IDEAS Y ACTIVIDADES PARA ENSEÑAR ALGEBRA

( (

( (

(

( (

( (

(

t^

(i

IDEAS Y ACTIVIDADES PARA ENSEÑAR ALGEBRA Gnupo AzAReurEL

(

^t Ii

I

( f I

t{g¿95ú5

II}EAS Y ACTIVIDADES PARA EI§SEÑEN ALGEBRA Cnupo Az-aRqulrl

t4, Proporcionalidad geómetrica y se¡n(janza

Colección: I\4ATE MÁTICAS : CI.ILTURA Y APRFN D\Z,^JE

Gm¡.o Beta

i5. El nrund¡.i de los poliedros

l.

(ircuoria (iurllón Solcr

Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Angcl Gutiérrez. IJernardo Gomcz Alfonso. Juan Diaz Gtidinr¡

)

Luis Rico Romercr

16.

Metodoiogía actiya y lúdica de Ia geometria Anccl Martincz Recio. Francisco -luan Rivaya

1

\úmeros y operaciones LL¡is Rico Romcro. Encarnlcicln Castro

17. Fl problcma de la medida

Mariin:2. Enricltrc Ca\lro N4anincz

ll.

Carme n Chanrorro Plaza. -Tuan N4. Ilelmonlc Girmcz

J.

Numeración y cálculo

a

N'1.'

Vic¡oria Srinchcz (ilrei¿,

19. Superli:ie. \/olumen ivl." Angrles del Oimo Romcro. Francisca

l',Júmeros decimales

Juli: Ccntcno 6.

\úmeros

Percz

M." Luisa Fiol lvlorl. .lose lVI." Fortun) .A.vmtIIli

h{.' [)oi¡;¡r's Iriirric

I]usrcs.

.1llí)rLs. (Jrii:

(, c;,;r'rirs.

Iiirulicuiaila Vl,-gas-

\1r:i':ucu.l\1;rnrrr'1,,.f;¡ilcr'.1'i're¿..\riir'r:,Urtrz\iil.ir,'u L.tehu: S.rrr. jiui:tc:

21, l\udos v nexos: grafos en iv{orsé:: {-

Diyisihilidad l\,1."

'f. Gonzálcz .\stLrrliiio. NI:lrio Liotz;ilez

A;osra

Isidoro Segovia -Alcx. Encarnación C¿rstro Martincz. Enrique Caslro Martínez. Luis er c¡

Frederic l-ldina i Abelló

§{ateriales para construir la geometría Carme Burguós Fiamerich. CIaudi Alsina Catalii. Josep N{." Foñrny Ayntenri

l!.

Invitación a Ia didáctica de la geonretría Claudi Aisina C:iiali. Joscp Nl." Fonunv Avnrcmi. Carme Burgues Fla¡ncnch

13.

Simetría tlirámic¿ l.l-¡iael Pircz- (il;;;,:,:.

:.

22. Por los ca¡ninos de la lógica i)¡riio

Ruiz

l\'lllnuel N'lartín So.'as RoLr:r¡na. N1¡tias Carnacho l\l¡chin. Nl." Jo:c[lr Hrr:¡i rrtlcz f)r,nl ínrur'z Riccr

1\,'lc'¡c,:ric:

Pullr¡tir Nlcili;i¿

:)

24. Enseñanza dc la suma y Ia resta (--¡rlos i\l¿rza Gómcz

r0. Aritmética y calculadora

l.

\iJi.l:.

23. Iniciación al álgebra Cerd¿in Pcrez

9. Estimación en cálculo v medida

I

escuela

Inés S¿nz Lerma. Moclesro Arricr,, Lrrnl,nrcn.ii. Elis:r

Problenras aritméticos Luis i'uig Esiri¡rosa. Fcmantlo

Ilt,m

k

ori¿i ili'ltarroch. JLlrna Sitnc]rt; Gi]. \ntonit, \1;lrirt ricl

l'ilar Gon¿rlo lr{¡nin

Nloclcsto Slcrra \'ázqucz. Anrircs Garcia.

e

|loreno C¡melcro. Frr,;tcico Gil Cu;ldra

20. Proporcionalidad directa. La fornra y el número

enteros

-lo,,c i-. Gonz¿ile z Nla¡i.

:;].

F¡lncisco I'}arlilla Ili¿rz. Arnullo Santos [{cr-niinilez. Fidr'la \rtllizquez. M¿l:r¡el Fr;,r:inriez Re¡es

Fracciones. [.¿r relacion panc-todo S:ilra.lor L-liniires Ciscar.

.,

18. Circulando por el circulo

Bern¿rrdo Giinicz Allbns ?o o O

/"/ e¡ ''i ¡a 1e Y (ue 1o, /o t K' /'¡ /or m€nof 2a/r¡ f " ". " .P"?^ ,rllnrc uc[ ^L -r(/¡/ir^,/o po, Zo o e5 tf ttz lo¡ / de regularidadcs r.' paut¿ii: el campo de ios números y ei de las figuras geométricas. Pero los probiemas gys.¡l-1^4q!_gg-h.pqc-gpc¡on.riqregularid-¿,{e-§--er1.qon-iuntos

dE'ñgúlas,se-§¡{ilf

cas,y.en conjuntos de númcros son. en parte. distinios. tiila primera diferenci á-éstriEá-e¡-Qüenn un" óónj riiiro-dÉTr §rii᧠goómátii cas, es a m en u d o m á s

iácil «manipular» ia información, reordenando, comparaniio partes equivalentes, rccordando ñguras similares. etc. Las iiguras geométricas pcrmiten iloner en práctica capacidades de visualización 1, de organización espacial, que pueden faciiitar la aparición dc la estructura que conduce a ia solución. Estas capacidades quizil no estén ligadas muy estrecltarrette a la ir:stnrcción y en ese caso serian accesibles a más alumnos, ),no necesarialnentc a los cluc tienen habitualmente un mejor rendimiento. Así, cuando un alumno se enfrenta a la serie de figuras:

¡r¡ CÜtr nn

D

0

ü

nü3¡

¡ ü n

¡

n ú

Df,¡D!¡ 3l

7i

descl,.:

un primer momento percibe que tienen algo en común: todas

las

ñgurz.s tienen Ia misrna forma, el análisis detallado de cada una de las partes corr*pondientes (en este caso los brazos de la L). le puede permitir después

*t capaz de describir la regla de formación y, por último, averiguar el númcro de piezas de cuaiquier Iigura de ia serie. Ei problema planteado por una serie de números, tal como: 4,9. t4,

que ticne muchas posibilidades de ser interpretada fácilmente como los números cuadrados Perfectos. El proceso inverso, el paso de series numéricas a hguras, también es posible. aunque quizá más dificil para la mayoría de los alumnos. Es el caso áe 1os números triangulares. En el análisis de la serie: 3, 6, 10. 15.

...

...

puedr: resultar, en este sentido, más diflcii. pues la información sobre cada elemcnto de la serie está condensada y no se dispone de la avuda que prop/)rciona la percepción de la forma. Las series de números, por otra parte, exigen un razonamiento específicamentc numérico, con propiedades menos visuales, que requieren percibir

alguro característica de los números, una operación entre elios, una ley numórica de formación. Este razonamiento puede ser de ca¡ácter abstracto, y sin dcmasiado apoyo visual. pero tiene la ventaja de poder aprovechar la mayor experiencia en el trabajo con los números y sus propiedades que se ha obtenjdo en años anteriores. Por ello, aigunos alumnos, para resolver el probicma planteado en términos geométricos, necesitarán construir la serie de nirmeros y razon'¿r a partir de ella. El paso de las liguras a las series numóricas permite ver los probiemas desde dos puntos de vista distintos i' aumcnta las posibilidades de encontrar hipótesis plausibles: '-En cl cjemplo dc Ia serie

o de :;u equivalcnte:

para algunos alumnos es útil la representación geométrica, en forma de puntos, de cada uno de 1os valores:

a

a a

a

i

a

a

a

a

a

a

a

A través de esta serie de figuras se puede obtener el número de puntos de cada una de ellas, por ejemplo. completando cada triángulo con otro igual para formar un rectángulo.

A partir de esta figura se ve que. por ejemplo, el número de puntos de ia segunda de la serie es (3 x 4)i2. expresión extensible a cualquier otra, sin *ár qr. multiplicar el número de puntos de 1a base y de la altura y dividir por dos: (¡¡

es

diflcil para muchos alumnos encontrar alguna ley de construcción basada

en la geometria de las hguras, aunque a veces se puedan intuir regularidades visuales en ia diferencia entre las distintas iilas de cuadrados, o en el aumento dc cuadrados de la base.

Pero si se suman en cada figura todos los cuadrados se obtiene la serie

* l lh -t

2),'2

Este proceso de percepción de lo general a veces aparece de manera rápida e lntuitiva. Sin embargo, en muchas ocasiones será necesario que el alumno disponga de recursos que lo favorezcan de alguna manera' Una primera forma de hacerlo consiste en ilevar a cabo el análisis de los distintos ejempios de los que se dispone inicialmente, estudiando sus caracte¡ísticas y propiedades, considerando en principio todas las que se puedan

32

33

imaginar. por irrelevantes que parezcan a primera vista, y observando las que coinciden entre ellas, contando o midiendo cuando sea pertincnte; descomponiendo las figuras, si las hay, para ensa)'ar posibles oiganizaciones e intenta¡ ver si se conservan en todos los casos. En el ejemplo anterior de la configuración en lorma de L, la observación puede lievar a distintas formas de organizar la figura, y cada una de ellas dará lugar después a formas diferentes de expresar la generaiidad:

Observa la siguieirte serie de figuras:

.-1?

trl 1.,

EI siguiente ejemplo puedc scrvir de ilustración:

'l

4riL 'tl'-

5'-ri1 t)

uH» col un lado horizontal formado por ¿Cuánios cuadra¿os tendrá una cuatro cuadrados?,-¿]' con cinco?. ¿,v con diez?

i

@

utilizar un criterio constructivo pale obtencr la H con cinco. cuadrados en la horizontal. Pero, ¿y en el caso de una H con quince o diez en la ranta horizontal? Este caso nó se puedé construi¡ en la cuádrados cien práctica y hay que acudir a leyes comunes a todas 1as figuras, a «contar en que ha1,'. sino las relaciones leneralr,-sin calcular el nirmero de cuadr¿rdos entre las partes de la figura, lo que se conserva. Asi es posible imaginar una ñgura con cicn cuadredos. o sc¿l con «muchos» cuadrados. que no se pueden contar: Se puede

fñ tltt lt it

lEJo

rñ ltrl

l"l

El t_t tL_tt

!l-.._

E e-!-!)

TI

fñ tl

rl

r

@r :

t-l)

l"l l_t_ gl f tr:l

E

E

:

E- .. .! H' -11 .

E A menudo, será necesario formar términos sucesivos de una serie, hacer dibujos consecutivos, y, posteriormente, tratar de poner cada ejemplo «en general», reestructurarlo, verlo de varias formas, relacionándolas, en un intento de comprender mejor el ejempio. Para esto puede servir de ayuda enfrentarse, después del estudio de casos sencillos, a números o figuras grandes en las que, debido a su tamaño, no se puede contar más que «en general>>: «la parte de aquí más e1 doble de este iado», «toda esta parte menos estc trocito», «los lados enteros descontando los extremos»... 34

E

Entonces es necesario observar que hay tantos cuadrados en el lado horizontal como en cada mitad de un lado vertical, descontando en ambos casos los cuadrados comunes, y que para obtener el total hay que sumar cinco veces los que hay en esa parte (en este c¿lso, esos cien), y añadir al resultado dos cuadrados. De esta forma, el pianteamiento del problema en el caso de un número «grande» puede proporcionar una situación similar a la que Se consigue al 35

proponer el caso general, igual de inabarcable e incontable, pero con un carácter más concreto. En éste y en todos ios casos será preciso aseguralse de que las conjeturas son ciertas para tratar de generalizarlas, es decir, ver si se cumplen en los demás casos. Y también habrá que ver si, además de cumplirse, 1a regla general que se ha encontrado es suficiente, si caracteriza la regla de formación y se puede dar por concluida la búsqueda. De esta manera, en el ejemplo anterior de la H, puede que se observe como propiedad o regla de formación el aumento de un cuadrado en Ia parte superior de cada uno de sus brazos verticales, sin apreciar que el mismo aumento se produce también en la parte inferior, o bien, percibiéndolo, no darse cuenta de que también hay un aumento de un cuadrado en el brazo horizontal. En ambos casos puede tomarse como regla de formación io que no es más que una propiedad parcial que no sirve para construir o para

catacterizar la

serie.

No obstante, a veces, el hecho de obtene¡ una expresión algebraica uo proporciona a los alumnos la conciencia de estar ante una auténtica demostración, no ilegan a advertir completamente ia potencia del álgebra y se sorprenden cuando comprueban que la regla obtenida vale para todos los casos, «incluso» para los vaiores grandes. Algunas actividades con series de figuras o números permiten desarrollar 1o general sin necesidad de expresarlo:

pasan siempre quince minutos antes de las horas exactas, el plurai siempre se fOrma COn «S» O con «eS»...

La dificultad de las relaciones cuantitativas que expresan generalizacio-

dependen de la naturaleza de esas relaciones. Una regularidad expresable con sumas y productos normaimente será más fácil que otra basada en el cociente. EI desarrollo de ia capacidad de generalizar es iento y no fácil para muchos, por lo que es importante atender al nivel de dificultad de las actividades planteadas, ir despacio y. como se verá más adelante' empgzar

nes

pronto.

2.2.2.

«En la parte vertical hay más fieuras que en la horizontal.rr «Cada vez hay que añadir cinco ñguras.» «Cada vez hay que airadir dos fi-eriras abajo 1' tres arriba.>; Ia horizontal están los números pares Jr en Ia vertical los múltiplos -«En de lres.,

-

...

Dibuja los términos que faltan a cada lado en cada una de las series

-

Una segunda etapa en el proceso de generalización es el intento de describir Ia regularidad percibida. Esta descripción en el lenguaje natural es un paso que sc da habitualmente al generalizar. y que pcrmite postcriormente expresar por escrito, con precisión, la propiedad general que se ha obtenido. Con la expresión oral se trata de comunicar io que se ha visto. la regularidad. el modeio detectado. A1 presentar a un grupo de alumnos la serie de figuras anterior se obtienen descripciones como las siguientes:

la capacidad de ver

Continúa la serie: 1,4,7, 10,

Describir

de

figuras:

_

»»

ad a_dmite distintos la descripción oral de. p.-r.d-.jl1t3§,Lg*dfi.§Cgqiel§f.,!,,-.;1:..Tañtó--el I la descripción. erado de precisión colro-§L illsclq m el que sc centra *__._-.1:

Se ve así cómo grados de precisión

depentren. noiryalmente. 4e 14

ó

G-

Ya se ha dicho que la generalización es una actividad continua en la actividad intelectual y se da a todos los niveles. Hay secuencias, regularidades que se dan en la naturaTeza y en la vida diaria que pueden ayudar a tomar conciencia de generaiidades tales como: todos los días tienen veinticuatro horas. todas las semanas tienen siete dias, hay iineas de autobuses que 36

forma

le*l3.yg_¿prsggd_q

¡a§rlf'

evio con situacionél erilX que los alumnos tengan que «ver» figuras o números, y obtener una idea precisa de ias relaciones y regularidades que aparecen, puede mejorar su capacidad para expresarlo posteriormente de forma más ajustada y sobre todo más útit.

