EXPLORAR LA TRANSFORMACIÓN DE ROTACIÓN EN EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRANDO CABRI Ponencia Cognición, Aprendizaje y Currículo MARISOL SANTACRUZ RODRÍGUEZ INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ MARÍA CÓRDOBA. YUMBO, VALLE ESTUDIANTE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA. UNIVERSIDAD DEL VALLE
[email protected] RESUMEN Esta ponencia toma como referentes centrales los desarrollos investigativos en Educación Matemática alrededor de la integración de tecnologías en el contexto escolar. El propósito es compartir el diseño de una secuencia didáctica, en la cual se propone explorar la noción de transformación de rotación en quinto grado de educación básica. El problema se inscribe en el ámbito del desarrollo curricular y propone un enfoque metodológico concebido para la integración de herramientas computacionales al aula. INTRODUCCIÓN Es innegable que la integración al aula de TICS, como los software de geometría dinámica, se ha configurado en una necesidad de indagación para la Educación Matemática. En este sentido, se pretende mostrar una secuencia didáctica de situaciones problema, fundamentada en la perspectiva del diseño didáctico y que facilite la exploración de la transformación de rotación con estudiantes de educación básica. La secuencia didáctica propuesta se inscribe en un contexto de desarrollo curricular, por tanto, hace una reflexión acerca del objeto matemático puesto en juego y su ubicación en el currículo. Es una secuencia que se enmarca en la perspectiva del diseño didáctico como estructura de análisis, en este sentido, se caracteriza por considerar, como fundamental y transversal, la mediación de tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. Por tanto, se configura en una propuesta de carácter metodológico, que implica una relación intrínseca entre los referentes teóricos y la propuesta metodológica. Este trabajo tiene como propósito central el considerar la mediación de la tecnología, en particular el sistema de geometría dinámica Cabri Géomètre en la construcción y aplicación de una secuencia didáctica inspirada en el enfoque de resolución de problemaS. En este sentido, se plantea como punto de partida, la relación entre la geometría transformacional y el contexto escolar; se pretende realizar un acercamiento a la integración de tecnologías, alrededor de la noción matemática particular y tomando la opción del diseño didáctico como enfoque metodológico concebido para la integración de tecnologías. LAS TRANSFORMACIONES EN EL CONTEXTO ESCOLAR Las propuestas curriculares vigentes, proponen el desarrollo del pensamiento geométrico, considerando la Geometría Transformacional como una alternativa para que los estudiantes construyan el conocimiento del espacio a partir de la exploración y actuación sobre el mismo. Las transformaciones de isometría, es decir, aquellas definidas como aplicaciones que hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano, permitiendo que las figuras se transforman en otras figuras, posibilitan el estudio del movimiento, permitiendo la exploración de las propiedades de las figuras. En especial, la rotación posibilita la exploración de aspectos complejos tales como el sentido, la magnitud angular y la invarianza de propiedades (MEN, 1998). En el ámbito internacional, por su parte, es un lugar común aceptar que el uso de un software de geometría dinámica, supone que esta disciplina matemática no sea concebida como un cuerpo terminado de conocimientos, sino como el resultado de una actividad de los sujetos sobre determinados objetos de su entorno; dichos objetos son el resultado de una modelación computacional de determinados conceptos geométricos. En este sentido, han habido variados acercamientos, que contando con integración de herramientas computacionales, pretenden abordar el estudio de las transformaciones en la escuela y han arrojado nuevas perspectivas sobre el estudio de las isometrías en el contexto escolar. Los trabajos con Cabri Géomètre referidos al estudio de las transformaciones por isometría, plantean
