Hypernormal Forms for Equilibria of Vector Fields. Codimension One Linear Degeneracies

 
  
 
         


      

      
   
   
   
    ! "!# $   %! &"  ' #( &" "(") *+  !#  (!
%!## ! ) ! ! !  !# ! # (##' ! '! ! #(&!#  ! ##  
 !# ( ( $ "& ! +( # $  ! #(#! !! $  % #) ½ ,)!
 (! ! (!!   +(  *# ! #!  #  *!#
 !# # $ "& ! (#"+(  $ # ! # ) # ! +(  '! !# (!! %%# +  *!#
- !. ! +( # #) ! !+  !# !# '#"  !  !# #
# / (# $ $ ! ! !$ ##  "#   ")#0 #""" " 1( #)!# #) ! !" (%#+ (#!"
+  '! /(# $ #" ""! #(&!# !!  ' '!" #) ½ *%


 
  
     
          
        
    

      

     
   

 
   
 
  

  
    
 
  
   
 

   


   

            


    
      

     
    
 

     
    
      
    
    
  


  
   !!" # $
"  %" '+ ! "!#  2+ 34 3556


$  $%! #& &#"&#$' '# ! "# ­

!%

!&


   
   
 


  $    

   '  
       $ ( )    
   
    *
      
     + 

 
 , 
 -  

 

     

 

$ 

 


     
   
  !." # $  /
 "







  $ 
("
 0     
    
  


   
           . 1 
       !%" $  " $  /
" 
   .  

          # $ 2  "3

  "" $ 2 / 
"3
  /
"" / 2 / 
"3


 /
"" !&"






$  " $  /






  "

4   
  5
   6 2 3
 


!" 

  " $
  "

  $ . %    !

 
 " $

 "  
 "  
 "


 

    








   
    





 
+


+ 
 
 
"

17

    

!7


 
" $  "   "          

  8 

     

  
$ 8 
 

     

$

 /

  


 8 


 
 



 







 !7"



$

4
       !9" 
$

 

$


   $ . %    
        . :       ;<

  
   

  =
 2#3

$%%& '  


      (" $ (  (" $       
    $  "  
 ! ." 
! &"      
   .
 
  
      
   4 >
   2(3  
      

  

              

  
    

        

   
     


  ?

   
  
      
       

    !7"
   
        
              @ 
 '       

   
 

 
       
      
 
   

      
  
    

    
    
     
  
   : 
  A  
        

 
   B 

    
  


   

 
  
 

       
    
      
   
 

  

!9


   
   
 


    
 
    
  ?          

  

 


    B    
   
  

 
             

  C  
    A     D 


     E  -    ; 
A D
  
     
  6  5  5F @      

 ,   -     

       
   6     

   
  6 2)3 - 
  -  2)3
 


  E 2#3                4  2*3 )
 2+3 5   2, ', -3
 
  -          
           



 4
    
 
    
 

    E  

  
       
     
     
   
      
 -   
 
     
 A 
 
 !%" 
     
  1
 
 
 - 

          
              

   
   )
 2+3 
  
       
   :



 
   
      
     
  @ 2*3"  
             A       

     A  4  

           )    A 
 ;   ' 2 3
   
        
  ;           ) 
     
    
   
        
      6       '  %  &      ;  6 ?     2, '3 :   
    
   
    -     -   
   !!"    

!G

17

    

  " 


 
   

 
    
(" $  (" $ (     
 
    $   " 
 
     
  !G"

   " $    "" 

  (" $ 


  
 H 
         
      
 
    
     
  6 2)3 !I"

  " $
 " /




"  "

  J


 
" $ 2
  3 $ 
    

 -   
    
" $  Æ    Æ 
"
     !K"

  " $ 2  "   "3 $    ""    (" $
 "



  ?  
     
     )
 2+3 6      !I"        $ !


        
       $ 

    
            !     A
  



 (" $ (
 

    

 
 $ 

" 
  $ 
 
      
  4
         
      - &.  D
?  
 2-3 4
                       
   
  ?    4 '  .  

                    
  

         *
    
    
  

     
 

                   4
 .%  
  ?
  
               


!I


   
   
 

      '  .
 

        


   
  
  

        
   

    
    
     

  
C  .&     
     
 
   
    
  


     
 H   4 '  %  ?     
       
      2*3  
,   

 


   
   
  
     
          ?  
    
