Introducción al modelado de sistemas

instituto tecnológico de querétaro


Introducción a la modelación de sistemas
Dinámica de sistemas.


M. en C. Sinhué Moisés González





Pablo Santoyo Navarrete
Grupo 0V







29/10/2014


Contenido
Capítulo 1. Introducción a la modelación de sistemas 2
1.1 Conceptos preliminares 2
1.1.1. Sistemas 2
1.1.2. Señales 3
1.1.3. Modelos 3
1.1.4. Construcción de los modelos matemáticos 3
1.1.5. Clasificación de los modelos matemáticos 4
1.1.6. Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo 5
1.2. Modelado de sistemas físicos 6
1.2.1. Circuitos eléctricos 6
1.2.2. Sistemas trasnacionales 9
1.2.3. Sistemas rotacionales 10
1.2.4. Sistemas fluídicos o hidráulicos 12
1.2.5. Sistemas térmicos 12











Capítulo 1. Introducción a la modelación de sistemas

Conceptos preliminares

Conceptos de modelado de sistemas y señales se utilizan en diversos campos de la ciencia y tecnología. Por tanto son necesarios en el área de ingeniería. Ejemplos de áreas que necesitan estos conceptos:
Comunicaciones
Diseño de circuitos
DSP (Digital Signal Processing)
Biomedicina
Sistemas de Control Continuo y discretos
Sistemas de generación y distribución de Energía
Sismología
Sistemas

El termino sistemas se emplea para describir un conjunto de componentes que interactuar, alrededor de los cuales se dibuja una frontera imaginaria de modo que solo es de interés la interacción entre la entrada(s) o salida(s), sin necesidad de estudiar en detalle las interacciones entre los componentes que lo forman. Así el aspecto importante es la relación entre las salidas y entradas. En algunas situaciones es conveniente particionar el sistema en subsistemas enlazados en serie.
Sistema en malla abierta ó sistemas programados.
SistemaSistema
Sistema
Sistema



Sistema realimentado o de malla cerrada.
XY+_eSistemaH(s)XY+_eSistemaH(s)
X
Y
+
_
e
Sistema
H(s)
X
Y
+
_
e
Sistema
H(s)







1.1.2. Señales

Una señal es una función que representa la variación en el tiempo de alguna variable física. Una señal contiene información del comportamiento o la naturaleza de un fenómeno físico.
En las aplicaciones típicas de ingeniería, las señales de entrada y salida son variables (físicas o abstractas) que cambian en el tiempo, por ejemplo, fuerzas, velocidades, temperaturas, etc.
Las señales representan la interacción del sistema con su entorno, las señales de entrada son estímulos del entorno sobre el sistema, las señales de salida son respuestas del sistema hacia su entorno.

1.1.3. Modelos

Los modelos se emplean instintivamente en la toma de decisiones sobre determinados aspectos de la realidad. En el proceso de la toma de decisión se elige una entre varias acciones posibles, teniendo en cuenta el efecto que cada acción vaya a producir. La relación que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema. Por lo tanto, en el proceso de toma de decisiones se está empleando un modelo del sistema.


La relación que liga las acciones Ui (entradas) con los efectos Yj (salidas), según Y=R (U), constituyen la representación formal de un modelo.

1.1.4. Construcción de los modelos matemáticos

Un modelo matemático es la descripción matemática de las características dinámicas del sistema basada en una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente.
PROCEDIMIENTO PARA LA ELABORACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS

Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.
Utilizando las leyes de la física, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.
Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales.
Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, debe modificarse el modelo; hasta obtener una concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales.

1.1.5. Clasificación de los modelos matemáticos

Según la información de entrada con respecto a la función del origen de la información utilizada para construir los modelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelos heurísticos y modelos empíricos:
Modelos heurísticos.-Están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
Modelos empíricos.-Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
Según el tipo de representación los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretenden hacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistema que se está modernizando:
Modelos cualitativos, estos pueden usar figuras, gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos.
Modelos cuantitativos, usan números para representar aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambios cuantitativos del sistema modelado.
Según la aleatoriedad a una entrada o situación inicial concreta pueden corresponder o no diversas salidas o resultados, en este caso los modelos se clasifican en:
Determinista.- Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.
Estocástico.-Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.
Clasificación según su aplicación u objetivo suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.
Modelo de simulación o descriptivo, de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Este tipo de modelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada.
Modelo de optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requiere comparar diversas condiciones, casos o posibles valores de un parámetro y ver cuál de ellos resulta óptimo según el criterio elegido.
Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudar a decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.

