Entropía gas ideal

Deducción de entropía gas ideal Jean Pierre Pazos April 19, 2015

Deducción de la entropía de un gas ideal con condiciones de borde no periódicas Se tiene que la energía en función del momento es: E=

p2 2m

Dado que es una caja en 3 dimensiones con partículas de igual masa m , la energía total dentro de la caja será la suma de la energía de cada partícula, esto es:

E=

X i

p2yi p2 p2xi + + zi 2m 2m 2m

!

Donde i representa todas las partículas, la ecuación anteriror, representa √ también el volumen de una hiperesfera de 3N dimensiones con radio 2mE Para esta situación, se supone que la energía no es exactamente constante, sino que puede variar una cantidad 4E , la cual cumple la relación: E < 4E  E N

Donde N es el número de partículas dentro de la caja. El momentum accesible del gas conformado por las partículas, se encuentra limitado por el casacarón esférico que rodea √ p ma la hiperesfera, el cual tiene igualmente un radio 2mE y un espesor de 2E 4E . Esta última expresión se extrajo diferenciando el radio de la esfera, ya que el espesor √ es innitesimal: pm pm dR = 2E dE . Así, el área del caparazón hiperesférico es 2mE x 2E 4E Tenemos las ecuaciones del volumen y área seupercial de una hiperesfera n dimensional es como sigue: 1

2π n/2 n−1 R Γ(n/2) √ Así, el área supercial para la hiperesfera 3N dimensional de radio 2mE es: Vn (R) =

π n/2 n R (n/2)!

Sn (R) =

√ 3N −1 2π 3N/2 S3N ( 2mE) = 2mE 2 Γ(3N/2)

Puesto que el área supercial encierra todos los estados posibles de las N partículas, el número de microestadois de un gas ideal es: VN Ω(E, N, V ) = 3N ~

ˆ Y E

dpxi dpyi dpzi

i

Reemplazando la expresión del área supercial de la hiperesfera se obtiene el número de microestados: 3N −1 V N 2π 3N/2 2mE 2 Ω(E, N, V ) = 3N ~ (3N/2 − 1)!

r

3N

m V N 2mE 2 4E 4E = 3N 2E ~ (3N/2 − 1)! E

Por la denición de entropía de Boltzman: S = kln(Ω) 3N

S = kln

4E V N 2mE 2 ~3N (3N/2 − 1)! E

!

Aplicando propiedades de logaritmos:  S = N kln

3 V (2πmE) 2 3 ~



 − kln [(3N/2 − 1)!] + +kln

4E E



Para un gas macroscópico, N es muy grande de orden del número de avogadro, por lo tanto se puede utilizar la aproximación de Stirling. Con lo que tenemos: ln [(3N/2 − 1)!] ≈ (3N/2 − 1) ln(3N/2−1)−3N/2+1 ≈ (3N/2 − 1) ln (3N/2)−3N/2+1

Con esta aproximación tenemos para la entropía: 2

 S = N kln

3 V (2πmE) 2 ~3



 −k

3

S = N kln

V (2πmE) 2 ~3 (3N/2)3/2

!

     3N 3N 3N k 4E − 1 ln + − k + kln 2 2 2 E

     3N k 3N 4E + + kln − k + kln 2 2 E

Para esta última expresión, los términos dentro de los corchetes son mucho más pequeños que los demás términos, los cuales son del orden de N (número de avogadro) y por edne pueden ser eliminados ya que no modican signicativamente a la ecuación. Haciendo esto obtenemos nalmente:  S = N kln V

4πmE 3N ~2

3

3/2 ! +

3N k 2