ESTABILIZACION DE FRECUENCIA PARA LÁSER DE DIODO UTILIZANDO CONTROL ROBUSTO H∞ NICOLÁS PÉREZ*, DIEGO VALLE LISBOA+, GUSTAVO CREMELLA+, RAFAEL CANETTI+ * Laboratorio de Acústica Ultrasonora, Depto. de Física, Universidad de la República P.O. Box Montevideo, Montevideo, Uruguay + Instituto de Ingeniería Eléctrica, Universidad de la República P.O. Box Montevideo, Montevideo, Uruguay E-mails:
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[email protected] Abstract In applications like atomic spectroscopy, cooling atoms or telecommunications is necessary to have laser light sources capable of tuning its central emitting frequency over a range of some GHz and a spectral bandwidth in the order of hundreds of kHz. This stabilization presents a demanding control problem, the relation between the instantaneous frequency of emission (1014 Hz) and bandwidth allowed (106 Hz) implies a relative error smaller to 0,01 ppm. The frequency is disturbed by mechanical vibration of the components, electrical noise and variations in the temperature among others. In this work we present the model, identification, design and later evaluation of a system of a close loop control to reject disturbances in the emitted radiation. Is detailed the description of the physical assembly used to stabilize the frequency, the control strategy, the technique to design the robust controllers using H∞ normalization and finally the obtained results are evaluated. The obtained results fulfill the objectives drawn up in the design and show the effectiveness of the design. Keywords H∞ robust control, closed-loop identification, Frequency stabilization, Piezoelectric actuators Resumen En aplicaciones como la espectroscopia atómica, el enfriamiento de átomos o las telecomunicaciones es necesario contar con fuentes de luz láser de frecuencia central debe ser sintonizable dentro de un rango de algunos GHz y cuyo ancho de línea del orden de cientos de kHz. Esta estabilización presenta un problema de control exigente, la relación entre la frecuencia instantánea de emisión ( 1014 Hz ) y el ancho de banda permitido ( 106 Hz ) implica un error relativo menor a 0.01 ppm. La frecuencia es perturbada por vibración mecánica de los componentes, ruido eléctrico y variaciones en la temperatura entre otros. En este trabajo presentamos el modelo, identificación, diseño y posterior evaluación de un sistema de control en lazo cerrado para rechazar perturbaciones en la frecuencia de emisión. Se detalla descripción del montaje físico utilizado para estabilizar la frecuencia, la estrategia de control en lazo cerrado, la técnica de diseño de los controladores robustos utilizando normalización en H∞ y finalmente se evalúan los resultados obtenidos. Los resultados obtenido cumplen con los objetivos trazados en el diseño y muestran la efectividad de la técnica de diseño utilizada. KeywordsControl robusto H∞, Identificación en lazo cerrado, Estabilización de frecuencia, Actuadores piezoeléctricos.
Glosario de términos fi(t): frecuencia instantánea de la luz en la salida del laser. fo(t): frecuencia fijada como referencia en el IFP. e(t): voltaje de error en la salida del detector. sc(t): tensión de salida del controlador. vo(t): tensión de salida. p(t): señal de modulación, generada para la detección. vi(t): señal de entrada al fotodetector. Ii(t): intensidad de luz incidente. If(t): intensidad de luz en la salida del IFP. fo(t): frecuencia de referencia del IFP. vref(t): tension aplicada al IFP para fijar la referencia fo(t). x(t): perturbación externa. D(s): transferencia del driver C(s): transferencia del controlador y el driver de salida. L(s): transferencia del laser FP(s): transferencia del Fabry-Perot optica. FPdc(s): transferencia del IFP en el punto de funcionamiento S(s): transferencia del sensor, lock-in + CAG Fd(s): transferencia del fotodiodo Pa(s): transferencia de la planta, laser + Fabry-Perot + fotodiodo.
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Descripción del problema.
