Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas, y en la Informática, de Secundaria

Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas, y en la Informática, de Secundaria Miguel Zapata Ros(*) , 1996

El contenido de esta comunicación forma parte, y hace referencia, a la Unidad Didáctica titulada "GEOMETRÍA FRACTAL ¿Qué son y cómo pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el espacio?", que incluye el desarrollo completo del resto de coordenadas curriculares (contextualización, objetivos didácticos, metodología, contenidos, evaluación y recursos) y de una serie de actividades propuestas para las materias de Matemáticas e Informática de ESO y Bachillerato. Este material está siendo experimentado para alumnos de niveles equivalentes a Tercero de ESO y Primero de Bachillerato. JUSTIFICACIÓN DE LA PROPUESTA Y DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA El propósito de esta unidad didáctica es suministrar una propuesta curricular sobre la introducción a la geometría fractal, con el objeto de que aquellos profesores, que lo consideren interesante, puedan incluir los fractales como contenidos de secundaria, bien dentro del bloque "representación y organización del espacio" de Matemáticas, o bien como contenidos propios del "Taller de Matemáticas". En todo caso partimos de la idea de que los fractales suministran modelos que contribuyen a percibir el espacio y las propiedades geométricas de objetos y procesos naturales. Queremos también poner de relieve varios hechos: Primero la conexión que existe entre este dominio del conocimiento y algunos de los objetivos educativos establecidos para la etapa de Secundaria. Segundo, la importancia, y las posibilidades, de introducir por primera vez unos conocimientos formulados de manera reciente (su desarrollo se ha producido en los últimos quince años). Recordemos que, en el contexto de la geometría descriptiva que se imparte ---o mejor que se impartía--- en los niveles equivalentes a secundaria, no se han incorporado contenidos prácticamente posteriores a Euler. Y por último conviene resaltar el potencial cognitivo de los modelos que suministra la geometría fractal y que permiten dar estructura cognitiva a objetos y procesos naturales (su representación y su forma) así como estudiar algunas de sus propiedades. Señalar además que ello es posible en buena medida gracias al uso del ordenador y de herramientas como LOGO, que posibilitan el cálculo y la interacción con potencia y rapidez, y que permiten al alumno observar la variación de las formas así como formular y contrastar las propiedades. Por último ofrecemos algunos de los fractales sencillos más significativos, algunas propuestas curriculares a desarrollar, y algunos ejemplos de programas LOGO para representar fractales no muy complicados y para estudiar sus propiedades y naturaleza. Justificación de la inclusión de los fractales en el Curriculum de Matemáticas en Secundaria. Cuando se dice que "es preciso que el curriculum refleje el proceso Constructivo del Conocimiento Matemático, tanto en su proceso histórico (Sic), como de apropiación por el individuo " y que "la finalización y estructuración del Conocimiento Matemático como sistema deductivo no es el punto de partida, sino más bien un punto de

llegada en un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para interpretar y representar (...) determinados aspectos de la realidad" (MEC, 1991), se nos están haciendo distintas propuestas de desarrollo Curricular:


Que las estrategias y metodologías de enseñanza utilizadas, partan del nivel de conocimiento del alumno (terminológico, conceptual, de sus experiencias, percepciones, etc.).




Que progresemos en proporción a como el alumno progresa en la adquisición de conocimientos. En la medida que se apropia de ellos. Y que esta progresión tiene mucho que ver con cómo los alumnos organizan sus conocimientos (los organizadores previos) y con qué conceptos los relacionan (conceptos inclusores).




Que el proceso de formación de las ideas en la etapa evolutiva de construcción del razonamiento lógico-formal es eminentemente inductivo, y por tanto que el aprendizaje en Matemáticas, o en Geometría, es tanto más significativo, y la adquisición de propiedades del plano y del espacio es tanto mejor, más eficaz, cuando el equilibrio inducción-deducción se basa más en aspectos inductivos: Primero reconocimiento y formulación de propiedades en objetos más reales y, posteriormente, su generalización y clasificación en objetos más abstractos y más formales.

