EVALUACIÓN EX-ANTE Y EX-POST DE LA PRECISIÓN DE UN PROYECTO FOTOGRAMÉTRICO

EGraFIA 2014

V CONGRESO INTERNACIONAL DE EXPRESIÓN GRÁFICA XI CONGRESO NACIONAL DE PROFESORES DE EXPRESIÓN GRÁFICA EN INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y ÁREAS AFINES EGraFIA 2014 Rosario, ARGENTINA 1, 2 y 3 de octubre de 2014

Barba, Salvatore - Mage, María Antonia Dipartimento di Ingegneria Civile, Università degli Studi di Salerno, Italia Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina [email protected]

EVALUACIÓN EX-ANTE Y EX-POST DE LA PRECISIÓN DE UN PROYECTO FOTOGRAMÉTRICO Disciplina: Arquitectura Ejes de interés: Gráfica Analógica y Gráfica Digital - Nuevas Herramientas

RESUMEN El proyecto de investigación, desarrollado en el ámbito del Acuerdo de Cooperación Científica entre la Universidad de Salerno y la Universidad Nacional de Córdoba, estuvo orientado a la profundización de los conocimientos para lograr una correcta aproximación técnico-científica a la tarea de relevar y documentar las obras arquitectónicas. El procedimiento desarrollado, de evaluación previa a la precisión que se pretende alcanzar y posterior a aquella alcanzada, intenta restituir una metodología instrumental adaptable y reversible en base a los estudios realizados en el Departamento de Ingeniería Civil de Salerno (incluso en función de los recursos disponibles). Es imprescindible considerar como el avance tecnológico, principalmente en el campo informático, se convierte en el factor más influyente en cuanto a la actualización de la disciplina del relevamiento y de la representación. El avance se manifiesta en una búsqueda constante de la perfección que aproxima cada vez más la información métrica del dato obtenida a la realidad misma; y, a la vez, se vuelve más comunicativa incluso para un público no especializado. Un soporte fundamental es la pluralidad de aplicaciones y técnicas posibles de implementar para maximizar los resultados, que puede convertirse en un impedimento sino se conoce la manera de utilizarlas. La siguiente investigación prevé para ello una correcta pipeline, con particular atención a la fase de planeamiento-captura de las tomas fotogramétricas y la verificación de los resultados, dotando de cientificidad y otorgándole completitud a la entera operación de relevamiento. Sin embargo, el estudio realizado, además de una inmediata aplicación operativa es posible de desarrollar en un futuro. Por otro lado, para optimizar los tiempos de procesamiento, el mismo relevamiento conocido como una operación de conocimiento requiere conocimiento: es banal observar como conocer la modalidad de restitución de los diversos software y los algoritmos correspondientes permite de adquirir tomas fotogramétricas correctas (minimizando la eventual posibilidad de repetir esta operación); al mismo momento, conocer el detalle que queremos alcanzar y, sobretodo, la modalidad para obtenerlo, nos guiará en la primera instancia para la elección de la cantidad/calidad de fotografías necesarias y sucesivamente en el análisis de la postproducción.

ABSTRACT The research project developed within the scope of the Scientific Cooperation Agreement between l’Università degli Studi di Salerno and the Universidad Nacional de Córdoba, was aimed at deepening the knowledge for proper technical-scientific approach towards architectural survey. The procedure conducted, of ex-ante and ex-post evaluation accuracy, attempts to restore an adaptable and reversible instrumental method (even depending on available resources) based on studies in the Department of Civil Engineering of Salerno. Data collection was achieved in shorter times obtaining a high level of information in order to approximate to the real model. It is essential to consider the technological progress, mainly in the computer field, as the most influential in terms of updating the discipline of surveying and representation factor. The progress is manifested in a constant pursuit of perfection approaching metric information obtained to the reality itself; and, at the same time, becomes more communicative even for a non-specialist audience. A key support to this method is the plurality of possible applications and techniques that can be implement to maximize results, which can become an impediment if we don’t know how to use it. The following research foresees to do a proper pipeline with particular attention to the project- capturing phase (photogrammetric shots) and checking the results, giving and granting scientific completeness of the entire survey operation. However, the study has an immediate operational application it still can be improved in the future. Furthermore, to optimize processing times, the same survey recognized as an operation of knowledge requires knowledge: it’s instructive to understand the restitution mode of various software and their corresponding algorithms to acquire accurate photogrammetric shots (minimizing the possibility of repeating this phase); at the same time, knowing the detail we want to achieve and the mode to get it will enable us, in the first instance, to choose the quantity/quality of photographs necessary and the analysis of the post.