1.1.6. Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo

1.1.6.1. Sistemas lineales
Las ecuaciones que constituyen al modelo son lineales; a estos sistemas se les puede aplicar el principio de superposición (la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de excitación diferentes o entradas, es la suma de las dos respuestas individuales).
Como resultado del principio de superposición, las complicadas soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales se pueden obtener de la suma de soluciones simples.
1.1.6.2. Sistemas no lineales
Son aquellos que se representan mediante ecuaciones no lineales, la característica más importante es que el principio de superposición no es aplicable. A causa de la dificultad matemática que representan los sistemas no lineales, con frecuencia es necesario linealizarlos alrededor de una condición de operación.

En un sistema dinámico, si la causa y el efecto son proporcionales, eso implica que el principio de superposición se mantiene y se concluye que el sistema se puede considerar lineal. Un estudio demuestra que los sistemas lineales son realmente lineales dentro del rango de operación limitado.
Una vez que un sistema no lineal se aproxima mediante un modelo matemático lineal se deben usar términos lineales para propósitos de análisis y diseño.
Recordar. Una ecuación es lineal, cuando no contiene potencias, productos u otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas.

1.2. Modelado de sistemas físicos

Para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.
Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular.
Dentro de este contexto, por lo general se emplea la representación en "variables de estado" aunque no por ello el método de "relación entrada-salida" deja de ser interesante a pesar de proporcionar menor información de la planta. Para uniformizar criterios respecto a las denominaciones que reciben los elementos que conforman un sistema de control es necesario tener en mente las siguientes definiciones:
Planta: Cualquier objeto físico que ha de ser controlado.
Proceso: Operación o secuencia de operaciones, caracterizada por un conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final a partir de un estado inicial.
Sistema Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado.
Perturbación Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema.
Servomecanismo Sistema de control realimentado cuya salida es una posición mecánica.
1.2.1. Circuitos eléctricos

Las señales utilizadas en el modelado de circuitos son las tensiones v(t) y las intensidades i(t), aunque pueden considerarse flujos ʎ(t), cargas q(t), potencia p(t), energía w(t), etc.

1.2.1.1. Elementos pasivos lineales.

En una resistencia de valor R la relación entre la tensión y la corriente es:


En una bobina lineal (no se considera la saturación) de coeficiente de autoinducción. En la siguiente tabla se muestran las relaciones entre tensiones y corriente:







1.2.1.2. Modelado de un circuito RLC

El objetivo de este problema es conocer la carga q(t) del capacitor y la corriente resultante del circuito en i(t) .
Se conocen los valores:
R=160
L= 1h
C =10-4F
E(t) = 20V

 Aplicando la segunda ley de Kirchoff al circuito antes mostrado, se obtiene:
Ri+Ldidt+1Cidt=e(t)
Usando la ecuación anterior se tiene:
Ld2qdt2+160dqdt+1Cq=e(t)
Sustituyendo los valores dados para R, C, L y e(t) se obtiene:
d2qdt2+160dqdt+104q=20
Ésta será la ecuación diferencial que se deberá resolver. Entonces, aplicando la transformada de Laplace en ambos lados, se llega a la siguiente ecuación:
 (s2+160s+104) Qs=sq0+q'0+160q0+20s
Donde Q(s) es la transformada de q(t). Se supone que q(0)=0, q'(0)=0 y i(0)=0, con lo cual la ecuación anterior se reduce simplemente a:
(s2+160dqdt+104)Q(s) = 20s
*despejando Q(s)
Q(s) = 20s(s2+160s+104)
Haciendo el desarrollo en fracciones simples se obtiene:
 
Qs=1500s-1500s+160s2+160s+104
 
=15001s- s+80+4(60)3(s+80)2+(60)2
 
=15001s- s+4(60)3s2+(60)2s s+80
Aplicando la transformada inversa y haciendo uso del teorema de traslación obtenemos la ecuación para conocer la carga del capacitor:
qt=15001-e-80tcos60t-43e-80tsin60t
Luego, la corriente resultante en el circuito i(t) está dada por la siguiente ecuación:
it= dqdt= 13e-80tsin60t
1.2.2. Sistemas trasnacionales