      *   '  &   
    
, 
     
    
          

      
  ? Æ  
    ? 
 

 '        
     


 

 

  Æ 



' .!%&/0 1& $%. D       
    
         


  !."           
 !."   
 
        0   *   .  
 

.!"


 +   $












" $  
"

  



 $ .   


   
   
 
   


  !."        -  $             .    
  
 
    
 , 
      

17

    


  
 

.."





" " $  /






 


!K

  " 


  + 
  .     !      E 
+ 
   .%" 
 " $    " 
+   " $ ( .     !     


  
 "
   
 Æ 


          D
  
  
    
 

L 






.&" 
L " $  

 " 4 L   .&"  
 
L
"   
 
     4 
   
    
 


     
 Æ 

 : 
  
L
" 
     

 
   .       L
" 
  

         L "" $     "   *   
          
 6  ?    2'3
    


      

  
 
 ? 
  
  
      
  

  
         D   


 
   
 6 6   4
             
    

    +    
                 
       D



   !."
   
  

    ! )  !I"    
      
    
  
""
  " $ 
$
/  J .7" $
/ 2
  3 / .J! 22
  3  3 / %J! 222
  3  3  3 /   

.(


   
   
 

4      

        

2
  3 $ (


 

     +

  !

%&&/

'

 

.9" .G"



     
 
    
      
  

2
  3 $ (   
   $ 




  " $ 




.I"


  ""
$

/ 2
  3
/
  ""
$

/ 2
  3


  

 2
  3
""   / !"J

 

 (

 (

   ! >  .9"    - &9  
  @ 2*3    . 4  

   .G"  .I" 



    
    4 )
 2+3  
  @ 2*3
    
  ?         A      !K" >  .I"

 

   
?    
   
                 
      .7"

>  .9"       .7"  
     
 2  3 

   .G"  .I"   


     
  " +





 


! 22
  3  3 / ! 222
  3  3  3 /   

.J %J $

/ 2
  3
/ .J! 22
  3
  3 / %J! 222
  3
  3  3 /   


  ""
$

/ 2
  3
/

.!

17

    

4   .K"


  ""
$

/




""
J

$

/ 2
  3
/



 2
  3
""  / !"J

4
  


       


 
   :


    $ (
     
?     
   ( 
       4
 
 A   
  ""
  
  .I" E  .I"       
       


    $  / 
 
 .!("





 + 
2


$ 














  3 $ (









 
 
   

  
 

2
  / 
3 $ (  
 
 
    


   !    E  
$ 8 
 
    .!!"  $    
  
$    
   8 
  
   
     .!."
  ""
$   /    / 

/   /    / 

 

 Æ 

           
 6
 Æ 

   $ !  
     


%&&/ ''


 






  "



 


    



 ) 
  $  / 
 
  
     .G" 


 
  ""
$

/ 2
  3
/ 2
 
3  2
  3
" /  2
 
3"" .!%" /   / !"J 

..


   
   
 


  $   " $   " $ 
    
   4




 
      
  8 
 
 2
 
3 $  

" 8 
 )   $       
" $ 2
  3 $ (    
 )  0 <      2
 
3" $ 22
 
3  3 $ 22
  3
3  22 
3 
3 $ 22
  3
3 8 
D    
  2


 
3"

) 
     .!&"
  ""
$   " /    / 
 "
/  


 "

8 
   .

/    / 
 "


 + 

   + 
 

!    
 !    
D
               
 
  
  "    8 

   

     

   4
            $ 

  "" 



.!7"


$ 
 " $   "

/    / 
 "



 
  


+ 
  
 " $    +   " $ ( !    


) 

   
    

 

L 




.!9"


L " $   
 "


4 L 
  .!9"  L " 
  
   

17

    

.%

: 
   " !    
      
 
 
     
?    
   


         !    
  .I" 4    Æ    
 

 
 

    1  
  
     
  

        L
   .!9"  


    
  

  *
   

          
        4        
   A 
   
             
 
        
  
      


  
     .   
 !."
     
       ! E
  
 
$ (

 .!G" 
$ L 
   

+ 

2
 L 3 $ (    %


           
   




 4   
     
+ 
 
 
L " $ 2
 L 3



 

.!I"



$   
+
 

L 




 
L " /  8 


     
     
     .!K"

 
$




.&


   
   
 


 
     

  

     ..("


$ 8 





 
 !."    
    


 4
 
 

  



 
    !."    
    +

$%%& '-

       

   

 
   
  ! ." 
! &" 

 $








!      ! 




   
    $  / 
 
  
   
      
 




* - .!  
 

2
  3" $ (     
  $
  !      !  ..!"




$

/ 2
  3
$

/ 2



 $ 




$ ( 

 
3 / 2


  3



 

     ..."





$

/


/

 




8 







 
  ..(" D





 

 


 
 " /


$
L
 
 L
L
8 
 ) 


/

8
    

 L





" $

/

 4 
      
$

 
    !
   !"  
  
    



  
  ?
  
    

17

    

.7

   .
 !. 
   Æ
    
   
(" $  (" $ (  
$   $ 
 


     

          

   



  
  
 
 


 .% 
  
  Æ
    
   
(" $  (" $ (  


$ 



       

   



  
 

  
 .%    
       
         
   
          4 
  
  


  :


               


       
   A         
  
 *
      
 , 
   
   
   !",          
   
  
        "  

 

2
  3 $ ( 4

    


   !      4 
     
        $ 
$  /    / 
/    
  $
 !      ! 4    

   " $  

 
       $     
" $ 


 " *     



  
  
   .!!"
  
  

       
+    
 D 
 .%       
      '  $  $
 !      ! 1 

 ,   
  
   

  + ..%" 
$ 
 " $   " /    / 
 "

 
  
$   + 

2
  3 $ ( 


   L + 
    ..&" L  " $    +   " $ ( !    
   
 

L 




L ..7" L
L " $   
 "


.9


   
   
 


         
   L      
 
 
 D

        
  
    
"           
 
 ?   

  6   ; 6 ?

   
     
     
  
     


  

 
     
   4 
    
  ?   
   
  

  
 
  
  
          


   
          

    '  
    
    
  
   
      Æ 

  

   
 

  


  

  
  
  4        

 
 
 H     


         

 
   

!" '  !
    ..9"

# $


 " $ 



" /  "





  
    



 
          
  
     



..G"

" / 2
 "   "3 $ (     . .9" 

  
..I" # $  " 



 





  
   # $  " $ ..K" #




 "

(







17

    

.G

 

4   
           
      " $    
    "   ..G"  .%("

$

 ! "

 $ 
 ! "


 
  
 ! " $    ! " 
 ! ""  ! " $ !     ! (" $  
 ! (" $ !


   $ 
 ! "$ ! /   ""  ! "$    ! " ! / ""   ! (" $  
       ..K" 
 
    .%(" #  
   
  #  ! " $ 2#  ! "   ! "3  #  ! (" $  ! "

;

     ..G"

     ! "  

 
   
 
 #  ! " $  ! "
 
  
     
    ..K"  

         .%!"

   ! ""

  ! " ! / " $
 ! "

    !    

 
              4  
    $   ( "  


  ..9"   .%."

# $    ( ""

  ( " " $   "

- /0%2% "30/. 4
   
     


      
  +
     
 %! 

     

.I


   
   
 

     2*3 4
 %.       
 A 
   ?  
 
  

    
        

   %!"

# $
"




   

 
       


(" $
 (" $    $

 (" $ ( 
 (" $ (      $  $ % 
     

 
  %."

# $ &  / &



/    / &



/     "


& $ (     %%"

#$

  




" /  $ / !"



 " $ &     

$%%& -   % ." 

# $ &  / &



%&"

 & 



%7"

& $ ( 

  


$ 







& "

*     



# $ &  / &







/  "


 & $  & "   " $     " 
  


   %."    $  *
    
    " $ '

  . 


      '   

2
  3 $ (   - .!  

    
 $ 
 
 $
     /   .  %9"


$


/ 2
  3

$

&



/   "& '"







.K

17

    


  
    $    
  ' 




$ ( 4   

 
 

 $ .    


    

 
   $ %       $ $   / !    $     
,  


     


%G"

" $ &  / &L







/     "

*        " $ '    .7"     %I"




" $ & 
  / &L





/     " $  & "  / &



/     "


  '    

     C  .&  
 
   "
   %7" : 
 
   

 
        " $ ( 
$      
 " $ &  / &



/  "    

   ..G"
   
   %K"

  / 
/ "

   !"  &

&








&










    "

 

 "

/





"





 " 



" $ (





   " $    "   
 %K"  

 

   2*  !GG3 '   $  .       

