Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato Grupo: 3SM1 Asignatura: Dinámica de Fluidos Proyecto 1: Compuertas curvas sumergidas

Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato Grupo: 3SM1 Asignatura: Dinámica de Fluidos Proyecto 1: Compuertas curvas sumergidas

Padilla Cernas Gustavo Gutiérrez Fernández Daniel Rangel Zúñiga Noé Pacheco Guerra José Enrique Armas Ambrocio Luis Enrique

Profesor: José Francisco Villegas Alcaraz

Jueves 23 de Febrero de 2017

I.

Introducción.

La estática de fluidos trata de los problemas relacionados con los fluidos en reposo. En la estática de fluidos no se tiene movimiento relativo entre capas adyacentes del fluido y, por lo tanto, no se tienen esfuerzos cortantes (tangenciales) en éste que traten de deformarlo. El único esfuerzo que se trata en la estática de fluidos es el esfuerzo normal, el cual es la presión, y la variación de ésta sólo se debe al peso del fluido. Por lo tanto, el tema de la estática de fluidos únicamente tiene significado en campos de gravedad y las relaciones de fuerzas que se formaron de manera natural incluyen la aceleración gravitacional g. La fuerza que se ejerce sobre una superficie por un fluido en reposo es normal a esa superficie en el punto de contacto, puesto que no existe movimiento relativo entre el fluido y la superficie sólida y, como consecuencia, no pueden actuar fuerzas cortantes paralelas a la superficie. La estática de fluidos se utiliza para determinar las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos y las fuerzas que generan algunos dispositivos como las prensas hidráulicas y los gatos para automóvil. El diseño de muchos sistemas de ingeniería, como las presas para agua y los tanques de almacenamiento de líquidos, exige determinar las fuerzas que actúan sobre las superficies aplicando la estática de fluidos. La descripción completa de fuerza hidrostática resultante que actúa sobre una superficie sumergida demanda determinar la magnitud, la dirección y la línea de acción de la fuerza. Una placa expuesta a un líquido, como una válvula de compuerta en una presa, la pared de un tanque de almacenamiento de líquidos o el casco de un barco en reposo, queda sometida a la presión del fluido distribuida sobre su superficie. Para una superficie curva sumergida, la determinación de la fuerza hidrostática resultante es más complicada, en virtud de que es común que se necesite la integración de las fuerzas de presión que cambian de dirección a lo largo de la superficie curva. En este caso, el concepto de prisma de presiones tampoco es de mucha ayuda debido a las configuraciones complicadas con las que se trata. La manera más fácil de determinar la fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre una superficie curva bidimensional es determinar las componentes horizontal y vertical FH y FV por separado. Esto se realiza cuando se considera el diagrama de cuerpo libre del bloque de líquido encerrado por la superficie curva y las dos superficies planas (una horizontal y la otra vertical) que pasan por los dos extremos de la superficie curva.

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre del bloque.

El peso del bloque encerrado de líquido de volumen V es sencillamente W rgV, y actúa hacia abajo pasando por el centroide de este volumen. Cuando se observa que el bloque de fluido está en equilibrio estático, los balances de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical dan: Componente horizontal de la fuerza sobre la superficie curva: FH = Fx, Componente vertical de la fuerza sobre la superficie curva: FV = Fy + W.

II.

Objetivos.

 Comparar el resultado teórico obtenido a partir de la teoría de la estática de fluidos con el resultado práctico obtenido a partir de un manómetro.  Conocer la metodología para obtener la magnitud de la fuerza resultante en una compuerta curva sumergida, así como su línea de acción.

III.

Materiales y herramienta.

Madera (25.5 cm x 35 cm x 1.2 cm)

Agua

4 trozos de madera ( 19 cm x 2.5 Aceite de transmisión (Quaker State ATF alto cm x 1 cm) kilometraje)

Cilindro de plástico

Silicón

1 m de manguera de nivel

Cautín

2 palos de madera ( 5 mm de Segueta diámetro x 20 cm ) Cinta de aislar

Alambre

Pinzas de corte

Vernier

Cinta métrica

Lápiz

Franela

IV.

Procedimiento.

A continuación se describirán los pasos que se siguieron para la construcción del prototipo de compuerta curva.   











