Elementos de Econometría Aplicada (3a ed.)

Julio H. Cole

ELEMENTOS DE ECONOMETRÍA APLICADA

Tercera Edición

J & G Ediciones ————————————————————————————————–

Guatemala

Para Gina, con todo mi amor

Copyright © 1996, 2006, 2014 por Julio H. Cole. Derechos reservados. J & G Ediciones (Guatemala).

Cole, Julio Harold (1955 –

)

Elementos de Econometría Aplicada. Tercera edición [2014]. Bibliografía. 103 p., ilustrado, tablas. 1. Econometría. I. Título. 330.015195 C689

Impreso en Guatemala — Printed in Guatemala

CONTENIDO

Prefacio a la Segunda Edición …………………………………………………. v .

Prefacio a la Tercera Edición ………….………………………………………. v .

Capítulo 1. INTRODUCCIÓN …........................................................................................ 1 2. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE …...….............................................................. 5 2.1. Introducción 2.2. Método de Mínimos Cuadrados 2.3. Coeficiente de Determinación (R2) Preguntas de Repaso Casos Aplicados 3. REPASO DE ALGEBRA MATRICIAL ……....................................................... 20 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

Matrices Operaciones con Matrices Teoremas sobre Matrices Clases Especiales de Matrices Traza de una Matriz Cuadrada Transposición de Matrices Matriz Inversa

Preguntas de Repaso 4. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE ……............................................................ 27 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Vector Mínimo-Cuadrático Inferencia Estadística en la Regresión Lineal Coeficiente de Determinación (R2) Aplicación — Costos Administrativos en la Banca Comercial

Casos Aplicados

5. AMPLIACIONES DEL MODELO LINEAL ………............................................. 44 5.1. Estimación de Formas No-Lineales 5.2. Variables Binarias o Cualitativas 5.3. Problemas Especiales en la Regresión Lineal 5.3.1. Variables Omitidas y Variables Irrelevantes 5.3.2. Multicolinealidad 5.3.3. Heteroscedasticidad Preguntas de Repaso Casos Aplicados 6. AUTOCORRELACIÓN …................................................................................ 67 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Naturaleza del Problema Efectos de la Autocorrelación Cómo Detectar la Autocorrelación Estimación en Presencia de Autocorrelación

Preguntas de Repaso Caso Aplicado 7. RETARDOS DISTRIBUIDOS ……................................................................... 82 7.1. Variables Retardadas en Econometría 7.2. Autocorrelación en Regresiones con Retardos 7.3. Aplicación — Inflación en Guatemala Casos Aplicados ANEXOS .............................................................................................................. 95 .

A-1. A-2. A-3. A-4.

Areas de la Distribución Normal Estándar Percentiles de la Distribución t (Student) Valores Críticos de la Distribución Chi-cuadrado Estadístico Durbin-Watson: Valores Críticos (5 %) para dL y dU

REFERENCIAS …............................................................................................... 100

PREFACIO A LA SEGUNDA EDICIÓN

La primera edición de este libro se publicó en 1996. Para esta reedición he mantenido la estructura del texto original, pero he aprovechado la oportunidad para realizar algunas ligeras correcciones y cambios de presentación, y también para incorporar varios casos aplicados que he desarrollado en estos últimos 10 años. Estos casos han resultado de gran utilidad en el curso introductorio de econometría que imparto desde hace muchos años en la Universidad Francisco Marroquín, y me alegro de poder ahora compartirlos con un público más amplio.

J. H. C. Guatemala, 2006

PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN

Para esta tercera edición he mantenido la estructura del texto original, pero he incluido algunos temas adicionales, y he efectuado algunos ligeros cambios de presentación. He incluido también algunos casos prácticos que he usado con éxito en mi curso de econometría en la Universidad Francisco Marroquín, pero que no había previamente incorporado al texto. Reitero el gusto que me da ahora poder compartirlos con un público más amplio.

J. H. C. Guatemala, 2014

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

―All models are wrong, but some models are useful …. ‖ — G. E. P. Box1 

― … if you torture the data enough, nature will always confess .… ‖ — R. H. Coase2

La Econometría es aquella rama de la ciencia económica que aplica los instrumentos de la economía teórica, del análisis matemático y de la estadística inferencial al análisis cuantitativo de los fenómenos económicos. Las teorías económicas típicamente expresan relaciones funcionales entre diferentes variables. La curva de demanda, por ejemplo, representa la cantidad demandada de una mercancía como función de su precio. En la teoría de la empresa, por otro lado, el costo de producción se considera como función de la escala de producción, mientras que en el análisis macroeconómico la ―función consumo‖ relaciona los gastos de consumo con el nivel de ingreso nacional. Todos estos son ejemplos de relaciones entre dos variables, aunque por supuesto que una formulación más completa debe incluir varias variables diferentes en cada relación. El propósito de la Econometría consiste en desarrollar métodos para la estimación numérica de los parámetros que definen las relaciones funcionales entre las diversas variables económicas que nos pueden interesar, y para testar y comprobar las diversas hipótesis que se pueden postular acerca de dichos parámetros. El primer paso en cualquier investigación econométrica debe ser la especificación 1

Empirical Model-Building and Response Surfaces (New York: Wiley, 1987), p. 424.

―How Should Economists Choose?‖ [1981], en Ideas, Their Origins, and Their Consequences: Lectures to Commemorate the Life and Work of G. Warren Nutter (Washington: American Enterprise Institute, 1988), p. 74. 2

[1]

de un modelo matemático para representar la relación que se desea investigar. En la práctica, lo común es partir de una ―ecuación de regresión‖ que postula una relación causal entre una variable ―dependiente‖ y una o más variables ―independientes.‖ (En econometría, una variable es denominada ―dependiente‖ si podemos suponer que es función de otras variables, y el análisis de regresión consiste en ―explicar‖ los cambios observados en la variable dependiente por medio de los cambios observados en estas otras variables independientes.) Luego debemos recoger datos relevantes de la economía o sector que deseamos describir por medio del modelo. Como tercer paso, se utilizan estos datos para estimar los parámetros del modelo. Por último, se realizan pruebas sobre el modelo estimado, a fin de determinar si constituye una representación adecuada del fenómeno estudiado, o si debemos realizar modificaciones en la especificación original. En la econometría aplicada, la forma funcional que más se utiliza en la práctica para representar la relación causal entre variables dependientes e independientes es la función ―lineal,‖ que en su forma más general puede expresarse de la siguiente manera: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + ... + kXk + u donde Y representa el valor de la variable dependiente, X1, X2, ... , Xk representan los valores de las variables independientes, 0 representa la ―ordenada en el origen,‖ 1, 2 , ... , k representan los coeficientes de las respectivas variables independientes, y u representa un término de error. En un problema de econometría aplicada, deseamos obtener estimaciones de los k + 1 parámetros (0, 1, 2, ... , k) que contiene esta ecuación. Consideremos la interpretación de estos parámetros, obviando por el momento los problemas de estimación. El parámetro 0 es relativamente fácil de interpretar, ya que como se mencionó en el párrafo anterior, es simplemente la ―ordenada en el origen,‖ o sea, el valor de Y cuando todas las variables independientes son exactamente cero. Por otra parte, los coeficientes 1, 2, etc., pueden interpretarse como las derivadas parciales de Y respecto de las respectivas variables independientes: así, 1 nos dice cuánto cambia Y en respuesta a un cambio de una unidad en X1, suponiendo que las demás variables independientes no cambian, y los demás coeficientes se pueden interpretar de la misma manera. Obviamente, es muy importante contar con estimaciones confiables de la magnitud de estos coeficientes, y el trabajo del econometrista consiste en proporcionar estas estimaciones. La presencia del término de error (u) en esta ecuación refleja el hecho de que los datos económicos nunca se ajustan a funciones matemáticamente exactas, de modo que funciones simples como la anterior sólo pueden considerarse como aproximaciones a las verdaderas relaciones que se están investigando. Aún si la