La expresión utilizada también proporciona información acerca de cuál ha sido la forma de ver el modelo, y puede servir como diagnóstico de aquella primera fase. En todo caso, la fo]ma de aeg¡1!ri*!g regularidad llevará, con mayor

o menor dilicultáá, i@mas

o

menos exacta,

--1Tá5Ifr-r"ecir lo que

se ve es un esfuerzo siempre productivo dentro y 37

f i I \

fuera de las matemáticas v obliea a una cierta orsanización de las ideas. La necesidad de explicar hr.. upl....r ias contraiic.iones v lagunas de las hipotesis que mentalmente parecían correctas. El hecho de comunicar a sí mismo o a otro lo que se piensa constituve un reto. un compromiso y a la ivez un estimulo para comproba¡ la adecuación de lo dicho a la realidad y / para buscar Ia solución correcra. El trabajo en pequeños grupos en la etapa de descripción facilita el intercambio de ideas y de opiniones, porque la comunicación con otros propicia la comprobación conjunta de las conjeturas, la reformulación de las hipótesis, el acercamiento paulatino a soluciones cada vez más ajustadas. Algunas de las actividades que se pueden realizar en esta fase de la generalización son: Ante una colección de objetos diferentes pero con al_quna regularidad:

-

--

''

-

Contar al compañero lo que se ve, la relación que existe. Describir ia figura para que él Ia dibuje. Renetir una fisura. pero con n grande. Comprobar ia aciecuación de ciertas descripciones. en pequeño -urupo cuál es la relación, la diferencia, el modelo.

-Discutir

Cuando se intenta describir lo que se ve aparecen a menudo expresiones que no determinan pienantente las reiaciones que se buscan debido a jas imprecisiones v limitacioncs del lenguaje natural, o a la indicación de sólo algunas ¡:ropiedades dejando otras implícitas. Para poner de manificsto que los alumnos no eslán diciendo lo que piensan. o que no es posible entender las explicaciones que dan, es preciso pedir aclaraciones. comprobar a qué corresponden estas descripciones incompletas tomadas en su forma literal. Sin embargo. a el lenguaje utilizado sir'e para comunicarse con otros 'eces alumnos. que entienden lo que su compañero quiere decir, aunque no esté expresado adecuadamente, por lo que conviene aprovechar formas personales de hacer erplícito el pensamiento, y no buscar demasiado pronto la expresión correcta. Pero expresarse no es fácil. Es necesario que exista inicialmente un clima abierto en ei que haya libertad totai para formular cualquier conjetura por personal que sea, observar cualquier propiedad por accidental que parezca, hacer cualquier descripción de caso por particular que resuite.

( \ { i

lq

escrita, el registro de las palabras y de las ideas, es una fase avanzada del proceso de generalización, y de todas las formas de expresar una regla por escrito, ia simbólica suele ser la más diñcil. Por ello ésta es la última fase, tanto en el proceso que lleva a generalizar como en su aprendizaje. La escritura exige un esfuerzo mayor que la expresión oral, pero es más fa.ll ¿. analizar y de discutir y permite llegar a más personas. Aunque también es una forma de hacer más vulnerable lo que uno piensa, de exponerlo a la critica. Las ideas, al ser escritas, pueden aparecer simples, contra-

di.to.ias. absurdas. PCI9 SUSU_lSeyor precisión en lo_gue

se- :[c_e*

es yp.g fo11g-§9,

cf

lri,llcar

r p.o pl o r p.r tu. ián t olló§ tá-.*1 . ..".; t ospe¡¡fi iqry¡¡;A- ám b i g ü éá ad «apuntar»_la na oe ser completa. no basta Dasta con «apuntar» la respucsta. resp_uestg. Por gr-hl_q9_qg*gg-pleta, 1 la expreslon l

o

ffip@-res

prresra puerle producir.al prod u.ii.a[ 4lumno' alg _.de éxito, de avance, de lo-ero, si sensación supone además cierta apoitauna ción a la solución --y cualquier profesor puede encontrarla en lo que escri'ne¡r st¡s aluntnos.

Bsclsuar-pqr c::,tt.o__g!g_-I9hsró!-!g*§rcuilica

n-ecesariame"nLc

-csqribir

u,lg q{plq§!gLrytr9_l1ga._La expresión simbólica es sólo una forma de hacer-

lqJ -lq--pl..isinrcnte-la más ,,ñatu*¡e!,lpla-el-aLua¡o. De hecho. la nota; ; i,, h"iü iiéne ientalalc-oñ ;.iÑ;;; or ras lo rn ras. ú n cam en ic cua n"" do es preciso reahzar iransformaciones. Para la expresión por escrito de las i

rclaciones generales se pueden utilizar paiabras y dibujos. c- bien sólo palabras, o combinacioncs de palabras y simbolos. o únicamente simbolos... En todo caso,.cuando un alumno.-se injqia en la es-gritura -d*e*lgg;neraiizació:res prcciso 4lqglg parq.-qqg utilice todos e§tos clenicrlto_s cn la medida en euc

.1{iear1-r,rIci-p,.,lr#ár-¿ihujos. simholos propios. simboios g.n.rrlJ,

¡'

Iombinaciones dc todo ello. muiitcniendo cstas lornluhcioncs el ticmpo quc sea neeesarló:-

De esta manera, se pueden consicjerar suficientes. en detcrminados momentos, expresiones tales como: +4

+6

+5 t2

I8

3 x número de elementos +

5

2.2.3. Escribir

ak-.-Ui

e la generalización dentro del

,prll9ll*j." q:l [!1..iorma simbólica. 9"J.o.fgl*Sfqtf¿j"._y_iiliqL ._ébrCi"a". pcro Iaéxpresion

u otras similares. Merece la pena detenerse en los probiemas que plantea el paio de expresiones con palabras y/o dibujos a expresiones simbólicas. Para cualquier profesor de matemáticas es obvio que la forma simbólica permite más fácil-

38

l

.

mente la manipulación de expresiones, y ay'uda. por tanto. a conseguir esta destreza. Pero las actividades que tratan de conseguir la forrnulación de una regla general casi nunca van acompañadas de la necesidad de modiñcar las explesiones. Dificilmente puede entonces convencerse a un alumno de que una expresión correcta,(pero que no utiliza todos los símbolos propios del álgebr, no está «suficientemente bien», y que debe proseguir en el camino hacia al-eo más simple, sin palabras ni abreviaturas. Para Paula (12 años) es innecesario proseguir cuando escribe el número de caras de la ligura:

símbolos tque pueden ser símbolos propios en una primera .,lahras P"'-"---,.",::='oor facet v oroscsulr eraouáméñG esta sustitución. hasta llegar a las expresiones las reglas de enlace del simbólicas

§99-9tr&3-!--99l§.cll1ente

rotájménté

mi§ffi6tflñ-

iia¡* Eda m*;a;m]s 'ññlnr.

que,;; una " distinros grados de simbolización para la descripción de una misma situación

Sinembargo,§re,cl,si,ary.ntes 9-r-mUy-ggl§i4lq1y-qo-!-r-e-Amanteun,TáiGa6iol, o ¿ehuen-regisfo.-E-s*n-ecesario ::-+á'. i^: ^r- -*-_* --_^:^-:.-q cl o cu ya*s-e--Ugngiq d o L-!95í b o o s' * r . fp-§sl9!9§-i$em.di"t* llA§rL t ean-Bala Ura§ l-4§-eru§I9g${ ; ;. u¡rry* lt.l{q-c . j^ iI]-l]]II;T= ----*_-.--:t :.-.:Í^-.¡^ " ^i;f l-¡cado los.bo los s.tm de qgce]lA§x¡rcsié+y-+etorzar-et-signi párf-enñq -á La esciltura es una fase que presenta nuevos y graves obstáculos. En ros que 5ga¡" oo er

r I

i

s

a n

nn

I

i

¿Cómo se puede sabe¡ el número de baldosas blancas, sabiendo el número de azules (negras)?

unos casos originados por ia propia difrcultad que supone para muchos alumnos expresar cualquier idea. agravada, quizá, por una cada vez más necesaria precisión en los términos utilizados y en la construcción de las

Pero estas dificultades aumentan considerablemente cuando lo que se pretende es la expresión simbólica. Los probiemas que lleva consigo ia utilización de símbolos, que se tratarán en otro lugar de este libro, se unen e¡tonces a los anteriores. Como en la fase anterior, aquí tambión es necesaria una situación abierta, que permita fluir a las ideas, donde se pueda escribir y después cambiar. hacer anotaciones personales. tomarse Iiempo, no precipitarse y no tener que escribir desde el principio re,gistros correctos, ni siquiera slmbólicos.

,rrtes q.\: 'r':t1,s- .1 ee sr-lrno-i ?- plco- ter*t ag=.r:.l=a qz o=to Qc:t ,.)

U1!ñ f-:^

--cS t-¡¡\eq .-r Qt --,,1---.. ..,*. (r.

\-lJen\o

J^^ x-u,s

\

Ya se ha indicado que Ia] dos cogtexlold§Ilr-g*dglg§-q!1e.máticjl-sr -qle ,-^iuJS *;,.. \ permiten proponer actividádeipiiá el ciesarrollo de la -cap-a91d3{ §q p9{9!bir ü-iüi. ) ,,19j9§. tl1m¿ios, ias cantidab*, én muchos casos se presentan (Adaptado del S.M.P.) ,qÑ { aa'ffiAs-sT que se inciuyen a continuación se tiene ;kUrl una muestra de situaciones que pueden ser aprovechadas en cada una de las

\'J\1-\e-S

L1,,.

No hay argumento posible que le haga «ver» la necesidad de reducir más su expresión, a pesar del tiempo que se dedicó a e11o. Dentro de este proceso de acercamiento a la escritura algebraica de las relaciones generales, es posible, e incluso deseable, que aparezca una amplia gama de expresiones escritas o dibujadas. Suele se¡ muy útil animar a los alumnos que han expresado por escrito su idea de la generaiización de un ejercicio a que busquen otras ¡, que las comparen entre ellas y con las de sus compañeros. En este periodo hay que valorar, progresivamente. la claridad y la precisión de lo expresado. Si inicialmente es razonable esperar descripciones

totalmente verbales. cl-r¡oceso-deh§-§ol0linuar sus,t-ituvendojlgtlnas?;E§ 40

2.3, ALGUNAS ACTIYIDADES

fases anteriores. Bordes

[\

ffi

4*§

n -+ 4(n-11)

Z

-iZ

't..rb(Routes and Roots)

Encuentra una fórmula general para calcular el número de cuadrados en función del número de orden de Ia hgura. 41

Aparecen varias respuestas. Se observará únicamente la expresión aigebraica final. Tomando como ejemplo la segunda ñgura de la sucesión, si n es el número de orden:

frcn

Los cuadrados cic un lado menos los extremos (n por 4 lados más los cuatro extremos).

ffi ffi

Los cuadrados dc un lado (n más 21 por 4 lados. menos los extremos. que se habían contado

rTT''d

pucdc- poner de ntanillcsto ) servir dc clemostración en un cierto ulla misma realidad. ,rnl,¿r, al constiiuir distintas expresiones que describen

i.'qr. r.

n.

4+

4

Los palillos Se lorman figuras con Palillos Qt

_ 2¡.4 _

.

4

dos veces.

ffi ffil

1r

+

extrenros.Íesun

(n

lado sin incluir cx

m

- 2) 2 + n

(l -

rr + 2)csla mitad de la

l[+-r--+{

'ü-i=l

.

una estructura geométrica que muchos alumnos elrcueitiriln de forma

yetl filas y columnas por separado: ba.stante inmediata es aquél1a en la que se (rr

+

I){ r:úm. de

(n¡ni2)2

figura.

I

Todas ellas son correctas, pero corresponden a distintas maneras de ver Ia figura. Conviene que aparezcan distintas formas, y cuando se obtenga una de ellas animar a la brisqueda de otras, valorando todas ellas, pues cada una nos irrdica un modo de entender la figura. Ahora es lácil ver, por ejempto, que de (r¡ + l)'4 se puede pasar a n.4 + 4;cada uno de los dos términos es expresion de algo. en este caso de lo mismo, pero respondiendo a distinto

núnl. filr. z

Y, recíprocamente. el conocimiento de esta propiedad puede ayudar a comprobar la equivalencia de las respuestas diferentes, y así reforzar e1 conocimicnto de las le_v''es algebraicas. Exponer juntos los distintos resultados y las diferentes figuras en ia pizarra puede servir para relacionar entre si las expresiones, y es una buena ocasión para estudiar propiedades de las operaciones, apoyándose en las distintas organizaciones de la figura que representa cada expresión.

n¡lillo: : ,rd, fiI,,

tle

tt

0z+1) x

ntlnt.0c colurnnils

+

*

{¡¡*1)

núm dc palilit'.

cn

aadr cr¡luinn¡

x

¡l

de Son pocos los alumnos que ve1l la figura como resultado dcl proceso construcción siguiente:

I-l

[]:] LLI

En esta sucesión de hguras, cada mitad del cuadrado se considera como ei resultado de añadir, sucesivamente, lineas quebradas. cuyo 11úmero de segmentos va disminuyendo. Ei término general que se obtiene es

modelo organizativo.

AA +:

palillos y el número de orden de

2

e.xIremo.

I .-.

;_i_i

t-l-l-l -i:i_;

la figura?

trent os.

(r¡ + 1) es un iado cort uli solo

,

¿,Qué relación existe entre eI n[rntero de

2) es un lado

rncluidos los dos

ffi UN t,e/ i\ )*¿-r--r--

pueden servlr para Sc ve así cómo, aclemás. las actiYidades de csle tipo tórmino genc¡al de El furor.... la manipulación de expresioncs algebraicas. distintas expresiones ,nu ,..i. de figuras se puede obtener mecliante varias es equivalencia esa Precisamente o.ro Ou. son algebraicamcnte equivalentes'

2(2n

+

2(n

- t¡+ "' + 2't) :

4(n

+ (n-

1)

+ "' +

1)

Aquélios a los que les resulta más sencillo enfocar el problema desde el punto de vista numérico. cuentan ios palillos de cada una de las figuras y obtienen ia siguiente sucesión:

43

La extracción de información a partir de esta sucesión puede no ser sencilla. Se ve aquí cómo el razonamiento meramente numérico adquiere una mayor diñcultad, y precisa un manejo de los números y sus reiaciones que no todos 1os alumnos que aprenden álgebra tienen ya adquirido. Se da una primera necesidad:

-

Una vez encontrados:

oír expresiones como: «Todos son múltiplos de cuatro.» en 0, 2 ó 4.» -«Acaban «Para pasar de uno al sisuiente se suma un múltiplo de cuatro.»

