INTERRELACIONES ENTRE MÚSICA Y MATEMÁTICAS. Una introducción a la Teoría de grupos aplicada a la música.

INTERRELACIONES ENTRE MÚSICA Y MATEMÁTICAS1 Una introducción a la Teoría de grupos aplicada a la música. Miguel Ariza, Carlos Lingan Facultad de Ciencias, UNAM

RESUMEN En este trabajo planteamos la utilización de conceptos de la teoría musical y de las matemáticas, como una alternativa para la obtención de resultados enriquecedores para la composición musical. Se hace una introducción al lector a la teoría de grupos y se analiza su aplicación a la transformación de un núcleo de 3 alturas en el proceso precompositivo de una obra.

INTRODUCCIÓN Es nuestra intención mostrar en esta introducción, a través de una breve colección de datos históricos, las interrelaciones existentes entre música y matemáticas. Con esto, se pretende dotar al lector de un breve marco de referencia que le ayude a situar y comprender el amplio arco temporal que cubre esta relación. Al remontarnos a la antigua cultura griega nos percatamos que la música formaba parte de las cuatro Mathemata (literalmente, ‘materias de estudio’) de origen pitagórico: a) Aritmética: estudio del número en sí mismo. b) Teoría de la Música (denominada Harmonike): estudio del número en el tiempo. c) Geometría: estudio del número en el espacio. d) Astronomía: estudio del número en espacio y tiempo.2

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Texto introductorio pera el curso: Modelos matemáticos de análisis y creación musical en el siglo XX. http://www.fciencias.unam.mx/docencia/horarios/presentacion/232240 2 Galicia Brito (1989) 20.

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Asimismo, el lugar y la relevancia de la Teoría de la Música al interior del conjunto de saberes del conocimiento griego fue abordada y discutida por varios autores más: Arístides (540 a.C.- 470 a.C.), Aristóteles (384 a.C –322 a.C.), Aristoxeno de Tarento (364 a.C-304 a.C.), Geminus (10 a.C.-60 d.C.) y Teón de Esmirna (70 d.C.-135 d.C.).3 Varios siglos después, en 1660, el jesuita Athanasius Kircher describió un dispositivo mecánico para componer música, al que llamó ‘Arca Musarithmica’. Esta máquina constaba de una capa con una serie de correderas de madera, en las cuales se habían trazado signos para los diferentes tonos de la escala, así como para el compás y el ritmo. Kircher enfatizaba que si un ángel al principio del mundo hubiera empezado a combinar los números para 1660 todavía no habría concluido su labor.4 En 1757, Johann Phillip Kirnberger publicó su Compositor de polonesas y minuetos a todo tiempo dispuesto y posteriormente El nuevo compositor de minuetos, tríos y polonesas. El cual, por medio de uno o dos dados o incluso tan solo teniendo sus números en la mente, “indica el modo como cualquier aficionado pueda hacer tantas piezas de música como se le antojen.”5 Los dos métodos arriba comentados nos muestran cómo el fenómeno musical se asociaba, e incluso se pretendía controlar, como el caso de Kirnberger, con el uso de relaciones entre eventos musicales predeterminados y números que eran asignados a dichos fragmentos. Las relaciones establecidas entre ambos elementos eran determinadas mediante

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Op. Cit. 4, 21, 24. Prieberg (1964) 132-133. 5 Id. 140-141. 4