1.1 Ancho de línea para el láser semiconductor Es frecuente pensar en un laser como un emisor ideal de luz monocromática cuya frecuencia instantánea es fija. En la práctica existe una dispersión en la frecuencia entorno a un valor central fo, se llama ancho de línea ∆f al ancho de la campana de emisión a media potencia Este ancho de línea ∆f es causado principalmente por los ruidos de emisión espontánea dentro de la cavidad láser, para un laser de diodo comercial está situado en un intervalo de decenas hasta algunos cientos de Mhz. (Tuboy et al., 1994). 1.2 Reducción del ancho de línea del láser Una técnica utilizada para reducir el ancho de línea de emisión láser consiste en utilizar una cavidad extendida. Esta cavidad externa al diodo se comporta como un resonador que filtra la frecuencia de la luz de forma mas selectiva que el diodo. La configuración empleada en este caso es una cavidad extendida
de tipo Littman [Lang 1980], que utiliza como medio activo un láser semiconductor. La cavidad está determinada por una red de difracción y un espejo que fija la longitud de la misma, el haz es colimado por una lente a la salida del semiconductor y enviado a la red de difracción. El primer orden de difracción del haz es directamente enfocado al espejo y luego de reflejarse es realimentado al láser. La salida se toma en el orden cero de difracción. La frecuencia central de emisión depende de la posición del espejo y el ángulo formado por la red de difracción. En el montaje estos parámetros pueden variarse mediante actuadores piezoeléctricos (AP) solidarios a los mismos. Con este montaje, además de la reducción del ancho de línea, se logra una frecuencia central de emisión variable. Actuando sobre los AP se tiene una regulación continua de la misma. Esto presenta una desventaja, las variaciones en la posición del espejo y la red de difracción son una fuente de ruido que afecta la frecuencia. Estas perturbaciones, introducidas por vibraciones mecánicas en los componentes pueden producir variaciones de frecuencia mucho mayores que el ancho de línea por lo que es necesario eliminarlas.
Figura. 1. Montaje físico
1.3 Control en lazo cerrado Como forma de minimizar las variaciones en la frecuencia instantánea emitida se implementa un control en lazo cerrado que realimenta el error de frecuencia y actúa sobre la cerámica que regula el largo de la cavidad. Este control toma como referencia el máximo de un interferómetro de Fabry-Perot (IFP). Los objetivos del control son estabilizar la frecuencia instantánea del laser siguiendo una referencia relativa proporcionada por el IFP y maximizar el rechazo a perturbaciones en dicho lazo de control.
Figura 2: Sistema para rechazar perturbaciones y estabilizar frecuencia.( ver glosario de términos).
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Modelado e identificación
2.1 Modelo del laser Se realizaron ensayos preliminares que permitieron proponer un modelo simple para el control de la frecuencia de emisión. El elemento mas critico en la dinámica del sistema es el montaje mecánico del AP y el espejo que determina la frontera móvil de la cavidad laser. Para simular esta dinámica se plantea un sistema masa-resorte-amortiguador, se trabajo con cinco elementos de acuerdo a los ensayos realizados.
Figura 3. Modelo de masas
Del análisis de la forma general de la transferencia que se obtiene con este tipo de sistemas, se obtiene el numero de polos y cero esperados en el sistema. 1.3 Sistema de medida Se utiliza como referencia de frecuencia al IFP, es una referencia relativa que no es estabilizada por lo que no se tiene control sobre la frecuencia absoluta. El IFP presenta máximos de transmisión bien definidos por el largo de su cavidad, esta longitud es variable mediante AP. De esta forma se fija la frecuencia de trabajo f o (t) del IFP y el punto de sintonía del sistema. Para obtener la señal de error se modula la longitud del IFP aplicando una señal sinusoidal, mediante un oscilador de 10 kHz al AP del IFP produciendo una perturbación en la frecuencia instantánea del máximo. Un fotodiodo convierte la señal óptica a la salida del IFP en señal eléctrica, la información de la frecuen-
