Enseñar geometría gráfica en la edad del número

Enseñar geometría gráfica en la edad del número1 José Calvo López Escuela de Arquitectura e Ingeniería de la Edificación, en constitución. Universidad Politécnica de Cartagena.

Abstract

This paper presents a simple idea; however, this simple idea will be crucial in the graphical instruction of architects along the next decades. The basic concepts of Descriptive Geometry remain in full strength in our times, since the computer uses orthographic projections, axonometry and linear perspective to interact with the user; however, it is essential to link these basic concepts to the new graphical methods made available by CAD programs, updating the canon of Descriptive Geometry and setting aside a number of procedures that have become obsolete in the 21th century.

1

Comunicación publicada en XII Congreso Internacional de Expresión Gráfica Arquitectónica. Madrid: Instituto Juan de Herrera, 2008, p. 133-141. ISBN 978-84-9728-270-3. El momento concreto de celebración del congreso, en primavera de 2008, explica algunos detalles llamativos del texto. Tenía por lema “El dibujo y la realidad arquitectónica: de cara a la nueva formación de arquitectos” y se centró exclusivamente en cuestiones docentes. Tuvo lugar en Madrid precisamente cuando los primeros planes de estudio del Grado habilitante en arquitectura habían sido evaluados positivamente por ANECA, la agencia de calidad educativa nacional española, pero todavía no se habían implantado. El plan de la Universidad Politécnica de Cartagena, que hasta entonces no impartía los estudios de Arquitectura fue el único correspondiente a una universidad pública incluido en este grupo, por lo que levantó cierta expectación y fue mencionado en la inauguración del congreso. La Escuela de Arquitectura e Ingeniería de la Edificación se crearía oficialmente dos meses después. Por otra parte, la crisis económica de 2008 todavía no era evidente; se mostraría con toda su crudeza en el otoño de aquel año; eso explica el optimismo de algunas frases de la comunicación. Al menos el autor acertó en un punto: pocos años después apareció un programa que permite arrojar sombras y mover un foco de luz simultáneamente.

Se olvida a menudo que la expresión "geometría descriptiva" no es otra cosa que un cultismo neoclásico que vale por geometría gráfica. El fundador de la disciplina, Gaspard Monge, recogió una serie de prácticas de trazado que venían utilizando los artesanos de la construcción, en particular los canteros, y las elevó al plano de una ciencia abstracta. La aportación principal de Monge a la nueva disciplina fue la introducción de la intersección de los planos de proyección, llamada desde entonces línea de tierra, que permite la representación de planos por sus trazas. Una de las utilidades de esta técnica es la determinación de los planos tangentes a cualquier superficie, y con ella, la construcción científica de sombras. La idea resulta muy atractiva a la mentalidad neoclásica; dicho en pocas palabras, permite someter el arte a los dictados de la razón. Este sueño no prosperó, entre otras cosas porque no hay nada más contrario a la sensibilidad romántica; pero la geometría descriptiva encontró un lugar en la formación de los arquitectos de la Europa continental y lo ha mantenido, de una manera u otra, durante cerca de doscientos años. Este reinado se encuentra amenazado por una máquina numérica, en principio hostil a la geometría, que recibe en Latinoamérica el acertado nombre de computadora. Paradójicamente, este artilugio hace realidad el sueño de Monge: permite obtener representaciones sombreadas por métodos científicos e incluso resuelve por procedimientos numéricos el problema del punto brillante, que se abordó sin éxito por métodos gráficos durante el siglo XIX. Parecería lógico esperar que los profesores de geometría descriptiva hubieran recibido esta máquina con alborozo; pero su reacción ante tal artefacto ha sido más bien fría. Esta actitud displicente puede deberse en parte a la pobreza de las herramientas geométricas de la aplicación más extendida, que es incapaz de obtener por proyección una figura plana transformable, resolver intersecciones de superficies, obtener axonometrías oblicuas, determinar planos tangentes o realizar cambios de

escala con factores diferentes en cada eje coordenado. Resulta significativo comprobar que algunos de los profesores de geometría descriptiva que más se han señalado en los congresos de la disciplina por su postura decidida a favor del ordenador, abogan por el uso de programas alternativos al dominante (Font 2000a; Font 2000b; González García 2000, González García 2002). La situación resulta aún más paradójica si consideramos que la capacidad de la computadora para generar imágenes realistas en centésimas de segundo, y la ilusión de movimiento que esta capacidad conlleva, permite mostrar a los alumnos de forma atractiva e intuitiva los conceptos abstractos de la geometría; al mismo tiempo, la ciencia de las proyecciones puede ofrecer a la enseñanza del dibujo por ordenador una base teórica de la que hoy carece, ofreciendo un fundamento más sólido al alumno a la hora de elegir direcciones de proyecciones y puntos de vista, realizar giros, colocar puntos en el espacio tridimensional representado por la pantalla o generar sombras. Ante esta situación, la presente comunicación se centra en una idea sencilla, pero crucial para la formación gráfica de los arquitectos en las próximas décadas: los conceptos fundamentales de la geometría descriptiva resultan plenamente vigentes en nuestra época, entre otras cosas porque el ordenador emplea proyecciones para comunicarse con el usuario; por tanto, estos conceptos pueden aportar una base firme a la enseñanza de los nuevos medios de representación de la arquitectura. Ahora bien, resulta necesario vincular estos conceptos a los nuevos procedimientos de geometría gráfica puestos a disposición por el ordenador, revisando el canon tradicional de la geometría descriptiva y descartando métodos que han devenido obsoletos en nuestra época (Monedero 2002, 622).