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un hecho azaroso (el lanzamiento de dados) lo que denota una asociación de carácter numérico e incluso místico dentro del proceso de “composición” musical. Instalados en el siglo XX, después de la Segunda Guerra Mundial (1939-1945), la vanguardia musical europea adoptó el sistema de composición serial (también llamado serialismo) e hizo de la obra del compositor vienés Anton Webern (1883-1945) su modelo estético. Entre los años 1950-1955, se desarrollaron los principios teóricos del serialismo, pasando de un práctica inspirada en los métodos de Webern a un control sistematizado, altamente riguroso y en ocasiones inflexible, sobre todos los aspectos que integran el fenómeno musical (altura del sonido, duración, intensidad, timbre), que se denominó serialismo integral. Dentro de los métodos más rigurosos de la práctica serialista, se tomó al número 12 como un elemento primordial en la estructuración del material compositivo (incluso el investigador italiano Andrea Lanza (1947-)6 nombra a este fenómeno como el ‘fetichismo del número 12’). La importancia del número 12 tiene su origen en el número de elementos que integran, dentro de la escala temperada, la llamada escala cromática, conformada por doce sonidos. Así, se buscaron diversas maneras de trabajar con este número, apelando, en ocasiones, a algunas series de números que existen en el campo matemático. Por ejemplo, el compositor alemán Karlheinz Stockhausen (1928-2007), en algunas de sus obras, utilizó como elemento constructivo la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión fue desarrollada por el matemático italiano Leonardo de Pisa (1170?-1240?), apodado Fibonacci, quien compiló y suplementó el conocimiento matemático de las

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Lanza (1999) 106.

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culturas clásicas, árabes e indias. Asimismo, Fibonacci realizó contribuciones a los campos matemáticos del álgebra y de la teoría de números. La sucesión está construida de la siguiente manera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (así hasta el infinito) donde cada número de la sucesión estará conformado por la suma de los dos números que le anteceden. De esta manera: 2 = 1 + 1;

3 = 2 + 1;

5 = 3 + 2;

8 = 5 + 3;

13 = 8 + 5;

etcétera.

Un ejemplo interesante del uso de la serie de Fibonacci en la producción musical de Stockhausen, se observa en la obra Mikrophonie II (1965), en la que el compositor alemán determinó la duración en segundos de cada una de las 33 secciones que integran la obra de acuerdo a los elementos presentes en la sucesión de Fibonacci. 7 Así, la duración en segundos de cada sección abarca desde los 3 segundos y se extiende hasta los 144 segundos. Stockhausen hace uso de la misma sucesión en otras obras, como en los casos de: Klavierstücke IX (1961), Adieu (1966) y Telemusik (1966). En 1956, el compositor griego Iannis Xenakis (1922-2001) publica un artículo titulado “La crisis de la música serial”, en el que propuso la adopción de una práctica composicional sujeta a principios e ideas de un orden matemático más profundo, alejada de la “mística” numérica que predominaba en esos años. La peculiaridad de la propuesta de Xenakis es explicable a partir de su formación académica, pues cursó estudios de composición, ingeniería y arquitectura (trabajó junto al francés Le Corbusier en la construcción del Pabellón Philips para la Exposición Internacional de Bruselas de 1958). 7

Peters 186.

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El planteamiento de Xenakis resulta complejo de abordar para quien no posee un conocimiento matemático más avanzado que el proporcionado en la educación básica y media superior. Una parte del trabajo de Xenakis se encuentra compilado en el libro Formalized Music. Thought and Mathematics in Composition (1992). Una rápida revisión a esta obra revela al lector un escrito de acceso y comprensión no tan inmediato, pues el lenguaje y la simbología están influenciados por un estilo muy particular, propio de los textos teóricos de matemáticas. La obra teórica de Xenakis constituye un importante caso de análisis y de discusión en torno a las diversas aproximaciones al fenómeno musical, ya sean composicionales, analíticas, interpretativas o estéticas. Así, en la actualidad, no es raro encontrar a compositores, musicólogos e intérpretes poseedores de un conocimiento matemático más profundo que el general, lo cual les dota de herramientas e ideas auxiliares diferentes y, desde luego, complementarias, a aquellas ya adquiridas. A partir de este hecho, es nuestro interés brindar al lector una breve introducción a la utilización de un área del trabajo matemático, la Teoría de Grupos, en algunos aspectos de la teoría musical. Con esto, no se pretende en ningún momento imponer un control totalmente estructural a la creación musical. Por el contrario, nuestra finalidad es simplemente tratar de mostrar el enriquecimiento que se obtiene al entrar en contacto ideas de varias ramas del conocimiento humano. UNA BREVE DESCRIPCIÓN DE LA TEORÍA DE GRUPOS Se considera que la rama de las matemáticas conocida como Teoría de Grupos tiene su origen en los trabajos realizados por el matemático francés Evariste Galois (1811-1832). La teoría de grupos, “en su nivel más profundo, se ocupa de las simetrías intrínsecas de un

