Hablando de números

Querida Luisa: En el último número de FDC, en ese artículo, duelo de titanes entre D y L, donde de forma un tanto surrealista confrontáis y convergéis poniendo sobre el tapete lo que otros integrantes menos valientes de la comunidad educativa no nos atrevemos a decir en voz alta, afirmas con rotundidad: "...los números pueden ser muy exactos, pero no cabe todo en ellos." Hace mucho tiempo que los pitagóricos afirmaban exactamente lo contrario: "Todo es número" Para ellos, los números eran los componentes intrínsecos de toda la realidad. Eran mucho más que el lenguaje de la naturaleza. Eran la causa y el efecto al mismo tiempo, la razón y el sentido de la existencia. Los pitagóricos entendían el mundo sólo atendiendo a unos cuantos tipos de números: aquellos que se podían expresar como una cantidad de partes de un todo, es decir como una fracción o como una cantidad entera. Los pitagóricos creían que todo era cognoscible si se podía medir, contar con este tipo de números. Y por supuesto no creían que existíesen más números que éstos. Pero algo no encajaba. Hoy en día cualquier alumno de secundaria ha oído hablar del teorema de Pitágoras. E incluso muchos sabrán utilizarlo de forma correcta en el cálculo de los lados de triángulos rectángulos. Pues bien, a los pitagóricos no pareció gustarles el resultado obtenido al aplicarlo al cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado 1:

Todos nuestros alumnos dirán que eso es

2 y sacarán sus calculadoras para

darnos rápidamente un resultado en forma decimal. Pero los pitagóricos no lo sabían. Lo único que sabían era que ese resultado no podían expresarlo como una fracción. Era imposible. Y eso les originaba una gran desazón. Estos números que

aparecían a poco que mirasen a su alrededor, desestabilizaron su mundo perfecto cuantificable en enteros o por partes ¿Qué era esto? Nuestros mágicos y sagrados números no lo contienen todo. Pero qué importa eso. Los números que no se pueden expresar como una fracción, son los números irracionales, llamados así porque en un principio no fueron comprendidos por la razón. Y a los números de los pitagóricos, por oposición, se les llama racionales. Los números irracionales en realidad no tienen nada de raro. Es una cuestión de prejuicios. Y sin embargo todavía conservan un halo, un no sé qué mágico que los hace misteriosos Si intentamos calcular sus decimales, es imposible predecir cuál será el siguiente, porque no siguen ningún patrón periódico, al contrario de lo que les pasa a las fracciones. Además, sus cifras decimales nunca se acaban. ¡Estos números tienen infinitas cifras decimales impredecibles! Por eso los valores que me dan los alumnos con la calculadora no identifican correctamente al número. Estos números aparecen por todos lados, en la distribución de las hojas de una alcachofa, en la longitud que recorre una rueda, en el Partenón griego... Los números racionales (naturales, negativos y fracciones) y los irracionales forman el conjunto de los números reales, aquellos que, se supone, pueden contener toda la realidad. Ay, pero la mente humana es intrincada y no deja de pensar. Los números, llegados a este punto, ya no son algo asociado a una medida o una cuantificación. Por si solos son entidades que tienen sentido, sin necesidad de hacer referencia a nada. Y una vez así, ya elevados a los altares, nada nos impide jugar, hacer operaciones con ellos, sin la atadura de la materia. Por este camino es como un buen día, a una mente privilegiada se le ocurrió hacer la raíz cuadrada de un número negativo, darle nombre y dotarla de la propiedad de "ser número". Leonhard1 Euler, grandísimo matemático suizo del siglo XVIII, tuvo la genial idea de llamar i a la raíz cuadrada de -1. De esta manera definió la unidad de lo que él llamó, medio en broma, medio en serio, números imaginarios, para dar a entender que estos números no tienen existencia real.

1

Sí, sí, por eso el personaje de la serie Big Bang se llama Leonhard.