Los ensayos para identificar la planta consisten en realizar la respuesta de frecuencia del sistema inyectando una señal al laser y midiendo el error en frecuencia. El principal problema es que para hacer este ensayo debe mantenerse el laser controlado en un punto de funcionamiento y provocar pequeñas perturbaciones, esto es hay que mantener el laser controlado para identificar la planta y para diseñar el control debe conocerse la planta. La alternativa planteada fue diseñar un controlador provisorio proporcional-integral PI solo a fin de la identificación, prever una entrada auxiliar que permita introducir perturbaciones en el lazo y medir la transferencia entre la entrada auxiliar y la señal de error, la identificación se realiza en lazo cerrado. Para obtener la transferencia de la planta se ensaya cada uno de los bloques conocidos del lazo, las medidas se realizan en una serie discreta de frecuencias y sus resultados son aproximados por una función analítica en la banda de interés. Una vez obtenidos los resultados, es posible deducir analíticamente la transferencia de la planta. La transferencia despejada tiene un numero muy alto de polos y ceros. Esto se debe a la no-cancelación de las singularidades de las aproximaciones cuando se calcula la transferencia de lazo cerrado. Para obtener un modelo coherente con el modelo de masas planteado se aproxima Pd(s) por una función racional de 7 ceros y 10 polos. 2.3 Verificación del resultado Para verificar nuestra aproximación se utilizaron dos métodos: Calcular la transferencia de lazo cerrado usando los modelos obtenidos para cada bloque del sistema y comparar con el resultado experimental. El resultado se muestra para la banda de frecuencias de trabajo entre 10 Hz y 3 kHz. En la figura 4 se muestra el resultado de esta verificación, en trazo continuo se muestra el resultado analítico predicho por el modelo identificado. Nótese la existencia de cuatro modos de resonancia acoplados en el intervalo 800 Hz – 3 kHz.
Amp [dB] Amp [dB]
2.2 Identificación
Frecuencia [Hz] Figura 4: Respuesta de frecuencia para verificar el lazo cerrado
El segundo método de verificar la transferencia identificada de la planta consiste en comparar la respuesta al escalón medida y calculada a partir del modelo en lazo abierto. Las medidas en lazo abierto deben ser rápidas para evitar que el láser salga del punto de funcionamiento. La figura 5 muestra en trazo continuo la respuesta al escalón calculada del modelo, los puntos muestran la medida en el tiempo
e(t) [V]
cia instantánea del laser esta modulada en la intensidad de la luz. Un lock-in extrae la información de error demodulando la señal que se obtiene a la salida [De Voe 1984]. Este complejo sistema de medida puede aproximarse en pequeña señal a un sistema lineal. La transferencia queda esencialmente determinada por los filtros del Lock-in. Los ensayos preliminares se realizan en lazo abierto, por ello no se pudo mantener el mismo punto de trabajo durante el proceso de medición.
Tiempo [s] Figura 5: Verificación del modelo, respuesta al escalón
Puede verse el ajuste del modelo tanto para tiempos cortos (alta frecuencia) como en régimen transitorio y el valor de equilibrio (baja frecuencia). 3 Diseño del controlador Para diseñar el controlador se selecciono una técnica de control robusto usando H∞. Esto permite tratar con las variaciones en la dinámica del problema como incertidumbre y fijar cotas en el diseño que garanticen la performance y estabilidad robusta [Doyle 1990] [Sánchez Peña 1992]. 3.1 Esquema del lazo El lazo de control se establece con el fin de rechazar las perturbaciones introducidas en la frecuencia instantánea del laser. Se toma como hipótesis que las
20dB para frecuencias menores que 50Hz
Amp [Mhz]
perturbaciones entran en el sistema en forma aditiva como se indica en el diagrama. La referencia para el control se fija mediante el IFP y su valor se determina mediante una entrada externa de tensión vext(t).
Frecuencia [Hz] Figura 7: Medida de perturbaciones
Figura 6: Lazo de control (ver glosario de términos).
Para calcular la transferencia se toma como salida la frecuencia instantánea de la luz. Se pueden observar dos terminos: uno proporcional a la referencia vref y otro a la perturbación x(t), esta se supone aditiva en la entrada del laser. La frecuencia instantánea viene dada por Fi ( s ) =
Fd ⋅ S ⋅ C ⋅ FP ⋅ D ⋅ L ⋅ FPdc Vref ( s ) (1 + Fd ⋅ S ⋅ FP ⋅ C ⋅ D ⋅ L) L + X (s) (1 + Fd ⋅ S ⋅ C ⋅ D ⋅ L ⋅ FP )
El objetivo del control se fija en base al rechazo de perturbaciones. No se establecen condiciones sobre el seguimiento de la referencia que se supone fija.