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sistema cualquiera”.8 Para comprender de mejor manera esta posible definición veamos un ejemplo altamente conocido en la bibliografía matemática: Supongamos que tenemos un triángulo equilátero, al que a cada uno de sus vértices le asignamos una letra diferente, en sentido contrario a las manecillas del reloj. La situación (que llamaremos Operación 1) es la siguiente: B

C

A

Operación 1: nuestro triángulo y sus respectivos vértices.

Como el triángulo que tenemos es equilátero, cuando se realiza un giro del triángulo hacia la izquierda (o hacia la derecha) de tal manera que un vértice quede en la posición que ocupaba otro vértice, el triángulo sigue viéndose igual, solamente cambiaron los nombres de los vértices. Esto se ilustra en la siguiente figura: A

B

C

C

Operación 2: después de realizar un giro hacia la izquierda.

A

B

Operación 3: después de realizar dos giros hacia la izquierda.

Las dos operaciones que hemos realizado hasta el momento pueden ser representadas de la siguiente manera: 8

Rothman (1982) 95.

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-Para la Operación 2: A B C B C

A

Esta notación significa que el vértice A pasó al lugar del vértice B, que el vértice B pasó al lugar del vértice C, y que el vértice C pasó al lugar del vértice A. -Para la Operación 3: A B C C

A B

La notación tiene un significado similar al de la situación 1, salvo las posiciones de los vértices. Ahora bien, la notación propuesta hasta ahora es clara y refleja adecuadamente las operaciones que hemos realizado sobre nuestro triángulo. Sin embargo, dentro de la teoría de grupos existe una simplificación más de la notación, que a continuación trataremos. Retomemos la notación empleada para representar la Operación 2: A B C B C A Si ahora asignamos a cada letra un número: A = 1, B = 2, C = 3, tenemos que la Operación 2 se representa de la siguiente manera: 1

2

3

2

3

1

A partir de esta expresión, realizaremos otra simplificación bajo el esquema conocido como notación cíclica.

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Entonces la Operación 2 queda ahora representada de la siguiente manera: (1 2 3) La lectura de esta última expresión es la siguiente: el elemento 1 (en nuestro caso, el vértice A) ocupa la posición del elemento 2 (en nuestro caso, el vértice B), el elemento 2 ocupa la posición del elemento 3 (en nuestro caso, el vértice C), y el elemento 3 ocupa la posición del elemento 1, cerrando de esta manera el ciclo: 1 → 2 → 3 → 1. Esta es la notación empleada dentro del terreno de la teoría de grupos. Ahora, siguiendo con nuestro trabajo sobre el triángulo, la Operación 3 queda representada de la siguiente manera: (1 3 2) Hasta el momento hemos realizado dos operaciones con nuestro triángulo equilátero. Sin embargo, podemos realizar otras tres operaciones, consistentes en rotar el triángulo en torno a cada uno de sus ejes de simetría. Los resultados de estas operaciones cambian la posición de dos vértices del triángulo, mientras el vértice restante queda fijo. Estas situaciones las abordaremos a continuación. Para la Operación 4, tomemos el eje de simetría que pasa por el vértice A de nuestro triángulo. Así, tenemos lo siguiente: B

C

A

Eje de simetría que parte del vértice A de nuestro triángulo.

8

Si rotamos 180° el triángulo, en torno a su eje de simetría y en sentido contrario a las manecillas del reloj, tenemos la situación siguiente: C

B

A

Operación 4: nuestro triángulo después de haberlo rotado 180° en torno al eje de simetría.

