FUNCIONES

Objetivos - Conocer las propiedades y principales usos de los modelos funcionales, a través de situaciones abstractas, agropecuarias y forestales que éstos permiten representar. - Distinguir entre los conceptos de relación, función y la inversa de una función como inicio del estudio de fenómenos en los cuales está presente la relación causa-efecto. - Describir las principales características de los tipos de funciones, el tipo de variación, crecimiento, decrecimiento, periodicidad, puntos de corte con los ejes, dominio, contradominio, la razón de cambio y continuidad. - Trazar graficas de ecuaciones y funciones de primer grado, cuadráticas y de grado mayor que dos, como ejemplos de relaciones con aplicación en el campo agrícola, pecuario y forestal.

Competencias Al finalizar la unidad el discente estará en capacidad de: - Valorar la importancia del concepto de función, la interpretación correcta de su gráfica y su clasificación. - Analizar una situación problemática en términos de dependencia entre cantidades variables, destacando la información pertinente para elaborar un modelo matemático de dicha situación.

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2.1. El plano cartesiano Se le llama así al plano formado por dos rectas numéricas reales, una dispuesta en forma vertical y la otra horizontalmente, formando así un eje vertical y, y un eje horizontal x. Dichas rectas se intersecan en sus correspondientes ceros formando un plano de cuatro cuadrantes numerados del primero al cuarto, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Todo punto P sobre el plano está definido por una coordenada o par ordenado

y 4

II (-2,5/2)

I

3 (3,2) 2 1

(-4,0)

x y

-4

(0,0) -3

-2

-1

1

2

3

4

x5

-1 -2 (-3,-2)

(4,-2)

de la forma (a, b) . El primer número a es -3 (0,-3) llamado abscisa de P, y b ordenada de P, del III -4 IV par ordenado (a,b). Al punto cuyo par Fig.1 -5 ordenado corresponde al (0,0) se le llama origen. A todo punto sobre el eje x del plano se le llama abscisa al origen (a,0) y a todo punto sobre el eje y se le llama ordenada al origen (0,b). Observe la figura 1.

2.2. Relaciones Una relación es la correspondencia de los elementos de un conjunto de números llamado dominio (D) con los elementos de otro conjunto de números llamado contradominio (C) o imagen; de manera que a cada elemento del dominio de corresponden uno o más elementos del contradominio. Los siguientes subconjuntos de parejas ordenadas constituyen ejemplos de relaciones: A   4,14  ,  2, 2  ,  0, 2  , 1, 1 ,  3, 7  ,  4,14  B  1,3 , 1, 3 ,  9,1 ,  9, 1 , 10, 0  ,  6, 4  ,  6, 4  E   4, 13 ,  2, 7  ,  0, 1 , 1, 2  ,  3,8 

F   5, 5  ,  3, 3 ,  0, 0  ,  8,8  ,  6, 6  , 10,10  G   4, 3 ,  4, 2  ,  4, 1 ,  4, 0  ,  4,1 ,  4, 4  H   0,3 ,  0, 3 ,  2.4, 1.8  ,  3, 0  ,  1.8, 2.4  ,  3, 0 

Representando las relaciones anteriores mediante diagramas de Venn y separando los valores del dominio (D) de aquellos que constituyen el contradominio (C) tenemos: 38

Subconjunto A -4 -2 0 1 14 2 -2 -1

D C

4 14

D C

1 3

C

D

D C

3 7

-5 -5

Subonjunto F -3 0 8 -3 0 8

D

C

Subconjunto B 1 9 9 10 -3 1 -1 0

10 10

D C

4 -3

Subonjunto G 4 4 4 -2 -1 0

D

D C

-6 -4

C

D

6 6

-6 4

4 1

D

4 4

D C

0 3

Subonjunto E -4 -2 0 1 -13 -7 -1 2

3 8

C

Conjunto H 0 2.4 3 -3 -1.8 0

-1.8 -3 2.4 0

C

Espacio geométrico de una relación El espacio geométrico de una relación constituye su gráfica. Para obtener la gráfica de una relación es necesario ubicar las parejas ordenadas de cada subconjunto en un plano de coordenadas cartesianas, colocando los valores del dominio en el eje x y los valores del contradominio en el eje y. Así, la gráfica se logra trazando una línea a medida que se unen uno tras otro todos los puntos sin alzar el impresor del plano. Trazar la gráfica de las relaciones definidas con los subconjuntos B y G:

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2.3 Funciones Una función es una relación a la que se le añade la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. De hecho, todas las funciones son relaciones pero no todas las relaciones son funciones. Una forma práctica para determinar si una relación es también una función es aplicando la prueba de la recta vertical. Si la recta vertical toca más de un punto de la gráfica de la relación al trazarla sobre ella, entonces no es una función. Trace las gráficas definidas por los subconjuntos F y H e indique qué relación es función.

El dominio de una función puede definirse como el máximo subconjunto de números reales para los cuales la función tiene sentido y depende de su estructura algebraica. Los elementos del dominio corresponden a valores del eje de abscisas, y los del contradominio, a los del eje de ordenadas de un plano cartesiano. Dado que una función es una relación de correspondencia entre cada elemento del dominio y uno y solo un elemento del contradominio, entonces, las funciones pueden ser inyectivas (unívocas: relación uno a uno sólo en un sentido) y biyectivas (biunívocas: relación de uno a uno en ambos sentidos). En otras palabras, una función es biyectiva, si para cada x en el dominio, existe exactamente una y en el contradominio, y, ninguna y en el contradominio es imagen de más de una x en el dominio. Para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función biyectiva se puede utilizar el criterio de la recta horizontal. Trace la gráfica de los subconjuntos A y E, ¿Cuál es biyectiva?

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Una función se denota con las letras minúsculas del alfabeto castellano: f, g, h, etc. Si x representa un elemento del dominio de una función f, y el valor de y está definido en función del valor de x, entonces el valor y del contradominio puede expresarse como f(x), lo cual se lee “efe de equis”. En otras palabras, la expresión f(x) representa el valor y del contradominio en la función f, para el valor x del dominio; o simplemente el valor de f en equis. Utilizando un programa específico para generar ecuaciones por mínimos cuadrados a partir de una serie de puntos, se puede demostrar que la estructura algebraica de los subconjuntos A, B, E, F, G y H son: Conjunto A : es la función no inyectiva " f ", donde y  x 2  2, por lo tanto f ( x)  x 2  2 Conjunto E : es la función inyectiva " g ", donde y  3 x  1, por lo tanto g ( x)  3 x  1 Conjunto F : es la función inyectiva " h ", donde y  x, por lo tanto h( x)  x Conjunto B : es una ecuación donde y 2  x  10  0, por lo tanto y 

10  x

Conjunto G : es una ecuación donde x  4, y  C Conjunto H : es una ecuación donde x 2  y 2  9, por lo tanto y 

9  x2

Con base a lo anterior, en toda función el valor y del contradominio depende del valor x del dominio. Por ello, a x o a cualquier variable que se utilice como sustituto de x se le llama variable independiente. Del mismo modo a y o a cualquier variable que se utilice como sustituto de y se le llama variable dependiente. Ahora, ¿Cómo calcular los valores del contradominio de una función, a partir de determinados valores del dominio? En la siguiente figura se esquematiza el proceso de cálculo del contradominio a partir de los valores: –1, 0, 1, 2 y –4 del dominio de la función g. g ( x) 

DOMINIO

3x 2  5 x  7 4 x3  1

-4,-1,0,1,2

Procesamiento operatorio

3x2  5x  7 4 x3  1

Entrada

g(x)

Variable independiente x Salida 

5 3 ,  5, 7, 1, 17 11

Función g g ( x) 

3x 2  5 x  7 4 x3  1

CONTRADOMINIO

g(x)=y

Variable dependiente y

5    4,   ,  1,  5 17  

 ,  0 , 7  , 1 , 1  ,  

2,

3   11 

Pares Ordenados

41

Calculando los valores: g (4) 

3(4) 2  5(4)  7 3(16)  20  7 48  20  7 5    3 256  1 4(64)  1 17 4(4)  1

5   4,   17  

g (1) 

3(1) 2  5(1)  7 3(1)  20  7 3  5  7 15     5 4  1 3 4(1)  1 4(1)3  1

 1, 5

g (0) 

3(0) 2  5(0)  7 0  0  7 7   7 1 1 4(0)3  1

 0, 7 

g (1) 

3(1) 2  5(1)  7 3  5  7 5   1 4 1 5 4(1)3  1

1,1

g (2) 

3(2) 2  5(2)  7 3(4)  10  7 12  10  7 9 3     3 4(8)  1 32  1 33 11 4(2)  1

 3  2,   11 

Dada la función f ( x)  2  3x  x 2 , calcule: f(2), f(3), f(3/2), f(2x), f(h+1), f(3h) Ejemplo. En la ecuación (relación): 0.015 t 2  1.2 t  p  0 , p es la población (larvas por cada 10 plantas) de Plutella xilostella en el cultivo de brócoli, a los t días después del trasplante hasta la cosecha (65 días). Indicar si la ecuación es función. De ser así exprésela como tal. Redefinir el dominio de la ecuación con base a la naturaleza de la aplicación. ¿Cuál es la población a los 20, 40 y 50 días después del trasplante? Con base en la prueba de la recta vertical, la ecuación si es una función pero no es biyectiva. En esta, la población de larvas depende del tiempo transcurrido. Despejada la ecuación para la variable dependiente p, y redefinido el dominio, la función es: p (t )  0.015 t 2  1.2 t

Para 0  t  65

Cuando t  20 días p  20   0.015  20   1.2  20  2

p  20   18 larvas /10 plantas Cuando t  40 días p  40   0.015  40   1.2  40  2

p  40   24 larvas /10 plantas Cuando t  50 días p  50   0.015  50   1.2  50  2

p  50   23 larvas /10 plantas

42

2.4 Tipos de funciones y variación Atendiendo a la estructura algebraica, las funciones pueden ser polinomiales (primer grado, cuadráticas o de grado mayor que dos), racionales, o trascendentes (exponenciales, logarítmicas o trigonométricas). Los criterios a tomar en cuenta para clasificar una función dentro de una u otra categoría, responden al estado operatorio en que aparece la variable independiente en la estructura algebraica. Si en la función, la variable independiente aparece fungiendo como base de una potencia, entonces, se llama polinomial. Si es parte del denominador de una fracción es racional. Y finalmente, la función es trascendente en los casos que la variable independiente funja como exponente (exponencial), esté sujeta al cálculo de un logaritmo (logarítmica), o cuando dicha variable haga las veces de una magnitud angular (trigonométrica). Las funciones pueden ser entonces, de primer grado, cuadráticas, de grado mayor que dos, racionales, exponenciales, logarítmicas o trigonométricas. El tipo de variación se determina considerando la magnitud y la tendencia del cambio observada en los valores funcionales de la variable dependiente respecto a los de la variable independiente correspondientes. Por ejemplo, las funciones f y g son de primer grado pero se diferencian en el tipo de variación. En la primera las variables se relacionan de manera directamente proporcional, mientras que en la segunda, las variables se relacionan de manera inversa y no existe proporcionalidad en el cambio de las magnitudes. Consecuentemente, es estrictamente la razón de cambio constante que se registra en la magnitud de las variables (la pendiente) lo que le confiere a las gráficas una forma rectilínea y no el cambio proporcional que es exclusivo para f. f ( x)  2 x

La función es de primer grado. El tipo de variación es directamente proporcional. Cuando la variable x aumenta, la variable y también lo hace en la misma proporción y a razón constante.

g ( x )  2 x  11

La función es de primer grado, pero las variables se relacionan de manera inversa. Cuando la magnitud de la variable x disminuye, la magnitud de la variable y aumenta a razón constante.

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Es necesario recalcar algunos aspectos sobre el tipo de variación directamente proporcional de la función anterior. En este tipo de variación, todo cambio en la magnitud de una de las variables, implica un cambio en la magnitud de la otra en la misma proporción, la función es creciente, además, la razón de cambio en las magnitudes de las variables es constante. En el caso de las variables que se relacionan de manera inversa, la relación es decreciente y se observa también que la razón de cambio en las magnitudes es constante, pero el cambio observado en una de las variables no es proporcional al registrado en la otra. Para el caso de las funciones f y g se tiene que: Parejas ordenadas : x

f ( x)

4 

8

5 

10

6 

12

Relación proporcional : x1 y 4 8  1   x2 y2 5 10

f ( x )  kx  k

Razón constante : y2  y1 10  8 2   2 x2  x1 54 1

y x

Parejas ordenadas x g ( x) 2  7 3  5 4  3

No existe relación de proporcionalidad : x1 y2 2 5   pero x2 y1 3 7

Razón constante : y2  y1 5  7 2    2 x2  x1 3  2 1

Las gráficas (parábolas) de las funciones h y p que se muestran a continuación son cuadráticas. En cuanto al tipo de variación, se dice que la variable dependiente varía de manera combinada con el cuadrado de la variable independiente. Se dice que el tipo de variación es combinado porque la tendencia del cambio en las magnitudes de las variables puede cambiar súbitamente de ser creciente a decreciente (máximo de y) o al contrario (mínimo de y), además, la razón de cambio en las magnitudes de las variables es permanentemente fluctuante.

h( x) 

2 2 x 7

p ( x )  0.18 x 2  1.08 x  1.41

44

Las gráficas de las funciones m y k que se muestran a continuación son cúbicas. En este caso, la variable dependiente varía de manera combinada con el cubo de la variable independiente. De manera general, en las funciones polinomiales la variable dependiente se relaciona de manera combinada con la enésima potencia de la variable independiente y la razón de cambio en las magnitudes de las variables (pendiente) es permanentemente fluctuante.

m ( x )  0.0084 x 3  0.0042 x 2  0.41x Función cúbica. La variable dependiente y, aumenta con el cubo de la variable independiente x. La función es creciente

k ( x )  x 3  4 x 2  11x  30 Función cúbica. La variable dependiente y, varía de manera combinada con el cubo de la variable independiente x.

La gráfica de la función f que se muestra a continuación es racional. En f, las variables se relacionan de manera inversamente proporcional. En este tipo de variación, al aumentar la magnitud de la variable independiente, la variable dependiente disminuye en la misma proporción. La razón de cambio en las magnitudes de las variables es permanentemente fluctuante. La función es decreciente, asintótica y discontinua. Parejas ordenadas : x f ( x)

f ( x) 

24 x

1  3 

24 8

4 

6

Existe relación de proporcional : x1 y2 1 8    x2 y1 3 24

k x  k  xy f ( x) 

45

Las gráficas de las funciones g y p que se muestran a continuación son racionales. En g y p, el tipo de variación es combinada porque la tendencia del cambio en las magnitudes de las variables puede cambiar de ser creciente a decreciente o al contrario. También es lateralmente asimétrico, por ejemplo, puede darse que existiendo un intervalo en que la variable independiente disminuye con límite, se observa contrariamente que la variable dependiente tiende a aumentar sin límite. Este tipo de variación se da por asíntotas verticales y horizontales asociadas a la función. Las funciones racionales son asintóticas, discontinuas, con variación combinada.

g ( x) 

x2  x  1 x

5x2  1 p( x)  2 4x  9 y  x 1 y  1.25

x0

x  1.5

x  1.5

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser crecientes o decrecientes. Se caracterizan por mostrar un comportamiento asintótico y cambios cada vez más pronunciados o imperceptibles en la magnitud de una de las variables a consecuencia de cambios constantes en la magnitud de la otra variable. El tipo de variación es exponencial o logarítmicamente creciente o decreciente según sea el caso. x2

a ( x )  3x  4 

3 4

y

3 4

En la función a, el tipo de variación es exponencialmente creciente. A medida que x aumenta, la variable y también aumenta de manera pronunciada.

r ( x )  5  ln  x  2 

En la función r, el tipo de variación es logarítmicamente decreciente. A medida que x aumenta a la derecha de la asíntota, la variable y disminuye lentamente. 46

Otro tipo de funciones son las trigonométricas. Estas constituyen una relación entre una variable independiente angular x y la variable dependiente y que corresponde al valor del sen x, cos x o tan x. En este tipo de funciones, la variable dependiente aumenta o disminuye de manera periódica respecto al aumento de la variable independiente. A continuación se muestran las gráficas de las funciones trigonométricas, s y t. La gráfica de t es asintótica y se observa que y aumenta periódicamente respecto al aumento de x, es decir, es creciente. s ( x )  sin x

t ( x )  tan x

Un tipo de función particularmente interesante es la seccionada. Esta se define por intervalos de la variable independiente con base a criterios relacionados con los cambios en el comportamiento de la variable dependiente. Una función seccionada puede estar integrada por varios segmentos, según el tipo de variación y los intervalos del dominio que se consideren. La siguiente figura es la gráfica de una función seccionada L, en la que se muestra el comportamiento de la producción de leche promedio por vaca, hasta las 46 semanas después del parto.  0.046t 2  0.48t  7  L  t    0.123t  9 0.8  1980 e 0.23t 