Poco después, el príncipe de las Matemáticas, Carl Friedich Gauss, utilizó estos números combinados con los reales como soluciones de ecuaciones. Esta combinación de números reales e imaginarios da como resultado un nuevo conjunto, los números complejos. Estos números son diferentes a los reales. Así como todos los números reales (y los imaginarios también) se pueden representar como puntos de una recta de forma ordenada, los números complejos no presentan un orden, no podemos decir si uno es mayor que otro. Los números complejos se pueden representar como puntos de un plano.

Y además, el comportamiento cíclico de la unidad imaginaria

i,

tan

diferente de nuestro 1 real, hace que podamos utilizarlos para generar dibujos2 como estos:

2

A estos dibujos se les llama fractales.

Cada punto de este dibujo, representa un número complejo. Se han pintado de diferentes colores, según este número complejo determine la convergencia de una familia de series complejas. En realidad esto es imposible hacerlo sin un ordenador, porque se necesitan millones de puntos y millones de cálculos para saber qué color asociarle. Pero con los complejos no sólo se pintan cuadros muy bonitos, su única utilidad no queda reducida al ámbito de la estética, vano y trivial aunque se le llame arte. Los números complejos son la base del desarrollo de la electrónica y las comunicaciones al proporcionarnos la herramienta perfecta para la comprensión de los fenómenos ondulatorios. Además son los números que contienen los límites más extremos de la realidad, la mecánica cuántica, en lo más pequeño, y la cosmología, en lo más grande.

Pensarás, amiga mía, que esto ya es puro desvarío y que estos entes parecen de todo menos un número. Pero espera y escucha. Hacia 1877, Georg Cantor, matemático alemán, exclamaba, "Lo veo pero no lo creo". ¿Qué era aquello que le producía tanta perplejidad? Comencemos por el principio. Los números deberían servir para contar. La cantidad de objetos de un conjunto se puede contar. Es lo que se llama cardinal de un conjunto. Una mano tiene 5 dedos. El cardinal del conjunto “dedos de una mano” es 5. Pero ¿qué ocurre si el conjunto tiene infinitos objetos? Yo sé que mi otra mano tiene cinco dedos también porque si hago coincidir las yemas de los dedos de ambas manos no me sobra ningún dedo. A esto se le llama realizar una aplicación biyectiva de una mano en otra, de un conjunto en otro. Si tengo un conjunto infinito y puedo establecer una aplicación biyectiva con otro conjunto infinito diré que ambos tienen el mismo cardinal. ¿Y qué conjuntos infinitos conocemos y podemos comparar? Los conjuntos de números. Esto parece cosa de risa, porque el infinito es el infinito, y en principio todos han de ser igual de grandes, inconmensurablemente grandes. Pero Cantor demostró que no es así. Los conjuntos infinitos de números que pueden establecer una biyección con los números naturales son los conjuntos numerables. Los números pares, los números enteros y los racionales, son numerables. Pero los números reales, no. Al cardinal de los conjuntos numerables Cantor le llamó alef cero, ‫א‬03, y constituye el primer número transfinito. Cantor intuyó que el siguiente número transfinito debía ser el cardinal de los números reales,

‫א‬1, y formuló esta intuición en forma

de hipótesis. Es lo que se llama la hipótesis del continuo (continuo porque entre el cardinal de los naturales y el cardinal de los reales, no existe otro número transfinito intermedio) Cantor no pudo demostrarlo, pero es que en realidad no se puede demostrar. Tanto si se toma como cierta como si no, se pueden construir teorías de conjuntos consistentes. En realidad, lo que da vértigo de todo esto, es que la historia de los números llega hasta el infinito, ese concepto tan escurridizo e inaprensible, y lo atrapa convirtiéndolo en una realidad tangible.

3

Sí, sí, de aquí toma su nombre el cuento de Borges, y además habla justamente de esto.

Así que sí, creo que tal y como se está el patio, los números pueden contener muchas cosas. ¿Y a nuestros alumnos? ¿No son acaso un compendio de infinitas posibilidades? Quizás, por el grado de inexactitud que han ido desarrollando los diferentes tipos de números, podemos afirmar como hicieron los pitagóricos en su época, que todo es número. Quizás ya podamos decir, e incluso sería más acertado, "Y al principio fue el número". Un fuerte abrazo y un beso enorme. Elena