Espectro de Frecuencias de una señal periodica

Medición e Instrumentación, 2015. División de Ciencias e Ingenierías. Campus León. Universidad de Guanajuato.

Practica 3: Espectro de Frecuencias de una señal periódica Farías González Fernanado Javier Sanchez Villanueva Juan Diego Segoviano Arias Paola

Docente: Dr. J. Alberto Aguilar Mora División de Ciencias e Ingenierías, Campus León. Universidad de Guanajuato Lomas del Bosque 103, Frac. Lomas del Campestre, León GTO., México

Introducción. El propósito u objetivo de este esta sesión fue observar y determinar el espectro de frecuencia de una señal periódica usando la serie de Fourier. Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difíciles. Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T (ecuacion 1). Este problema aparece por ejemplo en astronomía en donde Neugebauer (1952) descubrió que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.

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Fig. 1 Ejemplo de una función periódica.

Metodologia e implementación. Para llevar a cabo esta práctica se usó el siguiente material y equipo 1.- Material:  Osciloscopio digital Tektronix-TBS1102.  Plug de 3.5mm doble.  Matlab. 2. Encuentrar la descomposición en series de Fourier para las siguientes funciones a. Tren de pulsos unitario, con una frecuencia de 8000 Hz b. Función diente de sierra a una frecuencia de 8000 Hz 3. Una vez calculados los coeficientes de la serie de Fourier desarrolle un programa en Matlab, que sea capaz de hacer la reconstrucción de la forma de la señal original hasta el k-esimo armónico. 4. Graficar el espectro de frecuencias de las señales hasta el 9 armónico

Fig. 2

5. Usando el comando de Matlab “wavplay” despliegue desde la computadora, como se muestra en la Figura 2, la reconstrucción de las señales para 2, 4, 8 y 32 armónicos. (Tenga mucho cuidado de no hacer corto con la conexión del Jack, recuerde que el interno es tierra y el externo o superior es el voltaje) 6. Usando la función de FFT del osciloscopio capture los espectros de frecuencia de la señal y compare los resultados obtenidos. 7. Grabe la frase “Esto es parte de la primera práctica del laboratorio de la materia de medción e instrumentacón” usando el comando audiowrite o wavrite, dependiendo de su versión de matlab. La frase debe ser grabada por ambos miembros del equipo de laboratorio. 2

8. Analice el espectro de frecuencia de las señales de la misma manera que lo hizo en el punto 5, capture el espectro de frecuencia y observe las frecuencias máximas de la señal. Observe la diferencia entre el tono de voz y el espectro observado.

Análisis e Interpretación de los resultados Obtenidos A continuacion se presentan los resultados obtenidos, de acuerdo a la metodologia seguida.

1.- Se calcularon los coeficientes de la serie de Fourier para un tren de pulsos unitarios y para la grafica de dientes de sierras, se uso el siguiente código en Matlab para reconstruir las señales y realizar el análisis espectral hasta el 9no armonico resultando lo siguiente: Coeficientes: a0=1; an=((8000*16000)/((16000*pi*n)^2))*((cos(2*pi*n)-1)+((2*pi*n)*sin(2*pi*n))); bn=((8000*16000)/((16000*pi*n)^2))*(sin(2*pi*n)-((2*pi*n)*cos(2*pi*n)));

Fig. 3 Reconstruccion de la señal con los coeficientes calculados de las serie de Fourier.

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Fig. 4

Coeficientes de la segunda función: a0=0; an=0; bn=(2-2*(-1)^n)/(pi*n);

Fig.5 Donde se muestra la reconstrucción del tren de pulsos.

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Fig. 6

2.- Se uso el comando wavrecord y wavplay para ver las señales en el osciloscopio:

Funcion Tren de pulsos. 2 Armónicos Función tren de Pulsos Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

5

Funcion Tren de pulsos. 4 Armónicos

Funciòn tren de Pulsos Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

Funcion Tren de pulsos. 8 Armónicos

Funciòn tren de Pulsos Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

6

Funcion Tren de pulsos. 32 Armónicos

Funciòn tren de Pulsos Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

Funciòn Dientes de Sierra. 2 Armónicos

Función Dientes deSierra Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

7

Función Dientes de Sierra. 4 Armónicos

Función Dientes deSierra Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

Función Dientes de Sierra. 8 Armónicos

Función Dientes deSierra Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

8

Función Dientes de Sierra. 32 Armónicos

Función Dientes deSierra Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

3.- Ahora se hizo para las voces de los miembros del equipo:

Sujeto 1: Paola Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

9

Sujeto 2: Diego Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

Sujeto 3: Fernando Señal Reconstruida en osciloscopio

FFT

Discusión de resultados: Como pudimos apreciar la transformada de Fourier de 2 señales, una de tren de pulsos y otra de sierra, el espectro nos da la información de cuantos armónicos se calcularon en cada una de las señales para su recontrucción por medio de las series de Fourier, en el armonico 2, la FFT nos debió haber dado 2 picos, pero como en nuestro laboratorio y al momento de hacer las mediciones había mucho ruido, casí no se pueden apreciar bien los picos, este ruido puede deberse al ruido de línea de 50 Hz, que corresponde al de la electricidad en Ámerica. También cada integrante del equipo grabo su vos y le aplicamos la FFT con el osciloscopio, podemos apreciar muy poco la distinción en frecuencia de cada uno de los integrantes, en el caso de los Hombres, devio ser una frecuencia alta (Graves), por el tono de voz, y el de la Mujer, una frecuencia baja (agudos). 10

Conclusiones Sanchez Villanueva Juan Las series de Fourier son de gran utilidad sobre todo en nuestra carrera ya que asi podemos entender mejor como se procesan las señales y como se envía la información a través de estas. Farías Gonzalez Fernando En está practica apreciamos las diferentes herramientas tanto en Matlab como en el osciloscopio, también como recontruir señales usando las series de Fourier y ver sus armónicos con la transformada de Fourier, esto nos sirve para identificar las señales y reconstruirlas, para después procesarlas. Segoviano Arias Paola Como vimos en clases, las series de Fourier junto con el número de armónicos nos pueden dar una buena reconstrucción de la señal, así como hacer su análisis haciendo la descomposición en funciones seno y coseno provenientes de funciones más complejas. La aplicación del osciloscopio nos permite entender mejor las señales con las que trabajamos que se calculan con series de Fourier.

Referencias [1] A student’s guide to Fourier transforms with applications in phisics and engineering, J. F. James, Third edition. [2] http://abcmatematico.blogspot.mx

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