Geometria de Eje Arbitrario
Descripción
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Geometr´ıa de Eje Arbitrario ”Transformando la geometr´ıa cartesiana”
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante de Matem´ aticas
Universidad Nacional de Colombia Enero 2017
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Tabla de Contenido 1
Introducci´ on
2
Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE
3
La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal
4
Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE
5
Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE
6
´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Introducci´on
La geometr´ıa usual del plano cartesiano est´a basada en el tipo de ejes que se eligi´ o inicialmente. El eje X es en realidad una funci´on E(x) = 0 y el eje Y es una rotaci´ on de 90 grados del eje X. Sobre ´el se han definido un tipo de coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas y en ´el se han ´ graficado funciones y ecuaciones. Adem´as se ha podido plantear Areas bajo curva con la ayuda del planteo de m´ ultiples algoritmos. Sin embargo en ocasiones dichos algoritmos tienden a ser muy complejos en su resoluci´on por lo cual se inspira dicha presentaci´ on. Cambiar la funci´on E(x) por otro tipo de funci´ on que permita realizar todo lo anteriormente mencionado por las coordenadas cartesianas y facilitar los m´etodos es parte vital de este proyecto. Este trabajo es una peque˜ na muestra de la importancia de la geometr´ıa de Superficies.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Definiendo la superficie de Eje Arbitrario
1
Superficie de eje cartesiano usual. E (x) = 0
2
Superficie de eje sinusoidal. E (x) = sin (x)
3
Superficie de eje parab´ olico. E (x) = x2
4
Superficie de eje Arbitrario.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Eje cartesiano usual. E (x) = 0
Figure: Gr´ afica de coordenadas cartesianas como combinaci´ on lineal
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Eje Sinusoidal. E (x) = sin (x)
Figure: Gr´ afica de coordenadas sinusoidales como combinaci´ on lineal
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Eje Parab´ olico. E (x) = x2
Figure: Gr´ afica de coordenadas parab´ olicas como combinaci´ on lineal
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Superficie de Eje cartesiano usual. E (x) = 0
t Figure: Superficie definida como: S (t , s) = s 0
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Superficie de Eje Sinusoidal. E (x) = sin (x)
t Figure: Superficie definida como: S (t , s) = sin (t) + s sin (s)
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Superficie de Eje Parab´ olico. E (x) = x2
t Figure: Superficie definida como: S (t , s) = t2 + s s2
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Superficie de Eje Arbitrario. S (t , s)
Sea una funci´ on de eje E continua en R que pasa por el origen. Definimos el eje X y el eje Y como funciones vectoriales: Ex (t) = (t, E (t) , 0), Ey (s) = (0, s, E (s)) Con ello recreamos como combinaci´ on lineal la superficie de eje arbitrario: t S(t , s) = E(t) + s E(s)
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Transformaci´on No lineal de la superficie de Eje Arbitrario
Sea SE ⊆ R3 la superficie de eje arbitrario, donde E es la funci´on que describe el eje coordenado. Tenemos la Transformaci´ on NO lineal: S : R2 → SE que env´ıa un punto de R2 a un punto de la superficie SE , asi: x x S = E(x) + y y E(y)
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Ecuaci´on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Dada la superficie de eje arbitrario, tenemos las coordenadas as´ı: x=t y = E (t) + s z = E (s) Con ello igualando las ecuaciones: y = E (x) + s s = y − E (x) z = E (y − E (x)) Finalmente, la ecuaci´ on cartesiana de la Superficie de Eje Arbitrario sera: S (x, y) = E (y − E (x))
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Funci´ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Para poder graficar una funci´ on f , debemos utilizar las coordenadas de la superficie de eje arbitrario. Reemplazando s = f(t) en el eje Y. Asi: Ex (t) = (t, E (t) , 0), Ey (f (t)) = (0, f (t) , E (f (t))) Con ello generalizamos el concepto de funci´ on como funci´on vectorial de la superficie de eje arbitrario: t F(t ) = E(t) + f (t) E(f (t))
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Funci´ on de Eje cartesiano usual. E (x) = 0
t Figure: F (t) = f(t) 0
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Funci´ on de Eje Sinusoidal. E (x) = sin (x)
t Figure: F (t) = sin (t) + f (t) sin (f (t))
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Funci´ on de Eje Parab´ olico. E (x) = x2
t Figure: F (t) = t2 + f (t) (f (t))2
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos Dados dos puntos As = (x1 , E (x1 ) + y1 , E (y1 )), Bs = (x2 , E (x2 ) + y2 , E (y2 )). Debemos encontrar un segmento o trozo de la linea que pasa por esos dos puntos. Para ello es necesario definir el concepto de linea en las superficies de eje arbitrario.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Figure: Linea que pasa por dos puntos en el Eje sinusoidal.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
Figure: Linea que pasa por dos puntos en el Eje Parab´ olico..
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos. P rocedimiento
Dada la superficie de eje arbitrario.
t S(t , s) = E(t) + s E(s)
Sean los puntos As = (x1 , E (x1 ) + y1 , E (y1 )), Bs = (x2 , E (x2 ) + y2 , E (y2 )). Debemos encontrar un Plano Π ortogonal al plano xy o z = 0 que pase por los puntos As y Bs . Despu´es realizamos la intersecci´ on entre el plano Π y la superficie de eje arbitrario S (t, s). Finalmente, esto nos dar´a una curva Cl (t) que sera la linea de la Superficie de eje arbitrario.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El plano ortogonal que pasa por los dos puntos As y Bs .
Figure: Plano ortogonal Π y Linea Cl (t) que pasa por dos puntos en el Eje Sinusoidal.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El plano ortogonal que pasa por los dos puntos As y Bs .
La ecuaci´ on vectorial del plano ortogonal al plano XY que pasa por los puntos As y Bs es : Π (α, β) = As + αvs1 + βvs2 Donde vs1 y vs2 son los vectores directores del plano. El vector vs1 se formara por los puntos As y Bs y el otro vector director sera el can´onico vs2 = (0, 0, 1) . Con esto la ecuaci´ on del plano sera: x1 x2 − x 1 0 Π (α, β) = E(x1 )+y1 +α E(x2 )−E (x1 )+y2 − y1 +β 0 E(y1 ) E(y2 )−E (y1 ) 1
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) Ecuaci´ on cartesiana del plano ortogonal que pasa por los dos puntos As y Bs .
De la ecuaci´ on vectorial del plano ortogonal al plano Π (α, β) tenemos: x = x1 + (x2 − x1 )α + 0β y = E (x1 )+y1 + (E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 )α + 0β z = E (y1 )+ (E (y2 )−E (y1 ))α + 1β Despejando.. x − x1 = (x2 − x1 )α + 0β y − E (x1 )−y1 = (E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 )α + 0β z − E (y1 )= (E (y2 )−E (y1 ))α + 1β
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) Ecuaci´ on cartesiana del plano ortogonal que pasa por los dos puntos As y Bs .
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las inc´ognitas α y β. Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los t´erminos independientes tiene que ser igual a cero. (x − x1 ) (x2 − x1 ) 0 (y − E (x1 )−y1 ) (E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 ) 0 = 0 (z − E (y1 ))) (E (y2 )−E (y1 )) 1
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) Ecuaci´ on cartesiana del plano ortogonal que pasa por los dos puntos As y Bs .
Al desarrollar el determinante, obtenemos la ecuaci´ on cartesiana del plano Π (x − x1 )(E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 )− (y − E (x1 )−y1 )(x2 − x1 ) = 0
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El concepto de linea en la superficie de Eje arbitrario
Ahora procedemos a realizar la intersecci´ on entre el plano Π y la superficie S (t, s ) . Sea la superficie y el plano Π respectivamente: t 1 S(t , s) = E(t) + s E(s) 2
(x − x1 )(E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 )− (y − E (x1 )−y1 )(x2 − x1 ) = 0 De la ecuaci´ on del plano, debemos despejar y en t´erminos de x. y=
E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 (x − x1 ) + E (x1 ) + y1 x2 − x1
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El concepto de linea en la superficie de Eje arbitrario
Reemplazamos y en S (t, s). E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 z=E (x − x1 ) + E(x1 ) + y1 − E(x) x2 − x1 Siendo as´ı colocamos x = t como par´ametro, con ello dejamos todas las variables en t´erminos de t. Finalmente encontramos la ecuaci´on de la linea en la superficie de eje arbitrario. Cl (t)=
z
x=t E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 y= (t − x1 ) + E (x1 ) + y1 x2 − x1 E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 (t − x1 ) + E(x1 ) + y1 − E(t) =E x2 − x1
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El concepto de segmento en la superficie de Eje arbitrario
Para poder definir la distancia entre dos puntos es necesario comprender el concepto de segmento de la superficie de eje arbitrario como un trozo de linea y as´ı observar que es el camino m´as corto entre dos puntos de la superficie.