(     

 

       "      

 
      (  
  



  ( " $ (

  
     E  

 243
  +

$%%& -'    % ." 




%!("

 $ 

& " 

& $ ( 
 " 

%(


   
   
 



 *     
 %!    %."   %&" :     ?
   ")" $ !" "" 
 " $ !  &

"  & "" 
 
 "   " 4
    
  

%!!"

 $  $  " $  

& "  / *&




/      "




*   
     
  
 %!    
  %!."



" $ 

& " 

 !1 "30/. 4
       
 

 
 
      
 -       


   



  
 6  

 

   
  
  
 Æ 


   
 &%" D      &.  ? 
   
   
                    ?

 
    
     
    


   
   
  
   
    
   
 6    -       #$ # $ #

&!"

  "   "


  #
  "    

 
     
 
       
    ( (" $ # ( (" $ (" 
   4          &."

+$

/ 

+M $  


   &!"  &%"

+# $ + +M" +M# $ + +M"

%!

17

    


 + +M" $ + / +M""." +  +M""."" / # + / +M""." +  +M"".""
  B "    

   
     
 4

  

 + +M" $ + /  + +M
"   
        "    &&"


  $
$


+ +M" + +M"



+






  M"/  (  +





++



(

+M + 



 




 

"
  
      


   + +M
 -         
    +

   

%&&/      





&7"

  

 



  

 

  

    $  / M /M M    $
 
   

 







4 
  










  
 
M
   
  
M  








   
         -  

  
     
    '   
&9"

+# $ + +M"

   &%"
    

  
  ,  
    
  &G"


 $





 +  +M + 

 



%.


   
   
 



    + &I"

 $ +  +M   $ +  +M + , / - $ 

* 
 -      2
  3 $
  /
  
 
M

&K"

 
   

 2
  3 



    

  
   &!("


+ .
 



 " $ 2 + 3

4    



&!!"


 " $ ,  !  - " 


 " $ - / !  ," 

  , -  , / - $  *
   
    + ,  !  - $ ( , / - $     8

  
    
 D  #
$    + ,  !  - $ ( , / - $        8
 
 : 
 #
$ @



 
       >
   2(3  #
 $ ( #
 $ &+ ++M" / /+ ++M" + & /  6     
     &9" &!."

+# $

 



  + +M" $

( !"# /



&
   /
  "
 


 
   &!%" & / "
 $ &  / /  $ &+ + +M" / /+ + +M"

#
 

 & /  4    


         $   0  $   0+ &!&"

# $



&
  
  

0# $ ! /



/
  


%%

17

    

:           


            
 Æ 


  +










   

+ #
     + #





 





& / "


$ &

& / "#


$ /

4
     ?    
 -  


     

   


   

%&&/ ' #   
   1   " 28
 #
 3  8

 " 2#
  #
 3  #

  " $
#
   #


 2
  3" $ (





  

  "    
 8

 
$ 2

3 
 
     




2


"

#


$ @
 





$ (

 


 )  0 <

 
3 $ 2
 2
 
 33  2
 2
  
33 $ 2
 2
  
33 8




  
    
    + 2 & / "
  &!7"

  "


3 $ 2&   / /      /   3 $ .   1"&    / ./  .1&"   

*
    "       $ (   "

$

 .!%&/0 1& %
253/ -       4    



   &9"


        .$ / ! '
   

%&


   
   
 



  +# $
+ +M" $

&!9"

   

$ ( !" /





 

/  .$ / %"

&
   /
  "


/  .$ / %"


      
  
  
 


  ? 
     .$ / !  
 ,  
   &!9" 
  
   &!""

$%%& - #   
  
 
 & !9" 
    

& 9"     2 &!G"



$  

+

 $   

!  $  +


 

2

!  $


 






  $ (



 

" $ &
 $ (





 

" $ /




   &  /     
  
Æ 
  
 
 & !9" 


  


&!I"


 $

( !" /

 

&
   /
  "


    

 
 +

" $ 2 %    " &
 $ ( 
 $ !  $   $  . " &
 $  &
 " " /
 $ ( 
 $ !  $ 

" $ 2 $    " &
 $ ( 
 $ !  $   $  . " &
 $  &
 "

/  .$ / %"

%7

17

    

" /
 $ ( 
 $ !  $   $ 

" $ 2     " &
 $ ( 
 $ !    ! " /
 $ ( 
 $ !  2  ! " &

 $ (
/

 $ (


   $ !    2 " &
 $  &
 " " &
 $ (   $ .  2 / !  $   $ . " /
 $ (   $  / !  $ 

  " 


%

   
     
 
         

 








&!K"

*    
   2   4
 
   


$
/

 /    /

  /  .$ / %"


 &
 $


 " $ ( D   "  - &.    

