Introducción a la Astrofísica. Sobre los Puntos de Lagrange

Introducci´on a la Astrof´ısica Sobre los Puntos de Lagrange Luis Padilla Gonz´alez Octubre 7, 2016

1.

Introducci´ on

Muchas imagenes he disfrutado de acercamientos espectaculares al Sol o incluso maravillandome con im´ agenes del lado de la Luna que no podemos ver desde la Tierra. Pero jam´as me habia cuestionado el enorme desafio que hay detr´ as de estas exploraciones.¿C´omo es que al enviar un satelite se sepa de antemano d´ onde y cu´ando se deben recibir se˜ nales? Es m´ as, las distancias que tienen que ver con el sistema Tierra-Luna no son para nada peque˜ nas como para disponer de combustible necesario para un gran viaje de exploraci´ on, es necesario que se minimice lo mejor posible la trayectoria de un satelite enviado desde la Tierra... o ¿Es que acaso existen lugares en el espacio de minimo potencial en los cuales un satelite se encuentre en reposo relativo a dos cuerpos masivos (Tierra-Luna por ejemplo)? La respuesta es s´ı, y el conocimiento de esta naturaleza del espacio, gracias a Joseph-Louis Lagrange, abri´o las puertas al interminable entendimiento del sistema solar en el que habitamos.

2. 2.1.

Desarrollo Problema de tres cuerpos

Es curioso que el cl´ asico problema del movimiento de tres cuerpos interactuando entre s´ı s´olo bajo efectos gravitacionales no tenga una soluci´ on general conocida debido a su caotico comportamiento, pero que aun as´ı existan aproximaciones que se ajustan casi de manera perfecta al uso en el ambito de exploraci´on espacial. De lo ca´otico a lo determinista.

2.2.

Problema de tres cuerpos restringido

¿Qu´e es lo que nos salva de este caos que se generar´ıa al tratar de enviar un satelite a algun lugar determinado? 2 aspectos: 1) Lo peque˜ no que somos los seres humanos. 2) Lo poco exc´entrico de nuestro orbitar alrededor del Sol. El primer aspecto nos dice que cualquier satelite que el humano pueda crear, no tiene ninguna posibilidad de competir en t´erminos de masa con otros pares de cuerpos celestes de inter´es como Tierra-Luna, Tierra-Sol, Tierra-Marte... de esta forma las orbitas de los dos cuerpos m´as masivos se mantendr´a imperturbada por este insignificante cuerpo. El segundo aspecto indica que la orbita cuasi-circular de la Tierra en torno al Sol genera un sistema de referencia en rotaci´on a una velocidad angular constante. Y bueno... el resto es maquinaria, maquinaria al estilo Lagrange. 1

2.3.

Ecuaciones de movimiento masa de prueba y los Puntos de Lagrange

“Una Masa de prueba”, fue justamente como lo pens´o Lagrange para darle soluci´on a este problema ca´ otico de tres cuerpos. Una peque˜ na masa que no interfiriese en el problema original de dos cuerpos en estado ligado. Gracias a la grandiosa herramienta para la mec´anica de movimientos de Lagrange, se puede saber con toda certeza que la trayectoria que debe seguir esta masa de prueba es tal que el camino recorrido minimice la acci´ on en el tiempo. Al expresar la acci´ on o Lagrangiano de esta masa de prueba (sat´elite,sonda...) con respecto al sistema en rotaci´ on se encuentran las ecuaciones de movimiento de esta misma, para luego buscar por soluciones que no hagan variar las coordenadas de la peque˜ na masa en el tiempo (estabilidad). Las soluciones de las ecuaciones de movimiento bajo estas condiciones se conocen como los 5 puntos de lagrange; L1, L2, L3, L4 y L5.

Figura 1: Sistema Tierra-Luna y puntos de Lagrange

3.

Conclusi´ on

L1, L2 y L3 caen todos en la linea que une a los dos cuerpos masivos y son puntos meta-estables (puntos silla). Puntos L4 y L5 son minimos de pontencial donde un cuerpo en sus cercan´ıas quedaria orbitando estos puntos con orbitas estables elipticas. Estos puntos se repiten por ejemplo para sistema Tierra-Sol y aunque L1 no sea estable (≈ 1,5 · 106 [km] de la Tierra) es la posici´on aproximada para el observatorio heliosf´erico solar (SOHO) que orbita a L1 en un plano perpendicular a la linea Tierra-Sol desde 1996. Peque˜ nos cohetes corrigen el leve arrastre que siente la sonda desde o hacia L1. ¡Eso s´ı que es un desaf´ıo de control! Se puede notar as´ı el enorme potencial que tiene el entender la naturaleza del espacio que nos rodea para asi conocer y poner nuestros ojos a observar lo que antes era s´olo imaginaci´on. Lagrange... un gigante.

Referencias [1] Goldstein,Poole & Safko “Classical Mechanics” Third edition, -The three body problem[2] LPI-JSC Center for Lunar Science and Exploration, figura 1

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