Introducción a la definición de distribución normal

MÓDULO 9 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

INTRODUCCIÓN En este módulo se continúa con el estudio de las distribuciones de probabilidad, examinando una distribución de probabilidad continua muy importante: la distribución normal. PROPÓSITOS Y OBJETIVOS Para reconocer los problemas de distribución normal y cómo resolverlos, a través de una lectura y de ejemplos, citarás las características de la distribución de probabilidad normal, definirás y calcularás valores z, determinarás la probabilidad de que una observación se encuentre entre dos valores de una distribución, utilizando la distribución normal estándar, indicarás la probabilidad de que una observación sea mayor (o menor) que un valor determinado, utilizando la distribución normal estándar, compararás dos o más observaciones que se hallen en distintas distribuciones de probabilidades, utilizarás la distribución de probabilidad normal para aproximar la distribución de probabilidad binomial. ÍNDICE     

Introducción Distribución de probabilidad normal estándar. Usos Áreas bajo la curva normal Aproximación normal a la binomial Ejercicios

ORIENTACIÓN PARA EL ESTUDIO Algunas consideraciones para que logres una buena comprensión del presente módulo es que hagas un resumen, un mapa conceptual o un cuadro sinóptico de cada una de las lecturas que realices. Trabajes y participes en cada una de las actividades propuestas con mucho empeño y aclares siempre cualquier duda que surja.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Para iniciar este módulo, te recomiendo que pongas mucha atención en cada uno de los conceptos nuevos para ti y elabores con ellos un cuadro sinóptico. Revises con cuidado cada uno de los ejercicios resueltos y evites quedarte con alguna duda. ORGANIZADOR AVANZADO

DSITRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

Distribución Normal

DEFINICIÓN El módulo anterior nos dedicamos a dos familias de distribución de probabilidad discreta: la distribución Binomial y la distribución de Poisson. Estas distribuciones se basan en variables aleatorias discretas, que sólo pueden tomar valores específicos. Un ejemplo sería el número de respuestas correctas en un examen de 10 preguntas. No puede haber un número negativo de respuestas correctas. Para que el ejemplo sea adecuado vamos a supones que tampoco puede haber 71/4 de respuestas correctas. En este módulo vamos a continuar viendo distribuciones de probabilidad, pero ahora veremos una distribución de probabilidad continua: la distribución normal. Una variable aleatoria continua, como ya hemos visto, puede tomar un número infinito de valores dentro de un intervalo. Generalmente, es el resultado de medir algo, como por ejemplo el peso de una persona. Las distribuciones de probabilidad de las expectativas de vida de algunos productos, como son: baterías, llantas, focos. También es el caso de: el peso de las cajas de cereal, la longitud de los tienden a seguir un patrón “normal”. En este módulo iniciaremos examinando las características principales de una distribución de probabilidad normal y de la curva normal. Características de la distribución de probabilidad normal y de la curva normal:  La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución.  La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo.  La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media.  La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los

puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.  La curva normal es simétrica.  Media, mediana y moda son iguales

La curva normal es simétrica

Teóricamente la curva se Extiende infinitamente

La media, la mediana y la moda Tienen el mismo valor No existe sólo una distribución de probabilidad normal, sino que hay una familia de ellas. Por ejemplo:  Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los empleados de la planta de Campeche, en la que la media es 20 años y la desviación es 3.1 años.  Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los  Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los

En el siguiente diagrama se muestran 3 distribuciones normales, en donde las medias de las tres son iguales, pero su desviación estándar es distinta.

Campeche

Yucatán

Morelos

Distribuciones de probabilidad desviaciones estándar diferentes.

normal

con

medias

iguales

pero

En el diagrama siguiente se muestran los pesos de tres cereales diferentes. Los pesos están distribuidos en forma normal, con medias diferentes, pero desviaciones estándar idénticas.

Cereal 1 6 gramos

Cereal 2

Cereal 3

Distribuciones de probabilidad normal con medias diferentes pero desviaciones estándar iguales. En el diagrama siguiente se muestran la distribución de la resistencia de un cable a la tensión. Las resistencias están distribuidas en forma normal, con medias diferentes y desviaciones estándar diferentes.

lb/in2

2 2

2,000lb/in2

2,107lb/in2

2,186lb/in2

La distribución de probabilidad normal estándar Como acabamos de ver hay una familia de distribuciones normales. Por fortuna se puede utilizar, en todos los casos en los que se puede aplicar la distribución

normal, un miembro de esta familia que tiene una media de cero y una desviación estándar de 1. La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z. Cualquier distribución normal puede convertirse en la “distribución normal estándar” restando la media a cada observación y dividiendo entre la desviación estándar. Primero se convierte la distribución que se tiene, en la distribución normal estándar utilizando un valor z. Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar σ. Expresado en una fórmula es: Z = (x – µ)/σ. Al determinar el valor z mediante la fórmula se puede obtener el área o la probabilidad bajo cualquier curva normal mediante una tabla. Voy a darte un ejemplo. Ejemplo: El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200? z = (x – µ)/s = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00 ¿Cuál es el valor z de $1,700? z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50 Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000. Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000. Para el valor de z=2, ¿cuál es el área bajo la curva normal entre la media y el valor de 2,200? En la tabla se encuentra el valor de 0.4772. Significa que 47.72% es la probabilidad de que una observación se encuentre entre un valor de z=0 y z=2. En la página: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/rojas_b_js/apendiceD.pdf Puedes encontrar la tabla.