       &!9" 
   &.("



$

  "


#
 

1  !

        .$ / !
 
 "
 #
    $ !  $  D  #
 $ @
  
 2
  3 $ (
  2
  3 $ 2

 /      3   

 2
  3 $ ( ) 


  $ (  .9"  .I"     &.!"




 " $ 







$


/ 2
  3"



$


 / 2



  3

; &!7"  




 


&.."


 




 " $ &


 " $ /



/ .   1"&




/ ./
  .1&




%9


   
   
 

'  1 $  

  
       
 


   . / .1 / ! 
  4
   1 $     







 " $ ( 4   
   &.("  
      . / .1      
 
 Æ 

  . / .1 / !
  
     1 $  * 1 $     
 



 " 4
  



 
     &!9"        &!I" 
  Æ 

 
   

 

 


      *   
 &
 $  &
 " 
       $  (" #  4
   .G"
      .7"




 $
/

&.%"

$
/



     



." J




 



 

/ .

$ / %"

/  .$ / %"

         

 " $  :   
   2  
   &!9" &.&" 





"

$
/

 /    /

 /    /

  /  .$ / %"




 

&.7"

&



 





 

" $ &
 $ (   $ 2    !





" $ &
 $ (





" $ /
 $ (

*   
            *        &.9"



$

 ("


#


%G

17

    

) 
    
  
      

   $ (  2      

     
         .2 / .1 / !
  


 " $ 


 1 
 

 
    .2 / .1 / ! +


 $


 / 2

   3B   


 &
 $ (     &.G"













&.I"









" $ &





" $ /

 / .2/





 


     
 .2 / .1 / !   






" $ &


$ (     D   "  - &.    



"" $ (   $ !   / 1 D    




"" $ (    % ! * .7"  






 " $ &




  $ !   / 1

)  &!7"    
 

 
    . /.1 / !+ &.K"




 





 " $ &



/ .   1"&




D &
 $ (

/
 $ (  
   1 $  



 


 " $ ( 


 " $ (       4

   1 $ 
   

  +  

 




 " $ ( 4
    
        &.9" 
1 $ !    
  &
  /
  :   
 
     1 $ .    &
 $ (  /
 $ (
 
    
  
      

   1   1 $ $   

 1 $  
    
  /

  4
           &%("  $ (  "
 #




4
  



 " $ (   $ !  1/! D   "  - &.    



"" $ (   $ !   / 1

%I


   
   
 



D  




" $ (   $ !   )  &!7" 
& $  $ (  




2
  3" $ (   $ !   / 1 4  


2
  3 $ ( )  .9"    



             . / .1  !  



 " $ 



 
  
 . / .1 / !"      &!7" 
 $ (    


 " $ &

  1   $ !  $ / ! 



 " $ ( )   "  - &.  



2
  3" $ (   



"" $ (     ! '  .7"  



 " $ &


  $ !  $ / ! 
 

   &!7" 
 $ (    



&%!"




 




 " $ /

  .1&
 

 

    





 " $ ( 4 
  

   A
  &


 
  /



   / 1
 
    
  1  
  /

    

 1 $ ! .    


    " 

 *    

 
 



    *
 Æ  

 

   
            
   

 
   + " >

  
  

   
  

  A
     #
    "  - &. "
  (  "  

  A #
   &!7" 
 $ ( 1 $ ( "
   ("
  

     ?  &.."  &.K"   

     
   
            
 Æ 


  
   
  D   
 
   

17

    

%K



 
  
          
 " :


 


  
      
        
    


 
    
 


 
       
," *
 &%      
    
    
      
  


  
 Æ  &
 

00/.   #   
    & !9"     $  + &
 $ (  & !9" 

  


 

&%." ( !" / &
  &


$ !

 /
 "


/








( /

"


/ &  (" /  .$ / %"

' .!%&/0 1& %
2%67/0%%
   
    
     4
 

  
  ? 
  
