Estadistica-variables aleatorias

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U.N.E.F.A. Excelencia educativa abierta al pueblo U.N.E.F.A. Excelencia educativa abierta al pueblo
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República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para de DefensaUniversidad Nacional Experimental de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de IngenieríaRepública Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para de DefensaUniversidad Nacional Experimental de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de Ingeniería
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Variables aleatorias

San Cristóbal, Julio de 2014San Cristóbal, Julio de 2014Tutor(a): Aura MéndezAutor(es):Sánchez Omar C.I. V-20.625.190Saavedra Frank C.I. V-19.975.660Guerrero Glenny C.I V-21.002.756Tutor(a): Aura MéndezAutor(es):Sánchez Omar C.I. V-20.625.190Saavedra Frank C.I. V-19.975.660Guerrero Glenny C.I V-21.002.756

San Cristóbal, Julio de 2014
San Cristóbal, Julio de 2014
Tutor(a):
Aura Méndez
Autor(es):
Sánchez Omar C.I. V-20.625.190
Saavedra Frank C.I. V-19.975.660
Guerrero Glenny C.I V-21.002.756


Tutor(a):
Aura Méndez
Autor(es):
Sánchez Omar C.I. V-20.625.190
Saavedra Frank C.I. V-19.975.660
Guerrero Glenny C.I V-21.002.756



Indice

Distribución de variables aleatorias discretas
Distribución binominal
Distribución de poisson



Introducción

Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como el número de caras que se obtienen al lanzar 4 veces una moneda, el número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el seis, el número de llamadas que se reciben en un teléfono en una hora, el tiempo de espera a que llegue un autobús.
Las variables aleatorias, como las estadísticas, pueden ser discretas o continuas.
Las variables aleatorias permiten definir la probabilidad como una función numérica (de variable real) en lugar de como una función de un conjunto dado.
Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme si la función de densidad es constante en el intervalo en el que se encuentran todos los valores de la variable.

Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de frecuencias. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los resultados. Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.
Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se lleva a cabo.
Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas o en una estimación subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar también en la experiencia.




Marco TeóricoMarco Teórico
Marco Teórico
Marco Teórico

Definición y características de la Distribuciones de Probabilidad de la Variables Aleatorias Discretas
¿Cuándo podemos considerar que una V.A. es discreta?
Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento.
Para designar a las variables aleatorias, se utilizan letras mayúsculas X, Y, ..., y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Existen varios tipos de V.A.: variables cualitativas o atributos por un lado y variables cuantitativas por otro. Dentro de estas últimas podemos diferenciar entre cuantitativas continuas y cuantitativas discretas. Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros en un número finito de valores o infinito numerable. Por ejemplo, número de caras obtenidas al lanzar tres monedas: 0, 1, 2, 3. Las variables discretas representan algo que podemos contar, y no suelen llevar decimales.
Función de Probabilidad
Sea una V.A. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y se conocen las probabilidades de que la variable X tome dichos valores.
Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir:
f(xi)= P(X=xi)
Es una idealización de la correspondiente distribución de frecuencias ya que en realidad se está estimando las frecuencias absolutas fi y relativas hi de forma experimental o empírica. También se llama función de cuantía o masa.
Características:
A cada valor de la variable aleatoria xi le hacemos corresponder una probabilidad esperada teórica pi .
Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras.
La suma de todas las probabilidades esperadas es uno.
Ejemplo 1.
Un dado simétrico tiene tres caras iguales con una puntuación de 6 en cada cara, en otras dos de las caras la puntuación es de 5 en cada una y en la cara restante la puntuación es de 1. Obtener la función de probabilidad o cuantía de la variable X.
Tabla 1. Cálculo de la función de probabilidad

X=xi
P(X=xi)
1
1/6
5
2/6
6
3/6


Imagen 1. Diagrama de barras de la función de probabilidad

La distribución binominal
Definición
Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.
Propiedades
- La muestra se compone de un número fijo de observaciones n
- Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.
- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.
- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n
Ecuación:
PX=n!X!n-X! pX 1-pn-X
Donde
PX=Probabilidad de X éxitos, dadas y
n = Número de observaciones
p = Probabilidad de éxitos
1-p = Probabilidad de fracasos
X = Número de éxitos en la muestra (= 0, 1, 2, 3, 4,………)
Ejemplo ilustrativo N° 1
Determine P(X=5) para n = 6 y p = 0,83
Solución:
Aplicando la ecuación se obtiene:
PX=n!X!n-X! pX 1-pn-X
PX=5=6!5!6-5! 0,835 1-0,836-5=0,4018
Ejemplo ilustrativo N° 2
Determinar P(X 4) para n =5 y p = 0,45
Solución:
PX 4=PX=0+PX=1+PX=2+PX=3+PX=4
Se puede aplicar la ecuación para cada probabilidad, pero para ahorrar tiempo se recomienda encontrar las probabilidades con lectura en la tabla de probabilidades binomiales. Realizando la lectura en la tabla de la distribución binomial para P(X=0) con n=5 y p=0,5 se obtiene 0,0503. Continuando con la respectivas lecturas en la tabla se obtiene: 0,2059 para P(X=1), 0,3369 para P(X=2), 0,2757 para P(X=3) y 0,1128 para P(X=4),
Por lo tanto PX 4=0,0503+0,2059+0,3369+0,2757+0,1128=0,9816


Esperanza matemática
En un experimento aleatorio, la esperanza matemática se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoria considerada por su probabilidad.
Cuando la variable aleatoria X es discreta, el valor de la esperanza matemática asociada viene dado por:

Si se trata de una variable aleatoria continua, el número de valores de la variable es infinito, por lo que el sumatorio se convierte en una integral.

Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.
La distribución de poissom
La distribución de Poisson brinda un buen modelo para la distribución de probabilidad del número de eventos raros que ocurren en el espacio, tiempo, volumen o cualquier otra dimensión, donde λ es el valor promedio de Y. Algunos ejemplos de sus usos se listan aqui;
Número de accidentes automovilísticos en una calle
Número de accidentes industriales en una planta
Número de llamadas telefónicas manejadas por un calle center en un intervalo de tiempo
Numero de partículas radioactivas que se desintegran en un periodo particular
Numero de errores que se comenten al escribir en un computador
Numero de automóviles que usan una rampa en un intervalo de tiempo
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
Propiedades
La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es


Donde
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es


Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es


Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012). Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:


entonces los límites del parámetro están dadas por: .










Marco MetodológicoMarco Metodológico
Marco Metodológico
Marco Metodológico






















Conclusión

Una distribución de frecuencia es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías convenientemente establecidas de clases ordenadas numéricamente.
En esta forma las características más importantes de los datos se aproximan muy fácilmente, compensando así el hecho de que cuando los datos se agrupan de ese modo, la información inicial referente a las observaciones individuales de que antes se disponía se pierde a través del proceso de agrupamiento o condensación.

La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. La probabilidad involucrada es una porción o fracción cuyo valor varía entre cero y uno exclusivamente. Observamos un evento que no tiene posibilidad de ocurrir (es decir, el evento nulo), tiene una probabilidad de cero, mientras que un evento que seguramente ocurrirá (es decir, el evento cierto), tiene una probabilidad de uno.

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