Estudio analítico de cuerpos mediante el software de análisis de video y construcción de modelos informáticos Tracker

PROYECTO DE MOVIMIENTO: Estudio analítico de cuerpos mediante el software de análisis de video y construcción de modelos informáticos “Tracker” Por: JUAN DIEGO AZNAR FERNÁNDEZ Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria Tecnológico de Monterrey

ABSTRACT: The aim of this paper is to show an easy way to analyze the kinematic behavior of bodies, using the video analysis program "Tracker". The measurement process is performed by means of the software, which provides position data, time, speed and many others as well as their graphs and data tables. The results are obtained by processing the data provided by Tracker using this software or spreadsheets. KEYWORDS: Tracker, position, velocity, kinematic, video analysis.

1. INTRODUCCIÓN “Tracker” es un software libre de análisis de video y construcción de modelos informáticos creado en el entorno OSP, (Java Open Source Physics), y usado para el estudio cinemático y dinámico de los objetos mostrados en un video. Para ello, Tracker crea un archivo de modelo de partículas, (“particle model track”), es decir, un modelo matemático a partir de una masa puntual. Existen dos tipos de modelos matemáticos: el Analítico, que define la posición de la masa puntual en función del tiempo; y el Dinámico, que define las funciones de fuerza y las condiciones iniciales para la resolución de ODE numéricos, pudiendo definirse en coordenadas cartesianas o polares. En este trabajo abordaremos el estudio de tres videos mediante el uso de modelos analíticos. 2. USO DE “TRACKER” PARA LA CREACIÓN DE MODELOS ANALÍTICOS Dado que para la resolución de cada uno de los tres problemas propuestos se hace necesaria la creación de un modelo analítico de partida con el que poder trabajar, y dado que el proceso de obtención del mismo es independiente del video analizado, a continuación se mostrará cómo se opera con Tracker para obtener dicho modelo mediante el uso de un video cualquiera. De este modo en cada uno de los tres casos que se abordarán en este trabajo, nos referiremos a esta sección con objeto de no repetir tales explicaciones, si bien se hará constar los datos relevantes en cada caso. 2.1 Interfaz de Tracker y herramientas que se van a utilizar A continuación se muestra la interfaz de Tracker. Como se puede observar posee por defecto tres ventanas. En la número 1 aparecerá el vídeo a analizar una vez abierto, en la número 2 aparecerá el diagrama de trayectoria y en la número 3 se mostrará una tabla con los datos de la trayectoria:

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De todos los iconos que aparecen en la barra de herramientas sólo vamos a necesitar los siguientes: “Abrir”: Se usa para abrir un archivo. Puede ser el video que queramos procesar o un trabajo de Tracker previamente guardado. “Guardar”: Nos servirá para guardar nuestros progresos o cualquier trabajo “Ajustes del corte”: Se utiliza editar las propiedades del video o de un fragmento del mismo. Algunos de estos ajustes también se pueden realizar con la barra inferior de la ventana 1:

“Herramientas de calibración”: Nosotros la utilizaremos para dimensionar el video. “Ejes de coordenadas”: Se usa para seleccionar y ubicar en el video nuestro sistema de referencia. “Crear trayectoria nueva”: Lo usaremos para simplificar nuestro objeto problema a una masa puntual. “Show or hide the autotracker”: Lo usaremos para asignar una masa puntual a una parte del objeto a estudiar.

2.2 Cómo crear un modelo analítico Para comenzar, debemos abrir el video que queremos analizar. Para ello pulsamos en el icono Abrir y seleccionamos el archivo. Hecho esto, se nos mostrará el video en la ventana 1 de la interfaz de Tracker:

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El tamaño de la imagen puede modificarse mediante el icono “Zoom”, (señalado con un círculo rojo en la imagen). El siguiente paso es identificar los fotogramas, (o cuadros), que se van a analizar (en cada problema se nos pedirá analizar definiendo así los puntos de análisis, (uno por fotograma). También debemos modificar la escala de tiempo (los cuadros por segundo con los que está filmado el video). Para ello entramos en “Ajustes del corte”:

Donde introduciremos los valores deseados de:  “cuadro inicial” y “cuadro final”: (ambos definen el fragmento de video a analizar y que por defecto indican los cuadros pertenecientes al video completo).  “Tamaño de paso”: Es el número de fotogramas en que se hará el análisis, (por defecto 1, es decir, de uno en uno), y por lo tanto el número de datos de la trayectoria que se obtendrán. Si queremos acortar el número de datos, podemos analizar la imagen cada 10 fotogramas, por ejemplo, introduciendo este valor en ese campo. 3

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

“Imágenes por segundo”: Son los fotogramas por segundo en los que está grabado el video. Pondremos el valor que corresponda.