 Æ  &
 
   &!9" $%%& ) #   
    & !9"     $    + &
 $ (  & !9" 
 "  
&%%" ( !" / &
  /
 "
 / &  (" /  .$ / %"  &
 $ !  & $ (
/
 $ (


    " 

  

 
 

  
 
  
 &%     &!9"
   
      

   + "   
   
 "  " 
 &% '  &!9"   

  +# $
+ +M" $ ( !" / &
  /
 "
 &%&" / &  (" /  .$ / %"

&(


   
   
 


 &
 $ !  /
 $ (   "  /
 $ (   " 1  
     + +M" $ ! /  ++M"   

&%7" ( !" / &
  /
 / "
 / & / 
  /
 " / &  (" /  .$ / %" D &
 $ (  /
 $ (   $ !    !  
 &%   
  &   /  1
       &%9" ( !" / &
  /
 /"
 / & /&
  (" / .$ /%" 
     

  
 & $ (  /
 $ ( " 4   " 
 &%
       &%G" ( !" / /






 
 




  

( /
 "
 /

&
  /
 "


&
   ("


&  ("

/




&

  $ (  /

  $ (  $ ! 4     
    &%I" ( !" / ( /
 "


&


/







 

&
   ("


/



/  .$ / %"

$ !    2 

&  ("

/  .$ / %"

   $    + .  / !"2  .$ / .    
     &%K" + +M" $ !  /
 ++M" / /

 ++M"
    / !" /
 ++M"  '     &&("

( !" /

  

&L
   ("


/  .$ / %"

&!

17

    


       " 
 &% D 
          "     
      !

/


$ (


       2*3    
  
 

   . 4
    $ /
       
       &!9" 
  
 
 $ ( !" /  .$ / %"   $ 

- &% !/0/ /"%" 4
     


        

,  
 "                4
   

  
        
   

       

Æ 

 " -  



 Æ 


   &!9" 


   &!"   & $ ( C  ..  
  @ 2+3   
   "
 " 
      
, &&!" # $ &  / &    0# $ ! / / 
 


& $ & 

&  $ & 

/ $ /

"   A
      
    &&." # $ &   0# $ !/ / 
 # $ &  / &    0# $ ! 


& $ & 

&  $ &  & / 

/ $ / 

&

&

4
     
   

     
          


&.


   
   
 

" -  



 Æ 


   &!9" 

  &!"   & $ ( & $ (
 " D
      
, &&%" # $ &   / &    0# $ ! / / 
/ /    
 &  $ & 

&  $ & 

&
 &

/ $ / 

/  $ / 

/ & &

" D
      
  &&&" # $ &    0# $ ! / /    
 &
 / & &  & & &  $ &  /  $ / /  &


" -  



 Æ 


   &!9" 

  &!"   & $ & $ ( & $ (
 " D
      
, &&7" # $ &  / &    0# $ ! / / 
/ /   / /   
 &  .& & & & $ &  & $ &  /  &


/& / $ /  /  $ /    .&
// & & / & &  / &   



/ $ /  &


" D
      
  &&9" # $ &   0# $ ! / /   
 & $ &  / &
& / &
&   .& & &  / & &
/ / &
& / &  / $ /   



&

&%

17

    

" -  



 Æ 


   &!9" 

  &!"   & $ & $ & $ ( & $ (
 " D
      
, &&G" # $ &   / &    0# $ ! / / 
/ /   / /  / /    
 &  $ & 

& $ &

/ .& &




/ $ / 

/  $ /



&  &

/ %& &


& 

&   &
&




/  $ / 

/ & %&  !./ & & / K/ & &   I/ &
 / $ /  !I&
/ & & &   &


" / / &
& / / & 

&
&  .& & &



/ & "

" D
      
  &&I" # $ &    0# $ ! / /   


 &  $ & 

/  $ /  &  &   ./ &
& &   &  / &
&
/ %& &
&  / / &  &

/ / &  &  &
&
 / / & &     / / & &  .& & & ""&

890%3&%"
      
  ,NO  > N       0   DNO 8>*>8>:>'

)' 
 " 

 
     
 
 
  ((! 3558


&&


   
   
 



)' 
 " 
 
         
 (!"  ('!  !!
2
 
# 3556


#. "   $    
    
  
   

   #

+#!
 93588: 8;4 8