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verdadera relación no es lineal, sin embargo, si el rango relevante de variación de las variables no es muy grande, entonces la forma lineal podría constituir de todas maneras una buena aproximación a la verdadera forma funcional. El Prof. Johnston ha propuesto tres diferentes razones para justificar el término de error en un análisis econométrico.3 Por un lado, los datos económicos siempre contienen errores de medición, ya que las variables económicas no pueden ser medidas con exactitud. En este sentido, u puede ser interpretado literalmente como un ―error‖ genuino. Por otro lado, en un análisis aplicado sólo pueden tomarse en cuenta las variables más importantes para la explicación de un fenómeno, y por tanto las ecuaciones en la práctica no pueden incluir todas las variables que pueden afectar una determinada variable dependiente. El efecto neto de las variables omitidas se refleja en el término de error, que en este sentido es interpretado como un ―residuo.‖ Por último, y como ya se mencionó en el párrafo anterior, las relaciones económicas probablemente no serían exactas aún si no existiera ningún error de medición, y aún si todas las variables relevantes son incluidas en el análisis. En última instancia, las variables económicas dependen de la acción humana, y existe una cierta indeterminación en el comportamiento humano que sólo puede ser representada mediante un término de perturbación aleatorio, cuya varianza es incrementada por los errores de medición y el efecto residual de variables omitidas. Se reconoce de entrada, por tanto, que las estimaciones econométricas siempre contienen cierto elemento de incertidumbre. Con técnicas adecuadas, se puede tratar de reducir esta incertidumbre, aunque nunca se podrá eliminar del todo. El estudiante de econometría debe estar siempre consciente de las limitaciones de sus métodos de análisis. El propósito de este texto es familiarizar al estudiante de economía y/o administración con las técnicas más comunes que se emplean en el análisis econométrico aplicado. Esencialmente, se trata de estimar los coeficientes de ecuaciones lineales, tales como la ecuación (1). En el siguiente capítulo se discute el caso más sencillo, el de una sola variable independiente, que puede ser tratado con técnicas algebraicas relativamente simples. El caso más general de k variables independientes requiere de técnicas más sofisticadas, y por esto es que el Capítulo 3 se dedica a un repaso de álgebra matricial, previo a la discusión del modelo de ―Regresión Lineal Múltiple,‖ que es el tema del Capítulo 4. En el Capítulo 5 se consideran ampliaciones del modelo lineal, como ser la estimación de formas nolineales y el uso de variable binarias, y se discuten algunos problemas especiales que frecuentemente surgen en el análisis de regresión, tales como multicolinealidad, heteroscedasticidad y el efecto de variables omitidas, mientras que el importante problema de la autocorrelación es tratado a fondo en el Capítulo 6. 3

J. Johnston, Econometric Methods, 2a ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1972), pp. 1011.

[3]

Finalmente, el Capítulo 7 trata de los problemas especiales que puede plantear la presencia de retardos en las ecuaciones de regresión. La lectura de este texto presupone que el estudiante conoce los rudimentos del cálculo, y ciertos elementos de estadística matemática. También es conveniente cierta familiaridad con las computadoras, y particularmente con el manejo de hojas electrónicas tipo Excel. Como lo indica el título, este es un texto para un curso introductorio de econometría aplicada. Un texto introductorio debe ser selectivo, y si bien se ha hecho un esfuerzo por incluir la mayoría de las herramientas que en la práctica debe emplear el investigador típico en la situación típica, sin duda existen algunas lagunas más o menos importantes. En aras de la brevedad, por ejemplo, se ha omitido por completo el tema de la estimación de modelos de ecuaciones simultáneas, de modo que el texto se limita únicamente al caso de modelos de ecuación única, e incluso en este caso sólo se discuten los problemas que más comúnmente se plantean en la práctica. El estudiante que desea especializarse en este campo podrá subsanar estas deficiencias consultando algunos de los textos citados en la bibliografía.

[4]

Capítulo 2

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

2.1. Introducción. En este capítulo consideramos el caso más simple de una regresión lineal, que es el de una ecuación lineal con una variable dependiente (Y), y una sola variable independiente (X). Este modelo básico puede ser representado como: Y =  0 +  1X + u donde 0 y 1 son los parámetros respectivos, y u es el término de error. (Siempre conviene recordar que en econometría las relaciones entre variables no son funciones exactas, sino que son únicamente relaciones estadísticas. Por esto siempre es necesario incluir una variable de error en la relación.) El parámetro 0, conocido como la ―ordenada en el origen,‖ nos dice cuánto es Y cuando X = 0. El parámetro 1, conocido como la ―pendiente,‖ nos dice cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X. Estos parámetros son desconocidos, y nuestro problema consiste en obtener estimaciones numéricas de los mismos a partir de una muestra de observaciones sobre las variables estudiadas. El método de estimación más comúnmente empleado en el análisis de regresión es el método de ―mínimos cuadrados.‖ La mejor forma de ilustrar la aplicación de este método es por medio de un ejemplo práctico. Consideremos el Cuadro 2.1, que muestra datos mensuales de producción y costos de operación para una empresa británica de transporte de pasajeros por carretera durante los años 1949-52. (La producción se mide en términos de miles de millas-vehículo recorridas por mes, y los costos se miden en términos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de relación que existe entre las variables, como primer paso en el análisis es conveniente elaborar un diagrama de dispersión, que es una representación en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados. En el diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-vehículo recorridas, y en el eje Y se mide el costo de operación mensual. Cada punto en el diagrama muestra la pareja de datos (millas-vehículo y costos de operación) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relación positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-vehículo recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operación.

[5]

Por otro lado, también se aprecia por qué este gráfico se denomina un diagrama de ―dispersión‖: no existe una relación matemáticamente exacta entre las variables, ya que no toda la variación en el costo de operación puede ser explicada por la variación en las millas-vehículo. Si entre estas variables existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo largo de la recta de regresión, que también ha sido trazada y que muestra la relación ―promedio‖ que existe entre las dos variables. En la práctica, se observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que están ―dispersos‖ en torno a ella. Esta dispersión representa la variación en Y que no puede atribuirse a la variación en X. ————————————————————————————————– CUADRO 2.1. OPERACIONES MENSUALES EN UNA EMPRESA DE TRANSPORTE DE PASAJEROS ————————————————————————————————– Costos MillasCostos MillasTotales Vehículo Totales Vehículo (miles) (miles) (miles) (miles) Mes Nº Y X Mes Nº Y X ————————————————————————————————– 1 213.9 3147 20 243.7 4019 2 212.6 3160 21 262.3 4394 3 215.3 3197 22 252.3 4251 4 215.3 3173 23 224.4 3844 5 215.4 3292 24 215.3 3276 6 228.2 3561 25 202.5 3184 7 245.6 4013 26 200.7 3037 8 259.9 4244 27 201.8 3142 9 250.9 4159 28 202.1 3159 10 234.5 3776 29 200.4 3139 11 205.9 3232 30 209.3 3203 12 202.7 3141 31 213.9 3307 13 198.5 2928 32 227.0 3585 14 195.6 3063 33 246.4 4073 15 200.4 3096 16 200.1 3096 17 201.5 3158 18 213.2 3338 19 219.5 3492 ————————————————————————————————– Fuente: J. Johnston, Análisis Estadístico de los Costes (Barcelona: Sagitario, S. A., …… 1966), p. 118.

[6]

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 280

COSTOS

260

240

220

200

180 2500

3000

3500 MILLAS

[7]

4000

4500

2.2. Método de Mínimos Cuadrados. En un análisis de regresión, tratamos de contestar dos preguntas básicas: 1. ¿Cuál es la relación estadística que existe entre la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X)? Para contestar esta pregunta, debemos obtener estimaciones de los parámetros de la recta de regresión, es decir, los coeficientes 0 y 1 de la ecuación (1). En el ejemplo concreto que nos concierne aquí, el estimador de 1 nos ayuda a responder una pregunta muy importante: ¿cuánto aumenta, en promedio, el costo de operación por cada milla-vehículo adicional? 2. ¿Qué porcentaje de la variación total en la variable dependiente se puede atribuir a la variación en la variable independiente? Para contestar esta pregunta, debemos comparar la dispersión de los datos en torno a la recta de regresión con la variación total en la variable dependiente. La primera de estas dos preguntas supone encontrar la recta que ―mejor‖ se ajusta a los datos observados, lo que obviamente requiere algún criterio de selección. Supongamos que tenemos dos estimadores de los coeficientes 0 y 1, que denotaremos por b0 y b1, respectivamente, y consideremos el i-ésimo punto del diagrama de dispersión, que representa un valor para la variable independiente (Xi) y un valor para la variable dependiente (Yi). Dado el valor de Xi, el valor de Y calculado por la recta de regresión será b0 + b1Xi y la diferencia entre este valor calculado y el valor realmente observado (Yi) será el error correspondiente a la i-ésima observación: ei = Yi – b0 – b1Xi Sea n el número total de observaciones en la muestra (en este ejemplo n = 33). Para cada observación individual habrá un error correspondiente, y el método de ―minimos cuadrados‖ consiste en encontrar los valores de b0 y b1 que minimizan la suma de los errores cuadrados para la muestra en conjunto. Es decir, se trata de minimizar la variable: n

n

i 1

i 1

Q   ei2  (Yi  b0  b1 X i ) 2

Nótese que esta expresión es función de b0 y b1, ya que diferentes valores para estos parámetros producirán diferentes conjuntos de errores. En otras palabras, la suma de los errores cuadrados es función de la recta de regresión. Según el criterio de mínimos cuadrados, la ―mejor‖ recta de regresión es la que minimiza Q. Aplicando un conocido principio del cálculo, para minimizar Q calculamos las derivadas parciales respecto de b0 y de b1, y las igualamos a 0:

[8]

n Q  2 (Yi  b0  b1 X i )  0 b0 i 1 n Q  2 (Yi  b0  b1 X i ) X i  0 b1 i 1

Esto nos proporciona un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo el sistema podemos obtener los valores de b0 y b1. En la terminología del análisis de regresión estas ecuaciones son a veces denominadas las ―ecuaciones normales.‖ Nótese que la primera de estas ecuaciones equivale a la restricción  e i  0 , mientras que la segunda equivale a la restricción  X i ei  0 . Este es un resultado importante que será utilizado más adelante en este capítulo. (En lo sucesivo suprimiremos el uso del subíndice en las sumatorias, para facilitar la notación. Se entiende que todas las sumas se efectúan sobre i = 1, 2, ... , n.) Simplificando estas ecuaciones, podemos obtener las siguientes expresiones equivalentes: (1)

Y

 nb0  b1  X

(2)

 XY

 b0  X  b1  X 2

La ecuación (1) también puede expresarse como (3)

b0  y  b1 x

donde y 

Y

es el promedio aritmético de los valores para Y, y x 

X

es el n n promedio aritmético de los valores para X. Sustituyendo (3) en (2), y reordenando términos, obtenemos la siguiente expresión para b1: (4)

b1 

 XY  y  X  X  x X 2

Las fórmulas (3) y (4) nos permiten calcular b0 y b1 a partir de los datos observados. Para el ejemplo de los costos de transporte, tenemos:

Y  7,231.1 (por tanto

y  7,231.1  33  219.12424 )

 X  113,879 (por tanto x  113,879  33  3,450.8788 )  XY  25,216,020.3

X

2

 398,855,769

[9]

Sustituyendo estos valores en la fórmula (4) obtenemos:

b1 

25,216,020.3  (219.12424)(113,879)  0.044673 398,855,769  (3,450.8788)(113,879)

Por último, sustituyendo este valor en la fórmula (3), juntamente con los valores para x y y , obtenemos:

b0  219.12424  (0.044673)(3,450.8788)  64.963 Estos dos parámetros definen la recta de regresión, que podemos expresar como sigue:

Yˆ  64.963  0.044673 X (Usamos el símbolo Yˆ para representar el valor calculado de Y según la recta de regresión. Es muy importante distinguir claramente entre Yˆ y Y, que es el valor observado de la variable dependiente.) Según esta estimación, y en números redondos, podemos esperar que en promedio el costo de operación se incremente alrededor de 0.045 libras por cada milla-vehículo adicional, mientras que el ―costo fijo‖ mensual (i.e., la parte del costo de operación que no varía con las millas recorridas) es de aproximadamente 65,000 libras al mes, en promedio. 2.3. Coeficiente de Determinación (R2). Habiendo calculado la recta de regresión, podemos ahora tratar de responder a la segunda pregunta planteada en la sección anterior: ¿qué porcentaje de la variación total en el costo de operación (Y) se debe a la variación en las millasvehículo recorridas (X)? En otras palabras, y en términos más generales, ¿cuál es la proporción de la variación total en Y que puede ser ―explicada‖ por la variación en X? Para poder contestar esta pregunta, debemos antes descomponer la variación total en Y en sus dos componentes: la variación ―explicada,‖ que se puede atribuir a la variación en X, y la variación ―no-explicada,‖ que se debe a factores desconocidos y que representamos por los errores de la regresión. Por definición de la recta de regresión, tenemos que para cualquier observación individual el valor observado de Y será igual a la Y ―calculada‖ más el error:

Yi  Yˆi  ei

Yˆ  Y , ya que se recordará que  e

 0 por la primera ecuación normal. Esto implica a su vez que el promedio de las Yˆ es Nótese que esto implica que

i

i

[10]

i

exactamente igual a y . Si restamos y de ambos lados de esta ecuación y elevamos al cuadrado tendremos:

(Yi  y ) 2  [(Yˆi  y )  ei ]2  (Yˆi  y ) 2  ei2  2(Yˆi  y )ei Por último, si sumamos sobre todas las observaciones tendremos: (5)

 (Y  y)

2

  (Yˆ  y ) 2   e 2  2 (Yˆ  y )e

donde nuevamente hemos suprimido los subíndices para simplificar la notación. Consideremos ahora la expresión:

 (Yˆ  y)e  Yˆe  y  e  Yˆe ya que  e  0 , por la primera ecuación normal. A su vez, por la definición de Yˆ tenemos que:

Yˆe   (b

0

ya que

e  0

 b1 X )e  b0  e  b1  Xe  0

por la primera ecuación normal, y  Xe  0 por la segunda

ecuación normal. Por tanto, la ecuación (5) se reduce a la siguiente expresión:

 (Y  y)

2

  (Yˆ  y ) 2   e 2

En palabras, esto nos indica que la variación total de la variable dependiente (en torno a su promedio) se puede descomponer en dos partes: (1) la variación total de la Y ―calculada‖, y (2) la suma de los errores cuadrados. Puesto que la variación de la Y ―calculada‖ se debe totalmente a la variación en X, a este primer componente de la variación total en Y se le conoce como la variación ―explicada,‖ ya que es la parte de la variación en Y que puede ser atribuida a la variación en la variable independiente. El segundo componente de la variación en Y, la suma de los errores cuadrados, representa la variación ―no-explicada,‖ ya que es la parte residual de la variación en Y que no puede ser atribuida a la variación en X. Si expresamos la variación explicada como porcentaje de la variación total, obtenemos el siguiente estadístico importante que se conoce como el ―coeficiente de determinación‖:   e2  (Yˆ  y ) 2  2  R   1  2 2   ( Y  y ) ( Y  y )    Los cálculos relevantes para el caso de los costos de transporte se muestran en el Cuadro 2.2. El valor de 0.9464 para R2 nos indica que la variación en las millasvehículo recorridas explica el 94.64 % de la variación en el gasto de operación mensual. El resto de la variación observada (5.36 %) se debe a otros factores.

[11]

————————————————————————————————– CUADRO 2.2. CÁLCULO DE R2 PARA EL CASO DE LOS COSTOS DE TRANSPORTE. ————————————————————————————————– Mes Nº Y X e e2 Y2 Yˆ ————————————————————————————————– 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

213.9 212.6 215.3 215.3 215.4 228.2 245.6 259.9 250.9 234.5 205.9 202.7 198.5 195.6 200.4 200.1 201.5 213.2 219.5 243.7 262.3 252.3 224.4 215.3 202.5 200.7 201.8 202.1 200.4 209.3 213.9 227.0 246.4

3147 3160 3197 3173 3292 3561 4013 4244 4159 3776 3232 3141 2928 3063 3096 3096 3158 3338 3492 4019 4394 4251 3844 3276 3184 3037 3142 3159 3139 3203 3307 3585 4073

205.5489 206.1297 207.7826 206.7104 212.0265 224.0436 244.2357 254.5552 250.7580 233.6482 209.3461 205.2809 195.7655 201.7964 203.2706 203.2706 206.0403 214.0815 220.9611 244.5039 261.2562 254.8679 236.6860 211.3117 207.2018 200.6349 205.3256 206.0850 205.1915 208.0506 212.6966 225.1157 246.9161

8.3511 6.4703 7.5174 8.5896 3.3735 4.1564 1.3643 5.3448 0.1420 0.8518 -3.4461 -2.5809 2.7345 -6.1964 -2.8706 -3.1706 -4.5403 -0.8815 -1.4611 -0.8039 1.0438 -2.5679 -12.2860 3.9883 -4.7018 0.0651 -3.5256 -3.9850 -4.7915 1.2494 1.2034 1.8843 -0.5161

69.7409 41.8648 56.5113 73.7812 11.3805 17.2757 1.8613 28.5669 0.0202 0.7256 11.8756 6.6610 7.4775 38.3954 8.2403 10.0527 20.6143 0.7770 2.1348 0.6463 1.0895 6.5941 150.9458 15.9065 22.1069 0.0042 12.4299 15.8802 22.9585 1.5610 1.4482 3.5506 0.2664

45753.21 45198.76 46354.09 46354.09 46397.16 52075.24 60319.36 67548.01 62950.81 54990.25 42394.81 41087.29 39402.25 38259.36 40160.16 40040.01 40602.25 45454.24 48180.25 59389.69 68801.29 63655.29 50355.36 46354.09 41006.25 40280.49 40723.24 40844.41 40160.16 43806.49 45753.21 51529.00 60712.96

Sumas

7231.1

113879

7231.0953

(*) 0.0047

663.3451

1596893.53

————————————————————————————————–

 (Y  y)

2

 Y 2  n( y ) 2  1,596,893.53  (33)(219.12424) 2  12,384.2557

R 2  1  (663.3451  12,384.2557)  0.9464 ————————————————————————————————– (*) La suma algebraica de los errores no es exactamente 0 debido a errores de redondeo.