Un matrimonio de conveniencia En primer lugar, la geometría descriptiva y el dibujo por ordenador pueden apoyarse recíprocamente. Los programas recientes de dibujo por ordenador ofrecen un recurso didáctico excepcional para la enseñanza de la geometría descriptiva. Permiten mostrar de forma intuitiva nociones que tradicionalmente los alumnos han comprendido con dificultad, desde las rectas que se cruzan o los planos proyectantes a la diferencia entre superficies regladas desarrollables y alabeadas, que el anticuado sombreado plano muestra con claridad. Más aún, los programas permiten a los alumnos trazar rectas proyectantes y hallar sus intersecciones con los planos de proyección, lo que permite aprehender intuitivamente la naturaleza de la proyección cilíndrica o cónica.2 También permiten obtener intersecciones de superficies con planos y de superficies entre sí, propiciando que los alumnos descubran por sí mismos nociones antes misteriosas como las de penetración y mordedura.3 También ofrece posibilidades muy atractivas la imagen de síntesis o render. Podemos emplear esta herramienta para mostrar los rasgos fundamentales de las sombras solares o puntuales, como la conservación de la forma de las figuras que arrojan sombra sobre un plano paralelo a la figura, el paralelismo o la convergencia de las sombras de rectas paralelas o la noción de punto limitador. También permiten este tipo de programas la exposición intuitiva de nociones fundamentales del soleamiento, especialmente mediante las herramientas que permiten preparar una película acelerada mostrando la evolución de las sombras de todo un edificio a lo largo del día, bajo el nombre más o menos pomposo de "estudios solares".4

2

Es obvio decir que los programas también ofrecen métodos más eficaces para obtener estas proyecciones en la práctica, liberando al usuario de la necesidad de emplear conscientemente planos proyectantes. 3 Por supuesto, todo esto se refiere a los programas relativamente avanzados aparecidos en la década de los noventa y la actual; el programa más extendido es incapaz de determinar la intersección de una recta y un plano, para empezar, y mucho menos la de dos superficies. 4 Por el contrario, ningún programa comercial permite hoy, hasta donde llega mi conocimiento, mostrar las sombras arrojadas mientras el usuario gira libremente la posición del foco de luz, lo que sería de gran ayuda para el uso didáctico de este recurso, pero cabe esperar que este avance se produzca dentro de

Llegados a este punto, el lector puede preguntarse si sirve de algo enseñar geometría descriptiva a estas alturas, puesto que el ordenador resuelve de forma sencilla y eficaz la práctica totalidad de los problemas abordados por la vieja disciplina. La paradójica respuesta es que resulta necesario conocer los conceptos fundamentales de la geometría descriptiva para extraer todas las posibilidades del ordenador y manejar la máquina con conocimiento de causa (Carballo 2000, 80). Por supuesto, se imparten muchos cursos de dibujo por ordenador "en tres dimensiones" que no hacen uso del vocabulario de la geometría descriptiva, pero si analizamos con un mínimo detenimiento las órdenes de los programas, encontramos conceptos básicos de geometría descriptiva ocultos tras un vocabulario más o menos infantil, que para añadir la injuria al insulto se traduce casi siempre a mocosuena (Calvo, Martínez y Macià 2001; Maestre 2001; v. también las observaciones sobre el spanglish en Jiménez 2000, 17). Por poner un ejemplo revelador, la ayuda o los manuales de la mayoría de los programas se limitan a exponer que la generación de perspectivas lineales se controla mediante dos puntos, denominados "cámara" y "objetivo". Sería bueno explicar a los alumnos que la línea que une la cámara y el motivo se puede denominar, por ejemplo, "eje óptico"; que el plano perpendicular al eje óptico que pasa por el motivo se puede denominar "plano de la imagen"; que el plano de la imagen puede ser vertical, cuando la cámara y el motivo están a la misma altura, o bien horizontal, cuando la cámara y el motivo están uno encima de otro, o bien inclinado en el caso general; que cada una de estas disposiciones da lugar a un tipo diferente de imagen, con reglas diferentes; que las rectas que en la realidad son perpendiculares al plano de la imagen, y paralelas entre sí, en la imagen de síntesis concurren en el motivo; que en el caso de plano de la imagen vertical existe un plano horizontal que pasa por el eje óptico, y que dos rectas paralelas concurren en la imagen en un punto de este

algunos años, conforme se incremente la potencia de cálculo de los ordenadores y se vayan afinando los algoritmos disponibles.