y  0.8

si

0  t  6.5

si 6.5  t  26 si 26  t  46

Con base en la gráfica:  ¿Cuáles son los intervalos de t en el que la función de lactancia es creciente o decreciente?  Cuál es el intervalo de t en que la producción de leche cambia a razón constante.  ¿Cuál es el intervalo de t en que la producción de leche decae pronunciadamente?  ¿En qué momento la producción de leche por día es máxima?  ¿Habrá un intervalo de t en que la producción de leche permanece constante?  ¿A cuántos kilogramos diarios tiende la producción de leche al final de 46ª semana.

47

2.5. Gráficas de ecuaciones de primer grado Graficar una ecuación consiste en representar en un plano de coordenadas cartesianas, un subconjunto de puntos (x,y), de su espacio geométrico. El número de puntos a tomar, depende de la naturaleza de la ecuación, pero deberán ser suficientes para tener idea del comportamiento geométrico de la misma. Para el caso de ecuaciones de primer grado, generalmente son suficientes dos puntos. Lo común es encontrar la abscisa al origen (x,0), la ordenada al origen (0,y) y cualquier otro punto para verificar los anteriores. En el caso de ecuaciones de primer grado que pasen exactamente por el origen (0,0), se calculan dos puntos cualesquiera en cuadrantes opuestos. La gráfica de una ecuación de primer grado corresponde a una línea recta. Una forma trivial de ecuación lineal es: 2 y  3 : Observe que:

y

3 2

x , el valor de y siempre es

3 2

Consecuentemente: D   x x  C   y y  1.5 La ecuación es una función, por ello: d  x  

3 2

Ejemplos. Graficar las ecuaciones: a) x2y=4, b) 6y5x=0. Indicar si la ecuación es o no una función. Si la ecuación es función denótela como tal. Resolviendo el inciso “a” x  2y  4 Si x  0, entonces : 0  2y  4 2 y  4 4  2 2  0, 2  y

x  2y  4 Si y  0, entonces : x  2(0)  4 x0  4 x4

 4, 0 

x  2y  4 Si x  2, entonces : 2  2y  4 2 y  4  2 2  1 2  2, 1 y

Resolución al inciso “b” 6 y  5x  0 Si x  0, entonces : 6 y  5(0)  0 6y  0  0 0 0 6  0, 0  y

Se elige un x  0 6 y  5x  0 Si x  3, entonces : 6 y  5(3)  0 6 y  15  0 5 15 y  6 2 5  3, 2 

Se elige un x  0 6 y  5x  0 Si x  6, entonces : 6 y  5(6)  0 6 y  30  0 30 5 y 6  6,5

48

h  x 

x4 2

 6,5

g  x   4, 0   2, 1

5x 6

 3,  5 2 

 0, 2 

Graficar las siguientes ecuaciones de primer grado y establecer si la ecuación es o no una función. Si la ecuación es función denótela como tal. a) 7y4x=14 b) 2y+3x=0 c) x+3=0 d) yx =0 2.6. Gráficas de ecuaciones cuadráticas Algunas ecuaciones cuadráticas son funciones. Las ecuaciones cuadráticas a tratar en esta sección corresponden a la forma y2=bx+c (relación) y forma y=ax2+bx+c (función). El comportamiento gráfico de ambas describe una parábola. En general, una técnica sencilla para determinar si la gráfica de una ecuación cuadrática corresponde a una función, consiste en trazar una recta vertical sobre la gráfica de la ecuación. Si existe al menos una recta vertical que interseque en más de un punto la gráfica de la ecuación, entonces la ecuación es una relación, no así una función. Aún cuando una ecuación no sea una función, puede redefinirse para que lo sea, restringiendo su contradominio. Para elaborar la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y=ax2+bx+c, se deben encontrar las ordenadas y abscisas al origen, el vértice que eventualmente puede coincidir con algunos de los anteriores, y al menos dos puntos adicionales, uno a la derecha y otro a la izquierda del vértice. Cuándo el vértice se localice sobre uno de los ejes, un punto adicional es suficiente, porque la parábola tendrá que ser simétrica respecto a dicho eje. Si en axn, a>0, la parábola abre hacia arriba. Ahora bien, si en axn, a0, la parábola abre hacia la derecha, o bien si en bx, b