EGraFIA 2014 1.- INTRODUCCIÓN La fotogrametría para el relevamiento y la restitución de las fachadas de los edificios, o monumentos, es uno de los métodos más eficientes en la relación precisión-costo. Los arquitectos e ingenieros prefieren este método en el ámbito de la restauración dada la precisión cromática requerida para el análisis de las fachadas, los materiales y el degrado. Permite evaluar el estado de conservación del material para poder proponer un proyecto de intervención más preciso y adecuado. Además posibilita el trabajo con programas de proyecto y la superposición de las hipótesis a la realidad, gracias a la posibilidad de complementar la fotografía con referencia GPS. El objetivo de esta técnica pasiva es poder hacer medidas a distancia y con una elevada precisión: la mayor de las ventajas es poder hacer el relevamiento a pie de obra. Para optimizar el trabajo se debe considerar tomar algunas medidas de referencia en el lugar y corregir la distorsión creada por la cámara fotográfica (mediante software, durante el mismo proceso de elaboración). Así al combinar fotografías superpuestas de un mismo objeto tomadas desde diferentes ángulos se crean re-proyecciones tridimensionales. Es imprescindible considerar la importancia de la primer fase de adquisición de datos ya que el proceso a continuación va a depender de la correcta captura de tales fotografías. 2.- TIPOS DE RELEVAMIENTO FOTOGRAMÉTRICO Por muchos años la fotogrametría se ocupó del ámbito de la cartografía, es decir, con imágenes aéreas. Pero gracias al desarrollo de la técnica y sobretodo del soporte de las cámaras ha sido posible ampliar el campo de acción, a niveles más cercanos al terreno e incluso para objetos pequeños. Antes de continuar con la explicación de cómo hacer un relevamiento de tipo fotogramétrico, se procede a distinguir los tipos según si la captura de datos es con una sola imagen o varias (Fig. 1): monoscópico, se aplica la técnica de rectificación sobre solo una imagen, siendo necesario un plano de referencia; estereoscópico, basándose sobre el mismo principio de la co-linealidad que une tres puntos en una línea recta se determinan las medidas y distancia de los objetos, tomando como mínimo dos fotografías.

Figura 1. Captura monoscópica y estereoscópica.

La condición geométrica de la co-linealidad se cumple cuando el punto de vista, el punto imagen y el punto objeto se encuentran en la misma recta. Por ende, si conseguimos que esta condición se cumpla en por lo menos dos perspectivas de un mismo punto objeto, queda asegurada la intersección de dos rayos homólogos en el mismo punto prefijado. 3.- MARCO TEÓRICO Hoy en día, se utilizan cámaras digitales réflex para éste proceso que a diferencia de una cámara compacta digital tienen los objetivos intercambiables, mayor control sobre las profundidades de campo y la calidad de imagen es superior. Sin embargo el funcionamiento es más complejo: no solo es necesario saber cómo funciona, sino conocer sus componentes y los parámetros que debemos regular al momento de tomar una fotografía, siempre con el objetivo de explotar al máximo las posibilidades que se nos ofrecen. El conocimiento del instrumental con el que se trabaja y sus límites es fundamental para evitar errores que pueden alcanzar el 5-10% de las medidas de las imágenes finales. La fotogrametría, como técnica vinculada a la fotografía, nos exige tener control de al menos los siguientes parámetros: ángulo de visión (Fig. 2), es la parte de la escena captada y se mide en ángulo diagonal; distancia focal, es la distancia en mm entre el centro óptico y la superficie del sensor de la imagen; plano focal: plano en el que el objetivo proyecta a foco la imagen del objeto fotografiado; diafragma, mecanismo de placas que se abren o cierran modificando la luz que ingresa. Para ayudarnos a comprender la relación entre el ángulo de visión y la distancia focal, la misma página oficial de Nikon, por ejemplo, propone una sección de simulacro de objetivos, donde se puede combinar un mismo cuerpo de cámara con los diferentes objetivos que ofrece la empresa. Esto nos permite interactuar con una imagen cambiando la distancia focal para ver el ángulo que abarca (Fig. 3). En particular el objetivo utilizado para el este trabajo es el AS-F DX NIKKOR 18-55, con una apertura de diafragma entre f/11 y f/8.

Figura 2. Ángulo de visión según la distancia focal.