[12]

PREGUNTAS DE REPASO

1. Defina los siguientes conceptos: a) b) c) d)

diagrama de dispersión recta de regresión criterio de mínimos cuadrados coeficiente de determinación.

2. (Regresión por el Origen) En algunas situaciones, se sabe que la relación entre Y y X ―pasa por el origen‖ en el sentido de que 0 = 0. Este sería el caso cuando Y = 0 por definición cuando X = 0. En este caso la recta de regresión sería simplemente Y = 1X + u. a) Derive la fórmula para b1, el estimador de 1, usando el criterio de mínimos cuadrados. b) Nótese que en este caso la suma algebraica de los errores,

e

i

, ya no es

igual a 0. ¿Por qué? ¿Qué implicaciones tiene esto para la interpretación de R2? c) En el caso de una regresión lineal convencional, 0 < R2 < 1 por definición. Sin embargo, en el caso de una regresión por el origen, se puede dar el caso de una R2 negativa. Muestre gráficamente de qué forma podría darse esta situación.

[13]

CASOS APLICADOS Caso A — Elecciones en Florida En las elecciones presidenciales norteamericanas de Noviembre 2000 los contendientes principales, George Bush y Al Gore, resultaron casi empatados en términos de votos electorales, por lo que el resultado dependía crucialmente de los comicios en el estado de Florida, donde el escrutinio inicial no dio un resultado definitivo a favor de ninguno de los candidatos. A medida que proseguía el conteo, surgieron varias anomalías, una de las cuales tuvo que ver con el condado de Palm Beach. Entre otras cosas, se alegó que en este condado muchos votantes que deseaban votar por Gore se confundieron, debido al diseño de la papeleta electoral, y votaron por error por un candidato marginal, Pat Buchanan, del Reform Party. (El condado de Palm Beach tenía una papeleta electoral un tanto confusa y con un formato diferente a la de los demás condados en el estado.) El cuadro adjunto muestra la votación obtenida por Buchanan en todos los condados del estado de Florida, y se aprecia claramente que la cantidad de votos obtenidos por ese candidato en Palm Beach fue exageradamente grande en comparación al resto del estado. Presumiblemente, muchos de estos fueron efectivamente votos erróneos (y probablemente con la intención de votar por Gore, debido al diseño de la papeleta). La pregunta es si se puede obtener una estimación aproximada de la cantidad de estos votos erróneos. Como una primera aproximación, se esperaría que la votación obtenida por Buchanan en un condado determinado estaría positivamente relacionada con la cantidad de personas afiliadas al Reform Party residentes en ese condado. Este dato también se muestra en el cuadro adjunto. Con esta información: (a)

Construya un diagrama de dispersión, relacionando las dos variables.

(b)

Calcule la línea de regresión (excluyendo la observación para Palm Beach), y con los resultados obtenidos, haga una estimación de la ―votación excedente‖ obtenida por Buchanan en Palm Beach.

(c)

Tomando en cuenta que según los resultados oficiales, Bush ganó a Gore en Florida por una diferencia de 537 votos (sobre un total de más de 6,100,000 votos emitidos), comente sobre las implicaciones de este análisis para el resultado final de las elecciones presidenciales de ese año.

[14]

RESULTADOS ELECTORALES EN FLORIDA, NOV 2000 — REFORM PARTY (P. BUCHANAN)

Condado Alachua Baker Bay Bradford Brevard Broward Calhoun Charlotte Citrus Clay Collier Columbia Dade Desoto Dixie Duval Escambia Flagler Franklin Gadsden Gilchrist Glades Gulf Hamilton Hardee Hendry Hernando Highlands Hillsborough Holmes Indian River Jackson Jefferson Lafayette

Registrados Reform Party

Votos por Buchanan

91 4 55 3 148 332 2 41 44 40 118 35 217 7 0 150 130 30 0 11 6 2 3 3 4 10 43 24 299 2 66 8 2 0

263 73 248 65 570 788 90 182 270 186 122 89 560 36 29 652 502 83 33 38 29 9 71 23 30 22 242 127 847 76 105 102 29 10

Condado

Registrados Votos por Reform Party Buchanan

Lake Lee Leon Levy Liberty Madison Manatee Marion Martin Monroe Nassau Okaloosa Okeechobe Orange Osceola Pasco Pinellas Polk Putnam Santa Rosa Sarasota Seminole St.Johns St.Lucie Sumter Suwannee Taylor Union Volusia Wakulla Walton Washington

80 113 80 17 0 2 140 108 48 62 13 96 27 199 62 167 425 119 27 55 154 81 59 25 21 7 3 1 176 7 22 9

289 305 282 67 39 29 271 563 112 47 90 267 43 446 145 570 1013 532 148 311 305 194 229 124 114 108 27 37 496 46 120 88

PALM BEACH

337

3407

Fuentes: Florida Dept. of State, Division of Elections, "County Voter Registration by Party," Oct 10, 2000 (http://election.dos.state.fl.us/pdf/2000voterreg/2000genparty.pdf); ABC News, "Florida: Real-Time County Returns" (www.abcnews.go.com/sections/poli tics/2000vote/general/FL_county.html), visited June 15, 2001.

[15]

Caso B — Desempleo y Crecimiento Económico En 1962 el economista norteamericano Arthur Okun planteó un modelo macroeconómico para explicar las variaciones en la tasa de desempleo. Según este modelo, que se conoce hoy en día como la ―ley de Okun,‖ existe una relación lineal entre el cambio en la tasa de desempleo y la tasa de crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB) real.4 El siguiente cuadro muestra datos sobre desempleo y crecimiento económico en los Estados Unidos durante el período 1972-2011:

Año

Tasa de Desempleo (%)

Crecimiento PIB real (%)

Año

Tasa de Desempleo (%)

Crecimiento PIB real (%)

1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

5.6 4.9 5.6 8.5 7.7 7.1 6.1 5.8 7.1 7.6 9.7 9.6 7.5 7.2 7.0 6.2 5.5 5.3 5.6 6.8

5.3 5.8 -0.6 -0.2 5.4 4.6 5.6 3.1 -0.3 2.5 -1.9 4.5 7.2 4.1 3.5 3.2 4.1 3.6 1.9 -0.2

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

7.5 6.9 6.1 5.6 5.4 4.9 4.5 4.2 4.0 4.7 5.8 6.0 5.5 5.1 4.6 4.6 5.8 9.3 9.6 8.9

3.4 2.9 4.1 2.5 3.7 4.5 4.4 4.8 4.1 1.1 1.8 2.5 3.5 3.1 2.7 1.9 -0.3 -3.5 3.0 1.7

Fuente: Economic Report of the President, 2012 (Washington: U.S. Government Printing Office, 2012), Table B-4, Table B-43 (pp. 321, 369).

A. M. Okun, ―Potential GNP: Its Measurement and Significance,‖ Proceedings (Business and Economics Section), American Statistical Association, 1962, pp. 98-104. Para aplicaciones más recientes del modelo de Okun véase Paul Krugman, ―How Fast Can the U.S. Economy Grow?‖ Harvard Business Review, 75 (1997): 123-29 y J. Crespo Cuaresma, ―Okun’s Law Revisited,‖ Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 65 (2003): 439-51. 4

[16]

a) Use estos datos para estimar el modelo de Okun, y explique el significado de los coeficientes obtenidos. b) En este problema, el punto donde la recta intersecta al eje X tiene un significado económico interesante. Determine este punto para este caso, y explique su significado en términos del modelo de Okun. Caso C — Desempleo y Crecimiento Económico (cont.) Como regularidad empírica, la ―Ley de Okun‖ es una de las relaciones macroeconómicas más estables que se conocen. Para comprobarlo, vuelva a estimar el modelo de Okun usando datos sobre desempleo y crecimiento económico en Estados Unidos durante el período 1929-54. (Para el estudio de las fluctuaciones en el desempleo, este período muestral es particularmente interesante, porque incluye el período de la Gran Depresión de los años 30’s.) Compare con la regresión estimada en el caso anterior, y comente sobre los resultados.

Año

Tasa de Desempleo (%)

Crecimiento PIB real (%)

1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941

3.2 8.9 15.9 23.6 24.9 21.7 20.1 17.0 14.3 19.0 17.2 14.6 9.9

…. -9.5 -7.0 -15.0 -2.7 9.4 10.4 13.3 5.9 -4.6 8.1 8.7 15.7

Año

Tasa de Desempleo (%)

Crecimiento PIB real (%)

1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954

4.7 1.9 1.2 1.9 3.9 3.6 3.4 5.5 5.0 3.0 2.7 2.5 5.0

12.1 11.2 7.1 -1.2 -10.0 -0.1 3.8 -0.1 8.7 7.5 3.4 4.4 -1.6

Fuentes: (a) Desempleo — Stanley Lebergott, “Annual Estimates of Unemployment in the U.S., 1900-1950,” en The Measurement and Behavior of Unemployment (Princeton University Press, 1957), Table 1, pp. 215-16; (b) Crecimiento PIB real — Economic Report of the President, 1962 (Washington: Government Printing Office, 1962), Table B-3, p. 210.

