INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS

I)

INTERVALO INFINITO

Definiciones 𝑡

1. Si ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 existe para cada 𝑡 ≥ 𝑎, entonces: ∞

𝑡

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑡→∞ 𝑎

𝑎

siempre que el límite sea un número. En tal caso decimos que la integral impropia ∞ ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es convergente, en otro caso diremos que la integral es divergente. 𝑏

2. Si ∫𝑡 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 existe para cada 𝑡 ≤ 𝑏, entonces: 𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑡→−∞ 𝑡

−∞

siempre que el límite sea un número. En tal caso decimos que la integral impropia 𝑏

∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es convergente, en otro caso diremos que la integral es divergente. 3. Si 𝑓 es continua para todos los valores de 𝑥 y 𝑐 es cualquier número real, entonces: ∞

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎→−∞ 𝑎

−∞

𝑏→∞ 𝑐

siempre que los límites existan (sean números). En tal caso decimos que la integral ∞ 𝑐 impropia ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es convergente. Si cualquiera de las integrales ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 y ∞

∫𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 diverge, la integral es divergente.

II)

INTEGRANDOS DISCONTINUOS

Definiciones 1. Si 𝑓 es una función continua sobre el intervalo [𝑎, 𝑏) y discontinua en 𝑥 = 𝑏, entonces: 𝑏

𝑡

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim− ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑎

𝑡→𝑏

𝑎

siempre que el límite exista, en cuyo caso, decimos que la integral es convergente, en otro caso diremos que la integral es divergente. 2. Si 𝑓 es una función continua sobre el intervalo (𝑎, 𝑏] y discontinua en 𝑥 = 𝑎, entonces: 𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑡→𝑎

𝑎

𝑡

siempre que el límite exista, en cuyo caso, decimos que la integral es convergente, en otro caso diremos que la integral es divergente.

𝑐

3. Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑐 ) ∪ (𝑐, 𝑏], discontinua en 𝑥 = 𝑐 y las integrales ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

y ∫𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 son convergentes, entonces: 𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑐