Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia
Entrelazamiento - Un rompecabezas cu´ antico para todo el mundo Rodolfo Restrepo Villegas*a . a
Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia UdeA, Calle 70 No. 52-21, Medell´ın, Colombia.
12 de agosto de 2014
Resumen. El entrelazamiento cu´antico es, sin lugar a dudas, uno de los fen´omenos m´as interesantes de la f´ısica cu´ antica. No en vano, Albert Einstein expres´o su disgusto por ´este, llam´andolo “fantasmal” o “misterioso”. El entrelazamiento describe el fen´omeno en que dos (o m´as) sistemas (o part´ıculas) puedan estar ´ıntimamente conectadas entre s´ı, sin importar que tan lejos est´en. Estas conexiones no pueden explicarse por las propiedades de los sistemas por separado. Para Einstein, una teor´ıa que explique de manera completa la realidad f´ısica requiere las ideas de realismo y localidad. John Stewart Bell, f´ısico irland´es, mostr´o que las predicciones de tales teor´ıas locales y realistas est´ an en conflicto con las propias predicciones de la mec´anica cu´antica. Es esto precisamente lo que pretendemos discutir en el presente texto.
1.
Introducci´ on
La f´ısica cu´ antica aparece (en el primer cuarto del siglo XX) con el fin de describir el comportamiento de ´atomos y otras part´ıculas microsc´ opicas, incluyendo espec´ıficamente los fotones, una manifestaci´ on del estado cu´antico de la luz. La f´ısica cu´ antica nos suministra, incluso hoy en d´ıa, una completa, extremadamente satisfactoria, e importante descripci´on de la naturaleza. Adem´as de esto, la descripci´ on de la naturaleza hecha por la mec´ anica cu´ antica es matem´aticamente hermosa y exacta. Todas sus predicciones te´oricas han sido verificadas con gran precisi´on en los experimentos. A pesar del ´exito de la mec´ anica cu´ antica, existe a´ un un problema de naturaleza conceptual. Algunas de las predicciones de la f´ısica cu´ antica cuestionan aspectos centrales muy preciados de nuestra visi´ on del mundo, siendo ´esta fundamentalmente cl´ asica, por ejemplo, asignar a los objetos propiedades y cualidades *
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como caracter´ısticas del mismo, qu´e existen con independencia del sujeto (el observador, la medici´ on, o el aparato); esto es lo que se conoce como juicio de atribuci´on cl´asico. En el p´ ublico general, las nociones como principio de indeterminaci´ on de Heisenberg y los “saltos cu´anticos”son bien conocidas. Pero el fen´omeno m´ as interesante es el entrelazamiento. El nombre entrelazamiento fue creado por el f´ısico austriaco Erwin Schr¨ odinger, quien lo llam´o la noci´on esencial de la mec´anica cu´antica, la que nos fuerza a despedirnos de las preciadas im´ agenes que tenemos sobre como funciona el mundo. En 1935 Albert Einstein, junto a Boris Podolsky y Natham Rosen, public´o un art´ıculo con el t´ıtulo “¿Puede la descripci´ on mec´ anico-cu´ antica de la realidad f´ısica ser considerada completa?” En este art´ıculo, conocido como el art´ıculo de EPR, los cient´ıficos mostraron (de manera casi contundente y amenazando los pilares de la f´ısica cu´ antica) que seg´ un la teor´ıa cu´antica, dos sistemas pueden estar conectados de una manera extremadamente ligada, mucho m´as de lo que es posible para sistemas en f´ısica cl´asica. Lograron demostrar adem´ as, que la descripci´ on de la realidad obtenida por la mec´anica cu´antica no era completa. ´ Esta demostraci´ on s´ olo es posible por la definici´on de realidad f´ısica, criterio que usa impl´ıcitamente el juicio de atribuci´ on y expl´ıcitamente el realismo local. Para aclarar un poco la situaci´ on, consideremos dos sistemas que guardan entre s´ı alguna relaci´ on. Podr´ıan, por ejemplo, haber colisionado alg´ un tiempo atr´as. Despu´es del choque los sistemas se alejan el uno del otro. El art´ıculo de EPR muestra que la mec´anica cu´antica predice que la medici´on sobre uno de los sistemas cambia el estado cu´ antico 1 del otro, independiente de c´ uan amplia sea la separaci´ on entre ellos. La influencia que ejerce la medici´ on de un sistema sobre el otro ocurre instant´aneamente, sin tiempo alguno de retraso. Esto parece estar en desacuerdo con la propia teor´ıa de la relatividad de Einstein, de acuerdo con la cual nada puede viajar m´as r´apido que la velocidad de la luz. Einstein llam´ o a este fen´omeno “acci´ on fantasmal a distancia”. ¿C´omo logra entonces salvarse la teor´ıa cu´antica de tan audaz ataque? ¿Est´a el error en la fina argumentaci´on de EPR o en los fundamentos de la f´ısica cu´antica? Algunos aseguran que fue Niels Bohr quien logr´o salvar la teor´ıa cu´ antica con su respuesta a EPR. Sin embargo, la respuesta de Bohr no fue tan clara y concisa2 . La teor´ıa sobrevivi´ o, y se sigui´o desarrollando, gracias a su gran capacidad predictiva y a la concordancia de ´esta con los resultados experimentales. Los f´ısicos de la ´epoca estaban felices con la precisa descripci´ on que daba la teor´ıa cu´antica acerca de la naturaleza, se mantuvieron “callados calculando” y adem´ as demasiado ocupados aplicando la teor´ıa a todo tipo de fen´omenos. Las disputas filos´oficas de aquellos hombres viejos quedaron de momento olvidadas. Todo cambio de manera radical en 1964, cuando el joven investigador John Stewart Bell public´o un art´ıculo3 titulado “Sobre la paradoja de EPR.” En este art´ıculo, Bell mostr´ o que no es posible entender el fen´omeno de sistemas entrelazados si se parte de suposiciones “razonables” sobre como funciona el mundo, suposiciones que uno se siente tentado a llamar auto-evidentes. [A. Zeilinger, 2010] [1] 1
El estado cu´ antico posee TODA la informaci´ on del sistema en un contexto experimental espec´ıfico. Niels Borh se desgasta en extensas p´ aginas intentando responder a lo que, de una forma precisa y compacta, EPR hab´ıa hecho en tan s´ olo dos hojas. En su “oscuro”texto, sin embargo, Bohr empieza a introducir nociones que hoy en d´ıa son fundamentales para entender la teor´ıa cu´ antica: la complementariedad y la contextualidad. 3 “Para la f´ısica cu´ antica, la publicaci´ on de los teoremas de Bell son el m´ as importante avance en el entendimiento de la mec´ anica cu´ antica desde la creaci´ on de la teor´ıa en si misma.” [G. Greenstein et al, 2005] [2] 2
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Realismo y Localidad
En el art´ıculo EPR aparece una suposici´on impl´ıcita sobre la existencia predeterminada, incluso en el momento mismo de que la conoci´eramos. Es decir, EPR asume que los atributos de las cosas son como las propiedades cl´ asicas encerradas en una caja oscura esperando a que la abri´eramos para ser reveladas. La u ´nica cosa que cambiar´ıa por medio de la medida ser´ıa el conocimiento de lo real y preexistente. Luego, para definir cuando una teor´ıa es real1 , EPR sugiere que debe existir un elemento de realidad en la teor´ıa que corresponde al resultado de una medici´on, y que siempre sea posible predecir con certeza el resultado de dicha medici´ on. Esto es llamado el criterio de realidad EPR. Bajo este criterio una teor´ıa es real siempre que sea posible predecir el estado de un sistema con certeza. [A. Einstein et al, 1935] [3] Consideremos de nuevo los dos sistemas que se alejan uno de otro, el art´ıculo de EPR presupone que la acci´on de la medici´ on en uno de los sistemas, no puede depender de lo que es hecho en simult´aneo sobre el otro, sin importar cual sea la medici´ on hecha o incluso si no se hace medici´on alguna, dicho esto de otro modo, la medida hecha en un lado no induce un nuevo estado cu´antico sobre el otro sistema. Para hacer tal suposici´ on EPR se apoya en el hecho de que ninguna se˜ nal (o efecto f´ısico) puede propagarse m´as r´apido que la luz. Luego ambos sistemas est´an “aislados”2 el uno del otro. Esta es la esencia de la suposici´on de localidad de EPR. [C.M. Rivera, 2010] [4] Una teor´ıa que cumpla estas dos imposiciones (criterio de realidad y suposici´on de localidad de EPR) es llamada una teor´ıa realista local.
3.