problemas de construcción, donde los estudiantes toman a consideración los elementos constitutivos de la transformación a estudiar y la aplican, no obstante, investigaciones recientes han mostrado que las mayores dificultades de los estudiantes residen en la identificación de las propiedades que se mantiene invariantes durante la transformación (LABORDE & TEREZINHA, 1999). Una de las alternativas que ofrece Cabri Géomètre es la elaboración de macroconstrucciones, estas consisten en aplicaciones o acciones grabadas y ejecutadas mediante la pulsación de una tecla o una instrucción. El objetivo del trabajo con macroconstrucciones es que el estudiante, especialmente en la educación básica, identifique las invariantes y por tanto, pueda explorar el espacio a partir de la conceptualización de las propiedades de las figuras, estas son consideraciones fundamentales en el proceso de diseñar secuencias didácticas encaminadas al desarrollo de pensamiento espacial en nuestros estudiantes. UNA ALTERNATIVA METODOLOGICA El objetivo de la ponencia es compartir la sistematización de una experiencia de aula que apunta a la elaboración y puesta en práctica de una secuencia de situaciones problema para el aprendizaje de la transformación de rotación integrando el software de geometría dinámica Cabri. La experiencia se inscribe en el ámbito del desarrollo curricular y propone un enfoque metodológico concebido para la integración de herramientas computacionales al aula. Dicha secuencia esta fundamentada desde varias dimensiones: la matemática, la didáctica, la cognitiva, la curricular y la tecnológica, con lo cual se pretende contextualizar y darle sentido a esta para su aplicación en el aula. Para la elaboración de la secuencia de situaciones problema que se propone, se tiene como estructura de análisis el Diseño Didáctico, tal como lo entiende Moreno: “... el diseño didáctico pasa por la reflexión sobre la naturaleza del conocimiento y la cognición. Estos son los dos ejes sobre los que descansa el diseño con la ayuda de la gestión del profesor quien se debe preguntar permanentemente que es lo que tiene que hacer ahora” (MORENO, 2002).
Para Moreno el diseño didáctico no es una actividad irreflexiva, sino que constituye una tarea para la didáctica, porque permite pensar en la elaboración de actividades teniendo en cuenta el impacto fundamental de la tecnología. A continuación se comentan algunos aspectos relacionados con la perspectiva del diseño didáctico, la cual como ya se mencionó anteriormente funciona para efectos de esta experiencia como estructura de análisis. Dentro de la perspectiva del diseño didáctico se tiene en cuenta varios aspectos para desarrollar la propuesta en cuestión. Dentro de estos aspectos tenemos la didáctica (desde sus desarrollos investigativos y también como un hacer) como punto de inicio, la dimensión epistemológica, la cognitiva, la gestión del profesor y el proceso de diseño curricular, todos estos aspectos desencadenan en prácticas y posteriormente en la Sistematización de toda la experiencia. Debe tenerse en cuenta que toda esta dinámica se inscribe en un proceso de Desarrollo Curricular. Dentro de la fase de elaboración de la secuencia, se propone realizar el análisis previo de la secuencia didáctica que incluye la fundamentación antes mencionada, la aplicación de la secuencia de situaciones problema o intervención en el aula y el análisis posterior. El análisis previo pretende detectar las variables didácticas contenidas dentro del diseño planteado y se plantean los desempeños que los estudiantes deben asumir cuando se enfrenten a éste, identificando los posibles procedimientos y estrategias que puedan desarrollar los estudiantes al enfrentarse a la secuencia didáctica propuesta. En la fase de aplicación de la secuencia didáctica en el aula, se tendrán en cuenta las acciones y procedimientos de los estudiantes cuando interactúan con el diseño propuesto, teniéndose en cuenta los desempeños planteados en el análisis previo. El análisis posterior aborda la manera como la secuencia didáctica es utilizada por los estudiantes, qué acciones potencia en ellos y cómo la herramienta en interacción dentro del enfoque de mediación instrumental, es incorporada y utilizada por los estudiantes. En este análisis posterior es importante considerar las estrategias y tipos de procedimientos que generan los estudiantes y sus acciones frente a las variables didácticas propuestas en la secuencia de situaciones problema.
Figura 1 EL DISEÑO DIDÁCTICO LA SECUENCIA DIDÁCTICA PROPUESTA La secuencia propuesta consta de cuatro sesiones, aquí se tratará de abordar a manera de ejemplo, la sesión número dos. En esta se presenta la transformación de rotación en un contexto de diseño utilizando un macro. A partir de una figura inicial y una composición de rotaciones, el estudiante observa una animación determinada. El proceso fuertemente acentuado es la visualización, entendida esta como la interpretación de información figurativa sobre un concepto matemático, por tal razón se propone visualizar un fenómeno geométrico que conjuga armonía y movimiento sin descartar un nivel de dificultad.