La performance del sistema se especifica a través de una cota para la sensibilidad Sen: 1 Sen = (1 + OLG ) donde OLG es la ganancia de lazo abierto. Normalizamos la especificación con una función de peso W1(s), la siguiente figura muestra la función elegida que atenúa 60 dB en baja frecuencia y 20 dB a 50 Hz y cumple con la condición
Sen.W1 ∞ < 1 Al utilizar la funcion Sen(s) como medida del rechazo a perturbaciones se obtiene directamente la relación entre la señal de error obtenida en lazo abierto y la señal obtenida en lazo cerrado.
El sistema debe quedar estabilizado en la referencia y rechazar perturbaciones en su frecuencia instantánea fi(t). Estas perturbaciones no deben producir una desviación mayor que 1Mhz. La desviación máxima determina una cota para la señal de error en voltios; para determinar esta cota se realizo una serie de ensayos sobre las perturbaciones. Este ensayo consiste en abrir el lazo y medir las fluctuaciones de la señal de error mientras el sistema se encuentra en torno a punto de funcionamiento. En la siguiente figura se ve el espectro de perturbaciones, existen picos de frecuencia definidos en múltiplos de 12.5 Hz, esto puede deberse a el uso de motores de 750 rpm que introducen vibración en la estructura. El pico de 50 Hz corresponde a la frecuencia de la red (Uruguay). El ensayo se repite un gran numero de veces lo que permite obtener el espectro promedio de las perturbaciones y estimar las atenuaciones mínimas requeridas para limitar la desviación de frecuencia a 1Mhz , en un caso típico se obtienen las cotas: 60dB para frecuencias menores que 1Hz 40dB para frecuencias menores que 12.5Hz
Amp [dB]
3.2 Evaluación de la performance
Frecuencia [Hz] Figura 8: Función de peso W1
3.3 Modelo de incertidumbre Durante el estudio de la respuesta del láser se desarrolló un modelo simplificado de la planta ignorando el comportamiento del sistema en alta frecuencia. Se destaca que la posicion de los picos de resonancia identificados puede variar cambiando el ajuste mecanico del sistema, por ello se opta por
•
Se evalúa numéricamente para cada elemento de la grilla la estabilidad del controlador. Una vez verificada la estabilidad se evalúa el desempeño y se selecciona el controlador de mejor desempeño dentro de los estables. Se repite el procedimiento cambiando la grilla si es necesario hasta lograr un controlador óptimo. El criterio de selección es: mejor performance nominal dentro de los estables.
Amp [dB]
Amp [dB]
modelar como incierta su posicion. Se modela la incertidumbre como [Doyle 1990] ℘= (1 + ∆W2) Pn donde Pn es la planta nominal, ℘ es el conjunto de plantas inciertas y W2 es una función de peso estable. ∆ es una función de fase desconocida ∆∞ ≤ 1. En el diseño se uliliza una planta nominal como representativa de la familia de plantas posibles. El criterio de selección para la planta nominl fue: elegir dos cotas en la respuesta de frecuencia donde pueden ubicarse las plantas de la familia. Tomar luego la media entre estas cotas tanto en modulo como en fase. La figura 9 muestra la transferencia modelada del sistema y las cotas elegidas para tratar la incertidumbre.
Fase [deg]
Frecuencia [Hz] Figura 10: Función de peso W2
Frecuencia [Hz] Figura 9: Planta medida y cotas de incertidumbre
Una vez determinada la planta nominal, se toma como cota de incertidumbre W2 la mayor diferencia entre esta y las plantas que acotan la familia de plantas posibles. La figura 10 muestra la maxima diferencia para cada frecuencia entre la planta nominal y las cotas de la familia de plantas posibles (*). El trazo continuo muesta una funcion analítica W2 que la acota. 3.4 Búsqueda del controlador Tanto la planta nominal como las funciones de peso W1 y W2 son representadas por funciones analíticas de orden bajo a fin de simplificar los algoritmos. La búsqueda del controlador se basa en las condiciones para performance nominal y estabilidad robusta.
