Interés simple y compuesto

1.

Inter´ es simple y compuesto

Imag´ınese que dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, con una misma tasa de inter´es i. Al cabo de un a˜ no, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital invertido. En el segundo a˜ no, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, y as´ı cada a˜ no. Cada a˜ no retira los intereses producidos durante ese a˜ no y reinvierte s´olo el capital C. En cambio B, al cabo del primer a˜ no no retira el inter´es, sino que lo invierte junto con el capital anterior durante un a˜ no m´as, y as´ı sucesivamente. En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C, mientras que en el caso de B, el capital var´ıa aumentando a˜ no con a˜ no. El inter´ es simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversi´on, se deben u ´nicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el inter´es de la persona A es un inter´es simple. Inter´ es compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman peri´odicamente los intereses producidos. As´ı al final de cada periodo el capital que se tiene es el capital anterior m´as los intereses producidos por ese capital durante dicho periodo. Al capital existente en cada momento, le llamamos montante. El inter´es de B en el ejemplo anterior es un inter´es compuesto. Cuando no devengamos los intereses en los distintos periodos de tiempo sino que ´estos se van sumando al capital, hemos colocado el capital a inter´es compuesto, a este proceso le llamamos capitalizaci´ on. 1.0.1.

F´ ormula del inter´ es simple

Un capital (C) colocado al R % (r´edito, ganancia que producen 100 C en un a˜ no) en un a˜ no porduce de inter´es (I) en t a˜ nos: I=

CRt = Crt 100

r es la ganancia que produce 1 C en un a˜ no, r = 1.0.2.

R . 100

F´ ormula del inter´ es compuesto

Un capital (C) colocado al tanto por uno r porduce el siguiente montante (M) al cabo de t a˜ nos: M = C(1 + r)t Cuando capitalizamos n veces al a˜ no o en n per´ıodos cada a˜ no obtenomos un montante de:  r T M =C 1+ n siendo T el n´ umero de per´ıodos.

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1.1.

Ejemplos

? Un capital de 300000 C invertido a una tasa de inter´es del 8 % durante un cierto tiempo ha generado unos intereses de 12000 C . ¿Cu´anto tiempo ha estado invertido? Aplicando la f´ormula, se tiene que 12000 = 30000 · 00 08 · t, 12000 despejando t = = 00 5 30000 · 00 08 Por lo que el tiempo que ha estado invertido es de 00 5 a˜ nos, es decir, 6 meses. no en 22400 C . ¿Cu´al es el inter´es cobrado? ? Un pr´estamo de 20000 C se convierte al cabo de un a˜ Los intereses han ascendido a 22400 − 20000 = 2400, aplicando la f´ormula 2400 2400 = 20000 · r · 1 ⇒ r = = 00 12 20000 El inter´ es es del 12 %. nos y a una tasa de inter´es ? Averiguar en qu´e se convierte un capital de 12000 C al cabo de 5 a˜ compuesto anual del 8 %. Aplicando la f´ormula M = C(1 + r)t , tenemos que M = 12000 · (1 + 0.08)5 = 17631.94 C . Por tanto el montante al cabo de 5 a˜ nos es de 17631.94 C . ? Un cierto capital invertido durante 7 a˜ nos a una tasa de inter´es compuesto anual del 10 % se ha 0 convertido en 15839 45 C . Calcular el capital inicial sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.  r T Utilizaremos la f´ormula M = C 1 + , n n = 2 porque los intereses se pagan cada 6 meses. T es el n´ umero de periodos, en este caso T = 14. Por tanto,   00 1 14 158390 45 0 15839 45 = C · 1 + = C · (10 05)14 ⇒ C = 0 14 = 79990 998588 . . . = 8000 2 (1 05) Capital inicial = 8000 C ? Calcular el inter´es compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 15000 C para que al cabo de 4 a˜ nos se haya convertido en 23602’79 C . t Aplicando la f´ormula M = C(1 + 236020 79 = 15000 · (1 + r)4 rr) , tenemos que r 0 0 236020 79 4 23602 79 4 23602 79 (1 + r)4 = ⇒1+r = ⇒r= − 1 = 00 12 15000 15000 15000 El inter´ es ha sido del 12 %.