plano; que existe un plano paralelo al plano de la imagen que pasa por la cámara, que podríamos denominar "plano de la cámara" y que los puntos de este plano no aparecen en la imagen, sino que se desplazan hasta el infinito, etcétera. Con la ayuda de estos conceptos relativamente simples, cualquier principiante en el dibujo por ordenador puede componer perspectivas de una forma mucho más controlada que si se dedica a girar el ratón aleatoriamente. Toda esta terminología novedosa puede ser más o menos útil o intuitiva, pero en realidad los conceptos que estamos manejando no son otros que los conceptos venerables de la perspectiva lineal, tal como los exponen los manuales de geometría descriptiva, como se comprueba fácilmente sustituyendo "cámara" por "punto de vista", "objetivo" o "motivo" por "punto principal", "plano de la imagen" por "plano del cuadro", "eje óptico" por "rayo principal", "plano de la cámara" por "plano de desvanecimiento" y así sucesivamente. De esta manera, los conceptos de la geometría descriptiva, ya sea en su formulación tradicional, que es la que emplearemos en lo sucesivo, o bajo una vestidura más novedosa si se desea, pueden contribuir en gran medida a una comprensión más profunda de las posibilidades de los programas de dibujo por ordenador, permitiendo al alumno obtener unos resultados mucho más controlados. En otros casos, lo que está en juego no es ya la posibilidad de obtener resultados más o menos controlados, sino la mera viabilidad del uso de los programas de dibujo por ordenador para generar formas en el espacio. Los principiantes en el uso de estas aplicaciones se enfrentan a un escollo típico; una y otra vez colocan un punto en la pantalla y al girar la vista, comprueban que el punto que acaban de colocar está en una posición espacial insospechada y absurda. Por una vez, no son los programas los responsables de esta catástrofe, sino el usuario, que desconoce o no aplica conceptos básicos de geometría proyectiva. El ordenador se comunica con el dibujante mediante algunos de los modos de representación explicados por los manuales de

geometría descriptiva de los últimos doscientos años. Las vistas de la pantalla pueden ser proyecciones ortográficas en planta o alzado, axonometrías ortogonales o perspectivas lineales. Algunos programas agrupan las proyecciones ortográficas y las axonometrías bajo la rúbrica de "proyección paralela". Esto es en rigor correcto, pues no procede hablar de axonometría cuando nadie mide nada en ningún eje; en consecuencia la perspectiva lineal será "proyección perspectiva". En cualquier caso, conviene recordar que una sola de estas vistas es incapaz de representar el espacio sin ambigüedades; en realidad cada punto de la pantalla no representa un punto único del espacio, sino todos los puntos que pertenecen a una misma línea proyectante.5 Este hecho, que da una enorme potencia a nuestros modos de representación, también plantea problemas complejos. Cuando el usuario señala un punto en la pantalla y aprieta el ratón, el ordenador debe averiguar a qué punto del espacio se refiere el usuario, y puede aplicar varias hipótesis. Por lo general el ordenador entiende que el usuario se refiere al plano de proyección de la vista, que tiene una posición definida, como en el sistema de Monge. Ahora bien, en algunas ocasiones el usuario querrá construir figuras a nivel del pavimento y en otras a nivel de las ventanas; si trabaja en alzado, a veces querrá colocar elementos en el paramento exterior de un muro y en otras ocasiones preferirá trabajar en la cara interior. Los programas permiten al usuario desplazar el plano de proyección; ahora bien, dado que los diseñadores de estas aplicaciones no emplean los conceptos de la geometría descriptiva, sino que piensan en términos de geometría algebraica, la operación recibe nombres exóticos como "Origen del plano de construcción", "Fijar profundidad activa (Z)" o similares.

5

Por supuesto, esto es un gran avance de la representación técnica, pues permite entre otras cosas representar pavimentos y ventanas en una misma planta, y no es tan trivial como parece, pues se trata de una noción que está prácticamente ausente en la Antigüedad y sólo aparece en la Baja Edad Media (Sakarovitch 1997). Ahora bien, lo que es una ventaja en la representación se convierte en un obstáculo a la hora de construir las figuras, como se comenta en el cuerpo del texto.

