Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 23–34
Extensi´ on de familias multiplicativas de isometr´ıas Extension of multiplicative families of isometries Ram´on Bruzual (
[email protected]) Marisela Dom´ınguez (
[email protected]) Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela Caracas, Venezuela. Resumen Se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espacio de Hilbert, con par´ ametro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert m´ as grande. Como corolario se obtiene un resultado conocido, que establece que toda funci´ on a valores operadores y definida positiva en un intervalo de un grupo ordenado, se puede extender a una funci´ on definida positiva en todo el grupo. Palabras y frases clave: completamente positiva, definida positiva, grupo ordenado, representaci´ on unitaria Abstract We prove that a multiplicative family of isometries on a Hilbert space, with parameter on an interval of an ordered group and with generating subspace, can be extended to a group of unitary operators on a larger Hilbert space. As a corollary we obtain the known result that every operator valued positive definite function on an interval of an ordered group, can be extended to a positive definite function on the whole group. Key words and phrases: completely positive, positive definite, ordered group, unitary representation Recibido 2006/11/03. Revisado 2007/07/16. Aceptado 2007/09/03 MSC (2000): Primary 47A20; Secondary 47D03, 43A17, 43A35.
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Introducci´ on
Sea a un n´ umero real positivo, M. G. Kre˘ın [10] prob´o que toda funci´on a valores complejos, continua y definida positiva en (−a, a) puede extenderse a una funci´on continua y definida positiva en toda la recta. El desarrollo de la teor´ıa de operadores y su interrelaci´on con el an´alisis arm´onico ha mostrado que ´este y otros problemas de interpolaci´on pueden llevarse al contexto de la teor´ıa de operadores, considerando familias multiplicativas de operadores asociadas de manera natural al problema considerado (ver por ejemplo [7], [11], [14], [2], [5], [6]) En este trabajo se prueba que una familia multiplicativa de isometr´ıas en un espacio de Hilbert, con par´ametro en un intervalo de un grupo ordenado y con subespacio generador, se puede extender a un grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert m´as grande (Teorema 3.8). Como aplicaci´on se obtiene una generalizaci´on del resultado de Kre˘ın para funciones a valores operadores, definidas positivas en un intervalo contenido en un grupo ordenado, que fue probada en [4]. Adem´as se considera el problema de la continuidad de la extensi´on y se prueba que si se parte de una funci´on d´ebilmente continua y definida positiva, entonces toda extensi´on es d´ebilmente (y por lo tanto fuertemente) continua en todo el grupo (Teorema 4.1).
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Preliminares.
Definici´ on 2.1. Sean Ω un grupo abeliano, D un subconjunto de Ω y L(H) el espacio de los operadores lineales y acotados en un espacio de Hilbert H. Se dice que una funci´on F : D → L(H) es definida positiva si X
hF (x − y)h(x), h(y)iH ≥ 0
x,y∈Ω
para toda funci´on h : D → H, con soporte finito y tal que soporte(h) − soporte(h) ⊂ D. Sea (Γ, +) un grupo abeliano con elemento neutro 0Γ . Γ es un grupo ordenado si existe un conjunto Γ+ ⊂ Γ tal que: T S Γ+ + Γ + = Γ + , Γ+ (−Γ+ ) = {0Γ }, Γ+ (−Γ+ ) = Γ. En este caso si x, y ∈ Γ escribimos x ≤ y si y − x ∈ Γ+ , tambi´en escribimos x < y si x ≤ y y x 6= y, luego Γ+ = {γ ∈ Γ : γ ≥ 0Γ }. Si no hay confusi´on Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 23–34
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posible, usaremos 0 en lugar de 0Γ . Cuando Γ es un grupo topol´ogico se supone que Γ+ es cerrado. Si a, b ∈ Γ y a < b, (a, b) = {x ∈ Γ : a < x < b},
[a, b] = {x ∈ Γ : a ≤ x ≤ b},
etc.
