EMPh

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» (СГАУ)

Факультет информатики Кафедра технической кибернетики Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Уравнения математической физики»

Тема: «аналитическое решение краевых задач математической физики» Вариант № 5

Выполнил студент

Ионкин М. A.

Группа

6407

Руководитель работы Быков Д. А.

САМАРА 2015

ЗАДАНИЕ Решить задачу теплопроводности на сфере радиуса 𝑅. Нагревание происходит за счет поглощения энергии излучения полусферой (см. рис. 1), причем количество поглощённой энергии определяется косинусом угла между нормалью и направлением распространения излучения. При моделировании использовать следующую математическую модель: ⎧ ⎪ − ⎪ ⎨𝑐 𝜕𝑢 = 𝐾△𝑢 + 𝛽𝑓 (→ 𝑟 ), 𝜕𝑡 ⃒ ⎪ ⃒ ⎪ ⎩𝑢(𝜃,𝜌,𝑡)⃒ = 0. 𝑡=0

{𝑥 ∈ R3 | 𝜌(𝑥,0) = 𝑅}, 𝑡 > 0;

(0.1)

где 𝑢(𝜃, 𝜙,𝑡) — функция, описывающая температуру в некоторой точке (𝑅,𝜃,𝜙) в момент времени 𝑡; 𝑓 — функция, описывающая энергию, поглощенную единицей площади; 𝑐 — положительная константа; 𝐾 — положительная константа.

z

θ x ϕ y

Рисунок 1 – К условиям задачи

В данной курсовой работе необходимо: 1. Используя метод разделения переменных, получить решение задачи математической физики в виде ряда Фурье. 2. Исследовать сходимость ряда. Получить оценку остатка ряда. 2

3. Разработать программу расчёта решения задачи с требуемой точностью. (Если необходимо, то использовать метод численного интегрирования для расчёта коэффициентов ряда. При этом следует контролировать погрешность численного интегрирования.) 4. Исследовать качество полученной аналитической оценки остатка ряда, используя вычислительный эксперимент.

3

РЕФЕРАТ Отчет 23 с, 5 рисунка, 58 уравнений, 7 использованных источников.

уравнения математической физики, уравнение теплопроводности, полиномы лежандра, разложение в ряд Целью данной работы является решение задачи теплопроводности на шаре при заданных параметрах, более конкретно — разработка программы, выводящей график зависимости температуры от координат шара, времени и заданных констант. Программа разрабатывалась в операционной системе Ubuntu 15.10 с использованием сред Scala IDE, Netbeans и IntelliJ Idea Community Edition.

4

СОДЕРЖАНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Представление решения в виде ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Упрощение модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Решение однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Решение неоднородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Определение вида коэффициентов разложения {𝑓𝑘 }+∞ функ0 ции 𝑓 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Исследование ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Исследование сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Определение остатка ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Написание программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Описание использованных языков, приложений и пакетов . . 3.2 Описание кода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Тестирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

6 7 7 7 9 11 14 14 15 17 17 17 19 22

ВВЕДЕНИЕ В данной работе решается задача теплопроводности на сфере. Изменение температуры происходит за счет поглощения энергии верхней полусферой — аналогичная ситуация возникает, например, при нагреве Солнцем поверхности Земли. В первом разделе исходная задача сводится к разложению искомой функции в ряд по ортогональным функциям — полиномам Лежандра. Это позволяет рассматривать счетное множество независимых уравнений. В конце раздела приводится явное разложение функции температуры, что позволяет найти решение в численном виде. Во втором разделе проверяется сходимость ряда и оценивается его остаток в зависимости от количества слагаемых ряда. В результате, можно по заранее заданной точности определить число слагаемых, а значит — решить задачу с заданной точностью с использованием ЭВМ. В третьем разделе приводится код программы, необходимый и достаточный для вычисления функции температуры. В нем же указывается ссылка на полный код проекта (а также на jar -архив), скомпилировав (запустив) который можно просматривать график решения. В конце раздела приводятся примеры графиков при заданных параметрах.