[17]

Caso D — Costos de Impresión Se espera que mientras mayor sea el número de páginas en un libro, mayor sea su costo de impresión, ceteris paribus. Usted desea estimar la relación entre el costo promedio por ejemplar y el número de páginas, tomando una muestra de los últimos 10 anuarios publicados por una asociación académica5:

Libro No.

Número de Páginas

Cantidad de Ejemplares

Costo Total

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

754 677 689 745 675 615 753 698 652 670

12,400 12,700 14,000 14,800 15,800 16,000 17,700 18,500 20,000 22,500

$ 16,253.00 $ 15,471.00 $ 16,780.00 $ 18,914.00 $ 19,759.00 $ 18,277.00 $ 23,440.00 $ 23,362.00 $ 23,264.00 $ 28,405.00

(a) ¿Qué porcentaje de la variación en el costo promedio se explica por la variación en el número de páginas? (b) ¿Cuál sería su estimación del costo marginal por ejemplar para un libro de 500 páginas?

Los datos sobre costos de publicación fueron tomados de H. F. Williamson, ―Report of the Secretary for the Year 1966,‖ American Economic Review, 57 (May 1967), p. 690 (Exhibit II). 5

[18]

Caso E — Costos de Operación en Escuelas Públicas En un estudio de los costos de operación en escuelas públicas del estado de Wisconsin,6 el economista John Riew clasificó a 109 escuelas secundarias en grupos según su tamaño (número de estudiantes inscritos), y encontró que el costo anual promedio por alumno se comportaba de la siguiente manera: Tamaño de la Escuela

Número de Escuelas

Costo Promedio por Alumno

143-200 201-300 301-400 401-500 501-600 601-700 701-900 901-1100 1101-1600 1601-2400

6 12 19 17 14 13 9 6 6 7

$ 531.90 $ 480.80 $ 446.30 $ 426.90 $ 442.60 $ 413.10 $ 374.30 $ 433.20 $ 407.30 $ 405.60

Total

109

Use estos datos para obtener una estimación aproximada del costo marginal por alumno en escuelas de este tipo.

John Riew, ―Economies of Scale in High School Operation,‖ Review of Economics and Statistics, 48 (1966), p. 282 (Table 2). 6

[19]

Capítulo 3

REPASO DE ALGEBRA MATRICIAL

En el capítulo anterior se discutió el caso más simple de una regresión lineal con una sola variable independiente. Por cierto que la aplicabilidad práctica de este modelo simple es relativamente limitada, ya que generalmente las variaciones en la variable dependiente no obedecen a un solo factor, sino que más bien existen varios factores diferentes que pueden estarla influenciando. En el caso más general de k diferentes variables independientes, nuestro problema consiste en estimar los coeficientes de la siguiente ecuación: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + ... + kXk + u Se puede apreciar que en este caso la aplicación del criterio de ―mínimos cuadrados‖ por medio de métodos algebraicos sería sumamente tedioso y complicado. Afortunadamente, por medio de álgebra matricial se puede obtener una solución bastante compacta por medio de unas pocas fórmulas muy simples. Por tanto, en este capítulo repasaremos los elementos del álgebra de matrices que serán requeridos en el resto del texto.

3.1. Matrices. Una ―matriz‖ es una colección rectangular de elementos, ordenados en filas y columnas. En su forma más general, una matriz tiene la siguiente forma:

 a11 a  21 A=  .   . a m1

a12 a 22 . . am2

... a1n  ... a 2 n  ... .   ... .  ... a mn 

donde aij (el ―elemento característico‖ de la matriz) es el elemento ubicado en la fila i y la columna j. Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es de

[20]

orden ―m por n‖ ( m n ). La expresión [aij] también se usa para denotar a la matriz que tiene aij como elemento característico. En este caso, A = [aij]. Un ―vector‖ es un caso especial de una matriz que tiene una sola fila (―vector fila‖) o una sola columna (―vector columna‖). En lo que sigue, usaremos letras mayúsculas para denotar matrices, y letras minúsculas para denotar vectores.

3.2. Operaciones con Matrices. a) Igualdad de dos matrices — Se dice que dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo orden y aij = bij para todo i, j. Esto es, las matrices deben ser iguales, elemento por elemento. b) Suma y resta de matrices — Si A y B son del mismo orden, entonces A + B será una nueva matriz C tal que cij = aij + bij. Esto es, se suman los elementos correspondientes de las dos matrices. En forma similar, A – B será una nueva matriz D tal que dij = aij – bij, esto es, se restan los elementos correspondientes de las dos matrices. Ejemplo.

A

3 4 1 0 1 2 1 2 0

AB

3 4 2 5 7 6 5 3 6

B

0 0 1 5 6 4 4 1 6

AB

3 4 0 5 5 2 3 1 6

c) Multiplicación escalar — Si  es una constante, entonces el ―producto escalar‖ de  por una matriz A será tal que A = [aij]. Esto es, se multiplica cada elemento de A por . d) Multiplicación de matrices — Si A es una matriz de orden m  n , y B es una matriz de orden n  p , entonces el producto AB será una matriz C de orden m  p con elemento característico: n

cij   aik bkj k 1

[21]

Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna de AB se encuentra multiplicando los elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B, y sumando los productos. Ejemplo.

A

3 4 0 1 1 2

B

5 6 4 1

AB 

31 22 4 1 13 8

Nótese que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (caso contrario, el producto no está definido). Cuando se multiplican dos matrices, la matriz resultante tendrá el mismo número de filas que la primera matriz, y el mismo número de columnas que la segunda matriz. Es muy importante el orden en que se multiplican las matrices, ya que en el caso de álgebra matricial ―el orden de los factores sí altera el producto‖: BA generalmente no será igual a AB, y podría no existir.

3.3. Teoremas sobre Matrices. (i) Ley Conmutativa de la Suma. A+B=B+A Este resultado se desprende directamente de la definición de la suma de matrices. (ii) La Multiplicación de Matrices no es Conmutativa. Como ya se mencionó en la sección anterior, en general AB ≠ BA (excepto en el caso algunas matrices especiales). De hecho, a veces alguno de estos productos ni siquiera estará definido. Los dos productos AB y BA existirán si las matrices son de orden m n y n  m , respectivamente. En ese caso, el primer producto será de orden m m , y el segundo de orden n  n . (Aún en el caso de que los dos productos sean del mismo orden, en general no serán iguales.) (iii) Ley Asociativa de la Suma. (A + B) + C = A + (B + C) (iv) Ley Asociativa del Producto. (AB)C = A(BC)

[22]

(v) Ley Distributiva. A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

3.4. Clases Especiales de Matrices. Matriz Cuadrada: Se dice que una matriz es ―cuadrada‖ si el número de filas es igual al número de columnas (m = n). Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene elementos, no necesariamente iguales, a lo largo de su ―diagonal principal‖ (los elementos aii), y ceros en el resto. Obviamente, sólo las matrices cuadradas tienen una diagonal principal. Matriz Identidad: Es una clase especial de matriz diagonal, que sólo tiene unos en la diagonal principal. Esta es una matriz muy importante, y se representa por el símbolo especial I. Se comprueba fácilmente que si se multiplica cualquier matriz A por una matriz identidad del orden apropiado, entonces AI = A y IA = A. Matriz Escalar: Es una matriz diagonal que tiene la misma constante en la diagonal principal. Si la constante es , entonces la matriz escalar se puede representar por I. Matriz Idempotente: Es una matriz cuadrada tal que AA = A.

3.5. Traza de una Matriz Cuadrada. La ―traza‖ de una matriz cuadrada de orden n, tr(A), se define como la suma de los elementos de su diagonal principal: n

tr(A) =

a i 1

ii

Es obvio que tr(A + B) = tr(A) + tr(B), y tr(A – B) = tr(A) – tr(B). La traza también tiene la siguiente propiedad importante: Si el producto de dos matrices A y B es una matriz cuadrada, entonces tr(AB) = tr(BA).

[23]

Demostración. Sea C = AB, donde A es de orden m  n , y B es de orden n  m . Entonces el elemento característico de C será: n

cij   aik bkj k 1

tr(AB) =

m

m

n

i 1

i 1 k 1

n

m

 cii   aik bki   bki aik = tr(BA) k 1 i 1

m

ya que

b i 1

ki

aik es el elemento dkk de D = BA.

Corolario: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB).

