Investigación de los Conceptos Básicos

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO TEMAPACHE

Investigación de los Conceptos Básicos Ecuaciones Diferenciales José Guadalupe Martínez Cruz 4° “A” Ingeniería Ambiental 11/02/2015

Docente: Ing. Blanca Olivia Vite del Ángel

Investigación de los Conceptos Básicos 2015

Contenido Ecuación......................................................................................................................................................................1 Ejemplos de ecuaciones .........................................................................................................................................1 Ecuación diferencial....................................................................................................................................................1 Ejemplos .................................................................................................................................................................3 Referencias bibliográficas ...........................................................................................................................................3

Ecuación Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplos de ecuaciones: 36 + x

=

– 12

115

=

4x – 41

x + 124

=

70 – 2

5x + 3y – 4

=

0

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente: Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro. En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido. Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x ), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc." Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones,

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Investigación de los Conceptos Básicos 2015 reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta última materia nos ayudará a entender mejor los fenómenos naturales. Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, básicamente, atendiendo a dos criterios: (1) TIPO: Si la función incógnita contiene una única variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la función incógnita contiene dos o más variables independientes, la ecuación se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. (2) ORDEN: Es la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación diferencial. Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas técnicas matemáticas que están fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Consideremos una ecuación diferencial ordinaria F(x,y,y’,y’’,...)=0 Diremos que una función y=f(x) es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una función y=f(x, c1, c2,...) dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solución de la ecuación diferencial se obtiene dando valores específicos a una o más de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solución general, surge una solución particular. Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solución, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria. En la práctica, la determinación de las constantes que aparecen en la solución general se realiza a partir de las condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la función solución o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden y0 = F(x, y), una condición inicial se expresaría en la forma y(x0)=y0. En consecuencia, y=f(x) es solución si f’(x)=F(x,f(x)) para todo valor de x en cierto intervalo, y f(x0)=y0.

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Investigación de los Conceptos Básicos 2015 Ejemplos

Referencias bibliográficas http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat4.pdf DIFERENCIALES ORDINARIAS, pags. 98 a 103

CAPITULO

4

ECUACIONES

http://www.profesorenlinea.mx/matematica/EcuacioConcepto.htm http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/3/mate_2.pdf Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias / Juan Luis Varona. -Logroño:

Servicio

de

Publicaciones,

Universidad

de

(http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf )

3

La

Rioja,

1996.

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1.