Limpiar la madera (19 cm x 2.5 cm x 1 cm) con una franela seca, ubicar el centro de esta y dejarla lista para el siguiente paso. A cada trozo de madera se marca un cuarto de círculo en cualquiera de sus esquinas, esto funcionara como soporte del cilindro de plástico. En la madera (19 cm x 2.5 cm x 1 cm) se pegaran con silicón cada uno de estos trozos de madera, tratando de que queden centrados de una forma que una vez colocado el cilindro quede centrado en la madera grande. Con ayuda de la segueta se le hará un corte horizontal al cilindro de plástico, quitándole más o menos 2 cm de diámetro. Como la tapa del cilindro se aflojara y será difícil volver a ajustarla al cilindro, se sellara con silicón, también así disminuyendo las posibles fugas que pudieran existir. Usar el cautín para hacer una perforación al cilindro, donde corresponda según los cálculos previamente obtenidos, de tal forma que ahí quepa la manguera de nivel. Colocar uno de los lados de la manguera de nivel por el orificio del cilindro, dejando que sobre algo de manguera y con el cautín derretir lo que sobresalió dentro del cilindro para poder sellar los fugas que pudieran existir. Ahora colocar los dos palos unidos verticalmente sobre la madera (19 cm x 2.5 cm x 1 cm) de la forma que se pueda formar la U con la manguera de nivel. Y Con el alambre y las pinzas sujetar la manguera de nivel para que siga paralelamente a los palos de madera. Hacer una prueba llenado el cilindro con agua para ver que no existan fugas, y en caso de que hubiera, sellarlas con silicón.

V.

Resultados.

Análisis teórico. Consideraciones:   

Para el fluido contenido en la compuerta se utilizó aceite para transmisión ATF Alto kilometraje QUAKER STATE con una densidad de 0.8650 g/cm 3. Para el fluido contenido en el manómetro se utilizó agua. Se analizará solamente la mitad del sistema debido a la simetría de este, por lo que nuestro espacio de estudio será una cuarta parte de la circunferencia. Se proyectará la compuerta curva tanto vertical como horizontalmente, de manera que se puedan encontrar las fuerzas horizontal y vertical que actúan sobre la compuerta así como sus líneas de acción, para posteriormente obtener la fuerza resultante.

Inicialmente, se requiere definir la función que describe el perímetro de la compuerta utilizada. En este caso, como el contenedor utilizado tiene sección transversal cilíndrica, se procede a utilizar la función de una circunferencia, la cual está dada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 (1) Donde r es el radio de la circunferencia. En este caso, el radio del cilindro utilizado como contenedor es de 4.175cm, por lo que la función queda como: 𝑥 2 + 𝑦 2 = (4.175)2 Ahora, se procede a despejar “y” de manera que quede en función de x, asimismo será necesario desplazar la función 4.175cm hacia el eje “y” positivo para que la función quede ubicada en el primer cuadrante: 𝑦 = −√(4.175)2 − 𝑥 2 + 4.175 (2)

4.12

Figura 2: Gráfica de la función que define el contorno de la compuerta a estudiar.

Aquí es necesario notar que, dado que arbitrariamente se eligió llenar el contenedor hasta una altura de 3.5cm, se requiere despejar “x” de la función para conocer el valor correspondiente a 3.5cm sobre el eje “x”. Despejando “x” de la función se obtiene: 𝑥 = √(4.175)2 − (4.175 − 𝑦)2 𝑥(3.5) = 4.12 Ahora que se conoce la coordenada en x de la función correspondiente a la altura de 3.5cm, se procede a integrar la función desde 0 hasta 4.12:

Figura 3: Integración de la función desde 0 hasta 4.12

Pero 3.53582cm2 es el valor del área bajo la curva, por lo que se tiene que realizar una resta de áreas para obtener el área sobre la curva, que es la que se requiere para calcular el volumen de agua. 𝐴𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = (4.12𝑐𝑚)(3.5𝑐𝑚) − 3.53582𝑐𝑚2 1𝑚 1𝑚 𝐴𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = 10.88418𝑐𝑚2 ( )( ) = 𝟏. 𝟎𝟖𝟖𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 100𝑐𝑚 100𝑐𝑚

La profundidad del contenedor es de 26.864cm, por lo que el volumen de aceite es:

𝑉𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = (1.0884𝑥10−3 𝑚2 )(0.26864𝑚) = 2.9239𝑥10−4 𝑚3

Ahora se procede a calcular el peso del aceite: 𝑊𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝑚𝑔 = (2.9239𝑥10−4 𝑚3 ) (

865𝑘𝑔 𝑚 ) (9.81 ) = 𝟐. 𝟒𝟖𝟏𝟏 𝑵 𝑚3 𝑠2

Luego, es necesario encontrar el punto donde actúa dicho peso, el cual se obtiene de la siguiente manera: − (4.175 − 𝑦)2 𝑑𝑦 2 𝑥̅ = 3.5 ∫0 √(4.175)2 − (4.175 − 𝑦)2 𝑑𝑦 3.5 (4.175)

2

∫0

El resultado de la integral del numerador es:

El resultado de la integral del denominador es:

Entonces: 𝑥̅ =

18.426 = 1.6929 𝑐𝑚 10.8842

Ahora, se procede a calcular la fuerza horizontal que actúa en la compuerta: 𝐹𝑅 = 𝑃𝑐 𝐴 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 En este caso, la proyección vertical de la compuerta tiene una forma rectangular, de manera que el área de dicha proyección quedará determinada por la altura a la que se llenó el contenedor (3.5cm) y la profundidad del recipiente (26.864cm). 𝐹𝑅 = (865

𝑘𝑔 𝑚 ) (9.81 2 ) (0.0175𝑚)(0.035𝑚)(0.26864𝑚) = 𝟏. 𝟑𝟗𝟔𝟐 𝑵 3 𝑚 𝑠

Calculando el centro de presión… (0.26864𝑚)(0.035𝑚)3 𝐼𝑥𝑥,𝑐 12 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 + = 0.0175𝑚 + = 0.0233𝑚 = 𝟐. 𝟑𝟑𝒄𝒎 𝑦𝑐 𝐴 (0.0175𝑚)(0.035𝑚)(0.26864𝑚)

Entonces, las coordenadas (x,y) donde actúan ambas fuerzas (peso y fuerza horizontal) son (1.6929,1.1667). 𝐹𝑅𝐸𝑆𝑈𝐿𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸 = √𝑊𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 2 + 𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 2 = √(2.4811 𝑁)2 + (1.3962 𝑁)2 = 𝟐. 𝟖𝟒𝟕 𝑵

Para conocer el ángulo en que actúa la fuerza resultante, se utiliza la función coseno: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝐹𝐻 𝐹𝑅

1.3962 𝑁

→ 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( 2.847𝑁 ) = 𝟔𝟎. 𝟔𝟑°

60°

4.12

Figura 4: Diagrama de la fuerza resultante y su ángulo de acción.

Por último, para conocer la presión, se divide la fuerza resultante entre al área total sumergida. Para conocer el área sumergida, se requiere de la ecuación para la longitud de arco, la cual es igual al perímetro de la compuerta. Una vez hecho el cálculo, se tiene que:

𝑃=

𝐹 2.857 𝑁 = = 𝟏𝟖𝟎. 𝟖𝟕 𝑷𝒂 𝐴 (0.0588𝑚)(0.26864𝑚)

Análisis práctico.

Tras haber montado el prototipo, se instaló un manómetro en forma de U justo en el punto de aplicación de la fuerza resultante calculado previamente, de manera que se pudiera observar la altura a la que llegaba la columna de agua desplazada por el aceite. La altura de la columna resultó ser de 2.217cm, por lo que se procede a realizar el cálculo de dicha columna de agua. Cabe resaltar que uno de los extremos del manómetro está abierto a la atmósfera. 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔ℎ𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑃 = (998

𝑘𝑔 𝑚 ) (9.81 2 ) (0.02217𝑚) = 𝟐𝟏𝟕. 𝟎𝟓 𝑷𝒂 3 𝑚 𝑠

Figura 5: Prototipo de compuerta curva, donde se puede aprecial la instalación del manómetro y la altura de la columna de agua utilizada para calcular la presión de manera práctica.

VI.

Análisis de resultados.

Una vez teniendo ambos resultados, es conveniente calcular que porcentaje de error se obtuvo:

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑜 217.05 − 180.87 (100) = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 217.05

%𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 = 𝟏𝟔. 𝟔𝟕% Se considera que el porcentaje de error obtenido es aceptable, ya que evidentemente se careció de elementos de medición totalmente precisos para realizar el prototipo.

VII.

Conclusión.

Tras la realización de este proyecto, se comprendió el comportamiento de las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una compuerta curva. En este caso se utilizó el método de las proyecciones, así como recursos como la integración. Para comprobar que el resultado obtenido de la presión hidrostática en el prototipo era correcto, se utilizó un manómetro en U, con el cual se medió la diferencia de presiones reales, y se compararon con las teóricas, donde estas no variaron tanto, ya que el margen de error fue de 16.7%, lo cual quiere decir que el resultado obtenido teóricamente era relativamente correcto. Una de las posibilidades de este margen de error es la falta de instrumentos de medición adecuados para determinar diámetros y longitudes, así como errores en el exacto posicionamiento del manómetro. Cabe señalar que la fuerza hidrostática se calculó usando solo un hemisferio del prototipo, ya que por ser simétrico, la fuerza hidrostática actúa en a la misma altura, pero con una reflexión sobre el eje Y.

VIII.

Fuente.

[1]- Mott, Robert L. Mecánica de fluidos (sexta edición). Pearson Educación, México 2006. Area: ingeniería. ISBN: 970-26-0805-8.