Para el caso que nos ocupa, se nos pide analizar todos los cuadros con espacio entre puntos de análisis de 10 cuadros y la escala de tiempo de 300 cuadros por segundo, quedaría como:

Pulsamos aceptar. Ahora debemos calibrar la escala del vídeo. Para ello necesitaremos que en la imagen nos aparezca un modelo de referencia. En nuestro caso, en la parte superior izquierda se encuentra una barra de 10 cm. Debemos establecer la escala en metros. Para ello, pulsamos en el icono “Herramientas de calibración”. Seleccionamos “nuevo” en el desplegable y “vara de calibración”. Nos aparecerá una barra de color azul tal y como se muestra a continuación:

Designamos la longitud de la vara de calibración en metros, (0.10m), introduciendo este valor en la barra de herramientas:

y a continuación hacemos coincidir nuestra vara de calibración con el patrón de nuestra imagen:

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Para un mejor ajuste hemos usado la herramienta “Zoom” al 200%. Hecho esto, ya hemos calibrado nuestra imagen de video. Ahora debemos establecer tu sistema de coordenadas. Para ello, hacemos click en el icono “Ejes de coordenadas” y utilizamos el ratón para colocarlo en el lugar de la imagen que se desee. En este caso, se recomienda poner el eje x paralelo al riel y el origen en la parte izquierda de la imagen.

Establecido nuestro sistema de referencia, debemos crear una masa puntual y establecer a qué parte de la imagen pertenecerá para que el software realice el seguimiento de la misma.

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Para ello, primero crearemos la masa puntual haciendo click en “Crear” y en “masa puntual” dentro del menú desplegable. La interfaz cambia mostrándonos un diagrama y una tabla en blanco en las ventanas 2 y 3, respectivamente:

Para asignar la masa puntual a una parte del objeto, pinchamos en “Show or hide the autotracker”. Nos aparecerá esta ventana:

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Ahora tan solo debemos mantenemos pulsado: “Ctrl+Shift”, (el puntero se convierte en un círculo), y hacemos click en la parte del objeto que deseamos seguir. Hecho esto, la zona escogida aparece delimitada tal y como aparece en esta captura:

Podemos afinar moviendo el círculo central, (señalado por una la flecha amarilla), manteniendo pulsado sobre él el ratón. La imagen que seguirá el software aparece en la parte superior, bajo el botón “search”. Finalmente, haciendo click en este botón se inicia el proceso de análisis, generándose automáticamente un diagrama y una tabla de datos que definen el modelo de análisis con el que trabajaremos. Pulsamos “cerrar”.

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3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En este apartado se muestran las actividades planteadas en las secciones 1, 2 y 3 del “Proyecto de movimiento” del curso y su solución. 3.1 Sección 1 El video muestra por la parte superior un carrito que se mueve en un riel recto y horizontal. Actividades: 1.

Observa el video y describe con palabras la posición del objeto y también haz una predicción de cómo sería la gráfica de posición versus tiempo.

2.

Describe con palabras la velocidad del objeto y también haz una predicción de cómo sería la gráfica de la velocidad del carrito versus tiempo. Soluciones 1 y 2: El carrito realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado entorno a un punto del eje positivo de abscisas que denominaremos “x0”, siendo: “x0>0”. Partiendo con una velocidad inicial “vx0” en (t0, x0), esta decrece mientras avanza en sentido x>x0 hasta detenerse en “xmax”, (vx=0), y mantener esta posición y velocidad durante el intervalo de tiempo [t1, t2]. Después acelera para regresar en sentido contrario con lo que su velocidad aumenta durante un intervalo de tiempo [t2, t3]. A partir del instante “t3” sufre una aceleración en sentido contrario al del movimiento, disminuyendo su velocidad hasta llegar al origen, x0, de nuestro sistema de referencia, donde se detiene por un instante, “t4”. La aceleración le hace aumentar su velocidad para comenzar a moverse hacia valores de x>0 pero parece haber dejado de actuar sobre el carrito, con lo que la velocidad desciende hasta que finalmente el video se detiene mientras el carrito se movía con una velocidad “vf” en un punto (xf ,tf). Según esta descripción del movimiento con respecto al tiempo, una aproximación de la gráfica de la trayectoria del carrito sería la mostrada a continuación:

Graf. 1 Predicción de la posición respecto al tiempo

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Del mismo modo, podemos predecir que la gráfica de la velocidad con respecto al tiempo será aproximadamente como se muestra a continuación:

Graf. 2 Predicción de la velocidad respecto al tiempo

3.