En este sentido el nuevo curriculum propone partir de situaciones y experiencias del alumno para llegar a los mismos contenidos tradicionales: Figuras y cuerpos geométricos, semejanzas, movimientos,... Lo cual está bien, pero en ningún momento la propuesta curricular integra contenidos nuevos que cumplan en sí mismo los principios del aprendizaje significativo. Esta ausencia viene avalada explícitamente en una razón: El aparato disciplinar (en este caso matemático: teoremas, demostraciones, enunciados, ...) hace inviable tal propósito. Esto que en general es cierto en dominios de reciente desarrollo tales como caos, sistemas dinámicos, lógica borrosa, etc., no lo es en lo concerniente a la GEOMETRÍA FRACTAL (salvo para los muy puristas que entienden que el acercamiento de los conceptos matemáticos al estudiante medio, o su divulgación, resta validez a éstos). De esta forma nos podemos preguntar ¿qué esta más próximo al mundo de conocimientos y percepción de un alumno de Secundaria?: Lo plano (objetos planos o que sugieren el plano), la línea recta, e incluso las formas cúbicas, esféricas, elípticas,... o el perfil de una montaña, el perfil de un charco de agua, la ramificación de un árbol o de un arbusto. ¿En qué caso es mayor la "distancia conceptual"?: Entre un objeto plano y el concepto de plano, o entre la percepción visual de las ramas de un árbol y el concepto de recurrencia. En todo caso ¿es substancialmente mayor la distancia conceptual en este caso que en aquel?. Sobre el aspecto inducción-deducción también nos podemos plantear varias cuestiones: Mientras que con la mayor parte de los objetos geométricos el proceso de acercamiento de forma deductiva a un sistema matemático estructurado es lento y a menudo dificultoso, o entraña fuertes dificultades cognitivas, en el caso de los objetos fractales el acercamiento se produce de forma instantánea, casi mediante un mecanismo -2-

analógico simple, a veces mediante solo la percepción visual. Sin embargo no hay que engañarse, la dificultad en este caso se suele producir en la parte deductiva. De esta forma es muy sencillo para un alumno establecer que, por ejemplo, el perfil de un charco, el perfil de un lago, el de una zona de costa, o el de un mapa pertenecen a la misma categoría de objetos. Formular un procedimiento para medir la longitud del trozo de costa o del perfil, para medir el área encerrada, o para analizar la continuidad del trazo no es una tarea sencilla, más bien corresponde a niveles de aprendizaje de Matemáticas más especializados. De todas formas esto también sucede en la justificación no empírica del cálculo del área limitada por ciertas curvas regulares consideradas sencillas. Por tanto la propuesta que hacemos es la de incluir, como contenidos de Secundaria, conceptos y procedimientos de GEOMETRÍA FRACTAL, tanto en el bloque "REPRESENTACIÓN Y ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO" de Secundaria Obligatoria como en los correspondientes bloques de Geometría en las asignaturas de Matemáticas II de los Bachilleratos de Ciencias Naturales y de Tecnología, aparte de la opción que puede suponer incluirlos como una parte o como toda la materia del "Taller de Matemáticas". El lenguaje LOGO y el aprendizaje de la Geometría Para conocer LOGO es preciso saber en qué momento y en qué circunstancias se crea. El lenguaje LOGO nace a finales de la década de los sesenta, en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts). Es el primer lenguaje creado con fines exclusivamente educativos. Hasta entonces los lenguajes de programación solo se utilizaban en el campo de la formación como herramientas para programadores para resolver problemas y realizar tareas en otros campos: Cálculos complejos, almacenamiento de información, etc. Y solo de forma secundaria se utilizaban en educación, fundamentalmente para construir programas de instrucción asistida por ordenador EAO (enseñanza asistida por ordenador o CAI, computer asisted instruction), que consistían en volcar información existente en libros a programas. Esto podría constituir una novedad en como soportar la información, incluso en como procesarla, pero no en como enseñar o en los procesos de aprendizaje ---la metodología y estrategias eran las mismas que se utilizaban con los libros. La paternidad de LOGO se atribuye a Seimour Papert (ITM) que es quien dirige y coordina los trabajos de investigación y los desarrollos informáticos que concluyen con la primera elaboración de una versión de este lenguaje interpretado. Papert es un matemático, colaborador de Piaget y seguidor de sus ideas, que ha trabajado con él en el Centro de Epistemología Genética de Ginebra, sobre la psicología del aprendizaje y la construcción del conocimiento matemático. Las ideas de Papert se reflejan fundamentalmente en su obra "El desafío a la mente". En él distingue, como lo hace Piaget con carácter general, dos tipos de conocimiento, o de procesos de aprendizaje, para la geometría o para las ideas y conceptos geométricos (lo que más modernamente se conoce como la percepción del espacio): Uno, el que se aprende en la escuela, de forma pasiva, impuesta y escasamente vinculada por lo general a criterios de utilidad aceptados por el niño, otro lo constituyen el conjunto de procedimientos, y de ideas geométricas, que los niños utilizan y aprenden (porque les son útiles) para sus desplazamientos o para describir una posición, para trasmitir ideas sobre donde está o como se llega a determinado lugar u objeto. Sin duda más identificados con sus esquemas corporales, y aceptados como más útiles. Estos -3-