En las proyecciones ortográficas, la noción de plano de proyección es muy útil, pues coincide con la orientación de uno de los planos significativos del objeto que se quiere representar, ya sea el de los pisos o el de una de las fachadas. Por el contrario, en la axonometría ortogonal o en la perspectiva lineal de cuadro inclinado el plano de proyección está por así decirlo, volando por el espacio; dicho en términos más académicos, su orientación no guarda relación con los planos más importantes del objeto que estamos representando. En estos últimos casos, los programas más avanzados no emplean la noción de plano de proyección, sino el concepto más flexible de plano de construcción. Es decir, permiten disociar el plano de construcción, donde se va a colocar el punto que señala el usuario, del plano de proyección de la vista. De esta manera, el programa colocará el punto en la intersección del plano de construcción con la recta proyectante del punto señalado por el usuario en la pantalla. Como consecuencia, el dibujante tendrá la sensación de estar trazando figuras sobre el plano de construcción. Todavía cabe una tercera posibilidad, que muchas veces desorienta al usuario; si coloca el ratón sobre un punto de una figura existente, el ordenador entenderá que el usuario quiere hacer referencia a la figura, y situar un punto precisamente sobre el punto preexistente, con independencia de que éste se halle o no en el plano de proyección o construcción. Esta herramienta resulta muy práctica para el usuario avezado, pero es difícil de asimilar por el principiante, a menos que ponga en juego algunos conceptos básicos de geometría descriptiva, como los de ambigüedad de la proyección, plano de proyección y recta proyectante. Conceptos y procedimientos Todo esto hace a los conceptos tradicionales de la geometría descriptiva indispensables para ofrecer a los alumnos un entendimiento de los programas de

dibujo por ordenador sobre una base científica sólida, como cabe esperar de la enseñanza superior. No se puede decir lo mismo en todos los casos de los métodos tradicionales de la disciplina; podemos preguntarnos qué sentido tiene exponer hoy el procedimiento tradicional del abatimiento, cuando los programas de dibujo por ordenador, incluso las reliquias de los años ochenta, permiten hacer pasar el plano de proyección por tres puntos cualesquiera y, de esta manera, mostrar cualquier figura plana en verdadera forma con un mínimo esfuerzo (Monedero 2002, 622). Otro tanto cabe decir de problemas alambicados como la sombra del tetraedro sobre la esfera, que daban para una práctica de descriptiva de dos horas y que hoy los algoritmos de trazado de rayos resuelven literalmente en segundos. Esta situación propicia la implantación de un programa docente que conjugue toda una serie de conceptos básicos de la geometría descriptiva, e incluso de otros campos de conocimiento que tienen relación histórica con ella, con los procedimientos de geometría gráfica que puede emplear un arquitecto del siglo XXI. Estos procedimientos van a ser muy variados, porque la panoplia de instrumentos gráficos al alcance del arquitecto es más rica que nunca. Desde luego, no parece que el dibujo a mano alzada vaya a desaparecer en las próximas décadas; todos los intentos de diseñar un programa de croquis rápidos capaz de generar los dibujos que realiza o realizaba Álvaro Siza en los bares próximos al solar han quedado en agua de borrajas. Queda por ver si en el futuro estos croquis se van a realizar en la servilleta de Siza o en un tablero sensible a la presión, pero en cualquier caso no parece que nada vaya a ganar en rapidez a la mano alzada (Casas 2000). Por otra parte, la escuadra y el escalímetro siguen vivos, aunque su ámbito de utilización se haya reducido. Hoy por hoy los planos se producen casi siempre mediante un programa de dibujo por ordenador, pero circulan en papel o, desde hace unos pocos años, en formatos congelados, como el PDF. Por tanto, todavía resulta necesario o conveniente realizar algunas operaciones geométricas sencillas sobre un plano en papel cuando no se dispone del archivo original. Por otra parte, dentro de los

archivos generados por los programas de dibujo por ordenador, todavía hemos de diferenciar entre archivos en dos y tres dimensiones, aunque la distinción tiende a desdibujarse. Todo esto da lugar a un gran número de procedimientos de geometría gráfica, que comparten una base común, lo que tradicionalmente se ha llamado geometría descriptiva, aumentada por un extremo con algunos conceptos de geometría euclidiana del plano o del espacio; y por el otro con conceptos como los de la ley de Lambert, las líneas isófotas o el soleamiento geométrico, que han estado vinculados tradicionalmente a la disciplina pero que se han ido abandonando en manos de otras materias bajo la presión de las sucesivas reducciones de contenidos y horarios. Exponer detalladamente un programa semejante excedería con mucho los límites impuestos a esta comunicación. La tabla I presenta a título de ejemplo el esquema de una materia con carga docente de 12 ECTS y duración anual, lo que llevaría a dos horas de clase teórica y tres o cuatro de ejercicios prácticos a la semana. La columna de la izquierda expone los conceptos que sería necesario mostrar a los alumnos en las lecciones teóricas, de la forma más visual posible, aprovechando el poder intuitivo de los programas de modelado más recientes.6 La columna de la derecha señala algunas de las destrezas que deberían adquirir los alumnos en los ejercicios prácticos, diferenciando entre las que se centran en el dominio de las órdenes de un programa, que se muestran en letra redonda, y las que requieren el empleo de procedimientos que no ofrecen los programas actuales, que se indican en cursiva. No es necesario decir que semejante esquema se ha diseñado partiendo de unas circunstancias y condicionantes concretos y no es exportable sin más a otras escuelas. En particular, la carga de la materia en créditos, la ordenación temporal de la materia, las disponibilidades de programas informáticos, los intereses y conocimientos de los