Sigue las instrucciones del uso de Tracker para: 3.1. abrir el video Proyecto Sección 1 en el software 3.2. identificar los cuadros que vas a analizar (se te pide analizar todos los cuadros con

espacio entre puntos de análisis de 10 cuadros, con esto serán 183 puntos de análisis) y la escala de tiempo (este video se tomó con una cámara a 300 cuadros por segundo) 3.3. calibrar la escala (en la parte superior izquierda se encuentra una barra de 10 cm,

establece la escala en metros, es decir, la barra mide 0.10 m) 3.4. establecer tu sistema de coordenadas (se te recomienda poner el eje x paralelo al

riel y el origen en la parte izquierda de la imagen) 3.5. Crea una masa y establece que parte del carrito será la que sigas (escoge algo visible

que puedas seguir fácilmente) 3.6. Obtener una tabla de posición en x versus tiempo y una gráfica de posición x versus

tiempo (observa que Tracker te ofrece lo mismo para la coordenada y pero no la usaremos) Solución: El procedimiento para operar con Tracker según se pide en los puntos: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 y 3.5 han quedado claramente detallados en el apartado número dos de este trabajo, por lo que iré directamente a dar los resultados requeridos en el punto 3.6 de esta actividad. Tras operar con Tracker, se obtienen los siguientes resultados:

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Captura de pantalla tras operar con Tracker para la resolución de esta actividad

Como podemos apreciar en la captura de pantalla de la imagen superior, Tracker nos facilita una tabla de posición en x versus tiempo y una gráfica de posición x versus tiempo tal y como solicita la actividad. Estos son los resultados:

masa_A masa_A masa_A masa_A masa_A masa_A masa_A tiempo (t) x tiempo (t) x tiempo (t) x tiempo (t) x tiempo (t) x tiempo (t) x tiempo (t) x 0,00E+00 1,11E-16 7,33E-01 2,07E-01 1,47E+00 2,57E-01 2,20E+00 2,02E-01 2,93E+00 5,97E-02 3,67E+00 -1,55E-01 4,40E+00 -3,63E-01 3,33E-02 1,36E-02 7,67E-01 2,12E-01 1,50E+00 2,57E-01 2,23E+00 1,98E-01 2,97E+00 5,00E-02 3,70E+00 -1,69E-01 4,43E+00 -3,51E-01 6,67E-02 2,57E-02 8,00E-01 2,17E-01 1,53E+00 2,56E-01 2,27E+00 1,92E-01 3,00E+00 4,31E-02 3,73E+00 -1,80E-01 4,47E+00 -3,40E-01 1,00E-01 3,80E-02 8,33E-01 2,23E-01 1,57E+00 2,58E-01 2,30E+00 1,85E-01 3,03E+00 3,44E-02 3,77E+00 -1,90E-01 4,50E+00 -3,27E-01 1,33E-01 4,81E-02 8,67E-01 2,26E-01 1,60E+00 2,55E-01 2,33E+00 1,81E-01 3,07E+00 2,38E-02 3,80E+00 -2,01E-01 4,53E+00 -3,14E-01 1,67E-01 5,81E-02 9,00E-01 2,30E-01 1,63E+00 2,56E-01 2,37E+00 1,75E-01 3,10E+00 1,35E-02 3,83E+00 -2,15E-01 4,57E+00 -3,03E-01 2,00E-01 6,90E-02 9,33E-01 2,35E-01 1,67E+00 2,57E-01 2,40E+00 1,70E-01 3,13E+00 3,71E-03 3,87E+00 -2,26E-01 4,60E+00 -2,90E-01 2,33E-01 8,18E-02 9,67E-01 2,38E-01 1,70E+00 2,52E-01 2,43E+00 1,65E-01 3,17E+00 -7,03E-03 3,90E+00 -2,39E-01 4,63E+00 -2,80E-01 2,67E-01 9,42E-02 1,00E+00 2,41E-01 1,73E+00 2,49E-01 2,47E+00 1,60E-01 3,20E+00 -1,77E-02 3,93E+00 -2,47E-01 4,67E+00 -2,70E-01 3,00E-01 1,04E-01 1,03E+00 2,45E-01 1,77E+00 2,48E-01 2,50E+00 1,52E-01 3,23E+00 -2,66E-02 3,97E+00 -2,62E-01 4,70E+00 -2,58E-01 3,33E-01 1,16E-01 1,07E+00 2,48E-01 1,80E+00 2,44E-01 2,53E+00 1,45E-01 3,27E+00 -3,43E-02 4,00E+00 -2,72E-01 4,73E+00 -2,49E-01 3,67E-01 1,24E-01 1,10E+00 2,52E-01 1,83E+00 2,42E-01 2,57E+00 1,39E-01 3,30E+00 -4,22E-02 4,03E+00 -2,84E-01 4,77E+00 -2,39E-01 4,00E-01 1,33E-01 1,13E+00 2,53E-01 1,87E+00 2,39E-01 2,60E+00 1,31E-01 3,33E+00 -5,26E-02 4,07E+00 -2,97E-01 4,80E+00 -2,28E-01 4,33E-01 1,43E-01 1,17E+00 2,54E-01 1,90E+00 2,38E-01 2,63E+00 1,25E-01 3,37E+00 -6,17E-02 4,10E+00 -3,08E-01 4,83E+00 -2,19E-01 4,67E-01 1,52E-01 1,20E+00 2,56E-01 1,93E+00 2,32E-01 2,67E+00 1,18E-01 3,40E+00 -7,18E-02 4,13E+00 -3,21E-01 4,87E+00 -2,10E-01 5,00E-01 1,62E-01 1,23E+00 2,57E-01 1,97E+00 2,29E-01 2,70E+00 1,10E-01 3,43E+00 -8,26E-02 4,17E+00 -3,34E-01 4,90E+00 -2,03E-01 5,33E-01 1,68E-01 1,27E+00 2,57E-01 2,00E+00 2,24E-01 2,73E+00 1,03E-01 3,47E+00 -9,22E-02 4,20E+00 -3,44E-01 4,93E+00 -1,94E-01 5,67E-01 1,77E-01 1,30E+00 2,59E-01 2,03E+00 2,22E-01 2,77E+00 9,71E-02 3,50E+00 -1,03E-01 4,23E+00 -3,55E-01 4,97E+00 -1,81E-01 6,00E-01 1,82E-01 1,33E+00 2,59E-01 2,07E+00 2,19E-01 2,80E+00 8,97E-02 3,53E+00 -1,10E-01 4,27E+00 -3,67E-01 5,00E+00 -1,70E-01 6,33E-01 1,88E-01 1,37E+00 2,58E-01 2,10E+00 2,15E-01 2,83E+00 8,20E-02 3,57E+00 -1,22E-01 4,30E+00 -3,75E-01 5,03E+00 -1,62E-01 6,67E-01 1,94E-01 1,40E+00 2,58E-01 2,13E+00 2,11E-01 2,87E+00 7,66E-02 3,60E+00 -1,34E-01 4,33E+00 -3,79E-01 5,07E+00 -1,54E-01 7,00E-01 2,02E-01 1,43E+00 2,58E-01 2,17E+00 2,07E-01 2,90E+00 6,82E-02 3,63E+00 -1,45E-01 4,37E+00 -3,74E-01

Tabla de posición Vs tiempo reprocesada en Excel

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Gráfica de posición Vs tiempo facilitada por Tracker

4.

Compara tu predicción de la posición del objeto con la gráfica de posición ofrecida por Tracker. Solución: La gráfica de la predicción de la posición del objeto facilitada en 3.1 concuerda con la obtenida con Tracker en 3.6, si bien existen diferencias entre el tamaño del intervalo de tiempo [t1, t2] en el que el objeto se detiene.

Tracker

Predicción

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5.

Basándote en la gráfica de posición obtenida mediante Tracker haz una predicción de la gráfica de velocidad en función del tiempo. Solución: Según la explicación dada en 3.1, y dado que tanto la gráfica de posición facilitada por Tracker como la de la predicción concuerdan, cabría esperar que la gráfica de velocidad en función del tiempo también se aproximara a la facilitada en 3.1:

6.

Usando Traza y Analiza de Tracker, obtén la gráfica de velocidad en función del tiempo. Solución: Usando la función “Traza” y “Analiza” de Tracker, obtenemos la siguiente gráfica:

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7.