EGraFIA 2014 previa a la fase de captura en campo que nos permita orientarnos. El primer paso es definir nuestro objetivo, es decir, que tipo de relevamiento queremos realizar para saber en qué escala representar los gráficos y por ende que nivel de detalle fotográfico necesitamos: gráfica arquitectónica, Esc. 1:250 / Esc. 1:100; matérico, Esc. 1:50 / Esc. 1:20; detalle, Esc. 1:10 / Esc. 1:5. Una vez decidida esta primer parte es necesario analizar las condiciones fijas que se presentan y las variables para poder optimizar los tiempos de trabajos en campo y en oficina. Podríamos sacar con la mejor definición y calidad que tengamos pero la finalidad es no perder tiempo en campo sacando más cantidad de fotos de las necesarias, ni sacarlas con una altísima calidad que después no vamos a usufructuar y que nos va a enlentecer los tiempos de trabajo de la computadora. Como la intención de este estudio es de poder realizar relevamientos con instrumental de bajo-medio costo, los cálculos fueron pensados para los objetivos comunes de 18-55, calculando tres distancias focales: 18, 35 y 55 mm. Si bien en la Fig. 2 ya se representaron los ángulos de visión para estas mismas distancias focales, a continuación se completan los datos (Fig. 4): una vez que obtuvimos estos mismos datos podemos determinar en metros la escena que capta la fotografía según la distancia del objeto a relevar y la distancia focal que utilicemos. La Tab. 1 determina la dimensión en metros del eje horizontal captado por la cámara según tres distancias tomadas como ejemplo.

Figura 3. NIKKOR Lenses Simulator.

Se necesita de un trabajo cuidadoso porque se pueden provocar errores suplementarios si la introducción es deficiente. Por ejemplo, la calibración para corregir las distorsiones geométricas se realiza para cada distancia focal utilizada; también se deben tomar precauciones con el enfoque ya que modifica levemente la distancia focal, por lo que conviene mantenerlo fijo (las cámaras automáticas tienen una opción de enfoque en el infinito en el modo paisaje, mientras que las cámaras réflex tienen la posibilidad de maximizar todavía más el campo de la escena con un lente hiperfocal). Sin embargo para un amateur en fotografía todos estos parámetros continúan siendo números. Por ello se decidió realizar un gráfico de consulta

Figura 4. Realidad que se captura con una focal de 18mm.

EGraFIA 2014 Tabla 1. Captura de la escena según la focal y la distancia.

Otra de las variables a considerar son los pixeles por pulgada de la cámara fotográfica que estamos utilizando. La unidad con la que universalmente se representa esta magnitud es el Mpx, megapíxel, que equivale a 1 millón de pixeles. La proporción más usada por las empresas para configurar las fotografías es de 3:2. En una cámara standard podemos encontrar estas tres posibilidades de captura: (L) 4.608 x 3.072 = 14.155.776 = 14,2 Mpx; (M) 3.456 x 2.304 = 7.962.624 = 8,0 Mpx; (S) 2.304 x 1.536 = 3.538.944 = 3,5 Mpx Los Mpx determinan las dimensiones máximas de ‘impresión’ de una fotografía, para conservar una imagen de calidad fotográfica donde no sea posible distinguir los pixeles individuales. Se considera una imagen con calidad fotográfica mínima a partir de los 250 dpi, standard de 300 dpi y óptima a partir de los 600 dpi. Para continuar con nuestro análisis vamos a utilizar la calidad standard y las posibilidades de captura L y M, por ejemplo: (L) 4.608 x 3.072 = 13,16” x 8,77” = 39,01 x 26,00 cm; (M) 3.456 x 2.304 = 9,87” x 6,58” = 29,26 x 19,50 cm. La Tab. 1 muestra los resultados de los cálculos previos necesarios para la realización del gráfico siguiente. En particular, se combinan las variables que estuvimos analizando para poder alcanzar la calidad fotográfica que requiere la escala con la que queremos representar el objeto: es decir, los Mpx de la cámara, las distancias focales y la distancia al objeto (5, 10 y 20 m). Comparando la escena que capta la cámara con la dimensión máxima de impresión standard (300 dpi) se obtiene una constante de aumento de escala para cada distancia focal y a su vez para las dos calidades fotográficas analizadas en Mpx.