procesos, que junto con otros, los niños aprenden de forma espontánea, y vinculados a criterios de utilidad, motivación personal, etc. son conocidos como procesos piagetianos de aprendizaje, y se producen acumulando experiencias y procesándolas, estableciendo relaciones entre ellas,... De esta forma aprenden a ir de un sitio para otro, a hablar, y la lógica elemental para manejarse con sus padres o con otros niños. En este sentido la preocupación de Paper es porqué ciertos aprendizajes tardan tanto en producirse o no se producen nunca sin ayuda de una instrucción especial, o porqué la dificultad tan generalizada en la adquisición de ciertos conocimientos geométricos o matemáticos. La idea de Paper, como la de Piaget, es que la dificultad del aprendizaje no se deriva exclusivamente de la dificultad intrínseca de los conceptos, o de la pobreza de recursos intelectuales del niño, como de forma tradicional se afirma, sino también por la carencia de recursos conceptuales (en los materiales, modelos, metáforas,...) que nuestra civilización proporciona. Como sucede en otros paradigmas constructivistas, para Paper es el alumno el que crea su propio conocimiento siempre que le suministremos los medios adecuados. En este sentido la forma de superar la dificultad señalada, para él, estriba en suministrar herramientas conceptuales que permitan saltar de un tipo de conocimiento a otro, es decir de realizar la trasferencia. LOGO adquiere, de esta forma, sentido: Cumplir en parte este objetivo. El paradigma vigente en la época, el conductismo y otros modelos basados en el aprendizaje por condicionamiento, ponen énfasis en la modificación de conductas, en la adquisición de hábitos y destrezas vinculados a refuerzos. Por el contrario las corrientes cognitivistas ponen el énfasis en considerar al sujeto como autor de su propio aprendizaje. Este proceso se basa en la incorporación y acomodación de nuevos conocimientos (informaciones) en los esquemas de conocimiento ya existentes. Este proceso comporta un conflicto entre el nuevo material cognitivo y el ya existente (conflicto cognitivo). De resultas el alumno puede incorporar el nuevo conocimiento, si el conflicto no rebasa un límite aceptable, acomodándolo a la estructura ya existente, o puede rechazarlo si rebasa dicho nivel. Estos límites son personales y distintos para cada sujeto. Constituyen, en palabras de Vigonsky, el nivel de desarrollo efectivo (lo que el alumno es capaz de aprender por sí mismo) y el nivel de desarrollo potencial (lo que el sujeto es capaz de aprender con ayuda), entre los cuales se encuentra la zona de desarrollo próximo. Este es el terreno de acción de las estrategias de enseñanza y de los recursos educativos. En este marco es donde LOGO puede colaborar ayudar al aprendizaje de la geometría, permitiendo una gradación en el proceso de incorporación de nuevos conceptos y conocimientos geométricos. Todo lo anterior se reduce a buscar y encontrar elementos que vinculen constructos conceptuales (del pensamiento formal) con elementos ya existentes vinculados a a esquemas de conocimientos previos, por ejemplo el esquema corporal, los esquemas sensoriomotores, produciendo una visión antropomórfica de los problemas. El elemento central de LOGO para producir este tipo de vinculaciones es la TORTUGA: El elemento de interlocución entre el niño y el ordenador. A través de ella se produce una identificación del niño, dentro del área de trabajo del ordenador. Esta componente activa y de identificación, según Paper, es favorecedora de ciertos aprendizajes de Geometría: Girar 90º a la derecha es lo que yo tengo que hacer para pasar de mirar al frente a mirar completamente a la derecha. Según Paper, conceptos sencillos como ángulo, giro, cuadrado, triángulo, ciertas propiedades de los polígonos regulares,... son asimilados más fácilmente de este modo. A otro nivel, también otras ideas no tan simples como son las de transparencia (no -4-

