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Línea de investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas y resolución de problemas en matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía. Lugar de residencia: Huelva, España.

305

ACERCA DE LOS AUTORES

Nuria Climent Rodríguez

Correspondencia: [email protected] Grado académico: Psicopedagogía.

Licenciada

en

Matemáticas

y

Doctora

en

Línea de investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía. Lugar de residencia: Huelva, España.

306

ACERCA DE LOS AUTORES

Luis Carlos Contreras González

Correspondencia: [email protected] Grado académico: Licenciado en Matemáticas y Doctor en Psicopedagogía. Línea de investigación: Conocimiento del profesor de matemáticas y resolución de problemas en matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía. Lugar de residencia: Huelva, España.

307

ACERCA DE LOS AUTORES

Juan Díaz Godino

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Catedrático de Didáctica de la Matemática. Línea de Investigación: Desarrollo ontosemiótico en educación matemática.

y

aplicaciones

del

enfoque

Institución de Adscripción: Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Lugar de residencia: Granada, España.

308

ACERCA DE LOS AUTORES

Crisólogo Dolores Flores

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Pensamiento y lenguaje variacional, currículum matemático escolar y la evaluación. Institución de Adscripción: Centro de Investigación en Matemática Educativa, CIMATE, Universidad Autónoma de Guerrero. Lugar de residencia: Guerrero, México.

309

ACERCA DE LOS AUTORES

Dinazar Isabel Escudero Ávila

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Licenciada en Física y Matemáticas y Maestra en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía. Lugar de residencia: Huelva, España.

310

ACERCA DE LOS AUTORES

Eric Flores Medrano

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Licenciado en Física y Matemáticas y Maestro en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía Lugar de residencia: Huelva, España.

311

ACERCA DE LOS AUTORES

Ángel Homero Flores Samaniego

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Líneas de Investigación: Formación de profesores, Modelación en la enseñanza de la matemática y evaluación formativa en el aula. Institución de Adscripción: Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) de la UNAM en el área de Matemáticas. Lugar de residencia: México, D.F.

312

ACERCA DE LOS AUTORES

Vicenç Font Moll

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Línea de Investigación: Formación de profesores, enfoque ontosemiótico, didáctica del análisis. Institución de Adscripción: Universitat de Barcelona. Lugar de residencia: Barcelona, España.

313

ACERCA DE LOS AUTORES

Miriam Estela Lemus

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Educación.

Mtra.

En

Enseñanza

Superior.

Doctorante

Línea de Investigación: Dominio Afectivo de las matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad La Salle. Lugar de residencia: México, D.F.

314

en

ACERCA DE LOS AUTORES

Gisela Montiel Espinosa

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Educativa.

Doctora

Línea de Investigación: Matemático.

en

Ciencias,

Construcción

especialidad Social

del

Matemática Conocimiento

Institución de Adscripción: Instituto Politécnico Nacional, CICATA Legaria. Lugar de residencia: México, D.F.

315

ACERCA DE LOS AUTORES

Edgar Alberto Guacaneme Suárez

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctorando en Educación–Énfasis en Educación Matemática, Magíster en Educación–Énfasis en Educación Matemática. Línea de Investigación: Conocimiento del profesor de Matemáticas. Historia de la Matemática–Educación Matemática. Institución de Adscripción: Universidad Pedagógica Nacional (Bogotá, Colombia). Lugar de residencia: Bogotá, Colombia.

316

ACERCA DE LOS AUTORES

Judith Alejandra Hernández Sánchez

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Candidata a Doctora en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Didáctica de las Matemáticas en áreas específicas y Formación de Profesores. Institución de Adscripción: Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Zacatecas. Lugar de residencia: Zacatecas (UAZ), México.

317

ACERCA DE LOS AUTORES

José Luis Huitrado Rizo

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestría en investigación. Línea de Investigación: Los errores de los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas como evidencias de sus procesos de comprensión. Institución de Adscripción: Dirección de Formación Docente y Gestión Educativa de la Secretaría de Educación del Estado de Zacatecas. Lugar de residencia: Zacatecas, México.

318

ACERCA DE LOS AUTORES

Martha Imelda Jarero Kumul

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestra en ciencias con especialidad Matemática Educativa. Línea de Investigación: Procesos de formación docente en Matemáticas. Institución de Adscripción: Unidad Universidad Autónoma de Yucatán.