Compara la gráfica de velocidad de tu predicción con la gráfica que te proporciona Tracker. Solución: La gráfica esperada y la reportada por Tracker no parecen coincidir…

Predicción

Tracker

8.

Comenta en el reporte los resultados de este ejercicio contrastando tus predicciones con lo obtenido en Tracker. Solución: Tal y como hemos visto anteriormente, prácticamente no existen discrepancias en las gráficas de trayectoria, ahora bien, Tracker posee una precisión máxima a la hora de reportar el gráfico en cuanto a valores y escala, mientras que la gráfica de predicción sólo puede mostrar valores aproximados y la escala es deficiente. En cuanto a las gráficas de velocidad, está claro que existe una gran discrepancia entre la predicción y la reportada por Tracker debiéndose, en mi opinión, a errores de escala en la gráfica de predicción. 13

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3.2 Sección 2 El video muestra una pelota que sube y baja en caída libre.

Actividades: Parte A

1.

Sigue las instrucciones del uso de Tracker para: 1.1. abrir el video Proyecto Sección 2 en el software 1.2. identificar los cuadros que vas a analizar (se te pide analizar desde el cuadro 6 hasta

el 246 con espacio entre puntos de análisis de 2 cuadros, con esto serán 120 puntos de análisis) y la escala de tiempo (este video se tomó con una cámara a 300 cuadros por segundo) 1.3. calibrar la escala (en la parte superior izquierda se encuentra una barra de 10 cm,

establece la escala en metros, es decir, la barra mide 0.10 m, escribe 0.10) 1.4. establecer tu sistema de coordenadas (se te recomienda poner el eje y paralelo al

movimiento de la pelota y el origen en donde aparece la pelota) 1.5. Crear una masa y establece qué parte de la pelota será la que sigas (escoge algo

visible que puedas seguir fácilmente) 1.6. Obtener una tabla de posición de la pelota versus tiempo y una gráfica de

posición versus tiempo.

Solución:

El procedimiento para operar con Tracker según se pide en los puntos: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5 han quedado claramente detallados en el apartado número dos de este trabajo, por lo que iré directamente a dar los resultados requeridos en el punto 1.6 de esta actividad.

Tras operar con Tracker, se obtienen los siguientes resultados:

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Captura de pantalla tras operar con Tracker

De donde podemos obtener una tabla de datos de la posición de la partícula en función del tiempo: masa_A tiempo (t) Posición (x) 0,00E+00 1,01E-02 6,67E-03 5,73E-02 1,33E-02 8,82E-02 2,00E-02 1,34E-01 2,67E-02 1,64E-01 3,33E-02 1,94E-01 4,00E-02 2,37E-01 4,67E-02 2,65E-01 5,33E-02 3,07E-01 6,00E-02 3,39E-01 6,67E-02 3,66E-01 7,33E-02 4,08E-01 8,00E-02 4,35E-01 8,67E-02 4,74E-01 9,33E-02 5,00E-01 1,00E-01 5,25E-01 1,07E-01 5,62E-01 1,13E-01 5,86E-01 1,20E-01 6,19E-01 1,27E-01 6,41E-01

masa_A tiempo (t) Posición (x) 1,33E-01 6,61E-01 1,40E-01 6,91E-01 1,47E-01 7,11E-01 1,53E-01 7,40E-01 1,60E-01 7,59E-01 1,67E-01 7,77E-01 1,73E-01 8,03E-01 1,80E-01 8,20E-01 1,87E-01 8,45E-01 1,93E-01 8,60E-01 2,00E-01 8,73E-01 2,07E-01 8,95E-01 2,13E-01 9,07E-01 2,20E-01 9,25E-01 2,27E-01 9,35E-01 2,33E-01 9,46E-01 2,40E-01 9,59E-01 2,47E-01 9,67E-01 2,53E-01 9,79E-01 2,60E-01 9,86E-01

masa_A tiempo (t) Posición (x) 2,67E-01 9,92E-01 2,73E-01 1,00E+00 2,80E-01 1,01E+00 2,87E-01 1,01E+00 2,93E-01 1,02E+00 3,00E-01 1,02E+00 3,07E-01 1,03E+00 3,13E-01 1,03E+00 3,20E-01 1,03E+00 3,27E-01 1,03E+00 3,33E-01 1,03E+00 3,40E-01 1,03E+00 3,47E-01 1,03E+00 3,53E-01 1,03E+00 3,60E-01 1,02E+00 3,67E-01 1,02E+00 3,73E-01 1,01E+00 3,80E-01 1,01E+00 3,87E-01 1,00E+00 3,93E-01 9,98E-01