depender de un sistema de coordenadas) y la recursividad también son mejor adquiridas con este recurso. Otro elemento importante en LOGO son los MICROMUNDOS: Un micromundo es un subconjunto de la realidad LOGO que trata o es concerniente sobre un conjunto de conceptos relacionados entre sí y diferenciados del resto. Así hablamos, por ejemplo, de los micromundos geometría del plano, geometría del espacio, la dinámica (dinámica de Newton), el micromundo de la Música,... el micromundo de los fractales, etc. Una idea poderosa es en LOGO una propiedad de los objetos LOGO, que el alumno puede descubrir, y transferir a un objeto, o a una categoría de objetos, de otro ámbito conceptual (geometría del plano, del espacio,...) como propiedad. Por ejemplo: El alumno puede descubrir que un polígono cierra cuando el giro es el ángulo exterior y no cuando valga el ángulo interior, qué relación existe entre este y aquél, cómo se obtiene el triángulo exterior, y puede por último concluir un procedimiento para obtenerlo. Por último LOGO favorece, o puede favorecer, la adquisición por parte del alumno de ciertas estrategias de resolución de problemas: Análisis descendente (top down), o ascendente (botton up), o estrategias de modularización (dividiendo un problema complejo en otros más simples). Esta característica de LOGO se debe en buena parte a que trabaja en modo directo y a que es altamente interactivo. Otro aspecto que favorece es el del análisis de la tarea, y a la detección del error. En este sentido LOGO es altamente autoinstructivo. Pero...¿qué son los fractales? La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque como veremos anteriormente Kocht, Cantor y Peano entre otros, definen objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales. El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, como después veremos, sin embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol es lo que da estructura recursiva a los fractales. Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar la relación o la ley de recursividad entre las formas que se repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la ley de formación y establecer el algoritmo gráfico. es por esto que lenguajes como LOGO se avienen tan bien para representar fractales. Con la ventaja ademas de la transparencia, la capacidad que LOGO tiene para considerar las coordenadas relativas a cada posición que tiene la tortuga. -5-

En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que Mandelbrot formuló la definición de fractal, es asombroso la cantidad y la rapidez con que científicos han elaborado modelos para describir y para comprender como la naturaleza crea sus formas, y como el crecimiento en la naturaleza está vinculado a modelos fractales. Tal parece que la naturaleza sintiera predilección por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede encontrar formas fractales en múltiples estructuras vegetales: hojas, troncos, ramas, raíces. en el perfil de montañas, rocas y piedras, ... Por su parte los científicos han identificado fractales en la forma de las galaxias, las costas marítima, las montañas y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques, las fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización, las fracturas de materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctricas, la electrólisis. En nuestro organismo: El sistema circulatorio, la ramificación de venas, arterias, nervios, la estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito se pueden considerar formas fractales las nubes, los relámpagos, los árboles, ... Es importante señalar que aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos para describir todas las formas naturales, por primera vez nos encontramos frente a un planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas como las que tienen los objetos descritos. Además el planteamiento es muy atractivo por dos razones: La primera por su sencillez, y por su capacidad para ser computerizado en forma relativamente sencilla como es con procedimientos LOGO, y la segunda por dar modelos para representar y describir algorítmicamente una gran variedad de formas naturales. Los fractales en la naturaleza y en las ciencias

Lo primero que hay que decir en este apartado es que el estudio de los fractales no es algo privativo, o exclusivo, de las Matemáticas. El estudio y origen de los distintos fenómenos que se explican mediante modelos fractales corresponde determinarlo a las disciplinas científicas donde se planteen. En todo caso sí queremos señalar el potencial interdisciplinar de estos objetos, como elementos que pueden constituir el eje sobre el cual distintas disciplinas pueden trabajar coordinadamente. Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la realidad, y esto lo hizo desde su primera formulación y desde sus primeros trabajos que, con un notable afán práctico y divulgador, están dedicados al problema de medir la costa de Gran Bretaña. En este sentido es indispensable leer las obras de Mandelbrot (1975) y (1977), así como la de Feder (1988). Otra cuestión que hay que decir es que por su novedad este dominio de las matemáticas está lleno de intuiciones muy acertadas, pero también de ambigüedades, y de un carácter difuso que hasta cierto punto repugna a los matemáticos muy puristas, y por el que es acusado de excesivo empirismo, e incluso de ausencia de rigor formal. Sin embargo hay que recordar que algo parecido ha sucedido con importantes cuerpos teóricos de las matemáticas, por no decir casi todos, así sucedió en su momento con los métodos de cálculo de Newton y Leibniz, por ejemplo. ¿Qué criterios se pueden seguir para decir que un objeto real tiene estructura de fractal?. Está claro que un criterio puede ser el de la simple percepción visual o intuición. A la vista de algo esta claro que alguien exclamará ¡esto es un fractal!. Esto ya es un criterio bueno y que nos vale para trabajar con nuestros alumnos. A continuación podemos investigar algo más, el alumno nos puede decir que lo mismo que se ve a gran -6-

