Estadística Descriptiva

ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA Es la ciencia que se ocupa de recolectar, organizar, describir y analizar datos numéricos que ayuden a deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo con dichos análisis.

¿Que es la recolección de datos? Recolectar datos es obtener información de los elementos de una población o muestra. Recolectamos los datos básicamente de dos formas: directamente o consultando documentos.

Recolección de Datos

Frecuencia Absoluta: es el número de veces que se presenta un dato de la variable considerada. Distribución de Frecuencias: es una forma de organizar un conjunto de datos numéricos en base a intervalos o clases. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Una vez recolectada y organizada la información, algunas situaciones requieren de medidas que representen el conjunto de datos. Estas medidas se denominan medidas de tendencia central. Las medidas de tendencia central nos dan una idea de un valor en torno al cual se agrupan los datos. Las Medidas de tendencia central son: La Media Aritmética, la Mediana y la Moda 1. La Media Aritmética para datos no agrupados: Se denomina media aritmética o simplemente media de un conjunto de valores a la suma de todos ellos dividida entre el número de valores. La media se representa con el signo X y su definición se representa mediante la siguiente expresión:

X= De forma directa

Encuestas

Donde Investigación Bibliográfica Consulta de Documentos

Observación Cifras previamente establecidas

¿Qué es la organización de datos? Una vez registrados los datos recolectados, procedemos a organizarlos. Los datos se organizan en una tabla estadística también llamada tabla de frecuencias. Definiciones empleadas en la Estadística: Población: es el conjunto completo de individuos, medidas u objetos a estudiar y que tienen al menos una característica en común. Muestra: es el subconjunto representativo de la población. Variable Estadística: es una característica o atributo que se observa en cada elemento de la población. Dato: es el valor de la variable para cada elemento perteneciente a la población o a la muestra.

x1 , x 2 , …, xn

x1 + x 2 + x 3 + x 4 + ... + xn n

son valores y n el número de datos.

Ejemplo: Notas obtenidas por 10 alumnos en una evaluación: 15, 17, 14, 20, 18, 18, 14, 14, 20,19

15 + 17 + 14 + 20 + 18 + 18 + 14 + 14 + 20 + 19 10 169 X= → X = 16,9 La Media Aritmética es de 16,9 puntos 10 X=

2. La Mediana para datos no agrupados: La mediana es el valor central de un conjunto de datos. La mediana divide la distribución en dos partes iguales, de tal forma que existen igual número de datos por debajo de la mediana, como por encima de ella, la mediana se representa por Md. La mediana de un conjunto de datos se calcula de la siguiente forma: • Se ordenan los datos, en forma creciente (de menor a mayor) o en forma decreciente (de mayor a menor). • Si el número de datos es impar, la mediana es aquel que esta situado en el centro. • Si el número de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos datos centrales. Ejemplo: Notas obtenidas por un grupo de 10 alumnos: 14, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 20,20; Md= 17,5 3. La Moda para datos no agrupados: La moda es el dato con mayor frecuencia absoluta, es decir, el valor que más se repite. La moda se utiliza en una distribución cuando se desea obtener información sobre el punto donde se encuentra la mayor concentración de observaciones y se designa Mo. Por ejemplo, en base al ejemplo anterior, el dato que más se repute es 14, por lo tanto Mo = 14 Actividad: Hallar la Media, Mediana y Moda de los siguientes datos: 5, 3, 7, 7, 8, 6, 4, 5, 5, 5, 1, 1, 4, 3, 6, 8, 8, 5, 9, 5, 1, 1, 4, 7, 2, 3, 4 y 3

ESTADÍSTICA Mediana para datos agrupados

Media Aritmética para datos agrupados Cuando los datos están dados por una distribución de frecuencias, calculamos la media sumando los productos de la variable por la frecuencia correspondiente y dividiendo entre la suma de las frecuencias o tamaño de la muestra.

