Integración Simpson y Trapecios en Mathematica Software.

Universidad Santo Tomás Departamento de Ciencias Básicas Integración Numérica Mat. UNAL Jose Israel Merchan PRESENTADO POR: ANDRES DÍAZ- 2164558 ANYI PATRICIA ORDÓÑEZ CAICEDO - 2162921

INDICE: 1. INTRODUCCIÓN II. OBJETIVO III. MARCO TEÓRICO IV. DESARROLLO V. CONCLUSIÓN. VI. BIBLIOGRAFÍA.

1. INTRODUCCIÓN. A continuación se desarrollarán dos métodos para hallar la integración aproximada de una región dada una función. De esta forma se optará primeramente por dar a conocer en que consiste cada método, y seguido a esto se llevará a cabo la explicación de dos ejemplos que dificilmente se pueden desarrollar a partir de los métodos de intgración dentro de R (caso I y II) . Sería partidario lograr la aproximación más acertada, pero esto sería algo tedioso e imposible; teniendo como base esto se tendrá otro cimiento más para el desarrollo de nuevas integraciónes y a su vez de temas importantes como series y sucesiones que se dan en el curso II de matemáticas.

II. OBJETIVO. 1. Analizar cada algoritmo seguido para el desarrollo de los métodos por Trapecios y Simpson ( M. 1 3

2. Desarrollar el área aproximada de los 2 ejercicios propustos en clase. 3. Identificar la importancia del número de particiones que se tome para la aproximación.

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III. MARCO TEÓRICO.

II. OBJETIVO. 2

1. Analizar cada algoritmo seguido para el desarrollo de los métodos por Trapecios y Simpson ( M. Untitled-1.nb 1 3

2. Desarrollar el área aproximada de los 2 ejercicios propustos en clase. 3. Identificar la importancia del número de particiones que se tome para la aproximación.

III. MARCO TEÓRICO. III.1TRAPECIOS El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar facilmente a partir de la siguiente figura.

Eligiendo un espaciado

se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son En cada intervalo (xi , xi + 1) se sustituye la función f(x) por la recta que une los puntos (xi , yi ) y (xi +1, yi + 1) tal como se aprecia en la figura. La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor se puede calcular fácilmente

El el área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h

o bien, agrupando términos

Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, by Wolframlimitada. Mathematica Student Edition ya que el ordenador maneja números dePrinted precisión

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Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada.

III.II REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajouna parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi) (Xi+1, Yi+1) (Xi+2, Yi+2)

Es así como obtenemos la siguiente fórmula para desarrollar esta área aproximada.

IV. DESARROLLO Log H2 ΠL

1. ÙLog HΠL Sin ãx â x

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IV. DESARROLLO Log H2 ΠL

1. ÙLog HΠL Sin ãx â x à

Log H2 ΠL

Log HΠL

Sin ãx â x

ãLog Π I- 1 + ãLog Π M Sin

POR TRAPECIOS ***Como vemos es imposible llegar a un valor exacto de esta integral, de esta forma procedemos con el método por trapecios. à f HxL â x = b

a

à

Log H2 ΠL

Log HΠL

DX 2

@f Hx0 L + 2 f Hx1 L + ... + 2 f Hx - 1L + f Hxn LD

Sin Hex L â x =

DX 2

@f Hx0 L + 2 f Hx1 L + ... + 2 f Hx - 1L + f Hxn LD

,Teniendo en un intervalo de 10bnb15 ,Tomaremos n=12

a. Calcularemos h, entonces. HLog@2 ΠD - Log@ΠDL  12 Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

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H- Log@ΠD + Log@2 ΠDL

1 12

h , 2

b.

1 12 1 24

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entonces. H- Log@ΠD + Log@2 ΠDL “ 2

H- Log@ΠD + Log@2 ΠDL

c. Daremos un valor aproximado de DX, y le llamaremos B, para dejarlo indicado y tener idea de lo que se esta haciendo. - Log@ΠD + Log@2 ΠD = 0.05776226505 = B 12

d. Ahora calculemos la función evaluando en ella. H- Log@ΠD + Log@2 ΠDL 24

ASin eHlog HΠLL + 2 Sin eHlog HΠ+BLL + 2 Sin eHlog HΠ+2 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+3 BLL +

2 Sin eHlog HΠ+4 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+5 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+6 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+7 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+8 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+9 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+10 BLL + 2 Sin eHlog HΠ+11 BLL + Sin eHlog HΠ+12 BLL E

e. Continuando con el calculo de la función de seno se tiene. 0.02888113252@0 - 0.3714483405 - 0.7506100552 - 1.120042793 1.457597525 - 1.736764161 - 1.927804994 - 1.999971712 - 1.925079246 1.682593437 - 1.26612625 - 0.6907689168 + 0.00000038050936 D 0.0288811@- 14.9288D - 0.4311601657

f. Finalmente - 0.4311601657

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POR MÉTODO DE SIMPSON Se tiene primeramente que despejar la altura y dividirla en 3, según lo anteriormente propuesto en la fórmula. Tomaremos n=12 a. Entonces : llamaremos a DX, C de esta forma tenemos.

C Š 0.05776226505 C Š 0.0577623 ASin eHlog HΠLL + 4 Sin eHlog HΠ+CLL + 2 Sin eHlog HΠ+2 CLL + 4 Sin eHlog HΠ+3 CLL + 3 2 Sin eHlog HΠ+4 CLL + 4 Sin eHlog HΠ+5 CLL + 2 Sin eHlog HΠ+6 CLL + 4 Sin eHlog HΠ+7 CLL + 2 Sin eHlog HΠ+8 CLL +

0.05776226505

4 Sin eHlog HΠ+9 CLL + 2 Sin eHlog HΠ+10 CLL + 4 Sin eHlog HΠ+11 CLL + Sin eHlog HΠ+12 CLL E

b. calculamos obtenemos

0.01925408667@0 - 80.3714483405 * 2< - 0.7506100552 - 81.120042793 * 2< 1.457597525 - 81.736764161 * 2< - 1.927804994 - 81.999971712 * 2< - 1.925079246 82 * 1.682593437< - 1.26612625 - 82 * 0.6907689168< + 0.00000038050936 D 0.0192541@8- 22.5304