Los movimientos de los sistemas mecánicos se pueden describir como de traslación o de rotación o de una combinación de ambos. Las ecuaciones que gobiernan los sistemas mecánicos están formuladas por la ley de movimiento de Newton.
Movimiento de traslación: Son los movimientos que se caracterizan por el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. La ley de Newton sobre cuerpos rígidos dice que la suma algebraica de fuerzas es igual a la masa del cuerpo por el vector de aceleración: ifi=Ma
Muelle es un elemento que almacena energía potencial al ser sometido por una fuerza externa: (t) f(t)= ky(t)
Siendo k la constante del muelle. En cuanto a la fricción o rozamiento, modelan la conversión de la potencia mecánica en flujo calorífico, fenómeno que aparece cuando se deslizan dos superficies que están en contacto. Su expresión matemática es no lineal. Existen tres tipos de modelos: fricción viscosa, fricción estática y fricción de Coulomb. La primera es lineal y las otras dos siguientes no son lineales. En este curso, sólo se empleará el rozamiento viscoso para simplificar la función de transferencia de estos sistemas.
La fricción viscosa representa la relación lineal entre a fuerza aplicada a un cuerpo con la velocidad de desplazamiento entre este cuerpo y otro que está en contacto con él. Se modela como un pistón que se mueve dentro de un cilindro. El pistón se desplaza dentro del cilindro a través de una película de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre el pistón y la concavidad del cilindro; este efecto es debido a que el aceite puede fluir alrededor de la cámara del pistón. En este tipo de rozamiento, la transferencia de energía mecánica a calorífica es de carácter lineal. La expresión matemática es: f (t) = By'(t). Donde B es el coeficiente de fricción viscosa.
Ejemplo.- Obtener la relación causa efecto entre a fuerza aplicada a un carro sujeto a la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste. La masa del carro es M, el B coeficiente del resorte es K y el rozamiento entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento Considere condiciones iniciales nulas.

La ecuación diferencial que explica el desplazamiento del carro según el eje X, en la misma dirección que la fuerza, es:
F(t) = M x+ Kx + B x
Aplicando transformadas de Laplace resulta la FDT pedida:Gs=X(s)F(s)=1Ms2+Bs+1
1.2.3. Sistemas rotacionales

Los movimientos de rotación se definen como extensión de la ley de Newton: La suma algebraica de momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor de un eje. Los elementos bases constitutivos son: el momento de inercia, el resorte tensional y la fricción viscosa.
Inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación:
T=Jα= Jω=Jϑ J= imiri2
J= 12Mr2 momento de inercia de un cilindro
Donde r es el radio del cilindro de masa M α, ω y θ son la aceleración, velocidad y desplazamiento angular respectivamente del cilindro.
Resorte tensional, k, es el elemento que almacena energía potencial por desplazamiento de unidad angular:T=kϑ
Fricción viscosa, B, modela el rozamiento provocado por la velocidad angular entre el cilindro y la superficie de contacto:T=Bω=Bϑ
1.2.3.1. Trenes de engranajes
Las velocidades angulares de los motores suelen ser mucho más elevada que el nivel de rotación que hay que dar a la carga. O por el contrario, el par necesario en la carga es bastante más alto que el dado por el motor. Para adaptar la potencia mecánica entregada por el motor a la carga se hace uso de los trenes de engranajes. Estos sistemas mecánicos transmiten la energía de un punto a otro, adaptando la velocidad angular y el par mecánico. En la analogía eléctrica, los trenes de engranajes hacen el mismo papel que los transformadores eléctricos. En los transformadores, la potencia eléctrica es prácticamente igual en la entrada y en la salida y su función es adaptar los niveles de tensión y corriente. Los trenes de engranajes transmiten la potencia mecánica, casi sin pérdidas, y adaptan la velocidad angular y el par de la entrada a la salida.
El modelado ideal de los trenes de engranajes se hace a partir de tres supuestos:
El número de dientes sobre la superficie de los engranajes N1 y N2 es proporcional a los radios r1 y r2: r1N1=r2N2
La distancia recorrida por la periferia de cada engranaje es la misma igualando las circunferencias de ambas según el desplazamiento angular dado para un tiempo determinado. ϑ1r1=ϑ2r2
La potencia transmitida en la entrada en un engranaje es igual al que se da en la salida, ya que se supone que no hay perdidas:
T1ϑ1=T2ϑ2

A partir de estos tres supuestos se consigue las siguientes razones, nótese que las relaciones de desplazamiento angular entre los engranajes ,ϑ , son idénticas a sus velocidades, ω :
T1T2=ϑ1ϑ2=r1r2=N1N2=ω1ω2
Ejemplo
La maqueta de motor de corriente continua de las prácticas de Regulación Automática está constituido por un motor MAXON de baja inercia. Al eje del motor se le ha acoplado un tren de engranajes con una relación 1:197, al que se considera de comportamiento ideal. El fabricante da los siguientes datos:
Resistencia de armadura = 7.94 .
Inductancia equivalente del flujo disperso = 1.54 mH
Constante del par motor = 39.3 mNm/A.
Constante de la fuerza contralectromotriz => 243 rpm/V.
Momento de inercia del rotor= 26.6 gr cm2
Experimentalmente se ha obtenido el equivalente de la carga, vista desde la salida del tren de engranajes:
Momento de inercia de la carga = 48.5 10-3 kg m2.
Rozamiento viscoso = 660 10-3 N.m.s/rad.
Considérese ideal el tren de engranajes. Obtener su FDT total, entre la velocidad del motor y su nivel de tensión aplicada.




Los valores equivalentes de momento de inercia y de fricción que se caracterizan desde el eje del motor será igual a:
JT=26.6x10-7+1197248.5x10-3=3.9x10-6
BT= 11922660x10-3= 17x10-6


1.2.4. Sistemas fluídicos o hidráulicos

Se pueden considerar en dos categorías:
Hidráulicos: El fluido es un líquido, incompresible
Neumáticos: El fluido es un gas, compresible.
Las formas básicas son resistencias hidráulicas, capacitancias, inercia e inductancias hidráulicas.
La resistencias hidráulica es la resistencia a fluir que se presenta como resultado de un flujo de líquido a través de válvulas o cambio de diámetros de las tuberías. La relación entre la razón de flujo volumétrico Q, del líquidos a través de un elemento resistivo y la resultante diferencia de presiones (P1-P2)=Rq. Donde R es la constante de la resistencia hidráulica.




1.2.5. Sistemas térmicos

Muchas de las aplicaciones de control necesitan del modelado de dispositivos que sus comportamientos dinámicos están determinados por transferencias de calor. Los sistemas térmicos son aquellos que involucran el intercambio de calor de una sustancia a otra. Sus expresiones siguen a la ley de conservación de la energía: la energía calorífica introducida ha de ser igual a la energía almacenada más las pérdidas por transmisión. Dos elementos se emplearán para describir los procesos de transmisión del calor y de acumulación de la energía calorífica: la resistencia térmica y la inercia o capacitancia térmica.
1.2.5.1. Resistencia térmica
En la transmisión del calor hay tres maneras de producirse: conducción, convección y radiación. Dentro del ámbito del modelado sencillo de los sistemas térmicos, las transferencias de calor sólo se van a dar por conducción y en menor medida por convección. Ambos pueden ser expresados a través de la resistencia térmica, ésta se define como: RTH=cambio en la diferencia de calorcambio en el flujo de calor=dTdq
El flujo calorífico transmitido de un cuerpo a otro será igualado a la diferencia de temperatura entre ambos cuerpos partido por la resistencia térmica. La dirección del flujo será en la dirección del foco caliente al frío:q= TRTH
1.2.5.2. Capacitancia térmica
La inercia térmica muestra el nivel de capacidad que tiene una sustancia en almacenar la energía térmica. Así, por ejemplo, al calentar un depósito lleno de agua, la temperatura del agua indicará el nivel de energía almacenado en ese momento y la inercia térmica señalará la cantidad de energía que hay que ceder desde el exterior al depósito, para que se produzca un incremento en la temperatura del tanque. La capacitancia se define como la relación entre el calor entregado a una sustancia y la variación de temperatura producida: CTH=cambio en el calor almacenadocambio en la temperatura
La potencia calorífica estará definida por la inercia térmica y por la variación de la temperatura con el tiempo, según se desprende: q=CTHT
La capacitancia térmica estará relacionado con la masa de la sustancia que almacena la energía térmica, m, y con su calor específico, c: CTH=mc
Ejemplo
Modelar el comportamiento dinámico de un calentador de agua caliente. Obtener la FDT entre la potencia entregada al calentador y la diferencia de temperatura entre el agua caliente y la fría. Al entrar agua en la caldera, ésta es calentada debido a la cesión de calor de la resistencia eléctrica. Hay que observar que el caudal de entrada y de salida son idénticos: Qe=Qs (igualdad de caudales).
El flujo calorífico cedido por la resistencia eléctrica es igual al almacenamiento de energía transferida a la masa del agua del depósito, más al cambio de temperatura entre el agua caliente y el agua fría por el caudal y más las pérdidas de calor por conducción entre las del depósito y el ambiente:
qentrada=mTcTT+TT-TaRTH+ρVcTc-Tft
qentrada=mTcTT+TT-TaRTH+ρQecTc-Tf
Donde mT es la masa de agua que tiene el tanque, RTH es la resistencia térmica equivalente de las perdidas por conducción y ρ es la densidad del agua. Considerando que la temperatura del agua fría y la del ambiente son prácticamente idénticas, Tf = Ta, y que se puede aproximar la temperatura del depósito con la del agua caliente que sale, TT = TC, el balance energético es igual a:
qentrada=mTCTc+Tc-TfRTH+ρQecTc-Tf