Proposici´ on 2.2. Sean Γ un grupo ordenado, a ∈ Γ, a > 0 y H un espacio de Hilbert. Si la funci´ on F : (−a, a) → L(H) satisface X hF (x − y)h(x), h(y)iH ≥ 0, x,y∈[0,a)
para toda funci´ on con soporte finito h : [0, a) → H, entonces F es definida positiva en (−a, a). Demostraci´ on. Sea h : (−a, a) → H una funci´on con soporte finito. Sup´ongase que soporte(h) = {γ1 , . . . , γn }, donde γ1 < γ2 < · · · < γn . Entonces 0 ≤ γk − γ1 , para k = 1, . . . , n, luego γk − γ1 ∈ [0, a) para k = 1, . . . , n. Sea h0 : [0, a) → H definida por h0 (γ) = h(γ + γ1 ), entonces X X hF (x − y)h(x), h(y)iH = hF (x − y)h0 (x), h0 (y)iH ≥ 0. x,y∈Γ
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x,y∈[0,a)
Familias multiplicativas de isometr´ıas con subespacio generador
Definici´ on 3.1. Sea E un espacio de Hilbert, sea Γ un grupo abeliano ordenado y sea a ∈ Γ tal que a > 0. Una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales en (E, Γ) es una familia (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) tal que: (a) Para cada γ ∈ [0, a) se tiene que Eγ es un subespacio cerrado de E y E0 = E. (b) Para cada γ ∈ [0, a), Sγ : Eγ → E es una isometr´ıa lineal y S0 = IE . (c) Ey ⊂ Ex si x, y ∈ [0, a) y x < y. (d) Si x, y ∈ [0, a) y x + y ∈ [0, a) entonces Sy Ex+y ⊂ Ex y Sx+y h = Sx Sy h para todo h ∈ Ex+y . Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 23–34
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Para demostrar el resultado principal sera´ n necesarios algunos resultados auxiliares, que se ir´an probando a continuaci´on. En lo que sigue E es un espacio de Hilbert, Γ es un grupo abeliano ordenado y (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales. Definici´ on 3.2. Un subespacio generador para la familia (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) es un subespacio cerrado N de E tal que: \ (a) N ⊂ Eγ . γ∈[0,a)
(b) Eλ =
_
Sγ N para todo λ ∈ [0, a).
0≤γ 0. Si (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales con subespacio generador en (E, Γ), entonces existe un espacio de Hilbert F que contiene a E como subespacio cerrado y una representaci´ on unitaria (Uγ )γ∈Γ de Γ en L(F) tal que Sγ = Uγ |Eγ para todo γ ∈ [0, a). Demostraci´ on. Sea L como en el Lema 3.7. Por el teorema de extensi´on de Arveson (ver [3, 9]) existe una aplicaci´on completamente positiva e : C(G) → L(N) que extiende a L. L Del teorema de representaci´on de Stinespring (ver [13, 9]), se obtiene que existe un espacio de Hilbert F, un homomorfismo unital Π : C(G) → L(F) y un operador acotado J : N → F tal que e L(g) = J ∗ Π(g)J para todo g ∈ C(G). Sea 1 : G → C definida por 1(ξ) = 1, entonces 1 es el elemento neutro de C(G). Como e J ∗ J = J ∗ Π(1)J = L(1) = K(0) = IN se tiene que J es una isometr´ıa. Para γ ∈ Γ sea ²γ : G → C definido por ²γ (ξ) = ξ(γ), entonces ²0Γ = 1 y ²γ1 +γ2 = ²γ1 ²γ2 . Si se define Uγ = Π(²γ ) entonces Uγ es una representaci´on unitaria de Γ en L(F). Para γ ∈ (−a, a) se tiene que K(γ) = L(²γ ) = J ∗ Uγ J. Luego PN Sγ |N = J ∗ Uγ J, si γ ∈ [0, a). Sean γ1 , . . . , γn ∈ [0, a) y f1 , . . . , fn ∈ N, entonces kSγ1 f1 + · · · + Sγn fn k2E = =
n X i,j=1 n X i,j=1
hSγi fi , Sγj fj iE =
n X
hK(γi − γj )fi , fj iE
i,j=1 ∗
hJ Uγi −γj Jfi , fj iE =
n X
hUγi −γj Jfi , Jfj iF
i,j=1
= kUγ1 Jf1 + · · · + Uγn Jfn k2F Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 23–34
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En consecuencia la aplicaci´on Sγ1 f1 + · · · + Sγn fn 7→ Uγ1 Jf1 + · · · + Uγn Jfn W define un operador isom´etrico de E = γ∈[0,a) Sγ N en F, por lo tanto E puede identificarse con un subespacio de F y, con esta identificaci´on, Sγ = Uγ |Eγ para todo γ ∈ [0, a).