3.6. Transposición de Matrices. A' (―A transpuesta‖) es la matriz que resulta de A tras intercambiar filas por columnas. El elemento característico de A' es a'ij = aji. Por ejemplo,

31 22 1 A =  4 1 2 13 8 3

 31 4 13 A' = 22 1 8   1 2 3 

Si A' = A, se dice que A es una matriz ―simétrica‖. (Obviamente, para que una matriz sea simétrica, tiene que ser cuadrada.) Teoremas sobre Transpuestas. 3.6.1. (A')' = A 3.6.2. (A + B)' = A' + B' 3.6.3. (AB)' = B'A' n

Demostración. Si C = AB, entonces cij   aik bkj . Por tanto, el elemento carack 1

terístico de C' será n

n

n

k 1

k 1

k 1

c'ij  c ji   a jk bki   bki a jk   b'ik a' kj

que es precisamente el elemento característico del producto B'A'.

[24]

Corolario. (ABC)' = C'B'A' Otro Corolario. AA' y A'A son simétricas. (Nota: En general AA' ≠ A'A, pero sus trazas son siempre iguales. ¿Por qué?)

3.7. Matriz Inversa. Se dice que A–1 es la ―inversa‖ de una matriz cuadrada A, si A–1A = AA–1 = I. Propiedades de la Inversa. 3.7.1. (A–1)–1 = A 3.7.2. (AB)–1 = B–1A–1 Demostración. AB(B–1A–1) = A(BB–1)A–1 = AA–1 = I 3.7.3. (A')–1 = (A–1)' Demostración. Se sabe que (1)

A'(A')–1 = I

Transponiendo (1) tenemos ((A')–1)'A = I. Por tanto, (2)

((A')–1)' = A–1

Transponiendo (2) obtenemos el teorema. Corolario. Si A es simétrica, entonces A = A', y por tanto (A–1)' = A–1 (la inversa de una matriz simétrica es simétrica).

[25]

PREGUNTAS DE REPASO

1. Defina los siguientes términos: a) b) c) d) e) f)

Matriz cuadrada Matriz identidad Diagonal principal Matriz simétrica Matriz idempotente Traza de una matriz

2. Construya algunos ejemplos numéricos para verificar los teoremas sobre matrices enunciados en las secciones 3.3, 3.6 y 3.7. 3. Expanda (A + B)(A – B) y (A – B)(A + B). ¿Son iguales? ¿Por qué no? 4. Compruebe que para una matriz X de orden n  k , las siguientes matrices son idempotentes: a) X(X'X)–1X' b) I – X(X'X)–1X' 5. Compruebe que para una matriz X de orden n  k , tr[I – X(X'X)–1X'] = n – k. 6. Si y es un vector n  1 , y X es una matriz n  k , ¿cuál es el orden de la siguiente expresión? (X'X)–1X'y

[26]

Capítulo 4

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE   En este capítulo discutiremos el modelo general de regresión múltiple. En la primera sección derivamos el estimador mínimo-cuadrático para el caso general de k variables independientes, siguiendo un razonamiento análogo al del Capítulo 2. En la segunda sección introducimos el tema de la inferencia estadística en la regresión lineal. Este es un tema nuevo, que no ha sido discutido en capítulos anteriores. En la tercera sección comentamos sobre la interpretación del coeficiente de determinación (R2) en el contexto de regresiones múltiples. Finalmente, en la cuarta sección ilustramos la aplicación de los resultados analíticos obtenidos por medio de un ejemplo numérico.

4.1. Vector Mínimo-Cuadrático. 4.1.1. Planteo del Problema. Expresamos una variable ―dependiente‖ Y como función lineal de k variables ―independientes‖ X1, X2, ... , Xk: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + ... + kXk + u donde 0, 1, 2, ... , k son constantes desconocidas, y u es una variable aleatoria que refleja la variación en Y que no puede atribuirse a las variables independientes (o ―explicativas‖). El problema consiste en obtener estimaciones de los k + 1 coeficientes en este modelo mediante análisis de n observaciones conjuntas sobre la variable dependiente y las k variables independientes. Nótese que podemos representar las observaciones sobre Y como un vector y de orden n  1 , mientras que las observaciones sobre las X podemos representarlas como una matriz X de orden n  k :

[27]

————————————————————————— Observación Nº Y X1 X2 .... Xk ————————————————————————— 1

Y1

X11

X12

....

X1k

2

Y2

X21

X22

....

X2k

3 . .

Y3 . .

X31 . .

X32 . .

.... .... ....

X3k . .

i . .

Yi . .

Xi1 . .

Xi2 . .

.... .... ....

Xik . .

n

Yn

Xn1

Xn2

....

Xnk

y

X

————————————————————————— Se comprueba además que si la matriz X se aumenta con una columna de 1’s (para poder tomar en cuenta 0, la ordenada en el origen), entonces el modelo lineal para las n observaciones se puede expresar como: y = X + u donde  es un vector de orden (k  1)  1 cuyos elementos son los coeficientes del modelo lineal (0, 1, 2, ... , k), X es una matriz de orden n  (k  1) de observaciones sobre la variables independientes (incluyendo la columna de 1’s) y u es un vector-columna de orden n  1 cuyos elementos (u1, u2, ... , un) consisten de n variables aleatorias idénticamente distribuidas. Dado un vector b de estimadores de los coeficientes, el vector y también puede expresarse como: y = Xb + e donde e es un vector de orden n  1 cuyos elementos (e1, e2, ... , en) son los residuos obtenidos de la ecuación estimada. (Esto es, e = y – Xb, donde Xb es la Y ―calculada.‖ No debe confundirse b con , ni e con u.)

[28]

4.1.2. Estimación de b. El vector b que minimiza la suma de los errores cuadrados (e'e) se llama el ―vector mínimo-cuadrático.‖ Por definición, e'e =

 e  (Y  b 2

0

 b1 X 1  b2 X 2  ...  b k X k ) 2

(Nuevamente, suprimimos los sub-índices i para facilitar la notación.) Para minimizar e'e, derivamos respecto de cada uno de los k + 1 coeficientes, e igualamos a cero. Así, obtenemos las ―ecuaciones normales‖: (1)

e' e  2 (Y  b0  b1 X 1  b2 X 2  ...  bk X k )  0 b0

(2)

e' e  2 (Y  b0  b1 X 1  b2 X 2  ...  bk X k ) X 1  0 b1

(3)

e' e  2 (Y  b0  b1 X 1  b2 X 2  ...  bk X k ) X 2  0 b2

. . . (k + 1)

. . .

e' e  2 (Y  b0  b1 X 1  b2 X 2  ...  bk X k ) X k  0 bk

Estas k + 1 ecuaciones también pueden expresarse como (1)

e  0

(2)

X e 0

(3)

X

. . .

. . .

(k + 1)

X

1

2

e0

k

e0

Se puede comprobar fácilmente que en términos de nuestra notación matricial este sistema de k + 1 ecuaciones puede expresarse como X'e = 0

[29]

donde 0 es un vector de ceros de orden (k  1)  1. Puesto que e = y – Xb, esto también lo podemos expresar como X'(y – Xb) = 0 Por tanto, X'Xb = X'y Multiplicando ambos lados por (X'X)–1 obtenemos el vector mínimo-cuadrático: b = (X'X)–1X'y Los k + 1 elementos de este vector-columna (b0, b1, b2, ... , bk) son los respectivos estimadores de 0, 1, 2, ... , k. En la práctica el investigador no calculará el vector b directamente usando esta fórmula, ya que existen programas de computadora que hacen todos los cálculos requeridos con mayor rapidez y precisión que lo que podría hacerlo una persona armada únicamente de una calculadora manual. Es importante, sin embargo, tener una idea clara de qué es lo que hace la computadora cuando se corre un programa de regresión, y además esta expresión nos será muy útil más adelante para propósitos analíticos.