6

1 1.1

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА Упрощение модели

Оператор Лапласа в сферических координатах задается уравнением 1 𝜕 ⎝ 𝜕𝑢 ⎠ 1 𝜕 2𝑢 1 𝜕 ⎝ 2 𝜕𝑢 ⎠ 𝑟 + 2 sin 𝜃 + 2 2 . (1.1) △𝑢(𝑟,𝜃,𝜙,𝑡) = 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙2 ⎛

⎞

⎛

⎞

В нашем случае, 𝑟 является константой (𝑟 ≡ 𝑅). Также, можно выбрать базис (систему координат) так, чтобы функция 𝑢 зависела лишь от одного пространственного параметра, а именно, от 𝜃 (как это показано на рис. 1). Поэтому оператор Лапласа можно записать в следующем виде: ⎛

⎞

1 𝜕 ⎝ 𝜕𝑢 △𝑢(𝜃,𝑡) = 2 sin 𝜃 ⎠ . 𝑅 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃

(1.2)

Таким образом, из уравнений (0.1) и (1.2) получаем, что ⎛

⎞

𝜕𝑢 1 𝜕 ⎝ 𝜕𝑢 𝐾 − 𝑐 sin 𝜃 ⎠ + 𝛽𝑓 (→ 𝑟 ). = 2× 𝜕𝑡 𝑅 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃

(1.3)

Введем теперь замену 𝑢(𝑡,𝜃) = 𝑋(𝜃)𝑇 (𝑡): ⎛

⎞

d𝑇 1 d ⎝ d𝑋 ⎠ 𝐾 − 𝑐𝑋(𝜃) sin 𝜃 + 𝛽𝑓 (→ 𝑟 ). = 2 𝑇 (𝑡) d𝑡 𝑅 sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 1.2

(1.4)

Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение (1.4): ⎛

⎞

d𝑇 𝐾 1 d ⎝ d𝑋 ⎠ 𝑐𝑋(𝜃) = 2 𝑇 (𝑡) sin 𝜃 , d𝑡 𝑅 sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 или

⎛

⎞

d ln 𝑇 𝐾 1 d ⎝ d𝑋 ⎠ = 2× sin 𝜃 . 𝑐 d𝑡 𝑅 𝑋(𝜃) sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 Согласно [1, стр. 50], т. к. 𝜃 и 𝑡 — независимые переменные, то ⎛

⎞

d ln 𝑇 𝐾 1 d𝑋 ⎠ d ⎝ = × sin 𝜃 = −𝜇, d𝑡 𝑐𝑅2 𝑋(𝜃) sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 где 𝜇 — некоторая константа.

7

(1.5)

Следовательно, мы имеем два дифференциальных уравнения: d ln 𝑇 + 𝜇 = 0, d𝑡 ⎛ ⎞ d𝑋 ⎠ 𝑐𝑅2 d ⎝ sin 𝜃 +𝜇 sin 𝜃𝑋 = 0. d𝜃 d𝜃 𝐾

(1.6) (1.7)

Введем замену 𝑥 = cos(𝜃) и будем учитывать, что 𝜃 ∈ (0; 𝜋). Тогда d𝑥 = − sin(𝜃) d𝜃 ,

√ d d d = − sin(𝜃) = − 1 − 𝑥2 , d𝜃 d𝑥 d𝑥

и уравнение (1.7) преобразуется в d ⎝ 𝑐𝑅2 2 d𝑋 ⎠ −(1 − 𝑥 ) −𝜇 𝑋 = 0, d𝑥 d𝑥 𝐾 ⎛

⎞

или

d2 𝑋 d𝑋 𝑐𝑅2 − 2𝑥 + 𝜇 𝑋 = 0. (1.8) d𝑥2 d𝑥 𝐾 Это есть уравнение гипергеометрического типа ([2, с. 12]). Введем но2 вые функции: 𝜎(𝑥) = 1 − 𝑥2 , 𝜏 (𝑥) = −2𝑥, 𝜆 = 𝜇 𝑐𝑅 𝐾 . Имеем: (1 − 𝑥2 )

𝜎(𝑥)

d𝑋 d2 𝑋 + 𝜏 (𝑥) + 𝜆𝑋 = 0. d𝑥2 d𝑥

(1.9)

Для этого уравнения строится класс наиболее простых решений — классические ортогональные полиномы, определяемые формулой Родрига [2, § 9 п. 2]: ]︁ 𝑌𝑛 d𝑛 [︁ 𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) = 𝜎 𝜌(𝑥) , ∀𝑛 ∈ N0 , (1.10) 𝜌(𝑥) d𝑥𝑛 где 𝜌(𝑥) — функция, удовлетворяющая уравнению (𝜎𝜌)′ = 𝜏 𝜌; {𝑌𝑛 } — некоторые константы. При этом коэффициенты 𝜆 уравнения (1.9), связаны соотношением 𝜆 + 𝑛𝜏 ′ + 1/2 𝑛(𝑛 − 1)𝜎 ′′ = 0. В нашем случае, для нахождения множества коэффициентов получаем уравнения 𝜆𝑛 = 𝑛(1 + 𝑛), ∀𝑛 ∈ N0 . (1.11) {︁