Áreas bajo la curva normal A continuación se considerarán tres áreas bajo la curva normal que son muy utilizadas. También se conocen como la Regla Empírica. 1. Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1σ. 2. Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2σ. 3. Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +3σ. Ejemplo: El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. ¿Cuántos galones de agua consumen aproximadamente 68% de ellos? Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día? z= (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00 z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80 El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881. Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día. Observa el siguiente diagrama.

¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día? z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40

z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20 El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554. El área asociada con un valor z de 1.20 es de .3849. Sumando estas áreas, el resultado es .5403. Concluimos que 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones de agua por día. Ejemplo: El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A? Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B. Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el 35% deberá estar entre la media de 72 y x. El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04. Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x. El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una A de aquellos que ganaron una B. 1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2 Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A. La aproximación normal a la binomial La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n. La

distribución

de probabilidad

normal es generalmente una

buena –

mayores que 5. Recordemos que para un experimento con una distribución de probabilidad binomial:  Sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso.  La distribución es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.  Cada ensayo es independiente.

 Factor de corrección de continuidad El valor 0.5 se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad continua se aproxima a una distribución de probabilidad discreta. Ejemplo: Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara?   n  (.15)(200)  30 Esta es la media de una distribución binomial. ¿Cuál es la varianza?  2  n (1   )  (30)(1  .15)  25.5

¿Cuál es la desviación estándar?   25.5  5.0498

¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras? Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5. El valor z es 1.88 z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88 En la página: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/rojas_b_js/apendiceD.pdf Puedes encontrar la tabla. En esta tabla el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699. Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699. La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%. Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontrarás las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento.

CALENDARIO Y ESQUEMA DE EVALUACIÓN Módulo 9 Semana 9 Actividad Incorporar: Leer la unidad 9 de la Antología. Hacer: Resuelve los siguientes problemas: 1. De una muestra de 250 adultos en México, el 80% de la población han probado Coca Cola y Pepsi Cola. a) ¿Qué cantidad esperaría usted que hayan probado ambos refrescos? ¿Cuál es la desviación estándar? Conectar: Elaborar una presentación en power point sobre los conceptos del módulo. (Máximo 5 diapositivas) Medio de El ejercicio deberá entregarse en un documento en Word. Tanto el entrega documento como la diapositiva las debes colocar en la plataforma. Con respecto a la lectura de la unidad 9 de la Antología, deberás participar en el foro con el fin de aclarar y enriquecer el contenido de la misma.

AUTOEVALUACIÓN Elige la respuesta correcta 1. La distribución normal es una A. B. C. D.

Distribución discreta Distribución Continua. Distribución con sesgo positivo Ninguna de las anteriores.

2. ¿Cuáles de las siguientes son características de la distribución normal? A. B. C. D.

Es una distribución simétrica. Tiene forma acampanada. Es asintótica. Todas las anteriores.

3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos para una distribución normal? A. B. C. D.

No puede tomar valores negativos. Se define con su media y su desviación estándar. Todas las distribuciones normales tienen una varianza de al menos de 1. Todas las anteriores.

4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos para una distribución normal estándar?

A. También se llama distribución z B. Cualquier distribución normal puede ser convertida a una normal estándar C. La media es 0 y la desviación estándar es 1. D. Todas las anteriores.

distribución

5. El área bajo la curva normal entre 0 y -1.75 es A. B. C. D.

.0401 .9599 .4599 Ninguna de las anteriores.

6. El área bajo la curva normal menor que 1.75 es A. B. C. D.

.0401 .9599 .4599 Ninguna de las anteriores.

7. El factor de corrección de continuidad se usa cuando A. B. C. D.

El tamaño de la muestra es al menos de 5. Ambos, Una distribución continua se usa para aproximar una distribución discreta Se aplica la distribución normal estándar.

8. En una distribución normal la relación entre la media, mediana, y la moda es: A. B. C. D.

Son iguales La media es la más grande La mediana es la más grande. Ninguna de las anteriores.

9. La aproximación de la distribución normal a una distribución binomial se usa cuando A. B. C. D.

El tamaño de la muestra es al menos de 30. Ambos, n y p n (1 - p) son al menos de 5. La media y la varianza son iguales. El valor z es más grande que 0.

10. En la distribución estándar normal, cuál es la probabilidad de encontrar un valor z entre -1.25 y -1.00? A. 0.3944 B. 0.3413 C. 0.7357

D. 0.0531 BIBLIOGRAFÍA Larios Osorio, Víctor. Probabilidad. México, 1999. Lind, Douglas A. Estadística aplicada a los negocios y la economía. México, Mc. Graw Gill, 2005 - Lind, Marchal, Mason. Estadística para administración y economía. México, Alfa omega, 2006 - Newbold, P. Estadística para los negocios y la Economía. México, Pearson, 2005 - Rodas, Olger. Teoría básica del Muestreo. México, 2003. Stevenson, J. William Estadística para administración y economía. México, Alfa omega, 2006 -