-

T;-

-

4, 4+ 8. 4+ 8 + 12, 4+ 8 + 12+

16.

4(t + 2), 4(t + 2 + 3). 4(1 +

2,

8.

3,

10

.

4, ...

que

da

(2n

+

+ 0)1, (4 + 2)2,

(4

+ 4)3,

(4

+ 6)4, ...

n2

+n

Se ve un cuadrado más una flia

aaaaa aaaaaaaoa

2)n

que

da

(4

+

a

aooaaaaataa aaaaaaaaoaa

aaa f+

)

2(1

:: 'll

1+2 2 +3:+l lrl-l-3*{}

l-l l-3I lrl-l-31

2(n

_

ofrecen, en general, mayor dificultad. y por eilo son menos frecuentes.

1))n

Es interesante observar que determinadas interpretaciones de las figuras conducen, a veces, a sucesiones completamente distintas a las previstas. Asi, en el ejemplo que se está viendo, la organización de las fichas:

Las fichas

6-;\

.1..1 c. lt .

Se tienen las siguientes disposiciones de fichas: aaaaa

44

aoo

oaaaa

aaa

aaaat

l

mediante un razonamiento por recurrencia muy similar al realizado con los palillos.

ó

(4

Se ve un cuadrado menos una fila

.

2+ 3 + 4).

Este ya es un buen resultado, pues permite obtener cualquier tórmino de la sucesión. Encontrar el término general exigiría averiguar la expresión de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Otras expresiones de la misma sucesión. tales como:

6.

Se ve un rectángulo

Más raramente se encuentra otra forma de verlo: siguiendo la vía que Sugiere ei proceso de iormación de cada ñgura a partir de la anterior.

que se convierte en:

1,

.l

+ l)n

(n+l):-(n+l)

1..1.

Que, progresivamente, acercan a:

4.

(n

[ll..l

4, 12, 24, 40, 60. 94,

4,

Una primera forma de ver cada caso es como una figura compacta. Estas son las respuestas obtenidas en un aula de 1.' de F'P.:

[- . -:l 1...1

«Tengo que saber más términos de la serie.»

Se pueden

se trata de obtener la relación entre el número de fichas y el lugar que ocupa la figura.

[J r

e--i, x3

L-J

\_______/ x2

ao al aa

\-.-*----l x3

responde a una forma «distinta» de verla. Ei paso dcl primero al segundo caso se realiza girando 90' la fi-sura ¡, triplicándola: el paso del scgundo al tercero, igual, pero duplicándola; del tercero al cuarto girando l,triplicando de nuevo, y así sucesivamente. Este es un ejemplo de cómo una sucesión representada por un número limitado de casos puede dar lugar a expresiones generales esencialmente diferentes.

se

+

pueden obtener las expresiones: lr2

E.

2r, si se ven cuadrados de lado n:

F-l . 1..i.

IVIás fichas

Las fichas o, simplemente, los puntos trazados en el papel, permitcn encontrar de modo natu¡al expresiones algebraicas diversas. A continuación

l. .l

u

De la sucesión: aao

ata

aat

aat

aa

aa

aa

2, l¡ándose en los rectánguios de lado

r

incompletos de lado

r *

I

fI---;

Io . .l

1....1

I '_l l'

I

l.o..l IJ lo r o

l..l

I

En ambos casos las igualdades:

1n*2:3(r+1)

se pueden obtene¡ términos generales de distintas formas:

+

(r + 1)' - l, si se ven cuadrados

t_--t

se tienen algunos casos más.

3n

ó

con dos flchas mas:

-1

Y

n2+2n:(n*1)r-1

que relerirse, cada una con sus características. tienen un marco concreto al con el que ia igualdad, de razones ias que rrgumentar el con un conterto erplicar de dónde se ha obtenido cada expresión. Incluso con casos mu)' sencili0s. Configuraciones como:

aa

+ 1).- I seobtiene«viendo»rectángulosdeladoi;3y n = l ficha de menos: 3(n

conuua

aa

aa

aa

aa

aa

ao

aa

aa aa

t;_;I 1...1 1...1 I -_J

l..l De la misma manera,

a

partir de la sucesión de figuras;

.O

aaaaaa

a

oaa

aaa

aa

aaa

pueden poner de manifiesto la propiedad distributiva:

mmm:=Fln l..l l''l - t-] tt

l' '|

' '

2{n+l):2n+2

aaa

+i)

41

2.4, ERRORES Y DTFTCULTADES EN LA GENERALIZACION Latarea de encontrar términos generales y liegar a su expresión simbólica resulta, a menudo, dificil para muchos alumnos. Cuando se realiza por primera vez, si no se hace un tratamiento didáctico adecuado, puede parali-

enunaclasedeT..deE'G'B.seobtuvieronexpresionesComoestas: «Triángulos construidos con palillos»'

-.-. «Triángulos juntos sobre la mesa»' --

«Triángulos pegados unos al lado de otros»'

es muy " El intento de establecer una regla a partir de estas descripciones

zar iniciati¡as durante mucho tiempo. La dificultad estriba a menudo en encontrar el modo de abordar y enfocar el problema, sobre todo cuando se trata de los primeros contactos con series. La observación es necesaria para estudiar las posibles estructuras, leyes, propiedades de los ejemplos. El resuitado de esta observación, principal-

nrobable que rcsulle infructuoso. "'"iu*uién puede haber errores en la comprobación de las hipótesis, al aunque no en otros' comprobarlat at unot pocos casos en los que se cumple, ley general es un que es una la percepcián incompleta de lo

mente si se trata de configuraciones geométricas. puede ser un conjunto muy

obstáculo que está detrás de este error'

amplio de datos. A veces, es dificil retener en la memoria a corto plazo las distintas propiedades que configuran la estructura, que, consideradas adecuadamente, nos «iluminan» la solución. En esos casos, algunos estudiantes reducen su campo de observación y se quedan únicamente con una parte de Ias propiedades, que toman por características. Incluso algunos que tratan de generalizar y comprueban que se cumplen estas propiedades parciales en los demás casos, pueden concluir de su cumpiimiento que caracterizan a la serie.

En otras palabras, se confunde lo necesario con 1o suficiente, el hecho de que necesariamente se cumplan las propiedades de un ejemplo en los demás, con que estas propiedades sean suficientes para construir los demás casos. Se comete este error cuando, por ejemplo, en Ia sucesión

se

il" ir¿",

Voiviendo a la sucesión anterior'

r, 3, 1. I 3.

...

multiplica por la conjetura de que, «para pasar de cada uno al siguiente se puede dejar dos y se suma uno», ciertá para los tres primeros términos, generalizaes si satisiechos a algunos, que no ven la necesidad de comprobar ble a todos los casos. generales Se ha visto que la última fase de la determinación de relaciones s.e tratan posteriores capitulos general. En era la de .*pr.rión escrita de lo simla expresión que presenta y dilicultades especilicamente los problemas el moEn comprendida. perlectamente siendo aun bólica de una reiación. de tipo del errores encontrar posible es y relaciones, letras mento de escribir verbalas expresiones simbolizan se cuando que aparecen de traducción ios les de los problemas.

da como ley que «todos ios números son impares>>. O bien, cuando en la

sucesión de figuras:

2.5. GENERALIZACION ABUSIVA

ffiNN

La generalización es una potente herramienta para entender y explicar hechos y relaciones que afectán a un cierto número de situaciones distintas.

afirma qtre las dos columnas laterales son constantes. Está claro que, sin dejar de ser ciertas estas propiedades, únicamente con ellas no es posible se

car acterizar las sucesi ones. En otros casos. las propiedades observadas son irrelevantes, de carácter

anecdótico. pero son tales que liaman Ia atención del alumno, que con ello resuelve su problema de encontrar una solución, de dar una respuesta. Al pedir, por ejemplo, a un grupo de alumnos que describan figuras que han construído con palillos:

/Y/ 48

/\A

l\ai

pero, como ocurre con todos los conceptos, puede también provocar errores debidos a un uso incorrecto o abusivo.

Estos errores son intentos de adaptar reglas o propiedades a una situación distinta a aquélla en la que se usan habitualmente. Esta es una forma de generalizar: ampliar el ámbito de aplicación de una ley, de un concepto' extendiéndoio a un campo en el que no se habia definido' Lo que ocurre es que esta extensión debe hacerse comprobando su validez en la nueva situacion.

La falta de contexto, que, por otra parte, favorece el manejo de expresiones algebraicas, es un campo ábonado para la generalización sin lundamento. El alejamiento de la siiuación que ha originado una expresión permite. 49

.

normalmente. procesar mejor la información. pero dificulta la comprobación de la aplicabiiidad de una regla en un moÍtento dado. De esta forma, al manejar expresiones algebraicas, es habitual encontrar razonamientos de transfcrencia, mediante ios cuales se considera que lo que es válido para un caso particuiar 10 es también para otro. Así, es frecuente que se generaiice una regla en virtud de la similitud de una forma nueva con respecto a aquéila para la que se defrnió. La estructura (a'b)2 - a2'b2 en la que se conmutan el producto y la potencia se extiende fácilmente al caso de la suma (a + b)2 : 02 + b2 de un modo inconsciente, «natural», con absoluta seguridad, a veces incluso después de que se cuestione por otra pcrsona. De la misma forma que con las potencias sucede con las raices: la

conniütatividad con el producto: \

g;

- uh -

\r,

JTb :

Las formas tales como (a

+

b)2

: a2 + h2 ejercen una influencia

«similares». Por otra parte los fascinante que da «iegitimidad>> a operaciones en «evidencias» subjetiestán basados .iit.rio, de validación de los alumnos de las expresioy la simplicidad 1a forma vas entre las que no están ausentes aceptar una de hora la a que supone influencia la nes, por no hablar de alternati'a. hipótesis ninguna de ese momento en disponer extánsion el no siguientes: los son frecuencia cierta con presentan que se casos otros

I :

1

::>.{

: 3

seextiendea

" formas, utilizando inateriales diferentes. La conclusión es que. si distintas bien en ese momento se evita de forma significativa, después de algün ticmpo tiene más fuerza el recuerdo de la generalización y vuelve a aparecer eI error.

Y, anáiogamente Ia distributividad del producto respecto de ia suma: a'(b + c) : a'b + o'c se extiende a los casos de producto: a'(.b'c):

: a'b'a'c.

Aquísehaaplicadounapropiedadaunasituaciónmáscompleja'repi-

que se puede tiendo la op.r""ión en cada caso, sin obser'ar Ia razón por la posibilidad y la primero el en inversas expresiones las (la de igualdad hacer

de dividii ambos términos de la fracción por un mismo número en segundo), y que no es válida en algunas ocasiones' Hay otras situaciones, como:

Otros casos frecuentcs son:

a

-t-

1a

b

'2b

+ b) : 2a + 2b 2{a + h) : 2a + 2b 2o+b

2(a

a't

a

se extiende a

aua h+c

el

.x-1:0 (x-1)(x-s):0

b

c

se extiende a

¡a.h

1¿ ,

se extiende a

1o+b

10 , th

se extiende a

1d+b

1a '

ó

-

-\-J-W

1b

en ia que se generaliza a los casos de igualdad de

un producto de binomios

cualesquiera: 1¡l

a+x b+x

Estos errores pueden ser debidos a otras causas, pero parecen obedecer sobre todo a la indeterminación del ámbito de deñnición de la propiedad correspondiente y a su f¿rlta de fundamentación en el alumno (M. Matz). En muchos casos es una simple regla que se usa sin tener conciencia de su significado, aunque en algún momento se haya conocido. Necesidades de manipulación hacen olvidar en seguida el sentido de las reglas y expresiones, por lo que es quizá inevirable que se lleve ia regia a territorios en los que no tiene jurisdicción. Con esto no debe entenderse que todos los errores son debidos a un abuso de generaiización. pero es fácii encontrar en casi todos cllos reflejos de otras crpresiones que producen interferencias. 50

3

tn extiende a la sunta;

"ñ' ",6, crror sc hatr ensav¡do (lator¡rlL de estc Para el tratamiento " T- vr'. i,. ¡ald!¡

a*b c('c

1--" +2:3

:.::

¡-l:12

(.x*1)("r-5) :12

ó

-

*

< - l?

El problema aquí consiste en no haber observado ei papel esencial que : cumple el cero, ., él qu. está basada la descomposición de t' - 1)i-l - 2) el es éste Y 0 err dos ecuaciones, y que no es transÍerible a otros números. y caso un de propio que es asunto central de ia generalización: encontrar 1o todos. para distinguirlo de 1o que es común y váiido Una posible foima de abordar estos errores podría ser el.planteamiento de una situación de conflicto con valores concretos dc ias variables, que deje

en evidencia la falta de consistencia de esas reglas en la nueva situación, y que abra el camino a un estudio de las razones en las que se basa la regla 1" 51

en consecuencia, a un conocimiento más profundo del concepto que expresan y de las iimitaciones de su funcionamiento. Estos errores suelen ser muy persistentes y exigen mucha paciencia por parte del profesor, que debe esforzarse sobre todo en ayudar a l,os alumnos a analízar sus propias concepciones, v modificarlas, haciendo propias las nuevas.

2.6.

EN{PEZAR PRONTO A GENERALIZAR

La gran variedad en la forma en que se presentan las situaciones que se pretende generalizar, así como Ia mayor o menor complejidad de las relaciones implicadas, permiten tratar la generaiización desde muy pronto. El trabajo temprano con actividades encaminadas a expresar 1o genéral, utilizando distintas vías, favorece en gran medida el proceso posterioi de simbolización y manipulación de expresiones simbólicas.

se ha visto en Ias páginas anteriores cómo en las actividades de generaiizacion se pueden separar los aspectos reiacionados con la percepcián de lo general, Ios de descripción verbal y los de expresión escrita, y deniro de éstos ios de la expresión formal. Esta separación permite, .n .uáu caso, aicanzar una fase distinta y un grado de rigor adecuado a Ia edad y experiencia de Ios alumnos.

Algunas actividades que se han comentado más arriba se pueden proponer a niños de Ios primeros cursos modificando el tipo y grado de Ia petición. Otras podrian ser las que siguen. La tira

Si sabes las que has puesto de un color, ¿cómo puedes averiguar cuántas

hay del otro color?

La variedad de situaciones en las que se proponga la percepción de lo general es otro factor que debe estar presente. Se pueden proponer problemas en los que la situación se expresa verbaimente, a través de dibujos o diagramas, mediante la manipulación de objetos, a través de los números que se indican directamente o como resultados de operaciones con calculadora, o mediante la combinación de alguna o varias de estas formas. La riqueza en la experiencia de los alumnos con actividades de generalización puede permitir un acercamiento más natural al concepto de variabie, y por ello una aproximación a un álgebra más signihcativa.