Desigualdad de Bell para no f´ısicos
Como ya hemos discutido, los fundamentos de la mec´anica cu´antica cambiaron de forma dr´ astica con la publicaci´ on de dos extraordinarios teoremas por J. Bell en los a˜ nos de 1964 y 1966. Antes de esto, el matem´ atico John von Neumann hab´ıa publicado (1932) la demostraci´on de un teorema que predec´ıa la imposibilidad de construir una teor´ıa microsc´opica completa del mundo at´omico que pudiese dar predicciones consistentes con la mec´ anica cu´antica. Lo m´as notable de Bell, fue que logr´o demostrar que dicho punto de vista estaba errado; el teorema de von Neumann estaba basado en una suposici´ on defectuosa. Adem´ as de esto, Bell mostr´ o que no s´olo teor´ıas completas podr´ıan ser inventadas; sino que tambi´en, la certeza de ´estas estaba abierta a pruebas experimentales que pod´ıan determinar si tales teor´ıas eran mejores que la teor´ıa cu´ antica convencional, o no. [G. Greenstein et al, 2005] Ahora bien, con el fin de hacer la desigualdad de Bell f´acilmente accesible, vamos a ejemplificar la desigualdad de Bell con una situaci´ on que no requiere de conocimientos f´ısicos. Es importante resaltar que dicho ejemplo no es una analog´ıa; es, propiamente dicho, una aplicaci´on de la desigualdad de Bell a una situaci´on que puede ser verificada. 1 En el art´ıculo EPR se da el criterio de realidad para una teor´ıa f´ısica. EPR asume la existencia del mundo exterior objetivo y su problema es definir el criterio de realidad para una teor´ıa f´ısica 2 No es que los sistemas esten totalmente aislados. EPR considera que los sistemas pueden estar conectados causalmente. Lo extra˜ no es la simultaneidad porque viola la causalidad.
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Vamos a jugar con bloques l´ ogicos. Nuestro universo de bloques l´ogicos est´a compuesto tan s´ olo de bloques con tres caracter´ısticas: A (forma), B (color) y C (tama˜ no). Las medidas realizadas sobre los bloques l´ogicos son simplemente observaciones visuales. Restr´ınjamos a s´olo dos los posibles valores de cada caracter´ıstica, es decir, hay c´ırculos (a) o tri´angulos (¯ a); tambi´en hay rojos (b) o azules (¯b); de igual modo, hay grandes (c) o peque˜ nos (¯ c). Ignoramos de este modo los bloques l´ogicos que puedan tener propiedades diferentes a estas, por ejemplo, otro tama˜ no o color. Y as´ı, los resultados de la medici´ on tienen dos valores para cada observaci´ on. Nuestros bloques l´ ogicos exhiben correlaciones perfectas, es decir, si separamos en una caja los tri´ angulos, azules y peque˜ nos, sabremos que todos en la caja tienen estas caracter´ısticas, a´ un si no miramos el interior de la caja. De acuerdo con EPR, estas tres propiedades (forma, color y tama˜ no) son elementos de realidad que podemos predecir con certeza. Un juego de bloques l´ ogicos completo est´a constituido por pares id´enticos, es decir, cada objeto tiene un gemelo tal como se muestra en la Figura 1. As´ı, si miramos en un gran n´ umero de tales pares id´enticos, tendremos todas las posibles combinaciones. Para las tres propiedades que elegimos, existen ocho combinaciones posibles:
C´ırculos, rojos, grandes (a, b, c).
Tri´ angulos, rojos, grandes (¯ a, b, c).
C´ırculos, rojos, peque˜ nos (a, b, c¯).
Tri´ angulos, rojos, peque˜ nos (¯ a, b, c¯).
C´ırculos, azules, grandes (a, ¯b, c).
Tri´ angulos, azules, grandes (¯ a, ¯b, c).
C´ırculos, azules, peque˜ nos (a, ¯b, c¯).
Tri´ angulos, azules, peque˜ nos (¯ a, ¯b, c¯).
Figura 1: Este es un juego de bloques l´ogicos completo. Es importante tener en cuenta que s´olo estamos considerando dos posibilidades para cada caracter´ıstica.