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Observa que la animación empieza por la derecha (sentido negativo), qué sucedería si empezara por la izquierda (sentido positivo)? ¿Qué pasa con la figura inicial (sombreada) al ser rotada? Al ser rotada la figura una pequeña parte no cambia. Descúbranla!!! ¿Cómo son las figuras imágenes respecto al a figura inicial?
Al ofrecer un elemento como un macro, se constituye en un punto de referencia para el desarrollo de la situación problema y propone un ejercicio de visualización para el estudiante. Dada una figura convexa no regular, se realiza una transformación por rotación, con centro en uno de sus vértices y un ángulo positivo de 45 grados. Lo interesante es que una vez obtenida la figura imagen, esta se constituye en una nueva figura inicial y se reinicia la transformación generando una composición de rotaciones. Paralelo a esta idea subyace una concepción de la figura como objeto geométrico dentro de la dialéctica global- puntual, con el desarrollo de la situación propuesta se pone en juego la concepción figural del estudiante, es decir los elementos que
considera constituyentes de la figura y el papel que juegan estos dentro de la transformación. Al recrear una composición de rotaciones, se brinda una situación rica en conceptos geométricos como la invarianza. Hay una situación de cambio, pero al mismo tiempo hay elementos que no cambian, que permanecen. Es probable que en el ejercicio visual los estudiantes vean “reproducciones” de la figura, pero también es posible que se acerquen a la reflexión en torno las propiedades de las figuras. Existe dentro de la situación un interés explícito por indagar respecto al sentido del ángulo, sea este positivo o negativo. Este acercamiento se hace a partir de la observación de la animación propuesta y conjeturar qué sucedería si la animación iniciara no en el sentido planteado (negativo) sino al contrario (positivo), llevando al estudiante a conjeturar sobre lo que es el sentido y sus implicaciones dentro de la rotación. Un objetivo claro dentro de la situación es el trabajo con las invariantes, el notar los cambios que surgen como efectos de la transformación, pero sobre todo llevar la atención sobre aquellas características que no cambian y que hacen referencia a las propiedades de la figura, en este aspecto es notorio el esfuerzo por centrar la discusión acerca del centro de rotación como parte constitutiva de la transformación y también como elemento invariante de la misma. ALGUNOS RESULTADOS Al trabajar con la animación que el macro muestra, la visualización juega un papel importante, porque en la medida que el estudiante interpreta la información gráfica de conceptos matemáticos que se le presentan con el fin de resolver un problema y puede elaborar conjeturas acerca de la noción matemática que está trabajando. En este contexto, los estudiantes se acercaron al problema del sentido. La conjetura que gran parte de ellos elaboró al respecto, señala que el cambio de sentido no altera la configuración final de la figura. Esta conjetura lleva a pensar como se está desarrollando la noción de magnitud angular y muestra que los estudiantes reconocen, de cierta forma, que independientemente del sentido pueden obtener la misma composición de rotaciones: No pasa nada, si la animación empieza por la derecha o por la izquierda la animación va a ser la misma. Debe tenerse en consideración que el macro presenta una composición de rotaciones, la cual se puede reducir a su vez en otras rotaciones. Al observar la animación efectuada mediante el macro, los estudiantes comparan la figura inicial con las múltiples figuras imágenes: Al rotarla salieron mas pétalos y había ocho pétalos, y el primer pétalo no se movió. En dos parejas se enfatiza que la figura inicial cambia de posición en cada rotación, es decir, que efectivamente lograron visualizar la composición de rotaciones, donde una figura imagen pasa a ser figura inicial para otra rotación. En el resto de casos al realizar esta comparación los estudiantes afirman que las figuras imágenes son “iguales” a la figura inicial, tomando como referente la figura sombreada: Salen copias de la misma figura de la primera. Al catalogar como iguales la figura inicial y las figuras imágenes, los estudiantes están atendiendo a dos criterios principales: el tamaño y la forma. Estas dos características son centrales para definir las isometrías, de las cuales la rotación hace parte. Al comparar las figuras imágenes respecto a la figura inicial comentaron: Son iguales a la primera / Que no son sombreadas y cambian de lugar. Cuando en la situación se propone abordar el centro de rotación como parte invariante de la misma. Las exploraciones que los estudiantes realizaron respecto al centro de rotación, mostraron que este fue fácil de identificar. Influye notablemente en este aspecto, el hecho de que para rotar la figura, el centro de rotación, se mantiene en el mismo vértice durante toda la composición: No cambia en punto donde nace cada uno de los pétalos / No se mueve el punto de la mitad. En cuanto a las estrategias que se habían esperado como posibles desempeños de los estudiantes, se encuentra que en cuanto a la búsqueda de invariantes los estudiantes utilizaron esta estrategia al descubrir los invariantes, reconocieron algunas regularidades que se mantienen en la transformación de rotación. Por otro lado, en cuanto a la elaboración de un dibujo, ninguno de los estudiantes utilizó esta estrategia para tratar de comprender mejor el problema.