masa_A tiempo (t) Posición (x) 4,00E-01 9,92E-01 4,07E-01 9,82E-01 4,13E-01 9,75E-01 4,20E-01 9,64E-01 4,27E-01 9,54E-01 4,33E-01 9,45E-01 4,40E-01 9,29E-01 4,47E-01 9,17E-01 4,53E-01 8,99E-01 4,60E-01 8,86E-01 4,67E-01 8,72E-01 4,73E-01 8,51E-01 4,80E-01 8,37E-01 4,87E-01 8,14E-01 4,93E-01 7,98E-01 5,00E-01 7,81E-01 5,07E-01 7,54E-01 5,13E-01 7,35E-01 5,20E-01 7,05E-01 5,27E-01 6,86E-01

masa_A tiempo (t) Posición (x) 5,33E-01 6,64E-01 5,40E-01 6,32E-01 5,47E-01 6,09E-01 5,53E-01 5,76E-01 5,60E-01 5,51E-01 5,67E-01 5,27E-01 5,73E-01 4,87E-01 5,80E-01 4,61E-01 5,87E-01 4,25E-01 5,93E-01 3,96E-01 6,00E-01 3,68E-01 6,07E-01 3,25E-01 6,13E-01 2,97E-01 6,20E-01 2,53E-01 6,27E-01 2,24E-01 6,33E-01 1,94E-01 6,40E-01 1,52E-01 6,47E-01 1,21E-01 6,53E-01 7,42E-02 6,60E-01 4,35E-02

Tabla de posición Vs tiempo reprocesada en Excel

Del mismo modo, se puede obtener la gráfica de la posición respecto al tiempo:

15

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Gráfica de posición Vs tiempo facilitada por Tracker

2.

Por medio de “Analize” de Tracker, ajusta los datos de posición a una ecuación cuadrática.

Solución: Haciendo click con el botón derecho del ratón sobre la tabla de datos ofrecida en Tracker, seleccionamos “Analizar”:

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Una vez se ha abierto la ventana “Herramienta de datos”, vamos a la parte inferior de esta y seleccionamos “Parábola” en el desplegable junto a “Nombre del ajuste”:

3.

Determina los parámetros, A, B, y C. Solución: Tras operar como se ha explicado en el punto anterior, en la parte inferior de la gráfica mostrada en la ventana “Herramienta de datos” vemos que de forma automática Tracker nos ajusta los puntos de la gráfica a una parábola y reporta su ecuación cuadrática y constantes:

Es decir, en este caso los puntos de la gráfica se ajustan a la ecuación cuadrática: = −9.308

+ 6.189 + 5.844 · 10

17

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4.

Relaciona los parámetros A, B, y C con cantidades físicas como la posición inicial, velocidad inicial y la aceleración de la partícula. Encuentra estas tres cantidades físicas. Solución: Dada la ecuación que muestra la posición de la pelota en función del tiempo: = −9.308

+ 6.189 + 5.844 · 10

( )

obtendremos la ecuación de la velocidad derivando con respecto al tiempo: =

= −18.62 + 6.189 ( ·

)

Del mismo modo, derivaremos la ecuación de la velocidad respecto al tiempo para obtener la ecuación de la aceleración: =

=

= −18.62 ( ·

)

Para obtener los datos de: posición, velocidad y aceleración iniciales, tan solo debemos considerar que t=0 en la ecuación correspondiente a cada magnitud, resultando: = 5.844 · 10 = 6.189 = −18.62

Siendo las unidades en cada caso: = = =

·

·

,(

)

,(

,(

) )

tal y como se anotó junto a cada ecuación.

5.

Usando Tracker, construye la velocidad en función del tiempo. Solución: Para cambiar los valores de posición por los de velocidad en la gráfica de la ventana 2 de Tracker tan solo tenemos que pinchar con el ratón sobre la magnitud a cambiar, “x” en este caso, en el eje de ordenadas y seleccionar en el menú desplegable aquella otra que deseemos, (la velocidad en este caso):

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Además, haciendo click sobre el icono “Datos”, podremos cambiar o añadir magnitudes a nuestra tabla de datos. En nuestro caso, sustituiremos “x” por “vx”:

Ahora tan sólo debemos usar la herramienta “Analizar” tal y como se explicó en el punto 2 para obtener una gráfica y datos que poder manejar:

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6.