6

Aquí el verbo enseñar, el más odiado por los modernos pedagogos, recupera su sentido original de mostrar, como opuesto a formar y educar, que valen por modelar y conducir, respectivamente, y deberían ser sospechosos en una sociedad democrática.

Bloque

S

01

02 03

04 Geometría del plano y del espacio

05

13

Elipse. Ejes. Diámetros conjugados / Parábola. Hipérbola. Proyección cilíndrica. Recta proyectante. Plano proyectante. Conservación del paralelismo. Intersecciones reales y aparentes de rectas / Verdadera forma y deformación. Conservación y pérdida de la ortogonalidad entre rectas. Teorema de las tres perpendiculares. Conservación de la tangencia. Contorno aparente. Planta, alzado y perfil. Doble proyección cilíndrica. Línea de referencia. Forma canónica y forma práctica / Posiciones de rectas y planos. Trazas de rectas y planos. Pertenencia de puntos y rectas a planos. Cambio de proyección. Giro. Longitud de un segmento. Abatimiento / Medidas de distancia y angulares. Ángulo con la horizontal y pendiente. Axonometría ortogonal. Determinación de los coeficientes de reducción / Variantes de la axonometría ortogonal. Proyección isométrica y dibujo isométrico. Representación de sólidos en axonometría ortogonal. Axonometría oblicua. Elección de los coeficientes de reducción. Variantes de la axonometría oblicua / Conservación de la forma en axonometría oblicua. Proyección cónica. Perspectiva lineal. Perspectiva central. Punto principal / Punto de distancia. Representación de la circunferencia. Campo visual. Descentramiento del punto principal. Punto de fuga de rectas horizontales. Punto de fuga de rectas inclinadas / Recta límite. Puntos de medida. Perspectiva de cuadro horizontal. Perspectiva de cuadro inclinado con dos puntos de fuga / Perspectiva de cuadro inclinado con tres puntos de fuga. Puntos de medida en cuadro inclinado.

14 15

Restituciones en cuadro vertical u horizontal. Restituciones en cuadro inclinado.

16

Prismas. Poliedros / Intersecciones de planos. Intersección de recta y plano. Cubiertas. Procedimiento general. Simplificaciones / Aleros a diferentes alturas. Aleros curvos. Cilindros circulares y de directriz genérica. Intersecciones de cilindros circulares y planos. Intersecciones de cilindros circulares y rectas / Cilindros en axonometría. Cilindros en perspectiva lineal. La hélice cilíndrica. Tangentes a la hélice cilíndrica. Conos circulares y de directriz genérica. Intersecciones de conos circulares con planos y rectas. Conos en axonometría y perspectiva lineal / Intersecciones de cilindros y conos entre sí. Penetraciones y mordeduras. La esfera. Intersecciones de esfera y planos. Intersecciones de esfera y recta. La esfera en axonometría oblicua. La esfera en perspectiva lineal / Intersecciones de cilindros, conos y esferas entre sí. Superficies regladas y curvas. Superficies regladas desarrollables y alabeadas. Superficies de traslación. Superficies de revolución / Tangente y plano normal a una curva alabeada. Tangentes, normal y plano tangente a una superficie. Elipsoides. Paraboloide elíptico. Paraboloide reglado o hiperbólico / Hiperboloide elíptico o de dos hojas. Hiperboloide hiperbólico o de una hoja. Conoide. Capialzado reglado. Paso oblicuo / Helizoide de plano director. Helizoide de cono director. Toro. Superficies topográficas. Representación de superficies topográficas / Perfiles y panoramas. Representación de planos y rectas en planos acotados. Intersecciones de planos y rectas en acotados / Conos de talud. Superficies de igual pendiente. Proyecciones cartográficas: estereográficas, cilíndricas y cónicas. Coordenadas UTM / Soleamiento geométrico. Sombras solares. Sombras de poliedros / Sombras de superficies. Sombras sobre superficies. Sombras de luces artificiales / Sombras de luces lineales. Sombras de luces superficiales. Claroscuro. Ley de Lambert. Reflexión especular y difusa / Radiación solar directa y difusa. Reflexiones múltiples. Transparencia y refracción. Generación de color por medios aditivos y sustractivos. Tono. Luminosidad y saturación / Texturas. Continuidad. Texturas de veteado. Texturas de relieve. Texturas e iluminación