Todos los datos obtenidos fueron trasladados a un gráfico de consulta previa al relevamiento (Fig. 5). Sobre el eje X se presentan las distancias de la cámara al objeto para una calidad fotográfica de 8.0 Mpx a la izquierda y de 14.2 Mpx a la derecha; mientras que sobre el eje Y, las escalas de representación gráficas convencionalmente aceptadas para diseños arquitectónicos (1:5, 1:10, 1:20, 1:50; 1:100); por último, las rectas que parten desde el origen representan las distancias focales analizadas. Cada uno de las líneas tiene un color: rojo para 18 mm, amarillo para 35 mm y azul para 55 mm. De esta manera podemos hacer más científico el trabajo y reducir tiempos de procesamiento. El siguiente paso es verificar cuales son nuestras limitaciones. Tenemos dos referidas al instrumental, los Mpx de la cámara y la distancia focal del objetivo, y una a los obstáculos en campo que nos puede condicionar la distancia a la cual podemos tomar las fotografías. Si nuestra primera barrera es la resolución con la que cuenta la cámara vamos a descartar el cuadrante que analice una calidad fuera de nuestro alcance. La escala se determina en correspondencia al punto de encuentro que se obtiene ingresando al gráfico a través de las abscisas hasta la intersección con la recta que representa la distancia focal (de desarrollo lineal). Por seguridad, es preferible optar por la escala de representación inmediatamente superior. Trabajar eficientemente, es decir, con los Mpx y distancias focales justos nos puede significar grandes ventajas en el procesamiento de las imágenes (sin olvidarnos que el peso en Mb de una fotografía de 14,2 Mpx es 40% más de una de 8 Mpx). 4.- LÍMITE DE ESCALA DE VISUALIZACIÓN Si queremos hacer el trabajo todavía más preciso tenemos que saber que el valor de 300 dpi, considerados de ‘buena calidad’ de impresión, en realidad es exagerado, ya que la resolución del ojo humano tiene la capacidad de distinguir bien un objeto de otro cuando la distancia mínima entre ellos es de 0,2 mm. Es decir, que 300 dpi = 300 pixel / pulgada = 300 pixel / 25,4 mm = 11,81 pixel / mm) equivalen a un pixel size de 0,08466 mm: muy pequeño comparado a la citada capacidad de visualización de 0,2 mm. En efecto podemos establecer tres valores límites para este parámetro (Fig. 6): elevado, 0,1 mm; sobre el límite, 0,2 mm; forzado, 0,5 mm.

Figura 5. Posibles escalas según la distancia al objeto y la distancia focal utilizada.

EGraFIA 2014 5.- CÁLCULO DE LA ESCALA De los cálculos que se ven a continuación se puede observar como las escalas gráficas obtenidas se aproximan al doble de aquellas calculadas previamente con 300 dpi, lo que significa que los diseños resultantes pueden graficarse más detalladamente (Tab. 2):

Figura 6. Evaluación gráfica del pixel size.

A continuación otro gráfico (Fig. 8) nos orienta sobre cuantas fotografías son necesarias para los parámetros que venimos analizando. Los ejes X, Y representan las respectivas dimensiones del objeto real a relevar y entre cada intersección un cuadro con cuatro valores que corresponden a la cantidad de fotografías que se necesitan con cada una de las distancias focales, considerando la superposición – mínima – en horizontal y vertical del 60% (Fig. 7). Así puede suceder que otra condicionante en el momento del relevamiento sea los tiempos de trabajo en campo. Por ejemplo, si el objeto es parte de un lugar público y se nos permite cortar el tránsito por un determinado tiempo tenemos que buscar la manera de optimizar los tiempos tomando menos cantidad de fotografías con una focal más pequeña.

Figura 7. Puntos de enfoque para la superposición del 60%.

EGraFIA 2014 Tabla 2. Escalas que permite la distancia focal 18mm, 35mm y 55m según la distancia al objeto con resoluciones límites.

Figura 8. Cantidad de fotografías necesarias, según las dimensiones del objeto a relevar (en X e Y) a una distancia de 10 m.

6.- PROCESO La captura forma parte del proceso junto a las otras fases principales de orientación y restitución. Los fotogramas corresponden a las leyes de la geometría proyectiva, transformado un espacio tridimensional, el objeto de la escena, en un dato de solo dos dimensiones, la fotografía. Por ello la correcta captura de imágenes nos permite lograr el proceso inverso, pasar de la imagen en 2D a un modelo 3D. Antes de comenzar se debe identificar el objeto a relevar o el plano de la fachada. Es importante mantener un orden

para que no queden espacios sin fotografiar. Se eligen los parámetros que se van a mantener constantes durante todo el proceso: la distancia focal; el enfoque; la exposición (evitar el modo automático); quizás la orientación de la cámara. Luego se procede por franjas a capturar las imágenes manteniendo una superposición mínima del 60% en horizontal y en vertical (mejor subir hasta el 80%). Incluso en el campo de la fotogrametría close-range la elección de la aproximación varía en función de las condiciones en las que se encuentra la obra y la finalidad del relevamiento; si sirve como