2.7. EL CONCEPTO DE YARIABLEEl concepto de variable se encuentra en la base de muchas situacio¡es algebraicas aunque a veces no se observe de forma explícita. Esta circunstancia y el hecho de que con la variable se traten alavez conjuntos de valores soll causa de muchas dillcultades. El estudio de la generalización puede ayudar a resolver algunos de estos problemas. En ei proceso de generalización se está tratando con variables. pues intentar hailar el término general de una sucesión de figuras o de números es una manera de abordar una variable: el lugar de orden es la variable independiente y los casos párticulares pueden interpretarse como valores de la variable. Estos casos particulares, al estudiarse, permiten encontrar propiedades comunes y pautas que pueden conducir a la expresión general.

Este proceso de análisis y síntesis se puede desarrollar en las tres lases descritas anteriormente: ver, decir y registrar. En é1, ia variable se estudia en un sentido ascendente. de io particular a 1o general:

.

¿cómo

se puede

de piezas oscuras?

averiguar el número de piezas claras sabiendo el número

-l T-:----I h.xpreslon I general I

La tore Construye con policubos -largas que quieras.

I

de dos colores tiras como ésta, pero todo lo

1

I

.uro, | particulares I

I

I

52 53

hr

u horizontal, de lo particular a lo particular (de los casos particulares que conocen al caso particular que se busca):

Por lo tanto, los trcs procesos pueden relacionarse

se

f .-..*¡ eeneral

r-----:l general I

Caso particular

fI *'"particulares

I

y permite realizar un trabajo con conjuntos de datos, que es lo que caracteri-

za el tratamiento de la variable. Ei scntido descendente. de lo general a ro particular, suele aparecer en

contextos diferentes, por e.¡emplo, cn problemas en los que se deúe hallar el

5r + 3:,r.(capítulo

r

en la expresión

5 + .r :

I

I

t

buscado

valor que debe tomar

asi;

11

l).

, o la gráfica

de

I

J

Valor(es) de la(s) variable(s) que cumpte(n) la(s) condiciones

f rra..' "l la variable I

I

La generalización contribuye al aprendizaje del concepto de variable. Hay otras situaciones que lambién avudan a este concepto. especialmente aquóllas en las que se ve una variación y, mejor aún, cuando es el propio aiumno el que produce esa variación. En el problema:

En una tienda hemos comprado lápices de colores, y para pagarlos hemos entregado un billete dc 1.000. Si nos hai, devuello 146 ptas..;,cuánto ba costado ciida lápiz?

t****l

ta variaute I--T-

I

I Vaior(es) de la variable que cumplen ias condiciones

o bien, en problemas en los que haya expresiones simbólicas, x ó ],, que _no tomen vaiores, como ocurre en aigunos de los ejemplos que se incluyen aigo más adelante en este mismo epígrafe (lápices dá coiores y caja sin ápa¡.

Valorles) de la va¡iable que cumplen las condiciones

Tal como está planteado puede ser desconcertante. Es probable que si no se tiene costumLrre de organizar l¿r información, el intento de resolución se limite a una lucha por adivinar qué letras hay que utilizar para ilegar a saber cuántos lápices se han comprado y el precio de cada lápiz. Se trata de una situación abierta en Ia que el propio alumno debe tomar decisiones, debe producir la variación, describiendo la variable adecuada y conduciendo la selección de valores al objetivo que se pretende.

A

continuación, se verán algunas situaciones que pueden lacilitar la

observación 1' la producción por los aiumnos de la variación, en las que se proporcionan apoyos concrctos, para asi hacer posible la construcción del concepto de variable. Este es el caso de las tablas, las gráficas y las fórmuias conocidas por los aiumnos. Las tablas de datos permiten analizar cómo varian conjuntos de números, v presentan ventajas en varios sentidos. Si ha sido el propio alumno el que ha obtenido los datos representados en la tabla, la relación entre las magnitudes y ia variabilidad_(posibiiidad de variación) se le presenta como algo muy próximo, muy concreto, con las ventajas que esto lleva consigo. Pero, sobre todo, la tabla permite trabajar a la yez cón varios datos. Por último, permite colocar y manejar los datos de forma no ordenada. Io que tiene importancia en los nireles más bajos de enseñanza, donde la forma de proceder de los alumnos es más espontánea que sistemática.

54

55

Se incluyen a continuación algunas situaciones en las que la organización de los datos en tablas de valores ayuda a acercarse a la idea de variable.

se recorta), lleva a las ideas de variabilidad, restricciones que puede tener la

variable. rango. etc.

Se verá una última situación en la que también se pueden encontrar María necesita alquilar un coche de jueves a domingo y lee en el periódico el siguiente anuncio que responde a sus erpectativas:

restricciones a la variación de la variable: En la colonización del Oeste Americano se utilizaba el siguiente procedimiento para la distribución de tierras: todos los colonos podian quedarse con el terreno que fueran capaces de cercar con 3000 metros de alambrada. ¿Cuál es el mayor terreno que se puede cercar si todas las parcelas tienen que tener forma rectangular? Algunas personas se dieron cuenta de que era mejor buscar tierras al iado de los ríos. Además de tener agua se ahorraban uno de los lados de ia valla. ¿Cómo se modifica ahora el problema?

¡Alquile su utilitario escogiendo Vd. la tarifa! TrRln¿ A: 5.770 ptas.

TeRr¡

al día, más kilometraje. A 47 ptas. el kilómetro,

B:

10.430 ptas. al día. Kilometraje ilimitado. ¿Qué deberá tener en cuenta María para poder elegir?

Enfrentarse a este problema sin utilizar símbolos lleva a estudiar las distintas situaciones que se pueden dar, y que corresponden a distintos

.

En este caso también las dirnensiones del-ceicldó que da una superficie mayor se obtienen con iacilidad a tra\'ós de una tabla, si bien aquí la construcción de la tabla con dos variables que tienden a hacer los alumnos, puede complicar en cierta medida su lectura. La tabla:

proyectos de viaje, valorando en cada caso, qué interesa más. Dentro de este estudio, se puede plantear la búsqueda del número de kilómetros a partir del cuái interesa una u otra tarifa, si se alquila los cuat¡o días, o el mismo problema. alquilando distinto número de dias, pero partiendo siempre de los posibles proyectos que han aparecido en clase. Otra situación similar se plantea en el problema ya clásico de la caja sin tapa:

A partir de un trozo rectangular de papel. constru,ve una caja sin tapa. cortando cuadrados iguales en las esquinas. Comprueba si hay cortes que prociucen un volumen determinado. ¿Qué lon_eitud del lado del cuadrado cortado produce el máximo volumen? ¿Hay cortes diferentes que produzcan el mismo volumen para la caja? Justifica los resultados que obtengas. (Para hacerlo, utiliza papel. tijeras, pegamento...)

La resoiución de €ste probiema requiere un proceso de búsqueda y manejo del conjunto de datos, que se obtienen al probar con distintos tamaños del cuadrado recortado, organizándolos en una tabla. La situación puede enriquecerse, además, probando con distintos tamaños del rectángulo de partida. En este caso, aparte de la utilidad del trabajo con tablas que se está comentando, se da la circunstancia añadida de que los datos se obtienen (si se plantea así) manipulando objetos reaies (el papei); el cambio de tamaño se puede visualizar y, en consecuencia, el alumno «ve» la variación de Ia variable. La necesidad, además, de tomar la decisión inicial en cada corte sobre el tamaño del cuadrado recortado (o del valor asignado al lado, si no 56

supone el tratamiento de dos relaciones simuitáneas y de variables dependientes e independientes. La reflexión sobre esta tabla, las restricciones para 1os valores posibles de cada columna, y ias relaciones entre unas y otras favorecen el aprendizaje del concepto de variable. En todos estos problemas y en otros parecidos que se pueden proponer

se trata de manejar el conjunto de valores que toma «la variable» sin necesidad de plantear la simbolización. La idea es trabajar con la variable sin necesidad de usar letras. Se podría decir que una caracteristica común a todos estos ejercicios es proponer situaciones donde se vea a las variables tomar distintos valores sin que sea necesario simbolizar. Por eso serán de gran avuda para relacionar ei concepto de variable con la utilización de letras como símbolos que ias representan. Esto es imprescindible para poder reaTizar la transición de la aritmética al áigebra. La calculadora puede jugar un importante papel en las actividades encaminadas al aprendizaje del concepto de variable, debido a la facilidad con que permite realizar cálculos con distintos valores y a la rapidez con que se puede pasar de unos valores a otros.

La utilización de calculadoras permite la posibilidad de dar muchos valores y ver con cierta rapidez el electo que produce. Por todo esto, es un instrumento inestimable para adquirir el concepto de variable. 57

Li'&!!''.

Las representaciones gráficas de reiaciones funcionales pueden también ayudar a coltstrt¡ir est€ concepto. Al «leer» una gráfica. se estál apreciando, simultáneamente, un conjunto de valores posibles ,7-3=?l u-

P{lrf¡

:

/1r'

ilr

59

o-+L

t.

=

t.7

Ejercicios del tiPo:

q. r (^,() t (orr) = ( -,l.t \

Los dibujos siguientes representan modelos de embaldosados para habitaciones rectangulares, siempre con baldosas negras y blancas colocadas de la misma manera. Intenta continuar la serie.

tq t Z = 5e-,.5 )", t3 =3^*3

+

c'-r'f

ñ

)¿

r) rP{r C-ut ta,'-

'

(Routes and Roots)

I

En una cláse de alumnos de i 1 años, que no estaban acostumbrados Para realizar la farea, prueba con distintos números, observa lo que ocurre y lo escribe con palabras. Utiliza símbolos para escribir la regla pero cuando quiere comprobar si se puede generalizar lo que ha observado utiliza otros símbolos y estableciendo relaciones entre ellos, hace operaciones y ,eonciuye que la regla es váiida para todos los casos. En el ejemplo expuesto se pone de maniflesto cómo ia utilización:_de ^ aigebraicos implicallts tiposlle- aqtuaciooes qF=a n enrao r. -símbolos realizala simultáneamente v se refuerzan una a otra: nterpretándolos de - Atri@g*1as-srn0-holos inia apropiada y sin ambigüedad. uso de las posibilidrdes de.eálculo que permite cl lengu4ie ''lsrr@piqtq, -Hacer s*bólüí. ir q?1.,1 o, y i

t e LáJ'

i.,lurl

¡

t

ú

la refle.rión sobre las -q. relaciones 9!$ILr!-aüvas. Por otra parte, ia escrit

u¡á-§iñ'6dlieá- peimi ie o-btcnCi n ueuas

rel

a

ci on

es

m ed

ia

n

a

tipo de preguntas, las respuestas recogian sólo parcialn.rente la información que se sugería con la sucesión de estructuras. En geheral, se fijaban en que había baldosas blancas en el borde y baldosas negras eir el centro y que formaban un rectángulo, pero no ilegaban a observar ia releción que se

este

establece entre los dos tipos de baldosas. ciase se pudo llegar a considerar de ia base y de la altura de los entre las baldosas la relación signilicativa rectángulos. Después, ya fue fácii continuar ia serie de dibujos. ¡Todos habian entendido, perfectamente, la «esencia» de la sucesión de estructuras! Sabian dibujar tres más, cinco más..., e, incluso, algunos alumnos se podian imaginar cómo seria la décima estructura, ia número veinte... Para ayudar a establecer esta reiación, se hizo una tabia cn clase en la

A partir de la discusión con toda la

que se escribieron distintas ternas de números:

re regias de

transformación adecuadas.

Número de orden

Número de baldosas negras

Número de baldosas blancas

3.2. SIGNIFICADO DE LOS SIMBOLOS Aunque, como se ha dicho, ambos procesos se suelen dar simuitáneamente en el aprendizaje, deben ser tratados de forma aislada. La comprensión del significado de los símbolos escritos se debe estudiar conectando estos símbolos con las ideas y objetos que representan. Para que los simbolos ileguen a tener significado es necesario, por 1o menos al principio, que las letras tengan un referente concreto, que sean abstracciones de «algo» que se pueda saber qué es. Para realizar este proceso es interesante aprovechar situaciones en las que los alumnos expresan con símbolos leyes que han obtenido a partir de la observación de estructuras gráficas o numéricas. 60

Ahora viene el momento clave: ¿qué pregunta hay qué hacer para que se exprese «de alguna forma» ia reiación entre el lugar que ocupa la Figura y el número de baldosas negras? Algunos aiumnos no entendieron lo que se les preguntaba. No sabian qué tenían que responder además de 1o que ya habían dicho. 61

Partiendo de las siguientes figuras construidas con palillos:

Lo.s alumnos saben cómo se producen esos embaldosados y se dan cuenta de algunos aspectos reiacionados con eilos, como por ejemplo:

-

A/VW

Que no puede haber uno más pequeño. Que hay una baldosa más en la «base» que en la «altura».'.

incluso, si se les pide que dibujen uno en concreto, lo saben hacer. También pueden completar 1a tabla en la que se recogen los tres conjuntos de números y saben además cómo están relacionados porque pueden escribir cualquier .elemento de ia terna a partir de uno de ellos. Pero cuando se les pide que e

¿Cuántospalillossenecesitansegúnelnúmerodetriángulosdibujados?

los alumn> con los triángulos que ya tienen construídos.

También el álgebra en la escuela se justifica porque es un medio. una forma de pensar y de actuar, que permite resolver distintos tipos de problemas. un método que se adapta para resolver situaciones muy diferentes. Se puede, por tanto, apoyar la utilización de los simbolos algebraicos por los alumnos, mostrando las posibilidades de cálculo que su uso pern.rite, y descubriendo las ventajas que proporcionan para resolver los distintos tipos de problemas y, en consecuencia, ias estrategias más adecuadas para

Las diferencias de nivei entre los alumnos a la hora de aceptar los símbolos hay que convertirlas en una ventaja para ei conjunto de la clase, ya que permite aprovechar las ideas interesantes de unos y de otros. No todos los alumnos llegarán a la vez y con el mismo grado de convicción a aceptar el uso de los símbolos. prra muchos seguirán siendo superfluos y preferirán su propia lorma de expresión. La eliminación de ias expresiones del lenguaje corriente no se debe hacer hasta que haya una utilización práctica de las ventajas del ienguaje simbóiico, justificando en todo momento su uso. El profesor puede sugerir el uso de simbolos, pero es muy importante que estos no aparezcan de un modo

manipularlos. Se trata rry-6o X.y I n=,

Soma¿r,rg

ble, en su sentido más amplio, requiere bastante experiencia en estos mismos procedimientos y formas de pensar. En el apartado del capítulo primero tituiado Las letras se analizaron las

a L

' x-ts:3y+t¡5

I

azo¡.-rJa,

_-'r2-'l

:l>

87

=-r

:i ir" ;

3.