Académica

Lugar de residencia: Mérida, Yucatán, México.

319

de

Matemáticas,

ACERCA DE LOS AUTORES

Víctor Larios Osorio

Correspondencia: [email protected], [email protected] Grado Académico: Doctorado en Ciencias. Líneas de Investigación: Formación de profesores de Matemáticas y Didáctica de la Geometría y la demostración. Institución de Adscripción: Universidad Autónoma de Querétaro (México), Facultad de Ingeniería, Maestría en Didáctica de las Matemáticas. Lugar de residencia: Querétaro, México.

320

ACERCA DE LOS AUTORES

Miguel Ángel Montes Navarro

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Licenciado en Matemáticas. Línea de Investigación: Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad de Huelva. Departamento de Didáctica de las Ciencias y Filosofía. Lugar de residencia: Huelva, España.

321

ACERCA DE LOS AUTORES

Luis Roberto Pino Fan

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Didáctica de la Matemática. Línea de investigación: Formación y conocimiento del profesor de matemáticas. Enfoque ontosemiótico. Didáctica del Análisis. Institución de Adscripción: Universidad de Granada, España.

322

ACERCA DE LOS AUTORES

Marcel David Pochulu

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctor en Didáctica de la Matemática. Línea de Investigación: Pensamiento numérico y algebraico. Enseñanza de la Matemática con TIC. Institución (Argentina).

de

Adscripción: Universidad Nacional

Lugar de Residencia: Villa María, Córdoba, Argentina.

323

de

Villa María

ACERCA DE LOS AUTORES

Daniela Reyes Gasperini

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestra en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Matemático.

Construcción

Social

del

Conocimiento

Institución de Adscripción: Departamento de Matemática EducativaCinvestav, IPN. Lugar de residencia: Ciudad de México.

324

ACERCA DE LOS AUTORES

Flor Monserrat Rodríguez Vásquez

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctora en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa Matemática Educativa. Línea de Investigación: Historia de la matemática y didáctica de la matemática. Institución de Adscripción: Centro de Investigación en Matemática Educativa, CIMATE, Universidad Autónoma de Guerrero, México. Lugar de residencia: Guerrero, México.

325

ACERCA DE LOS AUTORES

Leticia Sosa Guerrero

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Doctora en Ciencias, especialidad Matemática Educativa. Línea de Investigación: Formación de profesores: Conocimiento profesional del profesor de matemáticas. Institución de Adscripción: Universidad Autónoma de Zacatecas (México) Lugar de residencia: Zacatecas, México.

326

ACERCA DE LOS AUTORES

Landy Elena Sosa Moguel

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Maestra en Enseñanza de las Matemáticas. Línea de Investigación: Construcción social del conocimiento matemático y procesos de formación docente en Matemáticas. Institución de Adscripción: Unidad Universidad Autónoma de Yucatán.

Académica

Lugar de residencia: Mérida, Yucatán, México.

327

de

Matemáticas,

ACERCA DE LOS AUTORES

Daniela Geraldiny Soto Soto

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Candidata a Doctora en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Línea de Investigación: Matemático.

Construcción

Social

del

Conocimiento

Institución de Adscripción: Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN Lugar de residencia: México, D.F.

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ACERCA DE LOS AUTORES

Paul Antonio Torres Fernández

Correspondencia: [email protected] ; [email protected] Grado Académico: Doctor en Ciencias Pedagógicas. Línea de Investigación: Matemática Educativa. Institución de Adscripción: Instituto Central De Ciencias Pedagógica. Lugar de residencia: La Habana, Cuba.

329

ACERCA DE LOS AUTORES

Isabel Tuyub Sánchez

Correspondencia: [email protected] Grado Académico: Candidata a Doctora en ciencias con especialidad Matemática Educativa. Línea de Investigación: Construcción social del conocimiento matemático y procesos de formación docente en Matemáticas. Institución de Adscripción: Unidad Universidad Autónoma de Yucatán.

Académica

Lugar de residencia: Mérida, Yucatán, México.

330

de

Matemáticas,

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES se terminó de imprimir en el mes de noviembre de 2013. Tiraje: 1 000 ejemplares.