EGraFIA 2014 documentación para la recomposición geométrica de una fachada a grandes escalas 1:100 o 1:200 se puede utilizar un instrumental básico de bajo costo (fotogrametría de monoscópica), pero el relevamiento matérico de una fachada de un edificio en las que usamos escalas de detalle 1:20 o incluso 1:10 requiere la utilización de unas metodologías que permitan una buena legibilidad (fotogrametría multi-imagen). En este tipo de relevamiento fotogramétrico la cámara se encuentra, en general, a la altura del observador o de un trípode por ende constante. Sin embargo, puede suceder que la cámara se deba inclinar para poder captar la totalidad de la altura del objeto. Según la posición de la cámara durante la captura de la fotografía nos encontramos de frente a 4 soluciones (Fig. 9): eje óptico ortogonal a la base y a la fachada, que genera quizás los fotogramas de mejor calidad, pero muy difíciles de obtener; eje óptico ortogonal a la base y levemente oblicuo, se aproxima a una captura paralela-ortogonal pero no requiere tal precisión por lo que se agilizan los tiempos de trabajo; eje óptico de la cámara casi ortogonal a la base y convergente a la fachada, resulta una imagen con puntos de fuga más difícil de rectificar pero se necesitan menos fotos para completar el relevamiento; eje óptico oblicuo a la misma base, es necesario cuando la relación altura del objeto, distancia al objeto no nos permite tomar fotografías paralelas (en este último caso de tomas convergentes, y nunca divergentes, se recomienda conservar la verticalidad de la fachada). La fase de captura no es posible con una sola fotografía para recomponer el modelo 3D, por más que los ángulos del objetivo y las distancias nos lo permitan: necesitamos al menos un par de fotografías con puntos homólogos identificables.

Figura 9. Tipos de imágenes respecto a la posición de toma.

7.- REQUISITOS HARDWARE En la fase de orientación el consumo de la memoria depende más de la cantidad de fotografías y no tanto de la resolución de las mismas:

Diversamente se observó que en la construcción del modelo, el consumo de memoria depende de varios factores. Entre ellos, la cantidad de fotografías, la resolución de las mismas, la calidad de restitución y la superposición. Para dar una idea de los consumos tomamos un valor medio entre las calidades antes trabajadas (14,2 Mpx y 8 Mpx). Para un tipo de restitución Height field, con fotografías de 12 Mpx los consumos de memoria son los siguientes:

Los datos antes presentados son ilustrativos ya que varían según los programas utilizados, la calidad de las fotografías, la compresión de las imágenes .jpg, la claridad de los puntos que se deben registrar como homólogos, la complejidad de la figura a reconstruir, entre otros parámetros. Pero se intenta dar una idea aproximada de los requisitos que son necesarios para trabajar en esta técnica que todavía está en desarrollo. 8.- TEORÍA DEL ERROR Actualmente, la generación de ortofotos y fotoplanos mediante la técnica de la fotogrametría coincide con la aplicación de un software y la elaboración a partir de un número mínimo de fotos y de puntos de control. Sin embargo, al definir y adoptar un de puntos número mayor a cuatro se puede verificar, con una estimación por mínimos cuadrados, los errores de los valores obtenidos y la calidad de los gráficos realizados (o de una futura calidad en el caso que se esté haciendo una valorización previa). Para optimizar el trabajo sería preferible conocer anteriormente el número de fotografías y de puntos de apoyo que nos pueda garantizar un error inferior a una tolerancia prefijada. Por lo que, el objetivo es identificar una relación entre el cantidad de puntos y el error admisible, es decir, conocer el número que nos permita satisfacer una calidad establecida de acuerdo a la escala de representación gráfica. De esta manera, fijar el valor de µm para determinar el número mínimo de medidas necesarias. Gracias a la fotogrametría digital es posible reducir las medidas conocidas para obtener la rectificación de imágenes con solo cuatro puntos de control, pero el utilizo de solo cuatro (que corresponde a las medidas de dos lados de un rectángulo sea de la calibración de una cámara o de