}︁

Согласно [3, часть II, § 1 п. 3], полиномы Лежандра 𝑃𝑛 (𝑥) являют(︁ )︁ d 2 d ся собственными функциями оператора d𝑥 (1 − 𝑥 ) d𝑥 , соответствующие (биективно по эквивалентному номеру) полученным собственным значени8

ям {𝜆𝑛 } . {︁ }︁ Используя полученные собственные функции 𝑃𝑛 (𝑥) , полная система которых одновременно является базисом для разложения других функций, мы можем записать функцию 𝑋 через ряд: 𝑋(𝑥) =

+∞ ∑︁

𝐵𝑘 𝑃𝑘 (𝑥).

(1.12)

𝑘=0

Возвращаясь к переменной 𝜃, получаем: 𝑋(𝜃) =

+∞ ∑︁

𝐵𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃).

(1.13)

𝑘=0

В то же время, по уравнению (1.6), с учетом полученных в системе (1.11) собственных чисел, можно определить функции 𝐾

𝑇𝑛 (𝑡) = 𝑒−𝜇𝑛 𝑡 = 𝑒−𝑛(1+𝑛) 𝑐𝑅2 𝑡 ,

∀𝑛 ∈ N0 ,

(1.14)

причем каждый 𝑇𝑛 , 𝑛 ∈ N0 , будет соответствовать 𝑋𝑛 . Решениями уравнения (1.6), вообще говоря, являются функции {𝐶𝑛 𝑇𝑛 (𝑡)}, где {𝐶𝑛 } — некоторое множество констант. Таким образом, мы можем разложить функцию 𝑢(𝑡,𝜃) = 𝑋(𝜃)𝑇 (𝑡) в ряд: 𝑢(𝑡,𝜃) =

+∞ ∑︁

𝐶𝑘 𝑇𝑘 (𝑡)𝐵𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃) =

𝑘=0

1.3

+∞ ∑︁

𝐴𝑘 𝑇𝑘 (𝑡)𝑃𝑘 (cos 𝜃).

(1.15)

𝑘=0

Решение неоднородного уравнения

Пусть функция 𝑓 уравнения (0.1) разлагается в ряд по полученным собственным функциям: 𝑓 (𝜃) =

+∞ ∑︁

𝑓𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃),

𝑘=0

при этом коэффициенты {𝑓𝑘 } находятся из условия ортогональности полиномов Лежандра: ∫︁ 1 −1

𝑓 (𝜃)𝑃𝑛 (cos 𝜃) d cos 𝜃 = =

+∞ ∑︁ ∫︁ 1

𝑓𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃)𝑃𝑛 (cos 𝜃) d cos 𝜃 𝑘=0 −1 ‖𝑃𝑛 ‖2 𝑓𝑛 , ∀𝑛 ∈ N0 .

9

=

(1.16)

Таким образом, 𝑓𝑛 =

1 ∫︁ 1 𝑓 (𝜃)𝑃𝑛 (cos 𝜃) d cos 𝜃, ‖𝑃𝑛 ‖2 −1

∀𝑛 ∈ N0 .

(1.17)

Будем находить функцию 𝑢, используя метод вариации произвольных постоянных {𝐴𝑘 }: ∀𝑘 ∈ N0 𝐴𝑘 = 𝐴𝑘 (𝑡). В соответствии с уже полученным разложением (1.15), уравнение (1.3) можно переписать в виде 𝑐

+∞ ∑︁ 𝑘=0

d𝐴𝑘 𝑇𝑘 = d𝑡 ⎛ ⎞ +∞ +∞ ∑︁ ∑︁ 𝐾 1 d ⎝ d𝑃𝑘 (cos 𝜃) ⎠ = 2× sin 𝜃 +𝛽 𝐴𝑘 𝑇𝑘 𝑓𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃). (1.18) 𝑅 sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 𝑘=0 𝑘=0

𝑃𝑘 (cos 𝜃)

Очевидно, что если ⎛

⎞

1 d ⎝ d𝑃𝑘 (cos 𝜃) ⎠ 𝐾 d𝐴𝑘 𝑇𝑘 sin 𝜃 + =𝐴𝑘 𝑇𝑘 2 × 𝑐𝑃𝑘 (cos 𝜃) d𝑡 𝑅 sin 𝜃 d𝜃 d𝜃

(1.19)

