Función Gamma G(x): algunas propiedades

Función Gamma G(x): algunas propiedades. La función G(x) aparece en Mecánica Estadística con una frecuencia tal que es bueno repasar aquí alguna de sus propiedades elementales. La función gamma se define mediante la integral impropia: G (x ) =

ò

¥

0

e -tt x -1dt ,

que converge para todos los valores positivos de x. Notar que G (1) =

Una simple integración por G (x + 1) = x G (x ) . En efecto

¥

ò

0

e -tdt = 1 .

partes

¥

establece ¥

la

identidad

fundamental

¥

-t x G (x ) = x ò t x -1e -tdt = txe t xe -tdt = G (x + 1) . 0 + ò 0 0 =0

En particular, para x = n, entero, tenemos G (n + 1) = n G (n ) = n (n - 1) G (n - 1) = n (n - 1)(n - 2) ⋅ ⋅ ⋅ G (1) = n ! . De ahí la función Gamma extiende la noción de "factorial" de números enteros para cualquier valor positivo de x. La identidad fundamental también muestra que sólo necesitamos saber los valores de la función Gamma en el intervalo [0, 1] con el fin de definirlo para cualquier valor de x > 0. Para ver esto, notar que, para x > 2 podemos encontrar un entero n y un a Î [0, 1] tal que x = n + a + 1 y por lo tanto, de la identidad fundamental, G (x ) = G (n + a + 1) = (n + a) G (n + a) = (n + a)(n + a - 1) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + a) G (1 + a) Y así calcular G(x) se convierte en una cuestión de saber los valores de G(1 + a) de una tabla y después realizar una serie de multiplicaciones. Es también claro, del hecho de que G(1) = 1 y de la identidad fundamental que G (x + 1) lim+ G (x ) = lim+ = ¥. x 0 x 0 x También hay que señalar que la definición de la función gamma se puede extender a x < 0. Una vez más, esto se desprende de la identidad fundamental. Como ejemplo, supongamos que x = –4/3, luego æ 4 ö÷ æ 4 ö÷ æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö çç- ÷ G çç- ÷ = G çç- 1 ÷÷, çç- 1 ÷÷ G çç- 1 ÷÷ = G çç 2 ÷÷, çç 2 ÷÷ G çç 2 ÷÷ = G çç 5 ÷÷ . çè 3 ø÷ çè 3 ø÷ çè 3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ De esto se deduce que æ 4ö æ 3ö 3 æ 5 ö 27 çæ 5 ÷ö G ççç- ÷÷÷ = ççç- ÷÷÷ (-3) G ççç ÷÷÷ = Gç ÷, è 3ø è 4ø 2 è 3ø 8 çè 3 ÷ø el último valor se puede obtener a partir de tablas. Por último, un resultado útil (y un poco sorprendente) es que æ1ö G ççç ÷÷÷ = p . è2 ø Para la demostración se usa el truco de pasar a una doble integral en coordenadas polares. De la definición de la función Gamma tenemos, haciendo la sustitución t = u2, 2 æ 1 ö÷ ¥ ¥ e -u ¥ 2 -t -1 2 ç G çç ÷÷ = ò e t dt = ò 2udu = 2ò e -u du . è2 ø 0 0 0 u Ahora, utilizamos el truco de calcular el cuadrado de esta cantidad. Al hacer esto, utilizamos dos variables auxiliares de integración y cambiamos a coordenadas polares, lo que conduce a una simple integral. Por lo tanto 2 é æ 1 öù ¥ ¥ p 2 ¥ p ¥ -t -x 2 -y 2 -r 2 ê G çç ÷÷ú = 4 4 q 4 = = e dx e dy d e rdr e dt = p ò0 ò0 ò0 ò0 êë çè 2 ÷øúû 2 ò0

Y aquí el resultado se obtiene tomando la raíz cuadrada.