Ecüaciones

5.1. INTRODUCCION En nuestro país como en otros. los primeros años del aprendizaje dei álgebra, están dirigidos. fundamentalmente, a conseguir que los aiumnos de 12-14 años aprencian a resolver ecuaciones y sistemas. Quizá sea ésta la razón por ia que alumnos de 12-16 años a Ias preguntas: ¿,Qué es

para ti el álgebra? ¿,Para qué crees que sirve?

responden: «Es la parte de las matemáticas que tiene como objetivo resolver ecuaciones» ó «la parte de las matemáticas que se encarga de encontrar números desconocidos mediante la resolución de ecuaciones».

A pesar del tiempo y los esfuerzos que se dedican a este tema, son muchos ios alumnos que aún en cursos avanzados cometen errores cuando tienen que resolver ecuaciones. Asi, por ejemplo: En un estudio reciente, llevado a cabo con alumnos de 14 a 16 años (1." y 2.' de BUP), la ecuación:

1-b:8 sólo ha sido bien resuelta por el 50% de ios alumnos de

Y en

2.o,

la ecuación:

2

I _1 ,

1- 4- b-' sólo la resueive bien el 30%.

?

1.o

de BUP.

se encuentra el pas6, de fundamcntal importuncia. que el alumno debe dar desde la aritmót,ica al lilgebra y' espccialnrentc, del antiguo al nuevo concepto del signo igual. El igual de las ecuaciones ha perdido su carácter unidireccional y hay que manejar simultáneamente sus dos lados. Es necesario que los alumnos

Así, para pasar de

[:n llr base de todo ei problema

2(x-3) +7:3x-3 J.)

a la ecuación equivalente

lleguen a asimilar ia situación de equiiibrio que representa el signo igual y su propiedad simétrica. Sólo así se conseguirá que las reglas lormales de resolución no sean meros trucos carentes de sentido. Pero hay que ser conscientes de que conseguir que los alumnos llcguen a asimilar las diferencias entre el igual aritnlético y el algcbraico no cs tarea fácil. sobre todo si se tiene en cuenta que, cuando comie¡rzan a resolver ecuaciones sencillas del tipo Ax * B: C, el igual que aqui aparece tiene un gran parecido con el aritmético, mientras que con ecuaciones no triviales del tipo Ax + B : Cx * D se ven obligados a utilizar simulthncamenle ci igual aritmético y el algebraico.

3'(x + Arir.

3'.x

-{ Ig.

1)

- 2 : 2'(x-

ll

A

*

3Arir. ll {.r-:

+ 2'x ll Arir.

lF.

I : 2'.t I

7)

+

2'"x

ll ¡¡;r.

Arc.

Á.\-

-

1'1

-

lJ

2x*l:3x-3 hay que operar en ias expresiones algebraicas, y para llegar

a

'

4:x se han utilizado propiedades de

,

la igualdad. Kücheman. Bell, Filloy y Rojano, entre otros, han analizado los dilerentes tipos de errores que padecen los alumnos cuando resuelven ecuaciones, ilegando a clasificarlos según niveles de dificultad. Otro problema que está en la base de muchos errores es el de la relación enlre una operación y su inuersa en la que se basa la técnica de trasposición de términos. En aritmética, no es tan imporiante el dominio de este aspecto, ya que el igual se utiliza en una única dirección. Convendría. no obstante, que en esos años se plantearan 1,a situaciones concretas, que ayudaran a los alumnos a rcconocer una operación y su inversa, junto con la ieualdad en su sentido simétrico. Siluaciones del ripo:

AIg.

15

:

x

calcula el número que hay que poher en el rectángulo para que sean ciertas las igualdades:

Se tiene.

por lo tanto, un mismo simbolo para tareas de naturaleza muy

T-:r:l¡ Ll

distinta.

Estc problema pone de manifiesto ia importancia de la distinción que hace Kieran (1989) a propósito de las estructuras que se pueden percibir en una ecuación: la estructura «superficiai», de las expresiones litcrales y los númcros que aparecen en ellas: y ia estructura «sistémica)), que tiene que ver con las operaciones y relaciones de las expresiones algebraicas que hay en ambos lados de la igualdad, así como con las propiedades de la relación de equilibrio que define la ecuación. Cuando un alumno intenta resolver una ecuación debe utilizar propiedades rcfcrentes a arnbas estructuras, es decir, deberá en muchos casos manejar las cxprcsiones algeb¡aicas que hay en ambos lados del signo igual (quitar paróntesis, agrupar términos, desarrollar potencias...) y por otra, las propiedadcs correspondientes a la relación de igualdad (transponer términos. quitar dcnominadores...) para llegar a la solución a través de ccuaciones equivalentcs, cada Ycz más sencillas. 94

:\ _t

310:[*t-lsl ayudan a comprender la adición como inversa de la sustracción. y recíprocamente.

Lo mismo se puede decir de la multiplicación y la división. Expresiones como:

fl.1_9g L_)n'-

r8o:!:6 ayudan a percibir ambas operaciones como inversas. 95

--r Y estas dificultades continúan con el paso de los años. Alicia, alumna de 13 años, resuelve así

ia siguiente ecuación:

52 x -32 -- 2¡=x + l3o

c)

x

*63

':-Z

una ecuación:

¡' ( qx-t)

Falla en el segundo paso, al intentar apiicar 1a operación inversa de la sustracción para eliminar 32 del primer miembro, pero 1o hace correcta-

mente al planteárselo con 25x en el cuarto paso, a pesar de que este término parece mis complicado por ir el coeficiente acompañado de la incógnita, io ''cual revela escasa consistencia en 1a utilización de las operaciones inversas' Otras veces, los alumnos atribuyen a la sustracción propiedades de otras operaciones internas: Carlos (14 años), después de haber trabajado el álgebra en varios cursos y de ilevar unos días repasándolo, escribe para quitar denominadores:

30_ \0

E-11

lo

DiJicultad ccin los números racionales

Las fracciones y números racionales son fuente continua de errores a lo largo de los años. Así, Angel (14 años) da los siguientes pasos para resolver

X

#" +qB :":r*

Interpreta el signo menos de la sustracción, como signo asociado al tres y -3, pero en cambio, después de operar, sigue manteniendo el signo menos delante de la fracción.

por eso actúa en consecuencia al multiplicar por

.i

30-503'l -- rQ 3o-b =to rO S-15 -e- rG --1

- \0

:

3t15=]t

J_ q

AOX

_

L

,7

{,0x1(rS+7 2o < -- 1.0 2a \/ t :-:

¿¿

4-

Se puede observar cómo, al encontrarse con el denominador, resuelve ia situación prescindiendo del denominador. En otros casos se resueive menos coniusamente, pero no por ello con más

acierto. Esther (13 años) actúa así:

3-2 --I

3x

vtx 3

ve la necesidad de usar paréntesis porque atribuye a la sustracción las mismas propiedades que a la adición. Y además, es coherente en ia compro-

No

bación. En otros casos se confunde el signo menos, propio de Ia operación' con el menos asociado a un coeficiente. Es 1o que hace Marta (14 años)

s _ 3(a-3") 2-o (*-J = {i s- 6lrF, 2.ox- 60 a

rO -6*9v

: ¿o> -60

í

Z

* lgx : o(x

Es decir, tiene en cuenta el denominador sóio en el caso de los términos que están junto al signo igual.

5.3. PROBLEMAS SUBYACENTES Los errores analizados son sólo algunos ejempios que ponen de manifies-

to las diñcultades que presenta para los aiumnos, tanto el concepto

de

ecuación y de solución, como el propio proceso de resolución. 92

93

daria lugar

Sepuedellegarenestecasoalasolución,mediantetanteos,cuyos ayuda resultaáos el alumno irá escribiendo en la tabia' Este método

comprender el sentido de solución como conjunto de valores que, sustituidos

eniasalida.producenlaunicidadderesultadosenlameta,esdecir,la igualdad numérica por ambos caminos'

c)

I

4'6 - a:5.a -

3b+7:3b+5

aritmética se tapa un número con el dedo, es posible definir una ecuación como una identidad aritmética que tiene un número oculto. Después, en iugar de tapar el número, se pueden usar cuadrados vacíos, y pasar así' gádualm.nie. a reemplazar el cuadrado por una letra, que de momento se ilamará desconocida por su parecido con el número oculto. Es importante, ya desde un principio, usar letras distintas. Los pasos serían:

2.7 + 20:34

24

El propio proceso llevará a inventar ecuaciones sin necesidad de partir de identidades. Por este camino, quizá algún alumno escriba una ecuación del tipo:

Identidudes arilmeticur

Tambiénsepuedepaltirdeidentidadesaritméticas.Sienunaidentidad

,'j

a:

a

2'* * 20:34

z [ * 20:34

2a

+ 20:

s4

Esta introducción de la ecuación algebraica a partir de la identidad

aritrnética permite alcanzar el concepto intuitiyamente, antes de ser formalinúmez¿ldo simbóiicalnente. Añanza también el concepto de soiución como ro que hace cierta la identidad. §in embargo, este tipo de acercamiento a la ecuación tiene un problema: puede inducir u 1, i¿"u de que todas las ecuaciones tienen solución. Compenia su utilización, a pesar de todo, por ia solidez que confiere a la inte¡ioriza-

ción de1 concepto. Es posibie comprobar también que, a partir de una misma identidad aritmótica, tapando un número o poniendo una letra, se oblienen muchas

que no tiene solución. Los alumnos pueden comprobario tratando de buscar identidades que cumplan una expresión de ese tipo. Tales ecuaciones, si no es de esta forma, suelen ser dificilmente justificables, ya que no es fácil.que aparezcan en situaciones concretas y en forma asequible. Para llegar a ecuaciones más generales, del tipo Ax * B : Cx * D, que tienen mayor diflcultad de resoiucitin, como se verá más adelante, es bueno valerse de modelos concretos tales como balanzas, tableros... Estos modelos permiten trabajar el concepto de ecuación como una situasiéa,de equilibrio, con la incógnita a ambos lados, en un contexto ratural .tu. d

d) Balun:a.s

: /..,

'

La balanza es especialmente apta para estos propósitos por su capacidad aulocorrectora, ya que traduce. lisicamenf.e, el concepto de igualdad a través del equilibrio de las masas de ambos platillos. Eiercicios del tipo: «La balanza está en equilibrio. Las cajas pcsan lo mismo. Las pesas son

de

I

kg.

ecuaciones:

3"7 + puede dar lugar

6:31 -

1

a: 3'b + 6 : 31 - 4 3'1 + c :31 - 4 3'7 + 6 : d * 4 3'7 + 6 :31 * e

¿Cuánto pesa cada caja? Sobre una tira de balanzas dibuja los pasos que das. Escribe Io que vas haciendo.»

Dcl mismo modo se puede plantear ia posibilidad de usar varias veces la mismrt letra, partiendo de una identidad en la que un mismo número puede cstar (scrito varias veces. Así:

4'6-8:5'8-24 9E

99

__

Antes de enfrentarse con el álgebra es necesario asimilar la relación entre

Enséñaselo a tu compañero, tapando el número pensado, para que él haga otra cadena que, partiendo del número final, le lleve a acertar el

una operación y su inversa, ya que aquí, esta relación va a tener mayor dificuliad por el carácter abstracto de las expresiones y, para abordar el proceso de resolución, es fundamental su comprensión'

5.4. LAS ALTERNATIVAS Es frecuente iniciar a los aiumnos en los conceptos de ecuación y soiución de una ecuación mediante definiciones formales. Es frecuente, asimismo, enseñar la resolución de ecuaciones a través de reglas que, apiicadas fiel-

número pensado por ti.»

Ejercicios como éste favorecen la comprensión de las operaciones y sus inversas, y facilitan la adquisición dei concepto de ecuación a través del de solución, visto en este caso como el número inicial que hace cierta la cadena pensada por el primer compañero. P. Puig Adam (1960) ya recomienda su uso a niños de 12 años por su

valor didáctico:

-

uAgrupo a los niños á. tr., ., tres'{n cada grupo. un alumno piensa un número dígito,1o duplica y le añade 5 unidades, pasando el resultado a otro alumno de su grupo. Este multiplica por 5 el número entregado y pasa el resultado al tercero. Finalmente, ése le añade al resultado un nuevo número digito pensado por él y me comunica el resultado hnal. Con el resultado de cada grupo "adivino" Ios correspondientes números de cada grupo. He aqui una situación fuertemente estimulante. No es fácil que descubran la clave los alumnos en tiempo breve. Se les facilitará notablem€nte el.descubrimiento si en lugar de agregar inicialmente 5 se agrega 4. Ya no es dificil, en este caso, que se den cuenta, entonces, de que las cifras adivinadas son precisamente las decenas y las unidades despuós de restar 20 del resultado hnal. Pero, aún acertado el "truco", ¿cómo explicar el por quó del mismo?».

mente, permitan obtener el valor de la incógnita. Este es, al menos, el planteamiento usual de muchos libros de texto. No obstante, la experiencia no§ enseña, y las modernas teorías sobre el aprendizaje aceptadas actualmente así lo confirman, que por mucha destreza que se adquiera, ésta puede no ir ligada a la adquisición de conceptos'

El hecho de que muchos errores persistan al cabo de los años hace pensar en ia necesidad de profundizar en los métodos más adecuados para acercarse a los nuevos conceptos como es, en este caso, ei concepto de ecuación. En todo caso, Será necesario tener tan presentes 1os conceptos de ecuación y de solución como las técnicas de resolución de ecuaciones. Es más, sóio así pueden las técnicas hacerse inteligibles para los alumnos Se proponen, a continuación, algunas actividades que pueden ayudar a conseguirlo.

5.4.1. Los conceptos de ecuación y

b) Cantinos

de solución

Para introducir el concepto de ecuación, como la condición que cumple cierto número desconocido que es preciso encontrar, se puede partir de situaciones prealgebráicas a modo de juegos, tales como los siguientes:

a)

«Piensa un número y haz las operaciones siguientes:

x4 +T o--A-l_,1

;--

Los caminos son también un buen modelo para acercarse al concepto de ecuación y, sobre todo, al sentido de equilibrio del signo igual que encierra toda ecuación.

-\.

Cadcnas

.

Continúa Puig Adam exponiendo la introducción de letras para resolver este acertiio.

.

«Este es el juego de los caminos. Si deseas colocar un número en la "salida" S y sigues las flechas haciendo las operaciones que indican, obtendrás un número que puedes escribir en la "meta" M. Este resultado será distinto según el camino que elijas. Pero hay un número que, puesto en § daría, por cualquiera de los dos caminos, el mismo resultado en M. ¿Cuál es? Coloca en la tabla tus ensavos.»