∀𝑘 ∈ N0 ,

+ 𝛽𝑓𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃),

то равенство в уравнении (1.18) будет выполняться. (︁ )︁ d d Т.к. {𝑃𝑘 } — собственные функции оператора d𝑥 (1 − 𝑥2 ) d𝑥 , то ⎛

⎞

d𝑃𝑘 (cos 𝜃) ⎠ 1 d ⎝ sin 𝜃 = −𝜆𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃), sin 𝜃 d𝜃 d𝜃 и из системы (1.19) получаем 𝑐𝑃𝑘 (cos 𝜃)

𝐾 d𝐴𝑘 𝑇𝑘 = −𝜆𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃)𝐴𝑘 𝑇𝑘 2 + 𝛽𝑓𝑘 𝑃𝑘 (cos 𝜃), d𝑡 𝑅

∀𝑘 ∈ N0 ,

или

d𝐴𝑘 𝑇𝑘 𝐾 𝑓𝑘 = −𝑘(𝑘 + 1) 2 𝐴𝑘 𝑇𝑘 + 𝛽 , ∀𝑘 ∈ N0 . (1.20) d𝑡 𝑐𝑅 𝑐 Решие уравнения 𝑦 ′ = −𝑎𝑦 + 𝑏 при 𝑎 ̸= 0 есть 𝑦 = 𝑎𝑏 + 𝐶𝑒−𝑎𝑡 , где 𝐶 — некоторая константа. Поэтому решения системы (1.20) есть

𝐴𝑘 (𝑡)𝑇𝑘 =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

𝑓

𝛽 𝑐𝑘 𝐾 + 𝐷𝑘 𝑇𝑘 𝑘(𝑘+1) 𝑐𝑅 2 ⎪ ⎪ 𝛽 ⎪ ⎩𝑓𝑘 𝑡 + 𝐷𝑘 , 𝑐

=

𝛽𝑓𝑘 𝑘(𝑘+1)

×

𝑅2 𝐾

+ 𝐷𝑘 𝑇𝑘 , ∀𝑘 ∈ N, 𝑘 = 0,

где {𝐷𝑘 } — некоторое множество констант.

10

(1.21)

Тогда из уравнения (1.15) следует, что 𝑢(𝜃,𝑡) есть ⎛

⎞

𝛽 𝑢(𝜃,𝑡) = ⎝𝑓𝑘 𝑡 + 𝐷0 ⎠ 𝑃0 (cos 𝜃)+ 𝑐 ⎞ ⎛ +∞ ∑︁ 𝑅2 𝛽𝑓 𝑘 ⎝ × + 𝐷𝑘 𝑇𝑘 (𝑡)⎠ 𝑃𝑘 (cos 𝜃). + 𝑘(𝑘 + 1) 𝑘=1 𝐾

(1.22)

Применим однородное условие (0.1): 𝐷𝑘 =

⎧ 2 ⎪ ⎪ ⎨− 𝑅 𝐾 ⎪ ⎪ ⎩0,

×

𝛽𝑓𝑘 𝑘(𝑘+1) ,

∀𝑘 ∈ N, 𝑘 = 0.

(1.23)

С учетом этого условия, окончательно получаем, что (︂ )︂ ∑︁ 𝐾 𝑅2 +∞ 𝑓𝑘 −𝑘(1+𝑘) 𝑐𝑅 2𝑡 𝑢(𝜃,𝑡) = 𝛽 1−𝑒 𝑃𝑘 (cos 𝜃)+ 𝐾 𝑘=1 𝑘(𝑘 + 1) 𝛽 +𝑓0 𝑃0 (cos 𝜃)𝑡. 𝑐

1.4

(1.24)

Определение вида коэффициентов разложения {𝑓𝑘 }+∞ 0 функции 𝑓

Согласно формулировки задания, функция 𝑓 (𝜃) будет определяться из уравнения 𝑓 (𝜃) = 𝜂(𝑐𝑜𝑠(𝜃)) cos 𝜃, (1.25) где 𝜂(𝑥) — функция Хевисайда. Определим теперь по формуле (1.17) коэффициенты {𝑓𝑘 }: 1 ∫︁ 1 cos 𝜃𝑃𝑘 (cos 𝜃) d cos 𝜃 ‖𝑃𝑘 ‖2 0 1 ∫︁ 1 = 𝑥𝑃𝑘 (𝑥) d𝑥, ∀𝑘 ∈ N0 . ‖𝑃𝑘 ‖2 0