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Podemos establecer algunas declaraciones bastante simples. Por ejemplo: N´ umero de pares de c´ırculos, rojos N (a, b) = N´ umero de pares de c´ırculos, rojos, grandes N (a, b, c) + N´ umero de pares de c´ırculos, rojos, peque˜ nos N (a, b, c¯). Esto es: N (a, b) = N (a, b, c) + N (a, b, c¯)
(1)
Esta igualdad es completamente auto-evidente. Todos los pares de c´ırculos rojos seleccionados en nuestro modelo, deben ser o grandes o peque˜ nos. No hay otra posibilidad. De manera similar podemos concluir que: N (a, c) = N (a, b, c) + N (a, ¯b, c)
(2)
N (b, c¯) = N (a, b, c¯) + N (¯ a, b, c¯)
(3)
Construyamos ahora una desigualdad que sea auto-evidente: 0 ≤ N (a, ¯b, c) + N (¯ a, b, c¯)
(4)
Sumando en ambos la dos de la ecuaci´on 4, N (a, b, c) + N (a, b, c¯), se obtiene, N (a, b, c) + N (a, b, c¯) ≤ N (a, b, c) + N (a, ¯b, c) + N (a, b, c¯) + N (¯ a, b, c¯)
(5)
o lo que es lo mismo, N (a, b) ≤ N (a, c) + N (b, c¯)
(6)
Supongamos que s´ olo podemos observar una propiedad a la vez en cada elemento de los pares de bloques l´ogicos, de este modo la desigualdad que acabamos de obtener (ecuaci´on 6) queda de la siguiente manera: N´ umero de pares donde uno es c´ırculos y otro es rojo ≤ N´ umero de pares donde uno es c´ırculo y el otro es grande + N´ umero de pares donde uno es rojo y el otro es peque˜ no.
Figura 2: Conjunto de pares de bloques l´ogicos. El cuadro puede representar una caja grande o el suelo de una habitaci´ on donde est´ an los todos los pares de bloques l´ogicos. Esta es la desigualdad de Bell para bloques l´ ogicos. Es evidente que debe ser cierta, pero con el fin de enfatizar m´as en su veracidad vamos a considerar la Figura 2. Este cuadro representa todo el conjunto 5
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muestral; aqu´ı est´ an contenidos todos los pares de bloques. La Figura 3 representa el conjunto de bloques l´ogicos por propiedad: forma (izquierda), color (centro) y tama˜ no (derecha).
Figura 3: Conjunto de pares de bloques l´ogicos por propiedad. Hemos dividido la caja de tres maneras diferentes, una para cada propiedad.
Por u ´ltimo, en la Figura 4 intersectamos las secciones de cada t´ermino de la desigualdad de Bell para los bloques l´ogicos y verificamos as´ı su veracidad.
Figura 4: Desigualdad de Bell para bloques l´ogicos. Seleccionamos los pares de bloques l´ogicos que son circulos rojos (izquierda), y comprobamos que en efecto su n´ umero debe ser menor o igual a la suma de pares de bloques que son circulos y grandes (centro) m´ as los pares de bloques que son rojos y peque˜ nos (derecha).
La desigualdad de Bell puede parecernos inocente y obvia, empero tiene una gran importancia en la f´ısica moderna. Y es que dicha desigualdad es un criterio cuantitativo de porqu´e los estados cu´ anticos entrelazados son fundamentalmente diferentes de cualquier sistema compuesto de la f´ısica cl´asica. Es claro que la desigualdad de Bell se cumple para todos los pares de objetos cl´asicos con rasgos id´enticos. Lo que haremos ahora ser´ a traducir la desigualdad de Bell para los bloques en t´erminos de una situaci´on espec´ıfica. Si hacemos esto, entonces la desigualdad de Bell predice correctamente correlaciones entre cualesquiera que sean los objetos “gemelos” de rasgos id´enticos. Siempre que dichos objetos puedan ser descritos por una teor´ıa realista local, que son las ideas en que Bell se bas´o para deducir su desigualdad. [Jhonny Castrill´ on, 2013] [5]
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Fotones entrelazados
Consideremos fotones entrelazados en polarizaci´on. La polarizaci´on de la luz es una propiedad tambi´en conocida en la vida cotidiana, y describe como los campos electromagn´eticos oscilan, horizontalmente (derecha e izquierda), verticalmente (arriba y abajo), o a lo largo de cualquier otra direcci´on, siempre perpendicular a su direcci´ on de propagaci´on. Los vidrios polarizados, por ejemplo, usan la polarizaci´ on para filtrar la luz que entra al interior, y es por eso que casi no puede verse lo que encierran; estos vidrios seleccionan qu´e tipo de oscilaci´ on de la luz (polarizaci´on) puede pasar y que tipo no. Los sistemas individuales de luz, los