Escribe: El número pensado, en el círculo. El resultado parcial, en el triángulo. El resultado linal, en ei rectángulo. OA\

97

De nuevo, conviene recordar la necesidad de verihcar que la solución es válida, es decir, comprobar, una vez resuelta la ecuación, que dicha solución. sustituida en ambos lados de la ecuación, produce resultados iguales. También puede ser resueito este tipo de ecuaciones mediante el método de «tapar» y analizar el sentido de la ecuación. En el ejempio anterior: si al sumar 7 a «algo», da l2l , ese «algo» debe ser 120, es decir, 3c : 120 y, por tanto, c : 40., Este mismo método puede utilizarse para aquellas ecuaciones en las que dificil deshacer, pero que, por su estructura, permiten ser anaiizadas es fácilmente desde el punto de vista operacional, como por ejemplo:

a) l{:(a-1)2 c) (¡ - 3):6:12

b) 4b-14:6 d) (2k+6):4-1:8

Si se analiza cualquicra de eilas, por ejemplo, la d, al tapar la expresión (.2k

+ 6):4 puede preguntarse: ¿Qué número, al restarle i, da 8?: el 9. Luego 2& 6 debe ser 36 para que al Se

dividirlo entre 4 dé 9. * tapa 24. ¿,Cuánto tiene que valer Io tapado para que a1 surnarle 6 dé

36?: 30.

Luego para que 2ft sea 30, k deberá ser 15. Se deben, asimismo, trabajar otros métodos intuitivos como ios de tanteos, tablas..., que consisten en ir probando valores de la incógnita hasta encontrar aquellos que verilican la condición que define la ecuación. Esto, además, ayudará a aclarar el concepto de variable. concepto clave en álgebra como ya se ha visto en capítulos anteriores.

b)

llétodos fornrules

Desde el punto de vista formal es posible dar un sentido a las operaciones algebráicas usadas ai resolver ecuaciones, utilizando una balanza. -

La balanza permite tratar el concepto de ecuación como una igualdad simétrica, con la incógnita a ambos iados, pudiéndose con este modelo descubrir las leyes uniformes de la igualdad en que se basa la resolución formal de las ecuaciones. La ballnza en equilibrio introduce una representación bastante aceptable del signo igual (equivaiencia de los dos platillos) y la referencia reaiista, en términos cic peso, asignada a la incógnita y a los datos, da sentido a la ecuación, rrsí como a las manipulaciones algebraicas, sobre todo, al ntétodo de hacer

ltt

a antbos lados. Este ntúlodo consiste en ir transformando una ecuación en otra más sencilla, qtlc sea equivalente, es decir. con ia misma solución. A través de las

t02

¡¡1¡s¡71s

operaclones lnversas se va simpliñcando expresión del tipo:

Ax:B

la ecuación hasta llegar a

una

óbien B:Ax

que, al dividir ambos miembros por A,permite llegar a Ia solución. Veamos el proceso seguido por Daniel (13 años)

Lo¡ ladrl.llor dc .rtr brlan!a .n cqulllbrlo pcrrn todot lo lt¡ro. l¡crlbc cn rfrbolor ¡ttt ¡ttueolón. Avcrl¡ue ournto potl un lrdr{llo. f,o olvldr¡ drolr Io eu. rltr¡1flor, .l ¡frbolo qu¡ utflttr¡.

?x+5,1x+24 9xrE+(-5)= 4xa77+(_5) 1 /-L(-qÁ) \ y +r? r (-q¡) = 5x= 13

55

x =)t6

x

os

ng

jes- J y la «estructura sistémica». La estructura superficial hace referencia a ia forma de la expresión, ordenación de sus términos y orden de ejecución de sus operaciones. La estructura superñcial de la expresión 7(2t + 4) + 6.r-. dice Kieran. incluye lcs tórminos y las operaciones de sumar ¡, multiplicar coir ei orden indicado nes, se pueden

por la jerarquia iie las operaciones.

La estructura sistémica de una expresión algebraica o aritmética se ¡efiere

a las propiedades de ias

operaciones, tales como

la commutatividad, la

asociatividad, la distributividad, etc. Por ejemplo. en el caso de la cxpresión anterior, T(2x + 4) * 6.r, la estructura sistémica incluye todas las expresiones que. por aplicaciór.r de las propieciades de las operaciones, resuitan equivalentes a eila. tales como 6.x + 7(2x + 4) ó 20"t + 18. ctc. Se puede decir que los estudiantes, mayoritariamente, no perciben ias estructuras que permiten trabajar con expresiones algebraicas, y de elio depende, en buena parte. el éxito o el fracaso en el dominio de las destrezas de cálculo en este campo. Para intentar que los principiantes ileguen a distinguir con claridad las estructuras de los objetos algebraicosJ sean expresiones o igualdades, los profesores construyen sus modelos pedagógicos basándose en alguna idea previa acerca de lo que consideran importante en el trabajo propio del á1gcbra.

Es útii, como insiste Kieran (1989). distinguir dos enfoques posibles de estos modelos según se enfaticen los aspectos sintácticos o semánticos de1 álgebra. Los aspectos sintácticos hacen referencia a la manipulación y a la simplificación de las expresiones. El juego de simbolos y reglas operatorias, constituye Ia sintaxis del lenguaje algebraico. Y los modelos utilizados para la enseñanza del algebra. basados en la multiplicación de ejercicios directos para asimilar ias reglas o sintaxis del áigebra, son los denominados modelos .sintát'tit r¡s.

Por cl contrario. los aspectos setnonticos del álgebra hacen referencia a cstructuras, es decir, a 1as propiedades y relaciones que permiten distinguir las transior¡nacioncs permitiáas «Je 1ai que no lo ion,'o, lo que es lo

las.

l.r0

modelos semánticos. Tradicionah¡ente, se ha optado por trabajar sobre la base de modelos sintácticos y esto es consecuencia de la gran preocupación de la enseñqg3del álgebra por la capacidad de representación ofrecida por el apareio simbólico y la facilidad operatoria que supone el trabajo cn abstracto con estos simboios. Pero, el número creciente de trabajos que ponen de manifiesto Ia gran cantidad de errores a los que llo,a este tratamienlo ha hecho surgir una contidad cada yez mayor de experiencias basadas cn la utilización de modelcs concretos para faciiitar así la con.rprensión de la semántica del álgebra. Sin embargo, tampoco el trabajo con estos modelos perrnite resolver poi sí mismo todo el problema. Parece que la diflcuitad reside en la transferencia de una situación concreta a otra, esto es, en el ejercicio de absLracción que pern.rita desligarse de lo concreto inmediato para quedarse con lo general.

Con todo, Ios trabajos recientemente realizados por autores como Ilooth, L.: 8e11, A.; Fillo1". E.: Kieran. C.. apo¡'an una introducción al álgebra basada en modeios scmán'.icos concretos, si bien. como señala Filloy (1986 y 1987), para que los modeios semánticos supongan una alternativa eflcaz a los modelos sintácticos se debe prestar cspecial cuidado en presentar diferentes contextos como modelos concietos de la misma situación general y favorecer la traslación de unos a otros, tratancjo de conseguir que los alumnos se den cuenta de que estas situaciones concretas son sólo casos particulares de una misma situación gcneral, facilitando, asímismo, la separación de los nuevos objetos del significado dei modelo concreto con el que fueron introducidos. Estos movimientos de traslación entre los diferentes contextos del mode1o y entre el modelo concreto y la situación general hay que favorccerlos expresamente mediante preguntas, ejercicios, reflexiones..., ya que si se, deja que los alumnos los hagan por si mismos, unos no saldrán de lo concreto y otros harán translerencias incorrectas. De ahí que en las actii,idades que se proponen a lo largo de este libro sean de importancia capital los apartados en los que se pide a los alumnos que establezcan relaciones, y que justihquen las propiedades de ias expresiones simbóiicas obtenidas previamente. Un cierto trabajo final meramente sintáctico parece imprescindible si se quiere llegar a dominar el lenguaje algebraico. Los alumnos que se inician se encuentran, además, en una edad, entre los 12 y los 15 años, caracterizada por una fuerte inseguridad en el ejercicio de su recién nacida capacidad de razonamiento formal. Deben practicar, para aseutar su conocimiento, con

t4t

¿,Cuántos cubos harian falta para 12 cubos de altura?

elementos puramente sintácticos. Los modelos sintácticos vienen así a completar ei trabajo iniciado con modelos semánticos. Lo que no parece adecuado es proceder al revés, porque como ha encontrado Greeno (1982) en sus estudios y, más tarde, han confirmado Chaiklin y Lesgold (1984), los principiantes del álgebra no muestran conductas consistentes, ni en ia observación áe la estructura que tienen delante antes de iniciar ia operación, ni en el momento de real.tzar la operación. Esto les lleva a utilizar procedimientos repletos de errores.

J.

4. 5.

construir un torre semejante, pero de

Explica cómo has averiguado el resultado anterior. ¿Y si quisieras construir una torre muy muy alta, de 10.000 cubos? ¿Y de n cubos?

7.4. POSIBLES ALTERNATIVAS Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se incluyen, a continuación, aigunos modelos de actividades que intentan afrontar el problema de las transformaciones de expresiones algebraicas. it{ás concretamente, el trabajo significativo de dest¡ezas algebraicas para alumnos que se están iniciando en el estudio del álgebra. Las actividades persiguen como objetivos que los alumnos:

1.

2.

Se den cuenta de que una expresión algebraica es «algo» que se ha

construido como respuesta a una determinada experiencia. Suelen cubrir muy bien este objetivo los problemas en los que se pidc encontrar reglas generales y expresa¡las simbólicamente a través de fórmulas (como las que se han visto en e1 capitulo sobre generalización).

Lleguen a apreciar la necesidad de hacer transformaciones como forma de comprobar la tdentidad de expresiones algebraicas, en principio «diferentes». obtenidas como respuesta a una misma situación

3.

de partida. Consigan un cierto dominio de los automatismos de cálculo con

(Pattern and Numbers)

En un grupo de alumnos de 15 años, una vez que, divididos en grupos, habian trabajado el problema,, se hizo la ¡iuesta en común y se fueron recogiendo en la pizarra las regias obtenidas. Unos grupos con alta visión espacial habían doblado una mitad de la ñgura sobre la otra, encontrando las siguientes fórmulas:

expresiones algebraicas. Para ello, es importante hacer notar que las expresiones, como todo lo que ha sido construido, puede volver a «desmontarse». Desmontar una expresión consiste en analizar y separar las distintas partes que la componen. Así, por ejemplo, la expresión 5(,t - 1) * 3 puede desmontarse del siguiente modo:

parte de Se resta 1 Se multiplica por

5

"x-1 5(-* §f Y

J\-r

-

L)

r) +3

Las torres

1. 142

r/]

(2n-d ).n

lr

Se

Sc suma 3

[rn-4 n (n-r)

Observa esta torrc de cuhos. ¿Cuántos cubos se necesitan para construirta!

Otros habían trabajado sólo con la mitad de la Iigura doblando un brazo sobre otro, con los resultados siguientes;

-

Considerando ia columna central 113

Cuando los alumnos hubieron visto que Ias diferentes expresiones generales funcionaban correctamente en casos concretos, fue el momento de pedirles que hicieran operaciones en las fórmulas obtenidas y las expresaran de la forma más reducida posible para comprobar que todas ellas eran equivalentes. Fue en este último paso donde los alumnos se vieron obligados a la utilización de diferentes reglas de cáiculo algebraico. Situaciones análogas aparecen en muchas otras actividades, aunque los contextos no sean grálicos

-

Dejando la columna central aparte

Rebajas

Por reforma, un gran almacen ha rebajado en un 25oA los precios noünales de la mayoria de sus articulos. Teniendo esto en cuenta, completa Ia tabla siguiente:

rT-T-T-l

,t,[n-,r nl + .l#+l t-t f ñ-l

h

Precio normal

rr-ñ-ñ h-l

Otros fueron contando los cubos que componían cada uno de los brazos de la cruz. utilizando para esto fórmulas de sumas dc números consecutivos, conocidos por ellos de actividades previas, y obtuvieron:

-

Inclul'endo la columna cerrtral

Pantalón niña

1.700 ptas.

Camisa ¡,iño

2.300 ptas.

Jersey caballero

4.775 ptas.

Blusa señora

3.300 ptas.

P ptas. Se obtuvie¡on las siguientes expresiones del precio rebajado de un articulo cualquiera de P pesetas.

25P

W'l+ -

^D__ i00

'3n

15P 100

D

v 4

Sucesiones

Encontrar cl término general de la siguiente sucesión 2, 5, 8, 1 1,

...

Aparecieron diferentes expresiones del tórmino general según que los alumnos utilizaran tanteos o tuvieran en cuenta distintas leyes de formación.

Sin incluir la columna central

3n-l

t4 t l+ 3 + - - th-11.9

fLyL.{n.)1J .9

3.750 ptas.

Chándal niño/a

3n

[r+rJt---rü'n

Precio rebajado

+n

+n

,2+ (r-1)3 , n*(2n-1)

Las actividades con cadenas o caminos númericos, como las que se ofrecen continuación, son una buena excusa para que los alumnos aprecien las expresiones algebraicas como algo que se construye paso a paso, asimismo, pueden utilizar este tipo de representación para desmontar expresiones dadas.

lu

145

Cadenas numéricas

completa las siguientes cadenas Numéricas para diferentes valorcs de

n

y cuenta qué ocurre en cada una de ellas.

tri29tr-§[-j-f]-t-l'I

tr-rgn-:9tr-j-tr--I tr!lIll9 I-¿tr-l-tr--r,n tr_:s,[-iqn :1 I -'1 tr-rqf tr -:f I'-ta" [¡

tr-l:I-3n-rtr Demuestra, utilizando el álgebra, que la regla que has encontrado en rr" de ellas es cierta. cualquiera que sea el número por el que comien-

::Í"

Cadenas numéricas

Completa, poniendo ias operaciones que faltan, las siguientes Cadenas Numéricas para que cualquiera que sea el número por el que comencemos el resultado sea el que aparece en el último cuadro.

Ejgn:§I*I*E E-rgtrlgtrjEf]*n*E trirgnj4f*I*I-E Caminos numéricos

Sigue los siguientes caminos numéricos para diferentes valores de las lo que ocurre en cada uno de ellos

variables, y cuenta

146

i>@-@-^ i>o -C,r"" I

q-t/

a.+ b+

-)-

(12)---...-

g2l -__=--@

t

;:@*@ Demuestra, utilizando el álgebra, que lo que has encontrado es cierto, cualquicra que sean los números por lo que comiences.

También es un buen ejercicio, pedir a los alumnos que ellos mismos inventen cadenas numéricas o caminos que sean equivalentes a alguno de los que 1es han sido propuestos. Como se ha podido apreciar, las cadenas numéricas son una buena representación del problema clásico «Piensa un número» (capítulo 3), que se puede utilizar como situación motivadora al comenzar a trabajar con cadenas numéricas. Aparte de ias actividades a las que se ha aiudido, muchos de los juegos que aparecen en el capítulo siguiente, persiguen, como objetivo, que los alumnos consigan cierto nivel de automatismo en el manejo de expresiones algebraicas sencillas, en un contexto lúdico.