A MANERA DE CONCLUSION En un primer acercamiento, es necesario valorar la pertinencia con que el enfoque teórico responde a los objetivos del trabajo. Se observa que el enfoque teórico hace parte de los desarrollos investigativos en didáctica de las matemáticas, que son reconocidos internacionalmente, por tanto, la propuesta hace un esfuerzo por articular los desarrollos disciplinares con el proceso curricular en la escuela, por medio de una propuesta de intervención en el aula. El enfoque teórico por el cual se ha optado en el desarrollo de esta propuesta, articular aspectos teóricos en una propuesta de aula que integra tecnología. Está lo suficientemente delimitado como para sustentar las características del trabajo y permitió anticipar ciertos elementos importantes en el análisis. Se observa entonces que es un enfoque coherente con las necesidades del trabajo, con un poder explicativo suficiente para sustentar y analizar los resultados obtenidos. A otro nivel se aprecia la relación que existe entre la teoría y la metodología empleada, se puede afirmar que la teoría se organiza y se valora, de acuerdo al enfoque metodológico, en este sentido, es importante reconocer la necesidad de refinar ambos aspectos para que se retroalimenten conjuntamente y así, proponer otras secuencias didácticas referentes a nociones específicas en distintos grados. En cuanto al enfoque metodológico, se nota un grado de desarrollo considerable y es quizás la parte más innovadora del trabajo. Propone una estructura de análisis que articula elementos teóricos y metodológicos en el marco de un proceso de desarrollo curricular. Dicho enfoque metodológico, facilitó la construcción de la propuesta de aula y es una metodología pertinente y coherente, en el momento de analizar que ocurre en los espacios escolares cuando se integran tecnologías alrededor de una noción matemática particular. Una característica central del enfoque metodológico es que es una propuesta concebida a partir de la integración de TIC al aula de matemáticas y hace un esfuerzo por considerar las distintas dimensiones que son valiosas en la implementación de este tipo de tecnologías y proponer alternativas de trabajo en el aula que sean verdaderamente fundamentadas desde la didáctica de las matemáticas. Finalmente se considera que la secuencia de situaciones problema planteada como alternativa de trabajo en el aula, es el resultado de esta articulación entre la teoría y la metodología, es una secuencia que considera variables de distinta naturaleza y se fundamente desde la consistencia interna del trabajo, hace visibles los desarrollos que en didáctica de las matemáticas se consideran valiosos e integra el enfoque de resolución de problemas en el marco del uso de tecnologías computacionales. En este mismo sentido, es un logro de la secuencia didáctica propuesta, el desarrollo de macros que facilitan procesos cognitivos relacionados con la identificación de variables en las transformaciones de isometría, particularmente la transformación por rotación. Es una secuencia didáctica que por sus características desarrolla la noción matemática de acuerdo a lo sugerido en las propuestas curriculares vigentes, pero que aún le falta transitar por un proceso de validación a partir de nuevas aplicaciones y el seguimiento de los resultados que se van obteniendo con las mismas. Es una propuesta que pone de relieve el papel del profesor como gestor de la clase y no como subsidiario de la tecnología, indaga por un problema de índole curricular y por tanto apunta a la innovación en la educación y el mejoramiento de la calidad en la misma. REFERENCIAS COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. 1998. LABORDE, Colette & TEREZINHA, Nery. Transformations geometriques et configurations en 4 eme et 3 eme: Une premiere classification des taches proposees aux eleves et leur repartition dans deux manuels. En: Petit X, No. 52. 1999. MORENO, Luis. El Diseño Didáctico. Conferencia dictada a los coordinadores departamentales. Proyecto: Incorporación de Tecnologías Computacionales al Currículo de Matemáticas. Ministerio de Educación Nacional. Noviembre de 2002.