𝑓𝑘 =

(1.26)

Норма ‖𝑃𝑘 ‖, для всех 𝑘 ∈ N0 , согласно [3, часть II, § 1 п. 5] определяется из уравнения ⎯ ⎸ ⎸ 2 ‖𝑃𝑘 ‖ = ⎷ . (1.27) 2𝑛 + 1 Согласно [4, ур-е 26], для всех целых 𝑛 > 1 ∫︁ 1 0

𝑥𝑃𝑛 (𝑥) d𝑥 =

11

=

𝑛(2𝑛 + 3)𝑃𝑛−2 (0) − (2𝑛 + 1)𝑃𝑛 (0) − (𝑛 + 1)(2𝑛 − 1)𝑃𝑛+2 (0) . (1.28) (2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)(2𝑛 + 3)

Для 𝑛 = 0 имеем: ∫︁ 1 0

𝑥𝑃𝑛 (𝑥) d𝑥 =

∫︁ 1 0

1 𝑥 d𝑥 = , 2

(1.29)

а для 𝑛 = 1:

1 (1.30) 𝑥2 d𝑥 = . 0 0 3 Согласно [4, ур-е 18], для нечетных 𝑛 𝑃𝑛 (0) = 0 и для целых 𝑛 𝑃2𝑛 (0) можно найти из уравнения ∫︁ 1

𝑥𝑃𝑛 (𝑥) d𝑥 =

∫︁ 1

(−1)𝑛 (2𝑛)! . 𝑃2𝑛 (0) = 22𝑛 (𝑛!)2

(1.31)

Будем определять последующие коэффициенты рекурсивно: 𝑃2𝑛+2 (0) = −𝑃2𝑛 (0)

(2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2) 2𝑛 + 1 = −𝑃2𝑛 (0) , 2 4(𝑛 + 1) 2(𝑛 + 1)

(1.32)

начиная с 𝑃0 (0) = 1. Соотвественно, для 𝑃2𝑛−2 (0) имеем: 2𝑛 4𝑛2 = −𝑃2𝑛 (0) . 𝑃2𝑛−2 (0) = −𝑃2𝑛 (0) 2𝑛(2𝑛 − 1) 2𝑛 − 1

(1.33)

Подставим полученные значения в формулу (1.28): ∫︁ 1 0

𝑥𝑃2𝑛 (𝑥) d𝑥 =

=

2𝑛(4𝑛 + 3)𝑃2𝑛−2 (0) − (4𝑛 + 1)𝑃2𝑛 (0) − (2𝑛 + 1)(4𝑛 − 1)𝑃2𝑛+2 (0) = (4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 3) 2𝑛 2𝑛+1 + (4𝑛 + 1) − (2𝑛 + 1)(4𝑛 − 1) 2(𝑛+1) 2𝑛(4𝑛 + 3) 2𝑛−1 = −𝑃2𝑛 (0) = (4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 3) (4𝑛 + 3)(4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1) = −𝑃2𝑛 (0) = 2(4𝑛 − 1)(4𝑛 + 1)(4𝑛 + 3)(2𝑛 − 1)(𝑛 + 1) 1 = −𝑃2𝑛 (0) . (1.34) 2(2𝑛 − 1)(𝑛 + 1)

Найдем теперь коэффициенты разложения функции 𝑓 , используя (1.26), (1.27) и (1.34). Из того, что для целых 𝑘 ∈ N 𝑃2𝑘+1 (0) = 0, следует, что 𝑓2𝑘+1 = 0 для

12

всех 𝑘 ∈ N. Для 𝑛 = 0 имеем: 𝑓0 =

1 ∫︁ 1 1 𝑥 d𝑥 = , 2 0 4

(1.35)

𝑓1 =

3 ∫︁ 1 2 1 𝑥 d𝑥 = , 2 0 2

(1.36)

для 𝑛 = 1:

для остальных 𝑛 > 0: 1 2 · 2𝑛 + 1 × = 2 2(2𝑛 − 1)(𝑛 + 1) 4𝑛 + 1 = − 𝑃2𝑛 (0) . 4(𝑛 + 1)(2𝑛 − 1)

𝑓2𝑛 = − 𝑃2𝑛 (0)

(1.37)

Напомним, что (для 𝑛 ∈ N0 ) 𝑃2𝑛+2 (0) = −𝑃2𝑛 (0)

2𝑛 + 1 , 2(𝑛 + 1)