escala se ve a pequeña escala. lo cual nos da ya idea de recursión o de auto similitud. O que se parece aun árbol, lo cual nos da ya idea de arborescencia. Este lenguaje que es vago e impreciso no está muy lejos, aunque parezca extraño, del significado científico que se atribuye a un objeto real o natural cuando se dice que es un fractal. Así por ejemplo ¿qué se quiere decir cuando se dice que una zona de costa es un fractal?. Desde luego no quiere decirse que haya una curva y una fórmula matemática que se ajuste de forma precisa al perfil del litoral. Lo que quiere decirse es que pueden definirse un modelo matemático fractal, que se ajusta con unas cotas máxima y mínima de error, cotas que se pueden determinar de forma precisa, al perfil de la costa. Así veremos no solo que se han ajustado curvas fractales a ciertas zonas de costa, Gran Bretaña, Noruega, y a fronteras como la de España y Portugal, sino que además como veremos coinciden con una variante estocástica de las curvas de Koch y que también se ha determinado su dimensión fractal. La cuestión que se plantea a continuación es si un objeto con estas características, un trozo de costa, la red arterial,... son realmente fractales, o dicho de otra forma si existen realmente fractales en la naturaleza. Esta pregunta, que es legitimo hacerla, e incluso responderla negativamente, es decir negando la existencia de los fractales en la naturaleza, es la misma que se hace cuando se pregunta si existen superficies planas o lineas rectas en la naturaleza, o si existen esferas. Sería como suponer que en la naturaleza no existen esferas por que la Tierra, u otros planetas, no se ajustan con precisión a lo que es una esfera ideal tal como se define en Matemáticas. En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer de dos formas, o más bien en relación con dos circunstancias. Una de ellas es en una situación de frontera, y aquí incluimos todos los casos en que entran en contacto dos medios humanos, naturales, físicos, químicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre países, riberas de los ríos, litoral, nubes, ... Y la otra situación es la de árbol. Es decir aquellos casos en que se produce una ramificación con auto similitud: árboles, arbustos, y plantas, tejidos arteriales, cuencas fluviales con sistemas de río, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc. redes capilares, redes pulmonares, ... En resumen, creemos de interés incluir los fractales en la geometría de secundaria, no solo por las razones de tipo curricular que citábamos al principio, como es la contribución a los objetivos establecidos para este ciclo educativo, sino además por razones de actualización científica, de esta forma sería la primera vez que se incluyeran contenidos matemáticos sustantivos, no instrumentales como pueda ser el caso de la teoría de conjuntos, cuya formulación haya sido posterior al siglo XVIII. Existen además las razones puramente derivadas de la estética, o de la curiosidad, que producen la observación y el estudio analítico de estas curvas, y que estimula la formulación de modelos matemáticos o geométricos, que permitan comprender fenómenos científicos o tecnológicos de cierta profundidad. La introducción del ordenador, y en particular de LOGO, con su inmensa capacidad de iteración rápida e interactiva, con la ayuda de algoritmos y procedimientos relativamente sencillos, es el instrumento ideal para el trabajo con este tipo de objetos matemáticos. Con su capacidad de interacción con el usuario, el ordenador permite un ajuste rápido entre las intuiciones establecidas en términos de procedimientos espaciales y la formulación definitiva de estos procedimientos como algoritmos, mediante contrastes sucesivos con variaciones en los programas y en las ejecuciones. Hasta ahora la variación de las condiciones en los modelos solo podían ser seguidos mediante -7-