Por medio de “Analize” de Tracker, ajusta los datos de velocidad a una ecuación lineal. Solución: Tal y como se hizo en 2, hacemos click en “Analice” y seleccionamos “Ajustes” y ajustar los puntos de la gráfica a una ecuación lineal tal y como se procedió en 2:

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7.

Determina los parámetros a y b. Solución: Tal y como se muestra en el punto anterior, hemos obtenido un ajuste lineal de ecuación: = −18,34 + 6,104 ( ·

)

Donde los parámetros de “a” y “b” son: = −18,34 (

)

= 6,104 (

8.

)

Relaciona parámetros a y b con cantidades físicas como la velocidad inicial y la aceleración de la partícula. Encuentra estas dos cantidades físicas y compáralas con lo encontrado con la posición de la partícula. Solución: La aceleración vendrá dada por: =

= −18,34 ( ·

)

Y la velocidad inicial la obtendremos haciendo t=0: = 6,104 ( ·

)

Si comparamos estas cantidades con las obtenidas analizando la gráfica de la posición con respecto al tiempo, vemos que ambos resultados son muy similares: Magnitud vx a

9.

Gráfica (x , t) -18.62 6.189

Gráfica (vx, t) -18.34 6.104

Desviación Estándar

0.20 0.060

Escribe en el reporte los resultados de este ejercicio. Solución: Los resultados de este ejercicio ya han sido reportados en todos los puntos anteriores.

21

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Parte B 1.

Exporta los datos de posición y tiempo a una hoja de cálculo.

Solución: Esta actividad ya se realizó en el punto 1.6 de la parte A 2.

En la hoja de cálculo, construye una gráfica de posición versus tiempo. Solución: Partiendo de los datos exportados desde la tabla de Tracker hasta una hoja de cálculo Excel, obtenemos la siguiente gráfica:

Posición Vs Tiempo 1,00E+00

Posición (x)

8,00E-01

6,00E-01

4,00E-01

2,00E-01

101

97

93

89

85

81

77

73

69

65

61

57

53

49

45

41

37

33

29

25

21

17

13

9

5

1

0,00E+00

Tiempo (t)

3.

Usando los datos de posición y tiempo, calcula de forma numérica la velocidad de la partícula en función del tiempo.

Solución: Del mismo modo que con Tracker, vamos a ajustar nuestros datos a una curva mediante Excel:

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Como vemos, si ajustamos los puntos a una línea de tendencia polinómica de orden dos, (cuadrática como en el caso de Tracker), Excel nos reporta la ecuación de la curva con un coeficiente de correlación muy bueno: R2=0,9998. La ecuación reportada resulta ser: = −0.0004

+ 0.0421 − 0.0358

Por tanto, dado que “y” representa la posición y “x” el tiempo, obtenemos: = −0.0004

+ 0.0421 − 0.0358 ( )

es la ecuación de la posición con respecto al tiempo reportada por Excel. Para obtener la ecuación de velocidad, tan sólo tendremos que derivar respecto al tiempo tal y como vimos en el punto 4: =

4.

=

(−0.0004

+ 0.0421 − 0.0358) = −0.0008 + 0.0421 ( ·

)

Construye una gráfica de velocidad versus tiempo con los resultados. Solución:

Usando Excel, calculamos el valor de “vx” para cada valor de “t” obtenido con Tracker usando la ecuación de velocidad obtenida. Hecho esto, la gráfica que se obtiene en Excel es la siguiente:

23

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Más claramente:

Velocidad Vs Tiempo 6,00E+00 y = -0,1223x + 6,2262 R² = 0,9913

4,00E+00 3,00E+00 2,00E+00 1,00E+00

Tiempo (t)

0,67

0,64

0,61

0,59

0,56

0,53

0,51

0,48

0,45

0,43

0,40

0,37

0,35

0,32

0,29

0,27

0,24

0,21

0,19

0,16

0,13

0,11

0,08

0,05

0,03

0,00E+00 0,00

Velocidad (Vx)

5,00E+00

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5.

Compara tu gráfica de velocidad con la gráfica de velocidad que obtiene Tracker. Solución: La gráfica obtenida con Excel es casi idéntica a la facilitada por Tracker.

6.

Escribe en el reporte los resultados de este ejercicio. Solución: Los resultados de este ejercicio se han reportado en todos los puntos anteriores a este apartado.

Sección 3 El video muestra el odómetro de un automóvil y un cronómetro y el auto se traslada. El objetivo del proyecto es analizar el movimiento del auto por medio de la gráfica de velocidad versus tiempo. Para ello vamos a usar cualquier software de hojas de cálculo como Excel.