4.2. Inferencia Estadística en la Regresión Lineal. 4.2.1. Supuestos Básicos. El objetivo de esta sección es desarrollar procedimientos para testar hipótesis sobre los coeficientes del modelo lineal. Para esto, debemos hacer ciertas suposiciones sobre el comportamiento estadístico de los errores. Los dos supuestos más importantes en el modelo clásico de regresión lineal son los siguientes: Supuesto No. 1: ui tiene una distribución N(0, 2) para toda i. En palabras, suponemos que todas las ui tienen una misma distribución normal, con la misma media (0) y la misma varianza (2). Una implicación de este supuesto es que E(u) = 0, es decir, que el valor esperado del vector u es un vector de ceros. Supuesto No. 2: E(uu') = 2I. Nótese que el elemento característico de la matriz uu' es uiuj. Por tanto, suponer que el valor esperado de uu' es una matriz escalar equivale a suponer lo siguiente:

[30]

(1) E(uiuj) = 0 para i ≠ j, o sea, todos los elementos no-diagonales de E(uu') son cero. Esto implica que las ui son independientes unas de otras. (2) E(ui2) = 2, o sea, todos los elementos de la diagonal de E(uu') son iguales a 2. Esto implica que cada ui tiene la misma varianza 2. (Si suponemos que la media de ui es 0, entonces E(ui2) será la varianza de ui.) 4.2.2. Valor Esperado y Matriz de Varianza-Covarianza de b. Puesto que según el modelo lineal y = X + u, entonces b = (X'X)–1X'y = (X'X)–1X'(X + u) =  + (X'X)–1X'u Por tanto, el valor esperado del vector b será E(b) =  + E[(X'X)–1X'u] =  + (X'X)–1X'E(u) =  dado que E(u) = 0. Este es un resultado muy importante, ya que significa que b es un estimador insesgado de . Además, puesto que b –  = (X'X)–1X'u, entonces (b – )( b – )' = (X'X)–1X'uu'X(X'X)–1 (Recuérdese que X'X es una matriz simétrica.) Si obtenemos el valor esperado de esta expresión y aplicamos el supuesto No. 2, tendremos: E[(b – )( b – )'] = (X'X)–1X'E(uu')X(X'X)–1 = (X'X)–1X'2IX(X'X)–1 = 2(X'X)–1 Nótese que el elemento característico de E[(b – )(b – )'] es E[(bi – i)(bj – j)], que es la covarianza entre bi y bj. Para i = j (los elementos de la diagonal de esta matriz) esto se reduce a E[(bi – i)2], que es la varianza de bi. Por tanto, a esta matriz se le llama la ―matriz de varianza-covarianza del vector b‖. 4.2.3. Estimación de 2 y 2(X'X)–1. En general, no conocemos 2, pero podemos obtener un estimador insesgado de la siguiente manera. Por definición, el vector de residuos de la regresión estimada será e = y – Xb = y – X(X'X)–1X'y = [I – X(X'X)–1X']y = [I – X(X'X)–1X'](X + u) = [I – X(X'X)–1X']u Nótese que la expresión entre corchetes es una matriz simétrica idempotente, y que la traza de esta matriz es la diferencia entre las trazas de dos matrices identidad:

[31]

tr[I – X(X'X)–1X'] = tr(I) – tr[X(X'X)–1X'] = tr(I) – tr[(X'X)–1X'X] = n – (k + 1) ya que la primera matriz identidad es de orden n, y la segunda es de orden (k + 1). Además, la suma de los errores cuadrados (e'e) es de orden 1 1 , y por tanto será igual a su traza: e'e = tr(e'e) = tr(u'[I – X(X'X)–1X']u) = tr([I – X(X'X)–1X']uu') = tr(uu'[I – X(X'X)–1X']) Por último, puesto que la traza es una sumatoria, E(e'e) = E[tr(uu'[I – X(X'X)–1X'])] = tr[E(uu')(I – X(X'X)–1X')] = tr(2I[I – X(X'X)–1X'] ) = 2tr[I – X(X'X)–1X'] = 2(n – k – 1) Por tanto, puede obtenerse un estimador insesgado de 2 calculando:

ei2 e' e  S   n  k 1 n  k 1 2

y el estimador insesgado de 2(X'X)–1 será S2(X'X)–1. Los elementos de la diagonal de esta matriz cuadrada de orden (k + 1) son los estimadores de las varianzas de los coeficientes del vector b: el primer elemento de la diagonal de S2(X'X)–1 es la varianza muestral de b0, el segundo elemento es la varianza muestral de b1, etc.7 4.2.4. Testado de Hipótesis. Supongamos que se desea testar la siguiente hipótesis nula sobre uno de los coeficientes de regresión: H0: i = * (donde * es algún valor numérico). Para testar esta hipótesis, se calcula el siguiente estadístico:

bi   * s (bi ) 7

Esto es para el caso general de un modelo que incluye una ordenada en el origen ( 0). Si la regresión es ―por el origen‖ (ver Pregunta de Repaso No. 2 del Capítulo 2), entonces tr[I – X(X'X)–1X'] = n – k, ya que la matriz X sólo tiene k columnas, y el denominador en la fórmula para S2 es n – k. El primer elemento de la diagonal de S2(X'X)–1 es la varianza muestral de b1, el segundo elemento es la varianza muestral de b2, etc.

[32]

donde s(bi) es la desviación estándar de bi, o sea, la raíz cuadrada del elemento correspondiente de la diagonal de S2(X'X)–1. Este estadístico tiene una distribución t con n – k – 1 grados de libertad.8 Por tanto, si la prueba es ―a dos colas‖ con un nivel de significancia de 5 %, rechazamos H0 si el valor absoluto de este estadístico es mayor que el valor crítico de t para 2.5 % y n – k – 1 grados de libertad. (Si la prueba es ―a una cola,‖ usamos el valor crítico para 5 %.) Muchas veces, la hipótesis nula que queremos testar en un análisis de regresión es H0: i = 0, o sea, la hipótesis de que la variable independiente Xi no tiene realmente ningún efecto sobre Y. En este caso, para testar esta hipótesis bi simplemente se calcula y se compara con el valor crítico relevante para la s (bi ) distribución t. En la terminología del análisis de regresión, esta razón se conoce como la ―razón t,‖ y si rechazamos la hipótesis nula podemos concluir que Xi sí tiene un efecto sobre Y. A menudo esto se expresa diciendo que Xi es una variable ―significativa,‖ o que su coeficiente (i) es ―significativamente mayor (o menor) que 0.‖9 4.3. Coeficiente de Determinación (R2). En un análisis de regresión múltiple, el coeficiente de determinación (R2) se define igual que en el caso de la regresión simple, y tiene la misma interpretación, aunque debe tomarse en cuenta que en este caso lo que estamos midiendo es el porcentaje de la variación en Y que se explica por la variación conjunta de las variables independientes. (El estudiante podrá comprobar también que la R2 en una regresión múltiple es igual a la R2 de la regresión simple de Y contra Yˆ . Esta segunda interpretación es quizá más fácil de visualizar.) En general, no podemos descomponer la variación explicada en términos de cuánto aporta cada variable independiente individual, pero existe un caso especial donde esto sí es posible. Si la correlación entre las diferentes variables explicativas es exactamente cero, entonces la R2 de la regresión múltiple será igual a la 8

Para una demostración rigurosa, véase Johnston, Econometric Methods, pp. 135-38. (Por lo expuesto en la Nota 7, una regresión ―por el origen‖ cuenta con n – k grados de libertad.) 9

A menudo los econometristas usan la siguiente regla empírica para decidir si una variable es ―significativa‖ en una regresión lineal: Concluir que la variable es significativa si su coeficiente estimado es por lo menos dos veces mayor, en valor absoluto, que su desviación estándar (o sea, si el valor absoluto de la ―razón t‖ es mayor que 2). ¿Cómo justificaría usted el empleo de este criterio?

[33]

suma de las R2 de las regresiones simples de cada variable explicativa contra Y. Es muy raro que suceda esto en la práctica, pero si los datos provienen de un experimento controlado entonces es posible diseñar el experimento en forma tal que los datos muestrales tengan esta propiedad. 4.3.1. Comparando dos o más regresiones en términos de R2. Un problema que surge cuando se calculan diferentes regresiones para una misma variable dependiente es que los valores de R2 no son estrictamente comparables. Cuando se agregan variables independientes a una regresión, el resultado es que la R2 necesariamente aumenta, ya sea que las variables adicionales sean significativas o no. Recordemos que R2 se calcula por medio de la fórmula:   e2   R2  1    (Y  y ) 2   

Supongamos que tenemos dos regresiones: una primera regresión con k variables independientes (Regresión 1), y una segunda regresión que contiene, además de estas variables, una variable adicional Xk+1 (Regresión 2). Puesto que  (Y  y) 2 será igual para las dos regresiones, el efecto sobre R2 dependerá de los que sucede con

e

2

. Para la Regresión 2 la suma de los errores cuadrados

necesariamente será menor o igual que para la Regresión 1, no importando si Xk+1 es significativa o no. Para entender por qué, notemos que si aumenta  e 2 cuando se agrega Xk+1, entonces significa que los coeficientes estimados para la Regresión 2 no minimizan  e 2 , ya que existe otro vector de coeficientes que producirá una menor suma de errores cuadrados: este sería un vector que mantiene los coeficientes de la Regresión 1, y asignando 0 para el coeficiente de Xk+1. Por tanto  e 2 no puede ser mayor para la Regresión 2, y sólo será igual en las dos regresiones si el coeficiente estimado de Xk+1 es exactamente 0, lo cual es muy poco probable que suceda en la práctica ya que incluso si la variable adicional no tiene realmente ningún efecto sobre Y, su coeficiente estimado será pequeño pero no 0, debido a la variación muestral. En la práctica, entonces,  e 2 siempre será menor para la Regresión 2, y por tanto R2 siempre aumentará. 2