x1 ⋅ f1 + x 2 ⋅ f2 + x 3 ⋅ f3 + x 4 ⋅ f4 + ... + xn ⋅ fn n Donde n = f1 + f2 + f3 + ... + fn , siendo n el número X=

total de observaciones. Consideremos la siguiente distribución de frecuencias: X1 10 11 14 16 17 18 Total

f 7 5 10 14 8 6 50

f . X1 70 55 740 224 136 108 733

70 + 55 + 140 + 224 + 136 + 108 50 733 X= X = 14,66 50 X=

X1 = Valor de la variable

f = Frecuencia absoluta

Suma de frecuencias Si los datos se encuentran agrupados en intervalos de clases, realizamos lo siguiente: - Determinamos para cada Clase f X1 f . X1 intervalo el representante 1-5 9 3 27 de clase, el cual 6 -10 10 8 80 corresponde al punto medio 11 - 15 13 13 169 del intervalo. Esto se logra 16 -20 8 18 144 mediante la semisuma de Total 40 --420 los límites superiores e inferiores del intervalo, y se denota como: xi 27 + 80 + 169 + 144 x= ℓ + ℓ sup 40 Xi = inf 2 420 x= - Sumamos el producto 40 las frecuencias para x = 10,5 hallar el total de observaciones. - Efectuamos el producto de cada representante de clase por la frecuencia respectiva y sumamos estos productos. - Dividimos el total de los productos (de los representantes de clase por la frecuencia) entre el total de observaciones, y el cociente obtenido es la Media Aritmética

Para calcular la mediana en una tabla de frecuencias, se requiere de las frecuencias absoluta f y acumulada fa.

Clase 10 - 12 12 - 14 14 - 16 16 - 18 18 - 20 20 - 22 Total

f 1 7 6 4 1 1 20

X1 11 13 15 17 19 20 ---

fa 1 8 14 18 19 20 ---

- Para calcular la mediana de una distribución de datos agrupados, se emplea la siguiente fórmula:

Me = ℓ inf

f      − fa −1  2  +C    fa − fa −1     

∑ f 20 = = 10 2 2 - Dividimos la suma total de frecuencias absolutas (20) entre 2 - Ubicamos el valor que obtenemos (10) en las frecuencias acumuladas, si no hay exactamente ese valor, ubicamos el valor superior más cercano, en este caso el 14. Moda para datos agrupados Es el valor de la variable estadística que contiene la mayor frecuencia absoluta. En la distribución anterior la moda es 13, ya que es el representante de clase (12 – 14), la cual tiene frecuencia 7, la mayor de la distribución. Existe también una formula que permite calcular más exactamente la moda en una distribución de frecuencias:

Actividades: 1. Construya con los siguientes datos, una distribución de frecuencias y calcule la media aritmética: 1,87; 1,75; 1,69; 1,87; 1,75; 1,58; 1,70; 1,84; 1,70; 1,68; 1,74; 1,74; 1,70; 1,75; 1,79; 1,82; 1,73; 1,70; 1,72; 1,75; 1,79; 1,80; 1,84; 1,81; 1,84; 1,80; 1,72; 1,70; 1,75; 1,73; 1,72; 1,70 2. Los siguientes datos corresponden a la altura en metros de 30 alumnos: 1,32; 1,30; 1,45; 1,25; 1,40; 1,28; 1,25; 1,45; 1,40; 1,35; 1,29; 1,32; 1,32; 1,28; 1,27; 1,42; 1,31; 1,32; 1,40; 1,30; 1,26; 1,44; 1,43; 1,32; 1,41; 1,31; 1,29; 1,30; 1,40; 1,35 a) Construya una distribución de frecuencias b) Calcule la media aritmética, la moda y la mediana 3. Se desea estudiar el rendimiento de los alumnos en el área de Matemática de 7º grado de E. B. en un sector del Zulia y para ello se han seleccionado los alumnos del Colegio Bellas Artes. En la investigación se recolectaron las siguientes calificaciones: 16, 15, 19, 14, 16, 17, 19, 15, 14, 14, 10, 17, 12, 14, 10, 13, 12, 14, 15, 11, 17, 15, 11, 14, 10, 13, 17, 11, 13, 15, 14, 15, 12, 19, 15 Determine:

 f  Mo = ℓ i +  2 ⋅ ic   f1 + f2  Donde

ℓ i es el límite inferior de la clase con mayor

frecuencia, f1 es la frecuencia absoluta de la clase siguiente a la clase con mayor frecuencia, e ic es la longitud del intervalo de la clase con mayor frecuencia. Calculemos la moda en base a la fórmula anterior:

 6  Mo = 12 +  ⋅3 1 + 6   Mo = 12 + 2,57 Mo = 14,57

a) b) c) d) e) f) g)

Población Muestra Dato Variable estadística en estudio Defina si es variable cualitativa o cuantitativa Construya una distribución de frecuencias o tabla estadística Calcule la media aritmética, la moda y la mediana