Espacios Vectoriales -

Universidad Politécnica de la Región Ribereña



Carrera: Ingeniería en Tecnologías de la Información
Materia: Algebra Lineal
Evidencia de Producto: Unidad 4
Espacios Vectoriales
Catedrático: M.C Zinthia Alejandra Ayala Melchor
Alumno: Donato Ibraim Gómez Caro
Matricula: 1431100580
ITI 14-02

Índice
Introducción. 3
Propiedades del producto de un vector por un escalar. 4
Espacio vectorial. 5
Propiedades de espacios vectoriales. 6
Ejercicio de Espacios Vectoriales 7
Aplicación de Espacios vectoriales en Ingeniería 8
Conclusión 9
Web Grafía 10


Introducción.
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican. Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc. Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de 2 y de 3. En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.
Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de 2 y de 3:
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares. Propiedades de la suma de vectores.
Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
Conmutativa: v+u=u+v.
Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0 + v = v para cualquier vector v.
Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.
Propiedades del producto de un vector por un escalar.
Asociativa: β (α v) = ( β α ) v
Distributivas: ƒ
Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v ƒ
Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v
Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1 · v = v para cualquier vector v
Espacio vectorial.
Un espacio vectorial, V, sobre un campo K cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto V , cuyos elementos se denominan vectores, con dos operaciones, una que se llama adición vectorial, +, y otra que se llama multiplicación por escalar, denotada simplemente por yuxtaposición, tal que se satisfacen las siguientes propiedades, conocidas como axiomas:
El conjunto V junto con la operación de adición vectorial, V × V V v1 + v 2 = v3, constituye un grupo conmutativo o abeliano.
Clausura respecto a la multiplicación por escalar. Para cada pareja de elementos k K y v1 V existe un único elemento v2 V tal que : K × V V kv1 = v2.
La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial. k(v1 + v2) = kv1 + kv2 k K, y v1, v2 V.
La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares. (k1 + k2) v = k1v + k2v k1,k2 K, y v V.
La multiplicación escalar es pseudoasociativa. (k1 · k2) v= k1(k2v) k1,k2 K y v V.
Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Si 1 K es el idéntico multiplicativo, se tiene que 1v = v v V.
Es importante señalar que los teoremas que se indicaron para grupos son aplicables por igual para el grupo aditivo contenidos en un espacio vectorial. Además, los campos más usuales son el campo de los números reales, R, y el campo de los números complejos, C, si un espacio vectorial está definido sobre el campo de los números reales, R, el espacio vectorial se denomina real, de manera semejante, si un espacio vectorial está definido sobre el campo de los números complejos, C, el espacio vectorial se denomina complejo.
Propiedades de espacios vectoriales.
Considere un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces se tienen las siguientes propiedades:
1. El producto del escalar 0 K por cualquier vector v V es el idéntico aditivo del espacio vectorial, es decir, ~0 V.
2. El producto de cualquier escalar λ K por el vector cero ~0 V es el vector ~0 V.
3. Si λv = ~0, entonces o λ = 0 o v = ~0.
Prueba: Para la primera parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el campo escalar λ + 0 = λ donde λ K
Por lo tanto λv+ 0 v = (λ + 0) v = λv
Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si
g + g0 = g, g0 = 0
Igualando g con λv, se tiene que 0 v = 0.
Para la segunda parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el espacio vectorial v +0= v donde v V
Por lo tanto λv + λ0= λ (v +0) = λv
Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si
g + g0 = g, g0 = 0 comparando g con λv, se tiene que λ0= 0
Para la parte final del resultado, note que si λ = 0,
Entonces λv= 0 v = 0.
Suponga ahora que λ 0, entonces λ tiene un inverso multiplicativo en el campo K, denotado por λ 1, tal que λ 1 λ = λλ 1 = 1. Considere ahora λ0= 0
Por lo tanto
v = 1 v= (λ 1λ ) 0 = λ 1 ( λ0) = λ 1 0 = 0.
Ejercicio de Espacios Vectoriales
Sea A = 123m Se pide:
Encontrar m para que existan matrices cuadradas B y no nulas tales que
A · B = 0.
Probar que el conjunto de todas estas matrices B, es una variedad lineal de las matrices cuadradas de orden 2.
Solución:
Para que existan dicha matrices debe verificarse que



Ambos sistemas serán compatibles si

e incompatibles si m 6, por lo que solo existirán matrices B no nulas si m = 6.

b) Sean B1 y B2 dos matrices cuadradas de orden dos tales que AB1 = AB2 = 0
Para cualesquiera que sean λ, µ R se tiene que
A (λB1 + µB2) = λAB1 + µB2 = λ · 0 + µ · 0 = 0
Por lo que λB1 + µB2 es una matriz del mismo tipo y, por tanto, dichas matrices constituyen una variedad lineal de las matrices cuadradas de orden 2.
Aplicación de Espacios vectoriales en Ingeniería
Los vectores (llamados matrices en Ing. sistemas) se utilizan en el cálculo numérico, En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, De las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones Lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, Economía, informática, física, etc...
Ahora si resolviendo la interrogante hemos oído hablar de que los juegos de la computadora, las nuevas películas animadas, etc. Todas estas cosas están hechas con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación ni en estos casos están presentes los vectores, estos también rigen el transporte aéreo, el desplazamiento de los barcos, y en general la física, 8 aplicaciones diarias sobre los vectores en la cual podría servir a gran parte de la gente, pero eso si aplicada sobre una base personal:
Para levantar un objeto pesado y no lastimarte la espalda
Para la navegación aérea
Para jugar billar 
Para mejorar tu rendimiento en cualquier deporte que practiques
Para usar cualquier tipo de herramienta de la manera adecuada
Para mejorar los Radares
para la navegación marítima
Para entender cómo funciona toda la tecnología que usas (internet, móvil, PC, etc.) y así puedas encontrar las fallas cuando las tengas

Conclusión
Para concluir con la respuesta a cómo aplicar el vector a la vida diaria y a la Ingeniería en General diríamos que desde sus inicios haya por la Grecia antigua el matemático Geómetra Euclides postulo sus estudios en una Geometría tridimensional. Dando origen según el programa relajen (programa de investigación publicado por Félix Klein en1872 ) en que la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita) dando el aserto a que su origen quizás , desapercibido tome etapas de evolución se diría hasta llegar a William R. Hamilton, matemático irlandés, cuyo mérito fue la creación del cálculo vectorial. Hoy por hoy su importancia y su implicancia en varias ramas de estudio y de Ingenierías, día a día abren a la Física, campos, electricidad Geografía, Cinemática, economía (Macro y micro), aeronáutica, navegación etc., etc. confirman con una respuesta contundente a la necesidad de su uso y aplicación.


Web Grafía
http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/experimentales/algebra/rel2.pdf
http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf
http://ma1.eii.us.es/Material/Alg_Lin_itig_Ap.pdf


Cd. Miguel Alemán Tamaulipas a miércoles, 18 de noviembre de 2015