Esta Operación se representa con la notación de teoría de grupos de la siguiente manera: (2 3) En este ejemplo notamos una diferencia con la notación utilizada para las situaciones 2 y 3: no aparece el número 1. Esto se explica de la siguiente manera: en la operación que realizamos en la situación 4, el vértice A (que es representado por el vértice 1) quedó en la misma posición que antes de rotar el triángulo. De esto, tenemos que el vértice A no sufrió un cambio en su posición, es decir, quedó fijo. Por tanto, la notación empleada se lee de la siguiente manera: el elemento 2 pasa a la posición del elemento 3 y el elemento 3 pasa a la posición del elemento 2. Los elementos que no aparecen en la notación quedan fijos (en nuestro caso, el vértice A). Si procedemos de la misma manera, con cada uno de los vértices restantes y sus correspondientes ejes de simetría, obtenemos las siguientes situaciones:

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-Operación 5: rotamos el triángulo en torno al eje de simetría que pasa por el vértice B: B

C

A

Eje de simetría que parte del vértice B de nuestro triángulo.

Después de efectuar la rotación, tenemos la siguiente situación: B

A

C

Operación 5: nuestro triángulo después de haberlo rotado 180° en torno al eje de simetría.

Empleando la notación de teoría de grupos, la Operación 5 queda representada de la siguiente manera: (1 3) -Operación 6: la obtenemos al rotar nuestro triángulo en torno al eje de simetría que pasa por el vértice C:

B

C

A

Eje de simetría que parte del vértice C de nuestro triángulo.

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Después de efectuar la rotación, tenemos la siguiente situación: A

B

C

Operación 6: nuestro triángulo después de haberlo rotado 180° en torno al eje de simetría.

La Operación 6 es representada en la notación de la teoría de grupos de la siguiente manera: (1 2) Estas 6 situaciones que hemos desarrollado son las únicas posibles que se pueden construir en torno a nuestro triángulo equilátero que preservan su característica de simetría. Solo resta un detalle a considerar: para la situación 1, la teoría de grupos establece la siguiente notación: (1) con la que se representa que el triángulo no ha sufrido alguna modificación. Así, podemos organizar un cuadro con las 6 operaciones que realizamos con nuestro triángulo, empezando por la situación 1: Operación

Notación

Operación

(1)

1

11

Operación

(1 2 3)

2 Operación

(1 3 2)

3 Operación

(2 3)

4 Operación

(1 3)

5 Operación

(1 2)

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Ahora bien, ¿qué es lo que pasa si aplicamos una operación al resultado obtenido de una operación previa (situación que representaremos con el símbolo *)? Veamos. Realicemos primero la Operación 2 y posteriormente la Operación 5 sobre nuestro triángulo. Esto se representa con nuestra notación de la siguiente manera: Operación 2 * Operación 5 = (1 2 3) * (1 3) Apliquemos a nuestro triángulo original la Operación 2, cuyo resultado es, como vimos, el siguiente: A

B

C

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Si ahora realizamos la Operación 5 sobre el triángulo que obtuvimos, tenemos el resultado de nuestra expresión: C

B

A

Sin embargo, el resultado obtenido es el mismo que se logra realizando la Operación 4. De esta manera, vemos que una de las Operaciones sobre nuestro triángulo puede ser expresada como la aplicación de otras dos operaciones: primero una, y al resultado obtenido, le aplicamos la segunda. Esta situación se da entre todas las operaciones que tenemos, y lo representaremos en el siguiente cuadro:

*

(1)

(1 2 3) (1 3 2)

(2 3)

(1 3)

(1 2)

(1)

(1)

(1 2 3) (1 3 2)

(2 3)

(1 3)

(1 2)

(1)

(1 3)

(1 2)

(2 3)

(1)

(1 2 3)

(1 2)

(2 3)

(1 3)

(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2)

(1 3 2) (1 3 2)

(2 3)

(2 3)

(1 2)

(1 3)

(1)