Figure: Segmento de linea As Bs en el Eje cartesiano usual.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) El concepto de segmento en la superficie de Eje arbitrario
Figure: Segmento de linea As Bs en el Eje Sinusoidal.
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(P rocedimiento ) Formula general de la distancia entre dos puntos en la superficie de Eje arbitrario
Sean los puntos As = (x1 , E (x1 ) + y1 , E (y1 )), Bs = (x2 , E (x2 ) + y2 , E (y2 )), y la linea de la superficie de Eje arbitrario: Cl (t)=
z
x=t E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 y= (t − x1 ) + E (x1 ) + y1 x2 − x1 E (x2 )−E (x1 )+y2 − y1 =E (t − x1 ) + E(x1 ) + y1 − E(t) x2 − x1
Definimos la distancia entre dos puntos como la longitud de arco de la curva Cl (t) en el intervalo [x1 , x2 ] , Dada por la formula: d (As , Bs ) =
R
x2
p (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt
x1
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos. Ejemplos
Para E (x ) = 0 que define el Eje cartesiano usual. Sean los puntos As = (x1 , y1 , 0 ), Bs = (x2 , y2 , 0 ) y la linea de la superficie de Eje arbitrario: x(t) = t y2 − y1 (t − x1 ) + y1 Cl (t)= y(t) = x2 − x1 z(t) = 0 Utilizando la formula de distancia de Eje arbitrario:
R
x2 p d (As , Bs ) = (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt = x 1 s 2 q x2 y2 − y1 2 2 (1)2 + + (0)2 dt = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) x − x 2 1 x1
R
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(Ejemplos ) Para E (x ) = 0 que define el Eje cartesiano usual.
Distancia entre dos puntos para el Eje cartesiano usual.
q Figure: d As , Bs = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos. Ejemplos
Para E (x ) = kx que define el Eje de una funci´ on lineal. Sean los puntos As = (x1 , kx1 + y1 , ky1 ), Bs = (x2 , kx2 + y2 , ky2 ) y la linea de la superficie de Eje arbitrario: x(t) = t kx2 − kx1 + y2 − y1 y(t) = (t − x1 ) + kx1 + y1 Cl (t)= x2 − x1 kx2 − kx1 + y2 − y1 (t − x1 ) + kx1 + y1 − kt z(t) = k x2 − x1
Utilizando la formula de distancia de Eje arbitrario: d (As , Bs ) =
R
R
x2
p (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt =
x1 x2
s
(1)2 +
kx2 − kx1 + y2 − y1 x2 − x1
2
+ k2
kx2 − kx1 + y2 − y1 −k x2 − x1
2
dt = qx1 (x2 − x1 )2 + (kx2 − kx1 + y2 − y1 )2 + k2 (kx2 − kx1 + y2 − y1 − k (x2 − x1 ))2
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Introducci´ on Definiendo La superficie de Eje Arbitrario. SE La superficie de Eje Arbitrario. SE Transformaci´ on No lineal Ecuaci´ on cartesiana de la superficie de Eje Arbitrario. SE Funci´ ones en la superficie de Eje Arbitrario. SE ´ Definiendo la distancia y el Area en la superficie de Eje Arbitrario. SE
La distancia entre dos puntos.(Ejemplos ) Para E (x ) = kx que define el Eje de una funci´ on lineal.
Distancia entre dos puntos para el Eje de una funci´ on lineal.
Figure: q d As , Bs = (x2 − x1 )2 + (kx2 − kx1 + y2 − y1 )2 + k2 (kx2 − kx1 + y2 − y1 − k (x2 − x1 ))2
Jhon Edison Bravo Buitrago. Estudiante Geometr´ıa de de Eje Matem´ Arbitrario aticas
Lihat lebih banyak...
Comentarios