EGraFIA 2014 una fachada), no permite tener un control o verificación de los resultados obtenidos. Por otro lado, en necesario considerar que normalmente el relevamiento de estos puntos se hace con instrumental a mano propenso a tener errores considerables. Pero al agregar un quinto punto de control se verifican mejores resultados en cuanto a la dimensión del error cometido en el proceso de rectificación. Se propone desarrollar y establecer una relación entre el error admisible y el número de puntos relevados directamente, determinando el número de puntos de control que permitirá satisfacer una calidad prefijada del fotoplano. Son varias las maneras de obtener una rectificación fotogramétrica (como ya se mencionó), a continuación se desarrolla el analítico, para poder aplicar posteriormente la teoría del error, basada en las transformaciones bidimensionales proyectivas en relación a las ecuaciones de co-linealidad. Es oportuno repetir que, ésta última, explica matemáticamente las condiciones de pertenencia a la misma recta: el punto P(X,Y,Z) en el objeto, el correspondiente punto p(x,y) en la imagen y el centro de la proyección de la cámara fotográfica. En geometría descriptiva esto equivale a una de las dos propiedades gráficas de la homología plana: puntos homólogos quedan alineados con el centro de la homología. A través de la ecuación de la colinealidad, gráficamente restituyendo la relativa proyección central, es posible relacionar los dos sistemas de referencia: aquel del objeto y aquel de la imagen. En particular, cuando el objeto a relevar sea plano, las ecuaciones que explican la relación entre coordinadas del objeto y las coordinadas de la imagen, se desarrollan en un sistema (1) por la estima de los ocho parámetros de la transformación (a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2), donde: los términos c1, c2 explican la falta de paralelismo entre dos planos y es nulo en el caso de la trasformación bidimensional; las coordinadas Z, por otro lado, son nulas o constantes –en un fotoplanos–, coincidiendo en la cota del plano de proyección. a1x1 + a2 y1 + a3   X1 = c x + c y + 1  1 1 2 1   Y = b1x1 + b2 y1 + b3 1  c1x1 + c 2 y1 + 1

(1)

C

9.- MÍNIMOS CUADRADOS

Utilizando un número superior a cuatro, es posible evaluar la incerteza de los resultados obtenidos y la calidad de la representación gráfica. En tal caso el sistema (1) resulta hiperdeterminado, con un número de ecuaciones (n) mayor al número de las incógnitas (que siempre se mantiene en m=8), y no es posible determinar los valores incognitos de los parámetros de la transformaciones para poder satisfacer contemporáneamente todas las ecuaciones. Se admite, por lo tanto, la existencia de residuos ν i con (i = 1…n) que se agrega al sistema de ecuaciones (1); en la anotación de la matriz se introduce el vector de residuo ν , por lo que la relación (2) se convertirá en: A B = C + ν . Para el cálculo de las incógnitas se adopta el principio de los mínimos cuadrados, es decir, que la suma de los cuadrados de tales residuos sea la mínima posible: bajo estas condiciones se alcanza un sistema derivado de ocho ecuaciones y ocho incógnitas. Pero como nos encontramos en el caso de un sistema no lineal, para obtener la solución al problema se recurre al cálculo infinitesimal; se determinan, a través de hipótesis simplificadas, los valores iniciales de una primera aproximación, de los parámetros de transformación: A0,1, A0,2, A0,3, B0,1, B0,2, B0,3, C0,1, C0,3. Esto implica que:

donde,

Este mismo sistema de ecuación deberá ser aplicado como mínimo a cuatro puntos, obteniendo un sistema de ocho ecuaciones y ocho incógnitas. El sistema anterior se resolvió de forma matricial de la siguiente manera: −1

Una vez identificados los parámetros de transformación, es posible encontrar para cada pixel de la foto la relativa coordinada objeto.

a1 = A 0,1 + δa1 , ..., b1 = B 0,1 + δb1 , …, c 1 = C 0,1 + δc 1 …,

a1x1 + a2 y 1+a3 − c1x1X1 − c 2 y 1X1 = X1  b1x1 + b2 y1 + b3 − c1x1Y1 − c 2 y1Y1 = Y1

A B=CB= A

a 1  + 0,0140      a 2  − 0,0004  a 3  − 4,8263      + 0,0139  b 1  −1 B = A ⋅C =   =  − 0,0144  b  2   b 3  + 24,4036      c 1  + 0,00007  c 2  − 0,0001   

(2)

(δa1, δa 2 , δa 3 , δb1, δb 2 , δb 3 , δc 1, δc 2 )

(3)

representa el vector de la corrección de las incógnitas. Sustituyendo estos valores en el sistema inicial (1) y poniendo a los segundos miembros los relativos residuos se obtiene la siguiente ecuación: x1δa1 + y1δa2 + δa3 − x1X1δc1 − y1X1δc 2 + s x,1 = ν1

Donde A es la matriz de los coeficientes de las incógnitas, mientras que C es el vector de los términos mencionados. Aplicando la relación (2) se determinó el vector:

x1δb1 + y1δb2 + δb3 − x1Y1δc1 − y1Y1δc 2 + s y,1 = ν 2 (4) ..... con:

EGraFIA 2014 s x,1 = x 1 A 0,1 + y 1 A 0,2 + A 0,3 − x 1 X 1C 0,1 − y 1 X 1C 0,2 − X 1 s y,1 = x 1 A 0,1 + y 1 A 0,2 + A 0,3 − x 1 Y1C 0,1 − y 1 Y1C 0,2 − Y1 .....