? Durante cu´antos a˜ nos estuvieron impuestas 3 6060 6 C , al tanto nominal 30 9608 % capitalizable semestralmente, si alcanz´o un montante de 4 7450 34 C . Aplicando la f´ormula M = C(1 + r)t , tenemos que 4 7450 34 = 3 6060 6 · (1 + 00 039608)t . Tomando logaritmos y aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene que,
log 4 7450 34 = log 3 6060 6 · (1 + 00 039608)t ⇒ log 4 7450 34 = log 3 6060 6 + t log(10 039608) log 4 7450 34 − log 3 6060 6 t= = 70 06 log(10 039608) El capital fu´ e invertido durante 7 a˜ nos

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2.

Anualidades de capitalizaci´ on

Un ejemplo particular de operacion financiera a inter´es compuesto es la denominada anualidad de capitalizacion. En este procedimiento, el cliente deposita cada principio de a˜ no una cantidad fija (la anualidad de capitalizacion) en la entidad financiera, que no retira hasta el fin del plazo acordado, de manera que al cabo del mismo ha producido un capital acumulado. Suponiendo que la anualidad de capitalizacion es a y que el plazo acordado es t a˜ nos, utilizando la f´ormula del inter´es compuesto, tenemos que: Final del a˜ no 1 2 3 ··· t

Montante a(1 + r) a(1 + r)2 + a(1 + r) a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) ··· a(1 + r)t + · · · + a(1 + r)2 + a(1 + r)

Los montantes en a˜ nos consecutivos forman una progresi´on geom´etrica de raz´on (1 + r). Aplicando la f´ormula de la suma  de los t primeros  t´erminos de una progesi´on geom´etrica obtenemos el capital an · r − a1 al cabo de t a˜ nos Sn = : r−1 a(1 + r)t (1 + r) − a(1 + r) C= (1 + r) − 1   a(1 + r) (1 + r)t − 1 C= r En general, cuando los pagos los hacemos n veces al a˜ no, el capital obtenido es:   r  r T a 1+ 1+ −1 n n C= r n 

siendo T el n´ umero de pe´ıodos de capitalizaci´on. Ejemplos: p´agina 105 del libro.

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3.

Anualidades de amortizaci´ on

Otro caso pr´actico es la amortizaci´on de pr´estamos. Normalmente, cuando se solicita un cr´edito a un banco se establece un plazo de amortizaci´on (vencimiento) para el mismo de varios a˜ nos, durante los cuales el prestatario va devolviendo parte del cr´edito al tiempo que abona los intereses. Por tanto, seg´ un se devuelve el cr´edito, se va reduciendo el capital prestado, y (si se mantiene el r´edito) tambi´en los intereses. Las anualidades de amortizaci´ on son pagos o aportaciones fijas que hacemos al final de cada a˜ no, para amortizar o cancelar una deuda, junto con sus intereses compuestos, durante un a˜ no determinado, t, de a˜ nos. La deuda, D, al cabo de t a˜ nos, al tanto por uno anual, r, capitaliza el siguiente montante: M = t D(1 + r) . Las anualidades, a, que pagamos al finalizar cada a˜ no son cantidades fijas, por tanto, si el primer a˜ no pagamos una cantidad a, tambi´en estamos cancelando los intereses que producir´ıa esa cantidad durante los a˜ nos de pr´estamo que faltan por pagar. Es decir, al realizar el primer pago hemos cancelado un total de a(1 + r)t−1 del montante, N´ umero de pago 1 2 3 ··· t

Deuda cancelada a(1 + r)t−1 a(1 + r)t−2 a(1 + r)t−3 ··· a

La suma de todas esas cancelaciones tiene que ser igual al montante, M = D(1 + r)t : D(1 + r)t = a + a(1 − r) + · · · + a(1 + r)t−2 + a(1 + r)t−1 | {z } p.g. de raz´on (1+r), an =a(1+r)n−1     a (1 + r)t − 1 a (1 + r)t − 1 an · r − a1 a(1 + r)t−1 · (1 + r) − a t Sn = ⇒ St = = ⇒ D(1 + r) = r−1 (1 + r) − 1 r r a=

Dr(1 + r)t (1 + r)t − 1

En general, cuando los pagos los hacemos n veces al a˜ no, la cuota de amortizaci´on es: r r T D· 1+ a =  n T n r 1+ −1 n siendo T el n´ umero de pe´ıodos de amortizaci´on. Ejemplos: p´agina 107 del libro.

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