experimentos o simulaciones mentales reservados a aquellos alumnos más competentes para la retención de datos y para llevar a cabo representaciones mentales. A esta capacidad para la iteración, o más propiamente, para la recursividad, puesta de manifiesto por los ordenadores y en particular por LOGO hay que añadir la capacidad gráfica de los entornos Windows (o de otros entornos gráficos) que permiten con su poder de resolución y rapidez de ejecución, seguir los procesos iterativos, y contrastar la variación en las representaciones con las variaciones en los parámetros. Aumentando con todo ello la intuición espacial y la confianza y satisfacción por los modelos y algoritmos creados. La inclusión de esta materia encuentra su justificación en la nueva ordenación educativa en los principios, objetivos y definición de contenidos que reproducimos de los decretos de mínimos y de curriculum (MEC, 1991) y (MEC, 1992) (R.D. 1007/91 de 14 de Junio. de 26-6-91). Señalamos aquellos aspectos o referencias que se pueden citar directamente para justificar la inclusión de los fractales. Como ejercicio para el lector sugerimos que, una vez leído este trabajo, intente relacionar lo seleccionado con distintas características de los fractales: A) SECUNDARIA OBLIGATORIA. Principios para la selección y organización de contenidos . Principios 2º. y 3º Objetivos generales de Matemáticas: 7. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan. Contenidos del Bloque 3. Representación y organización en el espacio Conceptos: 1. Elementos y relaciones básicos para la descripción y organización del plano y el espacio. 2. Figuras y cuerpos geométricosi: Elementos característicos y relaciones entre ellos. Procedimientos: 2. Construcción y utilización de modelos geométricos, esquemas, mapas y planos. 4. Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geométricas. Actitudes: 2. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. 3. Sensibilidad ante las cualidades estéticas de las configuraciones geométricas. B) BACHILLERATOS.- Modalidades de Ciencias de la Naturaleza y Salud. y de Tecnología. Objetivos como adquisición de las capacidades de 2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las ciencias, en la actividad tecnológica y en las actividades cotidianas. 4. Utilizar, con autonomía y eficacia, (...) los procedimientos propios de las matemáticas (...) para explorar situaciones y fenómenos nuevos. Matemáticas II Contenidos 3. Geometría Estudio de algunas formas geométricas (rectas, curvas, planos y superficies), relacionando las ecuaciones con sus características geométricas. Introducción al conocimiento de algunas curvas y superficies comunes.

El trabajo incluye además: Propuesta de integración en los distintos niveles y ciclos de Secundaria, contextualización, objetivos didácticos, metodología, contenidos, recursos y evaluación. Como ejemplo incluimos el enunciado de una actividad, Las curvas de Peano, y el material correspondiente para el Profesor.

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Fractales.1. Introducción. La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque, como veremos, anteriormente Kocht, Cantor y Peano entre otros, definen objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales. El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, como después veremos, sin embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, la imagen que aparece vuelve a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor, o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol, es lo que da estructura recursiva a los fractales. Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar la relación o la ley de recursividad entre las formas que se repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la ley de formación y establecer el algoritmo gráfico. Es por esto que lenguajes como LOGO se prestan tan bien para representar fractales. Con la ventaja que además supone la capacidad de LOGO para tratar las coordenadas como dato relativo a la posición que tiene la tortuga en cada momento (Propiedad conocida como transparencia). En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que Mandelbrot formuló la definición de fractal, es asombroso la cantidad y la rapidez con que científicos han elaborado modelos para describir y para comprender como la naturaleza crea sus formas, y como el crecimiento en la naturaleza está vinculado a modelos fractales. Tal parece que la naturaleza sintiera predilección por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede encontrar formas fractales en múltiples estructuras vegetales: hojas, troncos, ramas, raíces. en el perfil de montañas, rocas y piedras, ... Por su parte los científicos han identificado fractales en la forma de las galaxias, las costas marítima, las montañas y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques, las fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización, las fracturas de materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctricas, la electrólisis. En nuestro organismo: El sistema circulatorio, la ramificación de venas, arterias, nervios, la estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito se pueden considerar formas fractales las nubes, los relámpagos, los árboles, ... Es importante señalar que, aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos para describir todas las formas naturales, por primera vez nos encontramos frente a un planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas como las que tienen los objetos descritos. Además el planteamiento es muy atractivo por dos razones: La primera por su sencillez, y por su capacidad para ser computerizado en forma relativamente sencilla como es con procedimientos LOGO, y la -9-

segunda por dar modelos para representar y describir algorítmicamente una gran variedad de formas naturales. II.2 Dos enfoques del problema: Los fractales se pueden abordar de dos formas diferentes, de una forma analítica, como curvas, o gráficas, asociadas a ciertas funciones y que presentan unos problemas de medida y de continuidad, ellas y los recintos limitados por ellas, y otra como objetos geométricos recursivos según hemos visto. ¿Qué son los fractales?

Un posible enfoque es atendiendo a su naturaleza ¿qué son los fractales?, qué tipos de objetos matemáticos son, qué propiedades tienen y qué problemas resuelven o plantean. Así un fractal puede ser una curva o la gráfica de una cierta función con unas propiedades de continuidad y de medida, pueden ser poligonales, lineas o conjuntos de puntos especiales. Plantean y resuelven problemas de continuidad, problemas de medida,..: Longitud de una línea fractal, superficie de un recinto rodeado por un perímetro fractal,... Ejemplos de esto son los conjuntos de Cantor, las curvas de Koch, los conjuntos de Peano, etc. Este planteamiento es el que se hace en otros dominios escolares, y otros dominios académicos. Son planteamientos más propios de estudios e investigaciones universitarios y profesionales. Pero que no obstante también tienen su proyección y su sentido incluirlos como conceptos en secundaria por cuanto puedan servir para construir modelos sobre realidades concretas, fenómenos y objetos naturales sobre todo. ¿Cómo son los fractales?