W1 Sen ∞ < 1
performance nominal
T W2 ∞ < 1
estabilidad robusta
El procedimiento anterior tiene sentido porque se observo que la variación del indicador de performance nominal varia de forma suave con los parámetros del controlador. 3.5 Solución obtenida Los controladores óptimos para cada arquitectura se implementaron sintetizando analógicamente las transferencias seleccionadas. Las estructuras probados fueron una ganancia mas: polo-cero [PZ], polopolo-cero[PPZ] y polo-polo-cero-cero [PPZZ]. Para evaluar el desempeño se utiliza una figura de merito formada por tres números
W1 Sen ∞
performance nominal
T W2 ∞
estabilidad robusta
1/N Σ W1(jw)Sen(jw)
performance media
N: número de puntos en la grilla de frecuencias. La siguiente tabla muestra las figuras de merito obtenidas para cada arquitectura Tabla 1:
Donde T es la transferencia de lazo cerrado. Procedimiento de diseño: • Se fija una estructura para el controlador, esto determina el número de polos y ceros. • Se elige una grilla donde pueden variar los parámetros del controlador (polos, ceros y ganancia).
[PZ] [PPZ] [PS]
Evaluación de desempeño de los controladores
Nominal 0.925 0.99 0.98
Robusta 9.49 1.01 0.53
Media 3.38 0.6 0.31
4 Evaluación del sistema y conclusiones
El sistema en estudio, laser sintonizable con cavidad extendida, tiene una dinámica muy compleja debido a la mecánica del montaje. El proceso de modelado e identificación del sistema mostró una reproducción muy fiel de la dinámica de la planta. La dinámica depende fuertemente de los ajustes mecánicos del sistema, que varían con el tiempo. Por ello se utiliza una técnica que permite modelar estas variaciones como una incertidumbre no estructurada. Se utilizan los lineamientos presentados en [Doyle 1990] con un modelo de incertidumbre multiplicativa. Este procedimiento permite fijar cotas para garantizar la estabilidad y el desempeño de forma robusta. A partir de estas cotas se utiliza un algoritmo sistemático que prueba todos los controladores posibles y selecciona el mejor de acuerdo al procedimiento reseñado en 3.4. La arquitectura con mejor desempeño de las evaluadas es la [PPZZ], a mayor complejidad del controlador es posible obtener mejores respuestas, por lo que debe tomarse una solución de compromiso al seleccionar las estructuras de polos y ceros. Para evaluar el resultado se realizo una respuesta de frecuencia inyectando perturbaciones de forma aditiva en el lazo cerrado, la figura 12 muestra la comparación de la medida de la trasferencia entre la señal inyectada y la señal de error ‘*’ y el resultado predicho por el modelo analítico para dicha transferencia Puede verse que el sistema rechaza perturbaciones de acuerdo a lo esperado para frecuencias menores que 100 Hz, pero para mayores de 200 Hz el lazo las amplifica. Este hecho no es critico ya que se identifico el espectro de perturbaciones como menor a 100 Hz.
9.87e05 s 2 + 62.83 ⋅ s + 987 6283 ⋅ s 2 + 7.264 e07 ⋅ s + 4.465e09 W 2( s ) = 4.05e07 ⋅ s + 2.545e11 W 1(s ) =
PN ( s ) =
1.035e08 ⋅ s + 2.076e11 s + 1.686e04 ⋅ s 2 + 1.369e08 ⋅ s + 2.492e11 3
Controlador obtenido:
C(s) = 0.075
s 2 + 6773+ 1.1e7 s 2 + 6.7s + 3.34
Polo = 0.5 Hz Polo = 10.5 Hz Cero = 600 Hz Cero = 482 Hz Por ultimo se evaluó la estabilidad absoluta del laser contra una referencia atómica, este resultado presenta una deriva ligeramente mayor que lo esperado, pero debe tenerse en cuenta que el control estabiliza contra el IFP, referencia relativa que es afectada por perturbaciones térmicas y mecánicas. Agradecimientos Dr. Arturo Lezama y Dr. Sergio Metal Barreiro Grupo de Óptica. Facultad de Ingeniería. Universidad de la República Grupo de Óptica. Ing. Hugo Valdenegro