fotones, tambi´en pueden cargar polarizaci´on. Para un fot´ on individual es posible determinar si est´ a, o no, oscilando en cierto estado de polarizaci´on. Tal fot´on s´ olo tiene dos posibilidades. Cualquiera que sea la polarizaci´on que deseemos estudiar, el campo electromagn´etico del fot´on oscilar´ a paralelo a esta polarizaci´on, llamada polarizaci´on vertical (V), o bien ortogonal a ella, llamada polarizaci´ on horizontal (H). En este sentido la polarizaci´on es una propiedad de la luz, as´ı como la forma, el color, y el tama˜ no lo son de los bloques l´ogicos, por ejemplo, la polarizaci´on en la direcci´ on x tiene alternativas Vx y Hx . Un primer aspecto cu´antico de los fotones se debe a que tienen infinidad de polarizaciones diferentes, incompatibles1 entre s´ı, y en cada caso los fotones s´olo pueden oscilar a lo largo de dicha polarizaci´ on, o perpendicular a ella. El segundo aspecto cu´ antico de los fotones es el entrelazamiento. Traduzcamos nuestra descripci´ on de pares de sistemas a pares de fotones. En un experimento es posible crear pares de fotones entrelazados donde la polarizaci´ on de los dos fotones est´a ´ıntimamente conectada, en efecto, entrelazadas en la manera en que Schr¨ odinger dec´ıa. Existen diferentes tipos de entrelazamiento. El entrelazamiento espec´ıfico depende de la fuente2 que uno utilice. Vamos a considerar el caso m´as simple, esto es, una fuente donde los dos fotones siempre adquieren la misma polarizaci´on si son medidos a lo largo de la misma direcci´ on, de manera que ambos fotones terminan o bien horizontal o bien verticalmente polarizados, respecto a la direcci´on elegida. Entonces las tres propiedades A, B, o C corresponden en nuestro experimento con fotones a tres polarizaciones diferentes, x, y, o z. Usando un selector de polarizaci´ on (SP), podemos medir cualquier polarizaci´on. El selector elige el polarizador correspondiente a la polarizaci´on que interesa medir. En nuestro caso estamos interesados en medir, en cada estaci´ on, las polarizaciones x, y o z de los fotones de cada par entrelazado. Esto significa que el selector est´ a dotado de tres polarizadores, uno para cada polarizaci´on. Llamemos a los resultados de la medici´on con el polarizador x, Vx y Hx , a los de del polarizador y, Vy y Hy , y a los del polarizador z, Vz y Hz . Ver Figura 5.
As´ı, tenemos de nuevo tres propiedades diferentes que podemos medir, y tenemos dos resultados, horizontal y vertical, para cada polarizaci´on. Consideremos primero el caso en que A y B mide la misma polarizaci´on, es decir, los dos selectores est´an en la misma configuraci´on. Debido al entrelazamiento, se obtienen los mismos resultados en ambos lados: obtendremos una de las seis posibles combinaciones: 1 En mec´ anica cu´ antica, dos observables son incompatibles si sus correspondientes operadores no conmutan. Es decir, sus mediciones simult´ aneas est´ an en efecto restringidas. 2 La situaci´ on que aqu´ı se plantea es utilizada en los laboratorios actuales con una fuente de cristales SPDC tipo I.
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Figura 5: Un experimento para observar el entrelazamiento de polarizaci´on en pares de fotones. La fuente S crea los pares de fotones. Uno de los fotones es enviado a la estaci´on de medici´on A, y el otro fot´on a la estaci´ on de medici´ on B. La polarizaci´ on de cada fot´ on est´ a siendo medida con un polarizador (P). Cuando un fot´on emerge por el lado |Hi est´ a horizontalmente polarizado, y as´ı mismo, si sale por el lado |V i , est´a verticalmente polarizado. En cualquier caso la polarizaci´ on es respecto al polarizador utilizado. El cambio de polarizador lo ejecuta el selector de polarizaci´ on (SP); seg´ un la posici´ on del interruptor, x, y, o z, esa ser´a la polarizaci´on seleccionada que se mide a los fotones. De ese modo uno pueden observar las tres polarizaciones de inter´es. Por ejemplo, en la figura, el selector de la estaci´ on A est´ a midiendo la polarizaci´ on y, cuyos resultados posibles son Vy y Hy , y el de la estaci´ on B, la polarizaci´ on x, que tiene los resultados posibles Vx y Hx . Figura tomada de “Mec´anica Cu´antica Fundamental, Una propuesta did´ actica.” [Jhonny Castrill´ on, 2013].