7.5, LAS DESTREZAS ALGEBRAICAS Y LAS NUEVAS TECNOLOGIAS

7.5.1. La situación actual Los problemas y dihcultades del aprendizaje del álgebra y las estrategias de enseñanza a los que se alude en este capítulo, y en el resto del libro, se relteren a la situación de aprendizaje que, tradicionalmente, ha existido. Cabe plantearse, sin embargo, si las cosas continuarán igual, si los resultados seguirán siendo 1os mismos en una época como la actual, en la que han irrumpido en el mercado calculadoras y ordenadores, cada yez más difundidos, con los cuales es posible que los trabajos algebraicos tomen un sesgo muy diferente. De hecho, las calculadoras han alterado ya, en buena medida, 147

el cálculo aritmético, reduciendo la importancia de la destreza en este can.ipo

posibilitando el planteamiento de problemas más reales, hasta ahora, ¿idciles de abordar. A la vez, se ha incrementado la utilización de las

y

expresiones decimaies de los números sobre las formas fraccionarias, abriendo el campo de aprendizaje de los alumnos a pequeñas investigacioncs hasta ahora vedadar, aá*o las refe¡entes a encontrar regularidades en series numéricas. etc. ¿Pasará lo mismo con el álgebra? No es fácil, actualmente, responder a esta pregunta, si se tiene en cuenta que ya existen calcuiadoras con expresionei simbólicas, que aún son inasequibles para la mayoria, pero

posibiemente dejarán de serlo. ¿De qué moclo es de esperar que vava a cambiar con ello la enseñanza? Ya son bastantes los estudios de la didáctica de las matemáticas que se hacen esta pregunta y aventuran opiniones. algunos, incluso, realizan pequeñas investigaciones con e1 fin de ir anticipando el futuro. En esta breve alusión al tema Se va a hacer un pequeño repaso a las cuestiones que se espera continúen y a aquellas otras en ias que se prevé un cambio.

7.5.2, En relacién con las matemáticas Parece ciaro que si las nuevas tecnologías estan produciendo, y es de esperar que sigan haciéndolo, cambios importantes en el desar¡olio de la-q matemáticas. ocurrirá lo propio con ei álgebra escolar. En concreto, parece que se reducirán ias tareas aptas de mecanización y de rutina en favor de

aquellas otras que demanden una conceptualización y una planificación, porque, como afirma Fey (1981.), siempre quedará el trabajo de identificar los problemas y darles forma matemática, analizarlos, comprobar las soluciones e interpretar los resuitados dados por ia máquina. Leitzel (i988) asegura que cobrarán mayor importancia 1as técnicas de aproximación y estimación y en particular, se dará paso' cada vez en mayor medida, a métodos de cáiculo numérico. Ecuaciones del tipo 5"x : 10 se verán acompañadas por otras como: 500(1

+ 0,07s/12)' :

1.000

cuya solución con calculadora no exige excesivos tanteos, y puede ser encontrada por los alumnos con facilidad.

introducido las calculadoras y los ordenadores en la enseñanza. Los obstáculos fundamentales no serán resueltos por las computadoras (D. Tall 1987) y, aunque puede haber algunos obstáculos cognitivos que sí serán superados, aparecerán otros nuevos. Tal es ei caso de las represcntaciones grálicas, que el ordenador, debido a sus propias limitaciones, no da en iorma continua, provocando errores de interpretación de resultados. El reto está en encontrar las líneas de trabajo que permitan avanzar en el cocimiento que se tiene acerca de cómo pueden los estudiantes llegar a con:prcnder la estructura y los mérodos det álgebra, como señala Kióran (1e8e).

En un experimento en que utilizó ordenadores, Thomas (1988) probó que con ellos, se invierten las dillcuitades experimentadas por los estudiantes con las destrezas manipulativas y ias nociones conceptuales. Efectit,amerrn:. es frecuente iniciar el álgcbr:a abord¿indo tareas de destrezas por considerarse más diflciles que las cuestio¡les de concepto, en principio, más prolundas. En una experiencia, Thomas comparó dos grupos, uno, que había seguido un método de enseñanza tradicionai y otro, al que se había enseñado con ayuda del ordenador. En el grupo de enseñanza tradicional, el número de alumnos que superó la prueba de destrezas lué muy superior al de alumnos que superó la prueba conceptual. Sin embargo. en el grupo que había utiiizado el crdenado¡. el resultado fue el inverso, el número de alumnos que salió airoso en la prueba de conceptos superó al de ios alumnos que hizo correctamcnte la prueba de destrezas en casi la misma proporción. En generai, parece que el hecho de programar ordenadores ofrece mejores posibilidades de formar representaciones mentales significativas de conceptos, como es el caso del concepto de variable . Algunos aulores (Clement, Lochhead y Soloway 1980) han encontrado que programar el ordenador para producir soluciones mejora la comprensión de las relaciones entre variables para un tipo específico de probiemas. La cuestión de la introducción de las nuevas tecnologías en el aula puede, pues, abrir nuevas perspectivas a la enseñanza del álgebra, aún sólo intuidas, en un futuro no lejano. Las pocas aportaciones aquí recogidas son suflcientes como para pensar que la cuestión está totalmente abierta, y constituye uno de ios carnpos didácticos de investigación actuales y una de las vías posibles de solución a los problemas de iniciación al álgebra que han sido analizados.

7.5.3. En relación con el aprendizaje Las dificultades y ios problemas de aprendizaje del áigebra vistos hasta alrora no parece que vayan a cambiar sustancialmente por ei hecho de haber l4f'l

149

8. Juegos

y pasatiempos algebraicos

Bastante se ha dicho sobre Ia ualidez del juego como actiuidad fundamental de adaptación a Ia realidad del mundo, sobre la profunda seriedad del juego, que no es inútil ni dispersa manifestación de energía. Jugando, el niño ejercita sus facultades, se hace consciente de que «sabe hacer», incorpora los aspeclos del mundo exferno que nás le interesan

Bnuxo Cr¡,nr.

1967

8.1. INTRODUCCION El papel del profesor de Matemáticas es, sin duda, un papel dificil. Es sabido, en efecto, que, al llegar a cierta etapa de1 aprendizaje, un gran número de alumnos tienen ya sentimientos contrarios a las Matemáticas. Por eso, una de las ocupaciones fundamentales del profesor tiene que ser el intentar cambiar estas actitudes y hacerias positivas, y para ello, debe utilizar todos los medios a su alcance. Está comprobado que, cuanto más positiva es

la actitud de los alumnos en clase, más eficaz será el aprendizaje. Una tarea importante del profesor será, por io tanto, motivar al alumno, utilizando todos los recursos posibles. Cualquier material, estructurado o no, puede ser válido como medio didáctico para aprender conceptos matemáticos y. dentro de los materiales, losjuegos aparecen en primer lugar en cuánto a su enorme atractivo para los niños y adolescentes. Puig Adam escribía ya, hace más de treinta años, en el capitulo dedicado a «La matemática en el juguete», de su libro La matemática )) su enseñanza 151

actual (196A): «Si la vida corriente suministra tantos modelos y situaciones aptas para la enseñanza matemática, es natural que busquemos, asimismo, modelos matemáticos en los juguetes, que tan esencial papel desempeñan en la vida del niño, promoviendo su más espontánea actividad.» Se ha comprobado, en efecto, que un material presentado en forma de juego aprovecha un impuiso hacía la diversión de los niños, una tendencia naturai muy temprana a lormar grupos y a jugar, consiguiendo con él un aprendizaje más eficaz.

De ent¡e todos los tipos de juegos, solamente uno cenlrará nuestra atención: aquél que para poder jugar exija utilizar conocimientos matemáticos. De hecho, los juegos que veremos aquí, son juegos que sirven, fundamentalmente, para aclarar conceptos o mejorar destrezas de álgebra que, de otra forma, los alumnos encontrarían aburridas y repetitivas. Se ha procurado que estos juegos didácticos ¡eúnan ias siguiente condiciones:

-

se¡ sencillos, adecuados al nivel de los alumnos.

tener una llnalidad especifica. ser atractivos y motivadores.

que incorporen, siempre que se pueda. estructuras de juegos ya conocidos: dominós. bingo... --. Que haya juegos individuales que faciliten la interiorización de conceptos v juc_uos colcctivos. ser asequibles, económicamente. dedicando especial atención a los - juegos que el profesor y los alumnos sean capaces de construir.

Aryabhata para resoiverlo sigue el camino inverso dei enunciado (méto-

do de Inversión). Muchos juegos de adivinar números se pueden explicar, fácilmente, utilizando el álgebra y, sin embargo, parecen de gran complejidad. Esto explica su éxito repetido a través de sigios. E. Fourrey, en su libro Récréations Arithmétíques (1901), escribe: «En los siglos XVII y XVIII este tipo de recreaciones (se refiere a las de adivinar números) estaba muy de moda... Estas cuestiones provocaban una gran admiración hacía ios que las proponian o resolvían...» Hoy en día, cada vez más profesores de matemáticas reconocen el valor didáctico de estos juegos númericos. Se ha visto ya que Puig Adam proponía actividades del tipo «piensa un

número» a sus alumnos para iniciarlos al cálculo literal y al álgebra. Para justiñca¡ e1 uso de las letras en iugar de números se daban varios ejcmplos de este tipo en ei capítulo de simholización. Se trataba, al jugar muchas veces, de: «hacer sentir como cosa viva la necesidad de su empleo (se refiere a 1as letras) al condensar en lórrnulas literales todas las soluciones de problemas análogos....» (Puig Adam 1960). A continuación. se proponen otros posibles casos de «piensa un número...». El prolesor puede, sin dificultad, inventarse otros muchos 1,. en todos los casos. 1o importante es el proceso de simbolización, que permite expiicar de forma senciila el «truco» para adivinar el número inicial. Ejemplo

l: 1. Piensa un número. 2.

Tr{ultiplícalo por 2.

l. Añade 5 al resultado. 4. Multiplica lo que has obtenido

Se presentan, agrupados en apartados. algunos juegos algebraicos para utilizar en las clases de matemáticas. Se trata sólo de posibles ejemplos que

por

5.

pretenden anima¡ a los profesores a diseñar otros similares.

5. Añade 10 al resultado. 6. Multiplica el resultado por 10. 7. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número

8.2. JUEGOS DE ADIVINAR NUMEROS

inicial.

Las primeras apiicaciones del álgebra fueron para resolver pasatiempos con números. Así el primer problema de naturaleza algebraica que figura en ei papiro de Rhind (1550 a.C.) dice: «Un montón y su séptima parte hacen un total de 19. El montón se calcula...» Los problemas de Diofanto (275 d.C.) eran, frecuentemente, de este tipo, por ejemplo, el primero del Libro I: «Dividir un número en dos partes que tengan una diferencia dada». Aryabhata, matemárico hindú (S. VI d.C.), expone ei siguiente problema: «Si 4 es añadido a un número, el resultado se divide por 2 y lo que da se multiplica por 5 y, finalmente, restamos 6 resultando 29 ¿puedes encontrar el númcro?». r52

Ejemplo 2:

1. 2. 3. 4. 5.

Piensa un número. Súmale 2.

1. 2. 3. 4. 5.

Piensa un número. Elévalo al cuadrado. Resta tu nümero al resultado.

Eleva el resultado al cuadrado. tu número inicial. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, inicial.

Ejemplo 3:

Restále cuatro veces

Divide ahora por tu número inicial menos ¿Cuánto te da? ¿Por qué?

tu

número

1.

153

En todos estos ejemplos, pasado el primer momento de sorpresa, donde el alumno realiza las ordenes y al dar el resultado al profesor, éste le «adivina» su número inicial, se puede establecer una discusión colectiva para encontrar el «truco» utilizado. Para eso, los alumnos van simbolizando, paso a paso, los enunciados, hasta llegar a la expresión hnal. Con el «método de deshacer», visto en ei capítulo de ecuaciones, se puede .o§tener el número inicial fácilmente. Ei paso primero de representar el número inicial por una letra. generalmente r, es sencillo para alumnos de i314 años, pero, reviste mayor dificultad a edades más tempranas. En los libros clásicos de divertimentos matemáticos se pueden, también, encontrar adivinanzas de este tipo (L. Segarra, 1985):

EgE

-

y pregunta: «¿QUIEN TIENE ia solución de 3x

nuevo sentido.

8.3.

Juegos del tipo «¿QUIEN TIENE... YO TENGO...?»

Se agrupan en este apartado un tipo de juegos donde se presenta una cadena de preguntas o instrucciones y las respuestas a estas preeuntas. Se trata de una actividad colectiva que sólo necesita un conjunto de tarjetas. Hay una por cada participante. Las tarjetas deben llevar por un lado una posible pregunta y por el otro una respuesta, frase o número, debiéndose cerrar el juego, es decir. debiendo la pregunta de cada tarjeta, tener una respuesta y sólo una en e[ reverso de otra tarjeta.

11.»

Todos los

[IH

«Cómo adivinar los años de una persona y el número que calza.» «Cómo adivinar el peso de una persona.» «Cómo adivinar el número de nronedas que llevas en el bolsillo.» en las que el número inicial que se piensa es, respectivamente, los años de la persona, el número que calza, el peso, etc., con lo cuál, el adivinarlo cobra un

* 4:

alumnos realizan la operación mentalmcnte y contesta el alumno que posee la tarjeta con la solución:

- 1.» Dando la vuelta a su tarjeta, pregunta, a su vez: «¿,QUIEN TIENE una ecuación equivalente a 2x * 3 : 5?», y asi sucesivamente, hasta que se cierre la cadena. Para conseguir la participación de todos los alumnos, es necesario que haya una tarjeta por alumno )r que su dificultad no deje fuera a parte dc «YO TENGO

ellos.

Cuando se corta la cadena de preguntas y respuestas, por estar algún alumno despistado, se vuclve a leer la pregunta y, si hace falta, con la a1'uda de todos. se reanuda el juego. Una forma de ayudar a que ei juego se desarrolle con rapidez, es que se vat'an apuntando, en \a pizarra, las preguntas y las respuestas correspondientes.

[I E [I ll Em TARJETAS

JUEGO

N.'I

Este juego puede servir para ayudar a reconocer ecuaciones equivalentes punto de vista de ecuaciones con la misma solución, y para resolver, mentalmente, ecuaciones sencillas de primer grado. desde el

Desarrollo del juego tarjeta por alumno. Empieza cualquier alumno leyendo la pregunta del anverso de su tarjeta. por ejemplo, empieza el alumno con la Se reparte una

tarjeta: l_§4

Rererso

Anverso

f-*-** I I

I l,'.,:,1

f-"----ilJ"a I

equivalente

I

Reverso

Anverso

equi"alenre

a

I

1,,-,=-,1

ll

155

.TARJEI-AS

TARJETAS

EgEHII EEEg[I Anrerso

Reverso

Anlerso

lleverso

EEHII H[IEII MEEg[] HIIMII MIIM[]

Anrerso

Rcverso

Anrcrso

Revcrso

HIIEE M[IE[I

Eg[TM[]

[E[A Eg[I

M[]HII EiltrIEE EEtrIM[I ENEM[I 156

t5'7

=-

TARJETAS

JUEGO N.'2

@Erd[r Anverso

Estejuego se puede utilizar con alumnos de 13-15 años. después de haber tenido contacto con ios conceptos de factorización de polinomios, N{áximo Común Divisor y Mínimo Común Multiplo, etc... Recoge casos muy sencillos pero importantes, de cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, factores comunes simpies etc...y contribuye a recordarlos.