(1 3 2) (1 2 3)

(1 3)

(1 3)

(2 3)

(1 2)

(1 2 3)

(1 2)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 3 2) (1 2 3)

(1)

(1 3 2)

(1)

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De este cuadro podemos obtener varios detalles importantes: -Los resultados de aplicar dos Operaciones cualquiera, siempre son Operaciones con las que ya contábamos. A este hecho se le denomina, en la Teoría de Grupos, cerradura del grupo. -Cuando realizamos una Operación cualquiera primero y al resultado le aplicamos la Operación 1, obtenemos el mismo resultado que cuando aplicamos la primera Operación. Por ejemplo: (1 3 2) * (1) = (1 3 2); (1 3) * (1) = (1 3). La Operación 1 recibe el nombre de identidad en la Teoría de Grupos. -Para cada Operación sobre nuestro triángulo, existe otra Operación con la que se cumple lo siguiente: al aplicar la primera Operación y luego la segunda Operación, obtenemos la identidad. Por ejemplo: (1 2) * (1 2) = (1); (1 2 3) * (1 3 2) = (1). En la Teoría de Grupos, la segunda Operación es llamada inversa de la primera Operación. -Si escogemos tres Operaciones cualquiera, por ejemplo: (1 2 3), (1 2) y (1 3) tenemos que ocurre lo siguiente: ( (1 2 3) * (1 2) ) * (1 3) = (1 2 3) * ( (1 2) * (1 3) ) pues: ( (1 2 3) * (1 2) ) * (1 3) = (1 3 2) y, (1 2 3) * ( (1 2) * (1 3) ) = (1 3 2) A este hecho, dentro de la Teoría de Grupos, se le conoce como asociatividad de la operación *.

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Las seis operaciones que obtuvimos de nuestro trabajo con el triángulo constituyen un grupo, llamado el grupo de permutaciones de tres objetos. Ahora, veamos la definición de un grupo: Un grupo está formado por: a) Una colección de elementos (que, en nuestro caso, son operaciones de simetría; las 6 situaciones que obtuvimos). b) Una regla para combinar o componer de manera ordenada dos elementos cualquiera del grupo (que denotamos en nuestro ejemplo con *). Dicha regla debe cumplir con la propiedad de que para dos elementos cualquiera a y b de nuestro grupo, el resultado de a*b sea también un elemento del grupo (este hecho también lo verificamos en nuestro ejemplo). A esta propiedad se le llama cerradura del grupo. c) El grupo debe contener también un elemento llamado identidad, denotado por 1, el cual cumple que para cualquier elemento a que tomemos de nuestro grupo se tenga que a*1 = a (en nuestro ejemplo, la situación 1 constituye la identidad de nuestro grupo). d) Para todo elemento a del grupo, debe existir un elemento que llamamos inverso de a (denotado por a-1) que cumple con lo siguiente: a * a-1 =1. Esta situación también la verificamos en nuestro ejemplo. e) Para cualesquiera tres elementos a, b, c del grupo, la operación debe cumplir con que (a*b)*c = a*(b*c). Esta propiedad es llamada asociatividad de la operación. Como vimos, en nuestro ejemplo también verificamos esta propiedad. En nuestro ejemplo sólo consideramos las permutaciones de tres objetos (representados por los vértices de nuestro triángulo). Si consideramos las permutaciones de

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cuatro objetos obtendremos veinticuatro operaciones con dichos elementos. Para las permutaciones de cinco objetos obtendremos ciento veinte operaciones con dichos elementos. En general, en la teoría de grupos se demostró que el grupo de las permutaciones de n objetos, tiene n! (expresión que se lee: ‘n factorial’, y que significa n! = n x (n – 1) x (n –2) x ... x (2) x (1) ) operaciones con los elementos que se desean permutar. Es por este hecho que para el grupo de las permutaciones de cinco elementos obtuvimos que se tienen ciento veinte operaciones, pues: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 En palabras del matemático Jorge Gil, al aplicarse las operaciones de la teoría de grupos a lenguajes diferentes del matemático, “se señalan algunos mecanismos operativos que efectúa el hombre a través de su acción física e intelectual”.9 Una vez que nos hemos introducido a la noción de grupo, pasaremos a un ejemplo de aplicación en el campo de la música. En este ejemplo trataremos las transformaciones que puede tener un conjunto de notas, que pueden ser utilizadas como material estructural dentro del proceso de composición de una obra.

UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GRUPOS EN LA MÚSICA Para este ejemplo trabajaremos con el siguiente núcleo de alturas, tomado de la serie del Concierto para nueve instrumentos Op. 24 de Anton Webern:10

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Estrada (1984) 5 Perle (1999) 102.

10

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Como primera observación, veamos los intervalos formados entre cada una de las alturas que integran nuestro núcleo: -do a si: segunda menor. -si a re#: tercera mayor. Si ahora aplicamos las 3 transformaciones existentes en la teoría de la composición serial (retrogradación, inversión, retrogradación de la inversión, transformaciones que, de hecho, pertenecen al contrapunto tradicional) obtenemos los siguientes conjuntos de alturas: -La retrogradación del núcleo:

-La inversión del núcleo:

-La retrogradación de la inversión del núcleo:

Así, contamos con cuatro posibles transformaciones del núcleo: la forma básica, su retrogradación, la inversión de la forma básica y su retrogradación. Ahora bien, ¿qué pasa

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si trabajamos con el grupo de las permutaciones de tres objetos, teniendo como objetos a las alturas de la forma básica de nuestro núcleo? Veamos: Por el trabajo que realizamos en la sección anterior contamos con los seis elementos del grupo: (1), (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3) y (1 2). Ahora asociemos a cada altura un número: Do = 1

Si = 2

Re# = 3

A cada elemento del grupo lo identificaremos con un nombre: Operación de Simetría 1: (1)

Operación de Simetría 4: (1 2)

Operación de Simetría 2: (1 2 3)

Operación de Simetría 5: (1 3)

Operación de Simetría 3: (1 3 2)

Operación de Simetría 6: (2 3)

Veamos el resultado de la aplicación de cada uno de los elementos del grupo: -Operación de simetría 1, que nos da la forma básica del núcleo:

-Operación de Simetría 2, que nos da la siguiente disposición de los elementos del núcleo:

-Operación de Simetría 3, que nos da la siguiente disposición de los elementos del núcleo:

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-Operación de Simetría 4, que nos da la siguiente disposición de los elementos del núcleo:

-Operación de Simetría 5, que nos da la retrogradación de la forma básica del núcleo:

-Operación de Simetría 6, que nos da la siguiente disposición de los elementos del núcleo:

Así, sin tomar en cuenta las Operaciones de Simetría 1 y 5 (que corresponden a la disposición original y retrógrada del núcleo básico, respectivamente), nos encontramos con que tenemos cuatro transformaciones más de nuestro núcleo básico. Si juntamos las cuatro operaciones de simetría que obtuvimos mediante la utilización del grupo de permutaciones y las cuatro transformaciones tradicionales de nuestro núcleo básico, tenemos un total de ocho posibles transformaciones. Con esto, las posibilidades de uso de un mismo núcleo han

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aumentado considerablemente. En el siguiente cuadro se mostrarán las ocho posibles transformaciones de nuestro núcleo básico: Operación de transformación

Resultado sobre el núcleo básico

Forma básica

Retrogradación de la forma básica

Inversión

Retrogradación de la inversión

Operación de Simetría 2

Operación de Simetría 3

Operación de Simetría 4

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Operación de Simetría 6

Ahora bien, también debemos considerar la posibilidad de hacer transposiciones de cada una de las ocho transformaciones. Si nuestro ámbito de trabajo es la escala temperada, y hacemos uso de las transformaciones tradicionales, de las obtenidas mediante el grupo de permutaciones y aplicando transposiciones, tendremos un total de 8 x 12 = 96 transformaciones para un solo núcleo. Así, la gama de recursos que se han empleado ha crecido notoriamente, lo que, en principio, nos brinda una mayor cantidad de posible material con el cual trabajar. Desde luego, son las necesidades y los objetivos del compositor los que determinarán la utilización de los materiales previos durante la construcción de la obra.