06 07 08 09 Proyección cilíndrica

10

11 12

Proyección cónica

17 18 19 Planos y cuerpos redondos

20 21 22 23

Superficies y representación del terreno

24 25 26 27 28 29

Cartografía, soleamiento e imagen de síntesis

Conceptos Sólidos. Superficies. Rectas. Curvas. Puntos. Planos. Transformaciones. Proyecciones. Intersecciones / Posiciones de dos rectas. Dirección y punto del infinito. Posiciones de tres rectas. Ángulo y perpendicularidad entre rectas, en el plano y en el espacio. Posiciones de los planos. Orientación y recta del infinito. Ángulo y perpendicularidad entre planos. Perpendicularidad entre planos o entre rectas / Posiciones de rectas y planos. Ángulo y perpendicularidad entre recta y plano. Perpendicularidad entre recta y plano. Horizontales y rectas de máxima pendiente. Transformaciones geométricas: traslación, rotación, simetría, homotecia / Afinidad y homología. Curvas planas y alabeadas. La circunferencia. Arco. Mediatrices y bisectrices. Arco capaz. Polígonos regulares / Tangente. Normal y plano normal. Puntos angulosos, de retroceso y de inflexión. Tangentes en la circunferencia. Óvalo. Líneas quebradas y mixtas.

30

Procedimientos

Caja. Punto. Línea. Ángulo. Partir. Recortar. Extender. Fin. Cer. Per. Ángulo.

Plano. Crease Angle. PlanoC. Mover. Copiar. Rotar2D. Rotar3D. Simetría. Escala3D. Proyectar. Escala 1D. Sesgar. Empleo de la afinidad y la homología. Círculo. Arco. Med. Bisectriz. Construcción de la circunferencia conocidos tres puntos. Tan. Polilínea. Unir. Descomponer. Construcción de óvalos. Construcción de líneas mixtas. Elipse. Cónica. Construcción de elipses por diámetros conjugados. Parábola. Hipérbola.

Diferenciar intersecciones reales y aparentes de rectas. Proyectar. Dibujo2D. DefinirVista. Vistas vinculadas. PlanoC. Representación de planos por trazas. RotarVista. Longitud. Distancia. Cota. Línea: perpendicular a 2 curvas. Medidas por giro. Verdadera forma por afinidad. Propiedades de Vista: Proyección Paralela. Coeficientes de reducción en axonometría ortogonal. Composición de axonometrías ortogonales. Composición de axonometrías oblicuas. Axonometría oblicua por afinidad. Propiedades de Vista. Proyección Perspectiva. Cámara. Perspectiva central a mano alzada. Lente. Perspectiva en escorzo a mano alzada. Perspectiva de cuadro inclinado. Restituciones en cuadro vertical u horizontal. IgualacionDePerspectiva. Programas de fotogrametría multifoto. Restituciones en cuadro inclinado. Programas de fotogrametría multifoto. ExtrusiónDeCrv. Intersección. Pirámide. Intersección de planos por planos auxiliares. Intersección de recta y plano por planos auxiliares. Cubiertas de igual pendiente. Cubiertas de pendientes diferentes. Aleros a diferentes alturas. Aleros curvos. Cilindro. ExtrusiónDeCrv. Intersección. Intersección de cilindro y plano. Intersección de cilindro y recta. Hélice. Cono. ExtrusiónDeCrvHaciaPunto. Intersección de cono y plano. Intersección de cono y recta. Intersección de esfera y plano. Intersección de esfera y recta. Esfera. Intersección. Representación de la esfera en axonometría oblicua y perspectiva lineal Métodos gráficos de desarrollo del cilindro y el cono. Revolución. Barrido1. SupDesdeRed. Línea: Tangente. PlanoC: Curva. Línea: Normal. Elipsoide. Paraboloide. Construcción de paraboloides hiperbólicos e hiperboloides Toroide. Construcción de superficies regladas y de revolución Contornos. Perfiles y panoramas Intersecciones de planos y rectas en acotados. Explanaciones. Viales en pendiente. Viales curvos en pendiente Construcción de cartas solares LuzDireccional. Renderizar. Sombras de poliedros. Sombras de superficies. Sombras sobre superficies LuzPuntual. Foco. Sombras de luces puntuales. LuzLineal. LuzRectangular. Renderizar. Reflexión. Trazado de reflejos en perspectiva cónica. LuzAmbiente. Simulación de luz ambiente con direccionales Transparencia. Color RVA/CMYK. Color TSL. Generación de texturas sin junta. Textura. Control de la escala de las texturas. Generaración de texturas dibujadas

Tabla 1. Esquema de un posible programa de una materia centrada en la geometría gráfica y el modelado por ordenador.

profesores y la elección entre un modelo que diferencia la enseñanza teórica y la práctica o que funde ambas en la denominada docencia "de taller" han de afectar necesariamente a la planificación de esta materia. La última de estas disyuntivas se trata con más detenimiento en el punto siguiente.