Hx − Hx , Vx − Vx , Hy − Hy , Vy − Vy , Hz − Hz , Vz − Vz . Esta correlaci´on perfecta fue nuestro punto de partida para la derivaci´ on de la desigualdad de Bell. Analicemos ahora el caso en que escogemos diferentes polarizaciones en cada lado. Podremos entonces traducir la desigualdad de Bell para los bloques l´ogicos de manera directa a las nuevas situaciones. S´ olo debemos remplazar los resultados c´ırculo por Hx , rojo por Hy y grande por Hz ; similarmente, remplazamos los resultados tri´ angulo por Vx , azul por Vy y peque˜ no por Vz . Las tres orientaciones del selector (x, y, z) corresponden a las tres diferentes propiedades A, B, y C. Logramos as´ı obtener la desigualdad de Bell para fotones entrelazados en polarizaci´ on: N´ umero de pares donde el fot´ on en A tiene polarizaci´on Hx y el fot´on en B tiene polarizaci´ on Hy ≤ N´ umero de pares donde el fot´ on en A tiene polarizaci´on Hx y el fot´on en B tiene polarizaci´ on Hz + N´ umero de pares donde el fot´ on en A tiene polarizaci´on en Hy y el fot´on en B tiene polarizaci´on Vz Hemos llegado a algo realmente importante. Tenemos unas predicciones que pueden ser verificadas en un experimento. Quedamos ahora con dos preguntas: 1 ¿Est´an, todas las predicciones de la mec´anica cu´antica, de acuerdo con la desigualdad que acabamos de observar? Lo m´ as interesante (e impactante) del caso es que la respuesta es en efecto negativa. Hay conjuntos de orientaciones para los polarizadores, es decir, posiciones para los selectores de polarizaci´on, en la que la desigualdad anterior es violada. En estos casos el lado derecho de la desigualdad es menor que el lado izquierdo. De esta manera, existe una contradicci´on entre la mec´anica cu´antica y los argumentos que conducen a la
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desigualdad de Bell, es decir, el realismo local. 2 ¿Qu´e pasa en el experimento, la naturaleza est´a de acuerdo con la mec´anica cu´antica, o ´esta obedece las limitaciones impuestas por el realismo local? Lo que resulta es que los fotones hacen lo que la mec´ anica cu´ antica predice. Hasta hoy han sido realizados y rectificados muchos experimentos, y en todos ellos, a excepci´ on de uno de los primeros, hay un perfecto acuerdo con las predicciones de la mec´anica cu´ antica. [Experimentos de Alan Aspect y Anton Zeilinger]
Las suposiciones usadas en la derivaci´on de la desigualdad de Bell son las suposiciones del realismo local. Por ende, se concluye que la posici´ on filos´ofica del realismo local es insostenible, simplemente porque no puede ser verificada experimentalmente. La desigualdad de Bell nos permite formular una pregunta netamente filos´ ofica, en t´erminos estrictamente f´ısicos; una pregunta sobre c´omo es el mundo ha sido por lo tanto contestada por los experimentos, y nos demuestran que el mundo no es como lo supone el realismo local.
Referencias [1] Anton Zeilinger. Dance of the photons: from Einstein to quantum teleportation. Ap´endice: Entanglement - A Quantum Puzzle for Everybody. Farrar, Straus and Giroux, New York 2010. [2] George Greenstein, Arthur G. Zajonc. The Quantum Challenge, Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics. Chapter 5: The EPR Paradox and Bell’s Theorem. Jones and Bartlett Publishers, Inc. Second edition, 2005. [3] Albert Einstein, Boris Podolsky, y Nathan Rosen. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Rewiew, volume 47, May 15, 1935. [4] Carlos Mario Rivera Ruiz. Paradoja EPR y el teorema de Bell. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia. Diciembre de 2010. [5] Jhonny Alexander Castrill´ on P´erez. Mec´ anica Cu´ antica Fundamental, Una propuesta did´ actica. Capitulo 4: Entrelazamiento. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia. Junio de 2013. [6] Asher Peres. Quantum Theory Concepts and Methods. Chapter 6: Bell’s Theorem. Kluwer, 2002. [7] Boris Anghelo Rodr´ıguez Rey. Curso de Fundamentos de Mec´ anica Cu´ antica, Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia. Primer semestre de 2013.
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