CONCLUSIONES Hemos visto, de manera breve, cómo el acercamiento de dos áreas, cada una con su respectivo conocimiento, para su uso dentro de una posible etapa de la creación musical, nos ha brindado una mayor cantidad de recursos a los cuales apelar durante dicho estadío del proceso compositivo. La decisión de utilizar el producto de esta interacción es responsabilidad del compositor, pues, como se dijo anteriormente, son las necesidades y los objetivos del mismo en su obra, los que determinarán cómo se manejarán sus materiales compositivos.

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Desde luego, como se puede apreciar en el trabajo realizado por Iannis Xenakis y el trabajo de Julio Estrada, las interacciones entre la música y las matemáticas son fructíferas cuando no hay una imposición de parte de una rama a la otra. Lejos de mecanizarse el proceso creativo, se amplían sus posibilidades técnicas. El camino de aprendizaje es largo, y solo hemos visto someramente una pequeña parte de las posibles interacciones entre dos ramas. En una entrevista11 al compositor francés Pierre Boulez (1925-2016) en torno a la interacción entre música y ciencia, se lee lo siguiente: “He observado que es muy difícil poner en contacto a científicos y a músicos, mucho más de lo que me imaginaba. Y tengo menos esperanzas hoy que las que albergaba hace veinticinco años. En primer lugar, a causa del sistema educativo, diametralmente opuesto en un caso y en el otro. En segundo lugar, creo que la imaginación no se entrena, que no actúa del mismo modo, porque la intuición científica no trabaja con las mismas bases de datos que la intuición musical. En tercer lugar, el intercambio cultural es tremendamente raro. Si bien es algo excepcional que un científico posea una cultura musical sólida, es aún más excepcional dar con un músico cuya cultura científica también lo sea.”

Corresponde a los miembros de cada área del conocimiento humano que la situación a la que Boulez hace mención no se acreciente, y que, en cambio, pueda ser solucionada, buscando los medios que posibiliten un acercamiento y una interacción con las demás disciplinas humanas.

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Boulez (2003) 102-103.

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REFERENCIAS Boulez, Pierre. La escritura del gesto. Conversaciones con Cécile Gilly. Barcelona, España: Gedisa Editores. 2003. Estrada, Julio y Jorge Gil. Música y Teoría de Grupos Finitos (3 variables booleanas). Con un resumen al inglés. México: Instituto de Investigaciones Estéticas, UNAM. 1984. Galicia Brito, Renato. La Música en las Matemáticas Griegas. Tesis de Licenciatura. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional Autónoma de México. 1989 Lanza, Andrea. Historia de la Música. El siglo XX. Tercera Parte. España: Consejo Nacional Para la Cultura y las Artes/Turner Libros. 1999. Perle, George. Composición serial y atonalidad. Una introducción a la música de Schönberg, Berg y Webern. España: Idea Books. 1999. Peters, Günter. Holy Seriousness the Play. Essays on the Music of Karlheinz Stockhausen. Alemania: Stockhausen Foundation for Music. 2003. Prieberg, Fred K. Música y Máquina. Música concreta, electrónica y futurista. Nuevos instrumentos. Robots. Discografía. España: Ediciones Zeus. 1964. Rothman, Tony. “La breve vida de Evariste Galois” Investigación y Ciencia 69 (1982) 90100.

BIBLIOGRAFÍA Adán Acevedo, Víctor. Principia Musica. Tesis de Licenciatura. Escuela Nacional de Música. Universidad Nacional Autónoma de México. 2003.

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Xenakis, Iannis. Formalized Music. Thought and Mathematics in Composition. New York: Pendragon Press. 1992.

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