También, en este caso,

es

mejor que

se vaya

escribiendo en la pizarra, por

un lado, las preguntas, y por el otro, las correspondientes respuestas. El simple hecho de tener escrito la pregunta en la pizarra facilita el cálculo mental de los alumnos y la obtención de las respuestas correctas. TARJETAS Anverso

Reverso

Anverso

Reverso

Reverso

Anverso

Rererso

EEEdEHE

ffi[IME

EGEEGE

EEIEII @EEIE EEIüME MEME EEE@E EEEdE

@EEEEE

It8

159

TAR.IETAS

JUEGO N.'3

I

Anverso

Este ejemplo es un ejercicio de simple cálculo melrtal. Es, sin duda. de los tres ejemplos que se proponen, el que preñeren los alumnos por ser. según ellos, más con alumnos de 13-15 años. A lo largo del juego, los alumnos se han dando cuenta de la necesidad de encontrar una estrategia para jugar y han ido pasando del uso indiscriminado de sus tarjetas a un estudio de para qué tipo de n se podia utilizar cada larjeta, reservándose para el final las tarjetas fácilmente aprovechables, como:

¿Quién tiene el cuadrado de 3 más que 16

este núnrero?

39

¿Quién tiene el doble de la tcrcera parlc de este número?

76

Coge este número, réstale 1, réstale el cuadrado de 3. v toma la raiz cuarta

r';l r;l

-

múltiplos de

-

sólo para n pequeños,

utiljza este numero como exponenle

,

de

3

;,Quién tiene ia mitad de la cuarta potencia de este número, menos 3l

8.4. JUEGOS CON

gastando cuánto antes las de uso más restringido:

ó.

3:

TABLEROS

Esta serie de juegos intenta aprovechar los recursos que ofrecen los juegos con tableros, fichas y dados para re[orzat diversos contenidos del

sóio para ,?

-

:

5, etc.

irlgebra.

JUEGO N.o 4: «DEMOS VALORES A y'f»l Las l0 tarjetas con expresiones algebraicas que se presentan aqui han sirkr idcadas para practicar la sustitución de variables en un nivel inicial, I lh2

Iucgo discñado por Amparo Casanova

Material:

-

Un tablero numerado del I al 100 por cada pareja de alumnos. Un dado con diez caras o dos de seis 10 fichas de distinto color para cada jugador. Una colección de 10 tarjetas con expresiones algcbraicas por jugador. 163

i I I I

I ,

TABLERO

Desa¡rollo del juego: Juego para dos o tres jugadores que juegan por turno.

. Saie quien mavor puntuación obtiene en la primera tirada. . Cada jugador coloca, frente a si. las diez tarjetas destapadas. . Se tira el dado; el número obtenido va a ser la r de la expresión

.

de las tarjetas. Se sustituye la ¡i en una de las tarjetas, realizando las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que; resultado ha de estar incluido en el tablero; - el una misma casilla puede ser ocupada por un máximo de dos fichas. Realizada la operación, se coloca ia hcha en la casilla correspondiente y se retira, dándole la vuelta, la tarjeta utilizada, que no se podrá

2

3

4

5

6

7

8

9

10

l1

t2

t3

t4

I5

16

t7

r8

t9

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

3t

32

33

34

35

36

37

38

39

40

+1

4L+

,< 9J

46

47

48

49

50

volver a utiiizar.

. Si el jugador contrario observa que la operación ha sido incorrecta,

se

41

anula la tirada y pasa el turno.

. Gana quicn consiga colocar todas sus flchas,

habiendo utilizado todas

sus tarjetas.

Puede ocurrir que llegue un momento en el que no sea posible colocar más fichas; entonces gana el que menos tarjetas tiene en su poder:

CONTENIDO DE LAS T.A.RJETAS 2n : 0,5

.l tl--*n

tl . :tl

2

+ -n 3

164

I

3

-I ¡¡

1

-n+)n I

5

0.5

1. * ;n )

n'

n3

3n

'n' -tl {

*n + ') 1

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

t4

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

9l

92

93

94

95

96

9'7

98

99

100

n

r65

__.-{r-_

JUEGO N.o 5: «L0 TUYO Y LO MIO» El problema de la falta de comprensión, por parte de los alumnos, de los enunciados verbales, es una de las primeras causas de los errores que se cometen en la resolución de problemas algebraicos. En este sentido, el juego de «LO TUYO Y LO MIO» contribuye a dar significado concreto a lrases del tipo de las que aparecen en las 20 tarjetas dei juego. : Las tarjetas que se presentan van, desde enunciados muy sencillos:

hasta otros, más complicados y de diflcil comprenslon para muchos alumnos:

-

con ellos. El

lee la tarjeta y razona, dirigiéndose al alumno que ha tirado los dados: Si ¿O TUYO ha sido 7, LO 1lÍlO será cuafro oeces LO TUYO, es decir, 28

coiocando, seguidamente, su ficha en la casilla 28 del tabiero. A continuación, tira los dados a su vez, sacando una tarjeta el siguiente y prosiguiéndose el juego de la misma forma. Después de haber jugado varias veces con las 20 tarjetas del ejemplo, es interesante plantear, en una puesta en común, la simbolización de las expresiones que aparecen en las tarjetas.

1

l\Iaterial:

Un tablero numerado del

?

¡Vaya!, lo tu¡,o es sólo la cuarta parte de Io mio!

-

Tengo lo mismo

No me quites 8, que enlonces te quedas con mas que yo.

Por ejemplo, un alumno tira ios dos dados y obtiene siguiente saca, entonces, una tarjeta del montón que dice:

TABLERO

1 al 49.

Dos dados con 6 caras. 10 hchas de distinto color para cada jugador.

I

1

3

4

J

6

1

8

9

r0

ll

t2

l3

l4

15

t6

t7

18

l9

20

21

))

23

24

25

26

27

28

29

30

3l

32

33

34

1§

36

37

38

39

40

4l

42

43

44

45

46

47

48

49

Una colección de 20 tarjetas con enunciados verbales.

Desarrollo del juego: Juego para tres o cuatro jugadores, que juegan por turno.

. Sale quien menor puntuación obtiene en la prirnera tirada. . El prime¡ jugador tira los dados y el siguiente saca una de las 20 tarjetas que permanecen dadas la vuelta en la mesa. obtenido con los dados por el otro, «LO TUYO», el jugador que ha sacado la tarjeta calcula el número que corresponde a «LO MIO», utilizando la frase de la tarjeta, colocándose entonces ese rcsultado en el table¡o y devolviendo la tarjeta al montón. . Si cl número obtenido no está en el tablero. el jugador pierde su turno. . Si Ia casilla ya está ocupada,el jugador pierde su turno. . Si cl jugador contrario observa que la operación ha sido incorrecta, se anula la tirada y pasa el turno. . C¡na. quicn consiga colocar todas sus fichas.

. Con el número

t6ó

t67

Desarrollo del juego:

CONTENIDO DE LAS TARJETAS

Tengo

. Cada jugador coloca sus 3 fichas sobre una de las casillas de salida. . Todos las ñchas empiezan a girar en el sentido de las flechas. . Sale quien mayor puntuación obtiene en la primera tirada. . El primer jugador tira el dado y se mueve con cualquiera de sus fichas,

¡Vaya!, si tienes 4 veces menos que yo.

lo mismo.

Lo mismo es el doble Io tuvo.

de

Entre los dos tenemos

47

Lo mio

es 6 veces lo

tuyo.

Lo mio es el triple de lo tuyo.

La dilerencia ent¡e lo tuyo y lo mio es 2.3. pero vo tengo más. Si te diera 15. tendríamos

io mismo. Si te consigues 6 más, tendrás el doble que yo.

Si te diera 25, tendriamos

.

lo mismo-

Tengo el doble de lo tuyo. más 15.

Te gano por 27.

La diferencia entre Io tuyo y lo mio es 45, pero yo te gano.

Trenes la mitad que yo

Tengo 2 rnenos que 4 veces Io tuyo.

No me quites 8, que entonces te quedas con I más que vo.

Vamosabuscar2más

cada uno. así tendré justo el doble que tú.

según la puntuación obtenida. Cada vez que un jugador cae en una de las casillas negras debe coger una de ias tarjetas y caicular el resultado, y obtenido sustituyendo x por la puntuación del dado. . Este número permite alcanzar o no con alguna de sus fichas. alguna ficha contraria y comérsela. Si no se puede comer ninguna ficha, se intenta otra vez, sacando otra tarjeta. . Si ai cabo de las dos jugadas, el jugador no consigue comerse ninguna ficha contraria, pasa el turno, permaneciendo en su sitio. Si se consigue comer alguna firha contraria. ocupa el lugar de ia ficha que se ha comido y pasa el turno. o Sí se obtiene un número negativo, el recorrido se hace en sentido

Tengo el triple de Io tuyo, más 20.

¡Vaya!, lo tuyo es sólo la cuarta parte de lo mío.

¡No me comparesl 3

lo tu¡"o sólo lJega mrt¡d de lo mio.

a

contrario.

veces

la.

CONTENIDO DE LAS TARJETAS

){.r' + i.r + ;r-*1 JUEGO N.o 6: «¡A COMER SI PI-IEDES!»

.y=4(x+6)

Material:

-

¡--2 -t

Tres fichas por jugador de colores dilerentes. 15 tarjetas con expresiones algebraicas.

trata de

un número determinado de jugadas, por ejemplo, 30. El juego necesita de una colección de tarjetas. En el modelo que cas.

Después de jugar con ias tarjetas, se puede hace¡ una puesta en común, preguntando cómo han caiculado las diferentes tarjetas y viendo otras posi-

168

x-'l

5x*S

4y:

16(x

-

2)

-I

J-\- + -_,=_----

-ix

-rr*1

x2-4x+4

-}_*-'--'^x-l -)'

: -3x + 4 +'lx

se

presenta, estas tarjetas permiten trabajar el cálculo de expresiones algebrai-

bles lórmulas de cálculo.

-

I)

8(x2-2)-+l)

)-

.1

x*2 x2-6-x+9 x-3

-

I-l

3_r:6(3x+1)

Un tablero circular. Un dado de 6 caras.

un juego para 4 jugadores. La finalidad del juego es comerse las fichas contrarias, ganando ei que consigue eliminar más llchas al cabo de Se

41-x:

.l )

Y:6(x-4) x2+6.t+9 .r+J

,v-----':--

]':x+10 _l -

x2-9 x+J

---=

169

----..'..-F

JUEGO N.'7:'«TABLERO DE HEX ALGEBRAICO»' N{aterial:

-

I al 6. Una baraja de 36 cartas con 30 ecuaciones (5 ecuaciones con solución 1, cinco con solución 2,...,3,4, 5, cinco con solución 6, y seis comodiUn tablero de HEX nunrerado del

nes).

-

Tres fichas por jugador.

Un tablero de HEX es. simplemente, un tablero formado con 36 hexágonos regulares, numerados, salvo las 4 esquinas, con números del 1 al 6. La baraja de 36 cartas simula los resultados que se obtendrían con un dado de 6 caras, pues el contener igual número (5) de ecuaciones, en general de segundo grado, con soluciones 1.2,3,4,5 y 6, hace que, como en el dado, estos resultados sean equiprobables. Para que no haya dudas, las ecuaciones de las cartas, además de una solución (1,2,3, 4, 5 ó 6), tienen soluciones que «no interesan» para el juego, del tipo (312, -2, -1, 0, ...). Los seis comodines se han añadido para aumentar la agilidad de las jugadas. De las 30 ecuaciones que aparecen sólo hay 4 que quizás son un poco más complicadas, pues es necesa¡io recurrir a la suma y al producto de las raices para «adivinar» las soluciones. Normalmente, antes de utiiizar la baraja se habrán resuelto en clase casos parecidos a:

x2--4x-5=0

-3x+2:0

Las restantes 26 ecuaciones vienen ya factorizadas, como:

(2-r-3)(x-5) =0 o son fácilmente factorizables como: -x2 - 5"t :

0.

El juego puede ayudar a resolver ecuaciones de segundo grado sencillas, permitiendo profundizar sobre la factorización de polinomios y el signilicado de las raíces de una ecuación. Desarrollo del juego Juego para dos o tres jugadores. . El orden de salida se hace por turno en cada partida. . El primer jugador saca una carta. Si coge una carta con una ecuación con solución 1 o un comodin, puede ponerse en Ia primera casilla. En caso contrario, pasa su turno. . Para a\anzar una ficha a una casilia numerada, el jugador debe sacar una ecuación que tenga este número como solución, avanzando, sucesi-

I' t71

170 I

-----

vamente, de una casilla 1 a una casilla 2, de ahí a una con

al

-3

hasta llegar

6.

. Cada jugador puede tener sus tres lichas en el tablero ai mismo tiempo. . Sólo puede haber una ficha por casilla numerada. . Si un jugador saca una de las seis tarjetas comodines, avanza cualquiera de sus fichas.

. Gana el jugador

que consigue primero

ir de 1 a 6 con

sus tres fichas.

iEs importante devolver la tarjeta a la baraja después de cada jugada!

CARTAS DE I,A BARAJ,A

(2.x+3X¡-5):0 ¡2-36:0 x2-5.4-r:o ¡2-16:0 (:r-4)(x'?+1)=0 xt+,r-6:0 --,

1.. - n

¡'-4.r:0 (2r-12¡(,r'?+1)=0 (.t+l)(x*6):0

1'12

¡r-5¡=0

()r-5)2:0

(¡-6)'z:o x'*5.x-6:o (¡-3I¡2+3):0

2¡2- l0-r:0

.r2*3x=o

-r:+¡-2:o

l¡*3)2:0 12+16-8x=0 -xl+9:0

-(,¡-1):=0

2(r-l)(¡+2):0 (.r+lXx-2)=0

J

(3,r-6)(:2+1) :g

..¡2 + I =

F

-+l-l.I:U

-¡2+4:0

0

l¡)

(lr+3)(r-a)=0 x2+9-6x:0

173

Peores fueron los resultados cuando se pidió que, sin resolvcrla, decidieran si la ecuación 3x + 2: 5x - 1 es equivalente a 5 : 2x * 2:la mayoría de ios alumnos dejó ia respuesta en blanco. un resultado análogo se encontró al proponerles estudiar si x : I era soiución de ia ecuación 3x - 5 :7x - 9 sin necesidad de resolverla. De nuevo. la mayoria no conlestó. En ambas cuestiones era patente que los alumnos no entendían lo que se les pedía. De todos los profesores es conocido que 1o que más preocupa a los alumnos, cuando se enfrentan a ias ecuaciOnes, eS aprender ias técnicas de resolución. Sin embargo, la i