Actividades 1.

Obtén y registra al menos 15 puntos de los pares (tiempo, velocidad) del video para construir una tabla de velocidad versus tiempo. Nota: La velocidad está en unidades de km/h, convierte los datos de velocidad a m/s. Solución: En este problema está claro que no podemos operar con Tracker tal y como lo hemos estado haciendo antes, debido a las peculiaridades del video, (no existe ninguna referencia de calibración, imagen inestable, etc.), por lo que abordaremos esta actividad haciendo un uso muy simple pero efectivo del Tracker. Primero vamos a establecer los ajustes del corte tal y como se muestra a continuación:

Escojo como cuadro inicial el número 40 porque es a partir del cual el velocímetro comienza a moverse y el cronómetro marca exactamente 10.0 segundos.

25

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A continuación, vamos a establecer sobre el velocímetro los valores que, (supuestamente), este marcará en Km/h. Para ello me he basado en los velocímetros de otros autos:

Hecho esto, abrimos una hoja de Excel y comenzamos a anotar los valores de la velocidad para un instante determinado. Para ello, iremos pulsando “paso adelante”, (señalado con la flecha amarilla), hasta que obtengamos un par velocidad-tiempo adecuado. En mi caso, he esperado a que el velocímetro marcara una cantidad fácilmente reconocible, (valores enteros), para tomar el par:

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Como resultado se obtiene los siguiente pares velocidad-tiempo:

tiempo velocidad velocidad (s) (Km/h) (m/s) 10,0 0 0,0 14,6 10 2,8 17,3 20 5,6 19 30 8,3 22,5 40 11,1 26,5 50 13,9 31,7 60 16,7 35,3 60 16,7 40,5 50 13,9 45,4 40 11,1 49,8 30 8,3 52 20 5,6 54 10 2,8 56,1 0 0,0

2.

Usa una hoja de cálculo como Excel para construir una gráfica de velocidad versus el tiempo. Solución: Tomando los valores de los pares velocidad, (m/s), y tiempo, podemos generar con Excel la siguiente gráfica:

Velocidad Vs Tiempo 18,0 16,0

Velocidad (m/s)

14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 10,00 14,60 17,30 19,00 22,50 26,50 31,70 35,30 40,50 45,40 49,80 52,00 54,00 56,10

Tiempo (s)

27

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3.

Usando el teorema de la velocidad promedio, calcula en forma numérica el desplazamiento total del auto en los 58 segundos mostrados. Solución: Según el Teorema del valor promedio, el desplazamiento del auto durante los 58s mostrados será igual al valor del área hallada bajo la curva de velocidad y el eje de abscisas:

Es decir: ∆ = Como podemos obtener la ecuación de la velocidad dependiente del tiempo ajustando los valores de nuestra gráfica a una función de orden 6, (la que mejor se ajusta):

Velocidad Vs Tiempo 18,0 16,0

Velocidad (m/s)

14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0

y = -0,0003x6 + 0,0132x5 - 0,2214x4 + 1,7035x3 - 6,2208x2 + 12,781x - 8,1197 R² = 0,9963 10,00 14,60 17,30 19,00 22,50 26,50 31,70 35,30 40,50 45,40 49,80 52,00 54,00 56,10

Tiempo (s)

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De donde: ( ) = −0,003

+ 0,0132

− 0,2214

+ 1,7035

− 6,0008

+ 12,781 − 8,1197 (

·

)

y por lo tanto: ∆ =

[−0,003 6 + 0,0132 5 − 0,2214 4 + 1,7035 3 − 6,0008 2 + 12,781 − 8,1197]

=

Resultando: −0,003

∆ =[

7

7

+

0,0132

6

6

−

0,2214

5

5

+

1,7035

4

4

−

6,0008

3

3

+

12,781

2

2

− 8,1197 +

]58 0

Obviamente el valor de “C” se obtiene para t=0: ∆

=0 →0=0+

→

=0

Con lo que, finalmente: −0,003

∆ =[

7

7

+

0,0132 6

6

−

0,2214 5

5

+

1,7035 4

4

−

6,0008 3

3

+

12,781 2

2

− 8,1197 ]58 0

Resolviendo: ∆ = 349.2

4.

Escribe en el reporte los resultados de este ejercicio. Solución: Los resultados de este ejercicio fueron reportados en los puntos anteriores de esta sección.

29