Otra manera de abordar los fractales es a partir de su forma, o de como se construyen, o de como se representan. Es decir, a partir de la pregunta ¿cómo son los fractales?. Desde este punto de vista podemos decir que un fractal es un objeto geométrico recursivo. Múltiples objetos matemáticos se pueden definir recursivamente, de manera que la definición lleva implícitos una ley y un procedimiento para obtenerlo a partir de cálculos recurrentes. Este procedimiento y esta ley, analíticos ambos, transfieren el problema a un nivel anterior, y este a otro nivel anterior, así hasta un nivel que suele ser el primero o el que tiene la cláusula de parada, al llegar ahí se asigna un valor inicial y se deshace el camino andado, de esta forma todas las transferencias encuentran valores, o acciones, que vincular a las cláusulas que han quedado pendientes. Objetos recursivos son la función factorial, las potencias de exponente entero,... 1 si n = 1 n!=  n.(n - 1)! si n > 1

a si n = 1 a n =  n-1 a.a si n > 1 De esta manera el procedimiento para obtener factorial de cinco, consiste en definir sucesivamente factorial de 5 como 5 por factorial de 4, factorial de 4 como 4 por

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factorial de 3, factorial de 3 como 3. por factorial de 2,..., hasta factorial de 1 que es 1, e ir sustituyendo en los cálculos pendientes. Este procedimiento se presta muy bien a mecanización, dejando variables o posiciones de memoria para vincular:

La recursividad gráfica se aplica a objetos geométricos que se construyen a partir de elementos que se reproducen a sí mismos:

II.3 Fractales. Conjuntos de Cantor.

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Un conjunto, o gráfico, prefactral, o precursor de los fractales, es el conjunto de Cantor, descrito por este matemático en 1883. Es un conjunto con notables propiedades métricas, y complejo de describir desde el punto de vista, o con el lenguaje, de las matemáticas. Y difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero. Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres parte y se suprime el tercio de segmento central, a él y a los segmentos que resultan de cada división. Como se ve es un procedimiento recursivo, y el aspecto de un conjunto de Cantor de un nivel alto, siempre el mismo independientemente del nivel de construcción en el que se encuentre. Se trata por tanto de lo que hemos definido como fractal. Que da lugar de forma sucesiva, para los valores de :NIVEL 1, 2, 3, 4, 5 y 6, a:

Este conjunto, objeto fractal, o función, es muy simple en cuanto su construcción o su formulación, sin embargo podemos plantear una serie de cuestiones: ¿por qué está formado?: por segmentos, por puntos, o no existe, se desvanece. Tenemos que, por un lado, para cualquier valor de nivel que demos, el conjunto está formado por una serie de segmentos, por tanto tendrá una longitud finita. Sin embargo, por otro lado, la longitud parece una expresión que tiende a 0. No obstante, a medida que los segmentos se hacen más pequeños hay más segmentos. En cada paso la suma de longitudes se reduce a 2/3 de la anterior, aunque el tramo cubierto por la línea discontinua abarca la misma longitud inicial. Y por último ¿en el infinito este conjunto estará formado por puntos? ¿cuáles serán estos?

Fractales. Curvas-poligonales de Koch. La génesis de esta curva se produce a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud tambien un tercio, pero formando ángulos de 60º. Proceso que se repite recursivamente en cada segmento de las figuras - 12 -

que progresivamente se van obteniendo. Por tanto la poligonal de nivel 1 es un segmento Para NIVEL=1

Para NIVEL=2

Para NIVEL=3

Para NIVEL=4

Para NIVEL=5

Para NIVEL=6

Estrella de Koch.-

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Vinculado al anterior está el fractal denominado estrellad de Koch, cristal de nieve o isla de Koch, que se obtiene colocando tres poligonales de Koch sobre los tres lados de un triángulo equilátero: NIVEL=1

NIVEL=2

NIVEL=3

NIVEL=5

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El problema de la longitud de una línea fractal. Dimensión fractal.Frecuentemente al tratar el tema se nos dice que España tiene 5031'1 Kms. de costa (7695'3 si incluimos los archipiélagos, y 59'8 más si incluimos el Mar Menor). Y es posible que en alguna ocasión nos hayamos parado a pensar en el significado exacto de esta cantidad, y sobre todo en el método seguido para obtener esta medida: ¿se han tenido en cuenta todos los accidentes?, ¿hasta los más mínimos?. Seguro que los topógrafos, o los técnicos tendrían mucho que decir, pero este tema como técnica no nos interesa, solo nos interesa el planteamiento de la cuestión: Que la medida no es la misma si medimos unas fotografías a una escala que si medimos el perfil de todos los entrantes y salientes, o si en el caso más extremo medimos el perfil de todas las rocas. Veamos un ejemplo que puede constituir una actividad educativa a trabajar con los alumnos. Supongamos que tenemos que medir la longitud de la costa entre los puntos señalados en la foto:

Una forma de hacerlo es con una cinta métrica, o con un telémetro, de 1 Km. de longitud. Nos situaríamos en un punto, y nuestro colaborador en el punto de la costa que - 15 -

distara

un

kilómetro en línea recta de nosotros, después repetiríamos el proceso tantas veces como haga falta. Para el mismo caso la cinta métrica podría tener 100 o 50 metros de larga. O podríamos hacer el proceso sobre un plano, con un compás o con una regla. Medición que nos daría unos 1'750 Kms. Sin embargo si la medición la hacemos metro a metro, o paso a paso, siguiendo el perfil de la costa (ejercicio que sí pueden hacer los alumnos) obtendremos otra medida, aunque el perfil descrito es el mismo. El resultado variará sensiblemente del anterior. En una vez que realizamos la experiencia de andar todo el recorrido nos salieron 2.372 pasos que multiplicado por 0'80 m. nos da 1.897'6 m. Pero si precisamos más el perfil de la costa no es así. Estará formado en la parte de playa por entrantes y salientes, que además variarán según el oleaje y las mareas, pero que será una copia miniaturizada del perfil que hemos visto en la foto y en el plano:

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y en la parte de rocas los entrantes y salientes serán aún más complicados: Imaginemos que tenemos que medir ahora con una escala, o con un instrumento que mida en centímetros o en milímetros. El proceso sería notablemente más complicado y el resultado distinto:

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En este caso ocurre al contrario a lo que ocurría con el conjunto de Cantor, que a casa paso, en su génesis, la longitud de la curva que ocupaba el espacio inicial disminuía en 1/3. En el ejemplo de la longitud de un fragmento de litoral, a medida que la unidad, la longitud patrón con la que la comparamos, disminuye aumenta el resultado del proceso de medir. De tal manera que en el límite, cuando la unidad se aproximara a 0, la longitud se aproximaría a infinito. Notemos que algo parecido a lo que hemos visto que ocurre con el litoral sucede con la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud. Es decir la longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:

O de nivel 10, donde la longitud es 1.(4/3)10-1:

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De esta forma la curva aumentaría indefinidamente su longitud para un fragmento acotado de curva. ¿Puede esto ser así?. Este tipo de planteamientos a obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea. En consecuencia, como la longitud de la linea fractal depende de la longitud de instrumento de medida, la noción de longitud carece de sentido, para ello se ha ideado otro concepto el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción de plano. Y que además sea una generalización de la dimensión euclidea. sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). Y en los casos del conjunto de Cantor y de la curva de Koch menor y mayor que uno respectivamente: En el primer caso no llena todo el segmento de recta, y en el segundo es más largo. Sin embargo el caso del conjunto de Cantor es excepcional y no se puede considerar propiamente un fractal, en general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior al del segmento de recta que lo genera, y por tanto en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos. Como precedente a la dimensión fractal nos encontramos con la dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, perfeccionada más tarde por Besicovitch. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. La dimensión fractal, D, como veremos es una generalización de la dimensión euclidea, DE. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que N(L).L1 = 1 cualquiera que sea L:

Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple - 19 -

N(L).L2 = 1 cualquiera que sea L:

Si, por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que N(L).L3 = 1 Cualquiera que sea L:

De todo esto podemos generalizar que la dimensión fractal de un objeto geométrico es D si N(L).LD = 1 donde N(L) es el número de objetos o de unidades de tamaño L que recubren, o que completan, el objeto. De donde deducimos despejando D que D= log (N(L))/log(1/L) De aquí podemos deducir las dimensiones del conjunto de Cantor D= log(2)/log(3) = 0'6309... La de la curva de Koch D = log(4)/log(3) = 1'2618... Sin embargo se suele aceptar, e incluso definir, que un objeto es fractal solo cuando su dimensión fractal es mayor que su dimensión euclidea:

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D>DE Así por ejemplo no se considera fractal el conjunto de Cantor.

Curvas de PEANO.Ya hemos dicho que en general la dimensión fractal es un número que oscila entre 1 y 2: 1