De la relación (4) se obtiene un sistema normal formado por m ecuaciones y m incógnitas, desde ahora representados por el vector (3), cuya solución es aquella que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos, integrando (n-m) veces. Sin embargo, en el caso de trabajar con un número de puntos de control mayor a cuatro, su distribución tendrá un peso sobre la calidad de los resultados. Es preciso recordar que se obtendrá un mejor resultado en el fotoplano en el interior de un polígono definido por puntos de control situados en las partes más externas (diversamente los errores se extrapolan). Aunque la disposición ideal incluye siempre un punto en el centro con el objetivo de una verificación más exacta de los errores. 10.- ERRORES DE GRAFISMO

Convencionalmente, y por los motivos explicados anteriormente respecto a las limitaciones técnicas y de la visión humana, se asume el valor de 0,2 mm x Sc = escala gráfica de representación (Norma del Ente Italiano di Normazione 3968, reemplazada con la ISO 128-24 del 2006), como el grado de resolución absoluta; factor que se considera en todos los tipos de representación ya sea vectorial o raster, ya que los elementos que presenten una dimensión menor al grado de resolución no podrán ser dibujados. Además, para considerar los errores de grafismo se acepta una tolerancia dimensional de ±0,3 mm. Eso implica que la dimensión mínima de representación sea de 0,5mm x Sc (entendida como el límite máximo). Se propondrá, entonces, este valor hipotético de tolerancia de fotoplanos y ortofotos, variable en función de la escala de representación. En base a ello, y como consecuencia de la aplicación de la teoría de los mínimos cuadrados, se excluyen los puntos de apoyo en los cuales el residuo sea superior a esta tolerancia. Un tipo de error accidental que se puede cometer a la hora de rectificar una perspectiva está relacionada a la no-planaridad del objeto a relevar. Todos aquellos puntos que no pertenezcan al plano de calibración, en este caso, se reconstruyen en una imagen incorrecta con una desviación propia de la perspectiva teórica. Sin embargo, en función a lo observado, la rectificación se puede considerar correcta para los puntos con Z=0 (donde X,Y es el plano principal), pero para todos los puntos que pertenecen a pequeñas salientes de la fachada, deben tener una Z incluida entre [±0,2÷0,5 mm] x Sc; ya que valores más pequeños no se podrían representar en el plano. Consecuentemente, sería correcto realizar la homografía respecto al plano medio identificado a partir de los puntos de control. 11.- ERROR MEDIO EN LOS FOTOPLANOS

La desviación cuadrática media μ representa el grado de precisión; está demostrado que el 99,7% de los errores, es decir de desviación de la media, se

encuentran entre [-3μ, +3μ]. Por lo tanto, la posibilidad que una medida tenga un error superior en valor absoluto al triple de la desviación cuadrática media es muy baja, este valor puede asumirse como error máximo tolerable, es decir, la tolerancia: T = ± 3μ

(5)

Además, si la tolerancia es igual al grado de resolución relativo, se encuentra: μ=±

0,5 mm × S T =± 3 3

(6)

Sabemos que la relación entre la desviación cuadrática media y la raíz cuadrada de n (número de observaciones) nos da como resultado el error medio de la media: μm = ±

μ n

(7)

A partir de esta relación se deduce que el error medio, disminuye al aumentar el número de observaciones, podría ser que aumentando notoriamente el número n se pueda obtener un valor de µm tan pequeño como se desee. Sin embargo, es verdadero desde un punto de vista puramente matemático, mientras que en la práctica, para obtener un valor admisible de µm será suficiente un número limitado de observaciones (determinar ese número es la finalidad que se busca). Cabe aclarar, que considerar el aumento indefinido del número de las observaciones es un hecho ilusorio ya que aumentaría indefinidamente la precisión, y no sería posible de apreciar (efecto meteora). Por el contrario si fijamos el valor de µm, en el caso de un fotoplano, podemos determinar el número de observaciones necesarias. La dificultad reside en determinar una correspondencia directa entre el número de las observaciones n y el número de puntos de control. Se debe recordar que se define una combinación de clase k de los elementos p (o combinación de p elementos a k a k) a cualquier modo de elegir k entre los elementos p, sin tener en cuenta el orden de elección (las combinaciones se distinguen solo por los elementos k elegido y no por su orden). Tal combinación es simple siempre que los elementos elegidos sean todos diferentes entre sí, sin repetición alguna, y necesariamente se corrobore que p ≥ k: Cp,k =

p! (p − k)! k!