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Aplicaci´ on: Extensi´ on de funciones definidas positivas en un intervalo
Teorema 4.1. Sean Γ un grupo abeliano ordenado, a ∈ Γ, a > 0 y H un espacio de Hilbert. Si k : (−a, a) → L(H) una funci´ on definida positiva entonces: (a) k tiene una extensi´ on definida positiva a todo el grupo Γ. (b) Si Γ es un grupo topol´ ogico y k es d´ebilmente continua entonces cualquier extensi´ on definida positiva de k es fuertemente continua. Demostraci´ on. (a) Sea M el espacio vectorial definido por M = {f : [0, a) → H : soporte de f es finito}. Para f, g ∈ M se define hf, giM =
X
hk(x − y)f (x), g(y)iH .
x,y∈[0,a)
Es claro que h , iM es una forma sesquilineal no-negativa en M. Sea E el espacio de Hilbert obtenido completando M despu´es de tomar el cociente natural. Para γ ∈ [0, a) sea Mγ = {f ∈ M : soportef ⊂ [0, a − γ)} y para f ∈ Mγ sea ( (Sγ f )(x) =
0 f (x − γ)
si x ∈ [0, γ) si x ∈ [γ, a).
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Entonces Sγ : Mγ → M es un operador isom´etrico. Sea Eγ la clausura de Mγ en E. Es claro que Sγ puede extenderse a un operador isom´etrico de Eγ a E, que tambi´en denotaremos por Sγ . Es sencillo probar que la familia (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) es una familia multiplicativa de isometr´ıas parciales. Para γ0 ∈ Γ, sea δγ0 la funci´on definida por ( 1 si γ = γ0 , δγ0 (γ) = 0 otro caso. Sean h ∈ H y γ ∈ [0, a), se tiene que hδγ es un elemento de M. Adem´as si [hδγ ] denota la clase de equivalencia de hδγ en E, entonces [hδ0 ] ∈ Eγ para todo γ ∈ [0, a) y Sγ [hδ0 ] = [hδγ ]. Por lo tanto si N es la clausura de la variedad lineal {[hδ0 ] : h ∈ H}, entonces N es un subespacio generador para la familia (Sγ , Eγ )γ∈[0,a) . Por el Teorema 3.8 existe un espacio de Hilbert F que contiene a E como un subespacio cerrado y una representaci´on unitaria (Uγ )γ∈Γ de Γ en L(F) tal que Sγ = Uγ |Eγ para todo γ ∈ [0, a). Sean γ, γ 0 ∈ (−a, a), h, h0 ∈ H. Entonces hk(γ − γ 0 )h, h0 iH = h[hδγ ], [h0 δγ 0 ]iE = hUγ [hδ0 ], Uγ 0 [h0 δ0 ]iG = hUγ−γ 0 [hδ0 ], [h0 δ0 ]iG Si se define τ : H → F por τ h = [hδ0 ] entonces k τ h k2F = hτ h, τ hiE = hk(0)h, hiH ≤k k(0) kL(H) k h k2H as´ı que τ es un operador lineal acotado y para γ ∈ [−2a, 2a] k(γ) = τ ∗ Uγ τ. Definiendo K(γ) = τ ∗ Uγ τ para γ ∈ Γ se obtiene el resultado. (b) Sea K una extensi´on definida positiva de k a todo el grupo. Para h ∈ H la funci´on a valores escalares γ 7→ hK(γ)h, hi es definida positiva y, por hip´otesis es continua (−a, a). Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 23–34
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Como 0 ∈ (−a, a), del resultado correspondiente para funciones a valores escalares (ver [12, pag. 24]) y de la f´ormula de polarizaci´on se obtiene que K es d´ebilmente continua. La continuidad fuerte se sigue del hecho general de que la dilataci´on unitaria minimal de Naimark de una funci´on definida positiva d´ebilmente continua es fuertemente continua. Observaci´ on 4.2. La parte (a) de este resultado fue probada: (i) Por Kre˘ın para el caso Γ = R y f a valores escalares y continua ([10]). (ii) En [8], para Γ = R y f una funci´on d´ebilmente continua a valores operadores. (iii) En [6], para el caso Γ = Zn ´o Γ = R × Zn con el orden lexicogr´afico y f una funci´on d´ebilmente continua a valores operadores. (iv) En [4], para un grupo ordenado general y f una funci´on a valores operadores.
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