(1.38)

2𝑛 − 1 , 2𝑛

(1.39)

или (для 𝑛 ∈ N) 𝑃2𝑛 (0) = −𝑃2𝑛−2 (0)

причем 𝑃0 (0) = 1. Подставляя (1.39) в формулу (1.37), для 𝑛 ∈ N получаем: 2𝑛 − 1 4𝑛 + 1 × = 2𝑛 4(𝑛 + 1)(2𝑛 − 1) 4𝑛 + 1 =𝑃2𝑛−2 (0) . 8𝑛(𝑛 + 1)

𝑓2𝑛 =𝑃2𝑛−2 (0)

(1.40)

Подставим, наконец, полученные значения в ряд (1.24): (︂ )︂ ∑︁ 𝐾 𝑅2 +∞ 𝑓𝑘 −𝑘(1+𝑘) 𝑐𝑅 2𝑡 1−𝑒 𝑃𝑘 (cos 𝜃)+ 𝑢(𝜃,𝑡) =𝛽 𝐾 𝑘=1 𝑘(𝑘 + 1) 𝛽 + 𝑓0 𝑃0 (cos 𝜃)𝑡 = 𝑐 (1.41) )︂ 2 +∞ 𝐾 𝑅 ∑︁ (4𝑘 + 1)𝑃2𝑘−2 (0) (︂ −2𝑘(1+2𝑘) 𝑐𝑅 𝑡 2 =𝛽 1−𝑒 𝑃2𝑘 (cos 𝜃)+ 𝐾 𝑘=1 16𝑘 2 (2𝑘 + 1)(𝑘 + 1) )︂ 𝐾 𝛽 𝑅2 (︂ + 𝑡+𝛽 1 − 𝑒−2 𝑐𝑅2 𝑡 cos 𝜃. 4𝑐 4𝐾

13

2 2.1

ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДА

Исследование сходимости ряда

Пусть задана функция 𝑢(𝑥) =

+∞ ∑︁

𝑢^𝑘 𝑃𝑘 (𝑥), 𝑥 ∈ [−1; 1],

(2.1)

𝑘=0

определено пространство 𝐿2 [−1,1] = √︁

{︂ ⃒ 𝑢⃒⃒‖𝑢‖

}︂

0 ⎯ ⎸ ⎸ +∞ ⎸ ∑︁ ⎷ ‖𝑃𝑘 ‖2 𝑢^2𝑘 𝑘=𝑁 +1

= ‖𝑢 − 𝑢𝑁 ‖ 6 𝐶𝑁 −2𝑞 ‖𝑢‖𝐻 2𝑞 [−1,1] ,

(2.3)

где 𝐻 𝑝 [−1,1] — пространство Соболева: ⎧ ⎨

𝐻 𝑝 [−1,1] = ⎩𝑢 ∈

⃒ L2 [−1,1]⃒⃒‖𝑢‖2𝐻 𝑝 [−1,1]

=

⃦ 𝑝 ⃦ ∑︁ ⃦ (𝑘) ⃦2 ⃦𝑢 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑘=0

⎫ ⎬

< ∞⎭ ;

𝐶 — некоторая константа, согласно [6, Th. 2.1] равная 2−𝑑/2+1 (𝑑 — размерность 𝑥, в [5] 𝑑 = 1). Исходя из этого, если сама 𝑢 имеет конечную норму, и если нормы ее производных по 𝑥 вплоть до 𝑝-го порядка (𝑝 > 0) — конечны, то ряд сходится в 𝐿2 . В нашем случае, при ограниченном максимуме ⃒∫︁ ⃒ ⃒ 1 ⃒ ⃒ max ⃒⃒ 𝑓 (𝜃)𝑃𝑛 (cos 𝜃) d cos 𝜃⃒⃒⃒ 𝑛∈N −1

n0 < (2^63)^0.25 = 55108. val maxN0 = 40000 /** counts of {𝑓 }, {𝑃2𝑘 (0)} */ ⎡ ⎤ 2𝑘 /** 𝑛0 =

√︂ ⎢ 𝛽𝑅2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 16𝐾𝜀 ⎥*/ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

def n0 = math.min(math.sqrt(bR2DelK/(16*eps)), (maxN0>>1)).toInt

19 20

/** 𝑃2𝑛 (0) = −𝑃2𝑛−2 (0) 2𝑛−1 2𝑛 , 𝑃0 (0) = 1 */ 17

val P2k = new Array[Double](n0) def setAllP2k{ P2k(0)=1 for (i