(8)

Se indica con Cp,k al conjunto de todas las posibles combinaciones simples de clase k de los elementos p. En el caso de un fotoplano, se asume como número de observaciones la combinación simple de clase 4, es decir, los cuatro puntos de control mínimos necesarios para la rectificación, por lo que p ≥ 4: μ μ μm = ± =± (9) n C p,k

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Por ejemplo, teniendo en cuenta los valores de las coordinadas de 5 puntos (A, B, C, D, E) obtenidos mediante un relevamiento directo, se considera la siguiente combinación: C 5,4 =

5! =5 (5 − 4)!5!

(10)

Para el número de las observaciones realizadas, correspondientes a las rectificaciones se utilizaron los siguientes 4 puntos de apoyo: (A, B, C, D); (A, B, C, E); (A, B, D, E); (A, C, D, E); (B, C, D, E). En el caso de estudio desarrollado, la siguiente tabla muestra cómo se modifican los valores µm al variar el número de puntos de control considerados para cada una de las escalas de representación. Tabla 3. Relación entre µm y la cantidad de puntos de control. μm p Cpk

1:1

1:20 1:50 1:100

4

1

0,167 3,333 8,333 16,667

5

5

0,075 1,491 3,727

7,454

6

15

0,043 0,861 2,152

4,303

7

35

0,028 0,563 1,409

2,817

8

70

0,020 0,398 0,996

1,992

9

126 0,015 0,297 0,742

1,485

10 210 0,012 0,230 0,575

1,150

11 330 0,009 0,183 0,459

0,917

12 495 0,007 0,150 0,375

0,749

De los valores numéricos se deduce que µm es siempre menor a (0,2 mm x Sc) / 3 cuando los puntos de control son más de 5. El gráfico siguiente ilustra los resultados obtenidos en la tabla: el número de puntos de control necesarios al variar el µm para las diferentes escalas de representación. 1:1 1:20 1:50 1:100

p 12 11 10

Figura 11. Relevamiento topográfico y rectificación.

Se puede evidenciar como, manteniendo fija una escala, y aumentando el número de puntos de control p disminuye el error medio µm. Por otro lado, si se fija el número de puntos de control, se puede ver como el error tolerado es mayor al reducirse la escala. Para darle validez a lo expuesto, a continuación se estima el grado de precisión que se alcanzó en la generación de un fotoplano determinando la desviación de las funciones de perímetro y área de una fachada relevada. Estos parámetros estimados fueron medidos directamente sobre el fotoplano (Fig. 11) obtenido con un número de puntos de control variable desde cuatro a ocho, para un total de cinco observaciones de las funciones de perímetro y área. Las desviaciones menores a la media, ya sea respecto a la función del perímetro o la del área, se observan en la rectificación a ocho puntos de control que, en este caso, garantiza el mayor grado de precisión. Generalizando la experiencia práctica se deduce que el número de puntos necesario para un relevamiento de calidad es de 7 u 8 puntos distribuidos en el perímetro. Es necesario prestar atención para no considerar el error medio µm como el límite máximo del error que se puede cometer; de hecho, todos los resultados de la teoría del error explican simplemente un mayor o menor grado de probabilidad. Tabla 4: Residuo de la función perímetro (P) y área (A).

9

p

7

4 55,384

-0,033

4 156,332

-0,279

5 55,422

-0,072

5 156,719

-0,666

6 55,324

0,026

6 155,813

0,240

3

7 55,316

0,034

7 155,733

0,320

2

8 55,333

0,017

8 155,915

0,137

Pmedio

Isi,minI

Amedio

Isi,minI

55,350

0,017

156,053

0,137

6 1:100

1:50

1:20

5 1:1

4

P [m]

si=Pi-Pmedio p

A [m2]

8

si=Ai-Amedia

1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8 μm

Figura 10. Puntos de apoyo al variar el error medio.

EGraFIA 2014 12.- CONCLUSIONES

La implementación de las técnicas de fotogrametría casi siempre coincide – por su presunta simplicidad operativa – con la aplicación de un programa de cálculo, y el trabajo con un número mínimo de fotos y de puntos de control. Sin embargo, eligiendo y adoptando un número planificado de fotos y de puntos, se puede evaluar los errores de los valores obtenidos y también la calidad de los gráficos realizados (o realizables, en el caso de una valoración previa de la calidad). Aunque, sería preferible conocer previamente el número de tomas medidas, y por lo tanto, de puntos identificables sobre la imagen a rectificar, que nos garantizará un error inferior a una tolerancia prefijada. Uno de los objetivos de éste trabajo fue exactamente aquello de identificar el menor número de tomas fotográficas (en función de la focal, la escala de representación, la dimensión del objeto y la distancia al mismo) e identificar una relación entre el número de puntos conocidos y el error admisible. Por ello, el mismo relevamiento conocido como una operación de conocimiento requiere conocimiento.

REFERENCIAS

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