Contra los pedagogos

En la Grecia clásica, un pedagogo era un esclavo que llevaba a los niños a la escuela tomándolos de la mano. En la actualidad, ni los profesores de las escuelas técnicas son esclavos, ni los alumnos, que son mayores de edad, se dejan llevar de la mano a ningún sitio. Sin embargo, los modernos pedagogos insisten en llevar a las escuelas técnicas unos métodos de enseñanza propios de Maria Montessori; en particular, para estos ilotas, la lección magistral debería ser desterrada de las aulas en beneficio del trabajo en grupo, el estudio de casos y otras lindezas semejantes. El intento de extender estos pasatiempos a las escuelas técnicas resulta paradójico. Precisamente fueron las escuelas de ingenieros del Antiguo Régimen, y sobre todo la École Polytechnique inspirada por Monge, las que rompieron la rígida separación, de orígenes medievales, entre una educación universitaria teórica, basada ante todo en la lectura y comentario de un texto considerado como autoridad - la primera acepción del vocablo "lección" en el Diccionario de la Lengua Española es "lectura" - y la formación práctica, por el mero ejemplo visual, de los medios artesanales, y en particular de los tratados de cantería que el propio Monge empleaba en la escuela de Mézières y en la École Polytechnique. De ahí que la geometría descriptiva sea, en palabras de Sakarovitch, (1997) "una disciplina en el corazón de la articulación entre teoría y práctica". Renunciar a la lección magistral y centrarlo todo en los ejercicios prácticos, equivale a retroceder a los métodos pedagógicos del Antiguo Régimen, que no se diferencian en lo esencial de los hábitos medievales, y negar la propia esencia de las escuelas técnicas, que no tienen otra razón de ser que la aplicación de

la ciencia a los problemas prácticos. Por supuesto, esto tampoco implica renunciar al trabajo en grupo, a incentivar los mecanismos de colaboración entre alumnos - ya Monge empleaba a los mejores alumnos como "jefes de brigada" - y mucho menos a la enseñanza basada en proyectos, que asombrosamente se pretende llevar a las Universidades Politécnicas como el mayor avance pedagógico de la última década.

De ahí que se conciba la enseñanza de esta materia como una continua interrelación entre exposiciones teóricas y trabajo práctico del alumno, como espero haber dejado claro en el apartado anterior, que en realidad se puede resumir diciendo que la geometría descriptiva puede proporcionar un soporte teórico a la enseñanza práctica del dibujo por ordenador y la imagen de síntesis (Calvo, Maciá y Ródenas, 2003). En coherencia con esto, la evaluación de la materia debería medir no sólo la competencia del alumno en la realización de los ejercicios prácticos, sino también la adecuada comprensión de algunos conceptos teóricos fundamentales. Hace unos treinta años la enseñanza de la geometría descriptiva era fundamentalmente teórica y la evaluación exclusivamente práctica. Desde entonces hasta ahora la docencia ha evolucionado hasta el extremo de diluir en ocasiones la exposición de los conceptos teóricos entre los ejercicios prácticos, mientras que la evaluación sigue siendo exclusivamente práctica en la gran mayoría de los casos, en contradicción con la articulación de la teoría y las prácticas a la que se refería Sakarovitch.

Llegados a este punto, el lector puede pensar que desarrollar un programa relativamente ambicioso, como el esbozado en el apartado anterior, exponiendo conceptos teóricos con la profundidad suficiente y desarrollando ejercicios prácticos que se acerquen mínimamente a la realidad del dibujo de arquitectura, implica una carga docente y de trabajo del alumno más que considerable, y desde luego estaría en lo cierto (cf. Valderrama 2000, 45). Ahora bien, también hay que tener en cuenta que un programa didáctico semejante ocuparía en los nuevos planes de estudios la

franja que actualmente ocupa la enseñanza de la geometría descriptiva, una materia troncal; pero también cubriría los objetivos asignados al dibujo por ordenador, una asignatura que por lo general se considera optativa, pero que los alumnos están convirtiendo en obligatoria en la práctica. Por lo tanto estaría justificado otorgarle carácter anual y una ponderación en créditos ECTS acorde con su importancia en la formación de los arquitectos y con las asignaturas actuales que vendría a sustituir.

Ahora bien, esto no implica una intención "imperialista"; nada de lo que se ha escrito hasta justifica que la Geometría gráfica, o como se le quiera llamar a la materia que se ha esbozado en esta comunicación, invada el espacio de otras materias del campo de la representación

arquitectónica, sino que mantenga relaciones de

colaboración con ellas. Muy al contrario, resulta esencial establecer puentes entre la Geometría gráfica y las materias que recojan la tradición del dibujo de arquitectura de origen artístico; así se ha de evitar la confusión que sufrían los alumnos cuando se les explicaba la perspectiva en dos asignaturas diferentes con vocabularios distintos y métodos lejanamente similares. Del mismo modo, la nueva materia también debería tender puentes con la materia más directamente vinculada al dibujo de arquitectura, que en las últimas décadas han puesto énfasis en conceptos como masa y textura, o en la intención expresiva de los distintos modos de representación. Por supuesto, hacer esto no es fácil; es más sencillo que cada materia permanezca aislada en su torre de marfil. Pero es indispensable si se quiere proporcionar a los arquitectos del siglo XXI una formación gráfica acorde con su tarea, cada vez más difícil y más compleja.

Referencias CALVO LÓPEZ, José, Juan Francisco MACIÀ SÁNCHEZ y Manuel RÓDENAS LÓPEZ. 2003. “La geometría como base teórica de la docencia de los nuevos medios de representación”. EGE. Revista de Expresión Gráfica en la Edificación, 3: 46-51. CALVO LÓPEZ, José, Juan José MARTÍNEZ GARCÍA y Juan Francisco MACIÁ SÁNCHEZ. 2001. “La traducción española de los programas de Dibujo Asistido por Ordenador”. VI Congreso de Expresión Gráfica en la Edificación, 451-464. Universidad de Granada. CARBALLO FELÍU, Juan José. 2000. “Actitud de la enseñanza de la geometría descriptiva ante las nuevas tecnologías de la representación gráfica”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000 , 79-80. UPC, Barcelona CASAS SUÁREZ, Angel. 2000. “Boceto y CAD. Dibujo y modelado en el marco E.G.A. (Enhanced Graphic Adapter)”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000 , 497-500. UPC, Barcelona. FONT COMAS, Joan, Genís ÁVILA CASADEMONT, y Núria BORDAS CONTEL. 2000a. “Dibujando desde un modelo 3D: Memoria geométrica y constructiva del ‘Saló Imperial’ de Sabadell”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000. UPC, Barcelona. FONT COMAS, Joan, Genís ÁVILA CASADEMONT, y Núria BORDAS CONTEL. 2000b. “Los nuevos lenguajes de comunicación visual en la representación del proyecto de arquitectura”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000. UPC, Barcelona. FONT COMAS, Joan, Isabel CRESPO CABILLO, y Paco MARTÍNEZ MINDEGUÍA. 2002. “El papel de la geometría en la formación gráfica de los estudiantes de arquitectura”. IX Congreso Internacional Expresión Gráfica Arquitectónica. Re-visión: Enfoques en docencia e investigación. Universidad de A Coruña. GONZÁLEZ GARCÍA, Augusto. 2000. “La Infodidáctica y las asignaturas gráficas”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI : Actas del VIII Congreso EGA 2000, 53-62. UPC, Barcelona. GONZÁLEZ GARCÍA, Augusto. 2002. “Modelo integral del proyecto: Mitos, Realidades, Experiencias. Reflexiones sobre el uso del 'Edificio Virtual' en la elaboración y representación de proyectos de arquitectura”. IX Congreso Internacional. Expresión Gráfica Arquitectónica. Re-visión: Enfoques en docencia e investigación, 251-258. Universidad de A Coruña. JIMÉNEZ MARTÍN, Alfonso. 2000. “Noticia del aula de informática de Sevilla”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000, 15-18. UPC, Barcelona. MAESTRE LÓPEZ-SALAZAR, Ramón. 2001. “Una reflexión sobre la actual expresión verbal de los conceptos geométricos para la representación de la arquitectura”. Libro de Actas. VI Congreso APEGA Expresión Gráfica en la Edificación, 604-610. Asociación de Profesores de Expresión Gráfica Aplicada a la Edificación, Granada.

MONEDERO ISORNA, Javier. 2000. “La investigación en Expresión Gráfica Arquitectónica”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000, 285-289. UPC, Barcelona. MONEDERO ISORNA, Javier. 2002. “2D, 3D, 4D. Una exploración sobre los límites y la necesidad de redefinición de la disciplina”. IX Congreso Internacional Expresión Gráfica Arquitectónica. Re-visión: Enfoques en docencia e investigación, 561-566. Universidad de A Coruña. SAKAROVITCH, Joël. 1997. Epures d'architecture. Birkhauser, Berlín-Basilea-Boston. VALDERRAMA, Fernando. 1999. Tutoriales de informática para arquitectura. Celeste-Mairea, Madrid. VALDERRAMA, Fernando. 2000. “Tutoriales: una experiencia práctica de enseñanza de informática en la Universidad Europea CEES”. Las nuevas tecnologías de la representación gráfica arquitectónica en el siglo XXI. Actas del VIII Congreso EGA 2000, 41-52. UPC, Barcelona.