4.3.2. R2 ajustada ( R ). Esto significa que R2 no es, por sí sola, una buena guía para comparar diferentes regresiones, ya que este coeficiente siempre aumentará si se agregan más variables independientes, aun cuando éstas no son significativas. Debido a esto, Henri Theil propuso una modificación a la fórmula convencional, para compensar

[34]

por este efecto cuando se comparan regresiones diferentes.10 En el ajuste propuesto por Theil se toma en cuenta el hecho de que, para un tamaño de muestra determinado, más variables explicativas en una regresión implican menos grados de libertad para la estimación. A diferencia de la R2 convencional, que compara la variación no-explicada (suma de los errores cuadrados) con la variación total en 2

Y, la R2 ―ajustada‖ (que se representa por medio del símbolo R ) compara la varianza de los errores con la varianza de Y:

 e 2  2 Var (e) R  1  1   n  k  12 Var (Y )   Y  y)  n  1

 2   n  1   e   1   2  n  k  1  (Y  y )  

  

Esto también puede expresarse como: 2  n 1  2 R  1  (1  R ) n  k  1  

2

R puede ser negativa, y su valor siempre será menor o igual que la R2 conven2

cional.11 Además, a diferencia de la R2 convencional, R puede aumentar o disminuir cuando se agregan más variables independientes. La dirección del efecto dependerá de si la reducción en  e 2 compensa o no la reducción en los grados de libertad debido a la inclusión de la variable adicional. 4.4. Aplicación — Costos Administrativos en la Banca Comercial. Ahora podemos finalmente realizar un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación de estos conceptos. Como ya se mencionó antes, en la práctica la mayor parte de los cálculos en un análisis de regresión se realizan por medio de un programa de computación, por lo que no viene al caso ilustrar numéricamente los cálculos matriciales. El ejemplo concreto que se desarrolla a continuación está basado en un estudio estadístico de los costos de administración en los bancos comerciales guatemaltecos durante el año 1991. Los resultados de este análisis pueden proporcionar una buena indicación sobre el comportamiento de los costos para el banco ―típico‖ en Guatemala, aunque la naturaleza misma de un estudio 10

Henri Theil, Principles of Econometrics (New York: John Wiley & Sons, 1971), pp. 178-79. Por lo expuesto en las Notas 7 y 8, cuando la regresión es ―por el origen‖ el denominador correcto para el factor de ajuste es n – k. 11

[35]

de este tipo no puede arrojar resultados estrictamente aplicables a cada uno de los bancos considerados individualmente. No obstante, a pesar de esto, un estudio de este tipo de todos modos puede ser muy útil, porque los resultados pueden proporcionar una ―norma‖ o ―estándar‖ contra el cual se pueden comparar los costos administrativos en un banco particular. En ausencia de un estudio de este tipo, un banco no tiene realmente un criterio para determinar si sus costos son ―aceptables‖ o ―normales,‖ ya que los bancos difieren enormemente en cuanto a cantidad de activos, número de sucursales, etc., por lo que el único criterio objetivo sería el de compararse con un banco de similar tamaño y características. Sin embargo, si se pudiera obtener una fórmula empírica que permita calcular un valor ―normal‖ o ―promedio‖ para los costos administrativos en función de unas pocas variables que permitan una medición numérica, entonces se podría fácilmente determinar si el banco en cuestión está ―mejor‖ o ―peor‖ que el banco ―típico‖ a ese respecto. (Estos resultados también podrían servir para comparar el comportamiento de los costos administrativos en los bancos comerciales con los de otros tipos de instituciones financieras.) La variable dependiente para el análisis será el nivel anual de los ―Gastos Generales y de Administración‖ en los diferentes bancos del sistema. Si se observa el Cuadro 4.1, se podrá apreciar que estos costos (que en lo sucesivo llamaremos simplemente ―costos administrativos‖) varían enormemente de un banco a otro. Nuestro problema consistirá, por tanto, en encontrar una lista de variables que nos permitan ―explicar,‖ estadísticamente, esta variación observada. 4.3.1. Primera Aproximación. A un nivel muy elemental, por supuesto, dicha variación no tiene realmente ningún misterio, ya que los bancos varían mucho en cuanto a su tamaño, y es más bien de esperarse que los bancos más ―grandes‖ tengan también costos administrativos más altos por el sólo hecho de ser más grandes. Nuestra tarea será traducir esta noción intuitiva en un concepto operativo, y para esto debemos tratar de expresar el ―tamaño‖ de un banco en términos de alguna variable numérica. En este estudio, la variable escogida para este propósito fue el Total de Activos del banco. Con esto, y como una primera aproximación para el análisis, la recta de regresión será la siguiente: (1)

Yi = 0 + 1Xi + ui

donde Yi = Costos Administrativos del banco i, Xi = Activos Totales del banco i. Los Activos Totales de un banco son una buena medida de su ―tamaño,‖ aunque no es la única medida posible, por lo que la decisión de adoptar esta medida específica es en cierto modo arbitraria. Por otro lado, el empleo de los Activos Totales como variable independiente en la regresión facilita en cierto modo la interpretación económica de los coeficientes:

[36]

————————————————————————————————————————————————

CUADRO 4.1. BANCOS COMERCIALES PRIVADOS EN GUATEMALA (1991). Millones de Quetzales Gastos Generales Total Activo y de Admin. Promedio

Agencias

G&T

48.8

831.5

30

INDUSTRIAL

43.2

1204.0

18

OCCIDENTE

39.4

1153.5

20

del CAFE

29.8

499.6

25

del AGRO

26.2

466.6

30

AGRICOLA MERC.

24.8

522.3

12

INTERNACIONAL

24.0

376.6

12

INMOBILIARIO

21.5

431.3

20

CONSTRUBANCO

18.3

282.2

10

del EJERCITO

15.6

311.8

13

LLOYD’S

14.3

284.5

7

METROPOLITANO

12.9

339.0

8

BANEX

12.5

462.8

3

del QUETZAL

8.8

205.0

12

PROMOTOR

6.0

162.4

3

CITIBANK

5.9

45.8

1

CONTINENTAL

3.6

113.7

4

REFORMADOR

1.7

237.3

7

UNO

1.0

170.8

5

Fuente: Superintendencia de Bancos, Boletín de Estadísticas Bancarias (Guatemala, 4º Trimestre, 1992). ————————————————————————————————————————————————

(a) El coeficiente 1 nos indica en cuánto incrementa el costo administrativo anual por cada quetzal adicional de activos que maneja el banco. En otras palabras, este coeficiente nos mide el ―costo marginal‖ de administrar un quetzal adicional de activos. Obviamente, este es un dato sumamente interesante para los tomadores de decisiones en el sector bancario. Esperamos naturalmente que este coeficiente sea positivo. (b) Por otro lado, el coeficiente 0, que matemáticamente es simplemente la ―ordenada en el origen‖ (o sea, el valor de Y cuando X = 0), nos estaría indicando la parte del costo administrativo que no varía directamente con el nivel de los activos del banco. En otras palabras, esta es la parte del costo administrativo que podría interpretarse como un ―costo fijo.‖ Esperamos también que este coeficiente sea positivo.

[37]

4.3.2. Segunda Aproximación. Un posible defecto de la ecuación (1) es la suposición de que todos los bancos tienen los mismos costos fijos. Por otro lado, se puede apreciar en el Cuadro 4.1 que los bancos comerciales varían mucho en cuanto al número de sucursales o agencias que operan, y este es un factor que seguramente debe afectar el nivel de los costos administrativos. Por esto, como una segunda aproximación, se estimará la siguiente regresión adicional: (2)

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + u

donde X1 = Activos Totales del banco i, X2 = Número de Agencias del banco i. (De aquí en adelante suprimiremos el uso del sub-índice i, para facilitar la notación. Se entiende que cada observación corresponde a un banco diferente.) En esta segunda regresión, el coeficiente 2 nos está midiendo el incremento en el costo administrativo anual que resulta de manejar una agencia adicional. Esperamos, por tanto, que este coeficiente sea positivo. (Naturalmente que este coeficiente tendría que interpretarse como un costo ―promedio‖ por agencia, ya que ninguna agencia es exactamente igual que otra, por lo que difícilmente pueden tener todas el mismo costo.) Los demás coeficientes tienen la misma interpretación que en la ecuación (1). 4.3.3. Datos. Antes de reportar los resultados de las regresiones, es necesario y conveniente hacer las siguientes aclaraciones sobre los datos: (a) Se tomó la decisión de incluir en la muestra únicamente a los bancos comerciales privados, ya que los bancos estatales tienen peculiaridades especiales que posiblemente resulten en un comportamiento diferente en cuanto a sus costos administrativos. (Puesto que lo que nos interesa es investigar el comportamiento de los costos administrativos en el banco comercial ―típico,‖ incluir a los bancos estatales podría resultar en una distorsión de los resultados, ya que dichos bancos no son ―típicos‖ a ese respecto.) (b) Podría existir un problema de comparabilidad de los datos sobre Costos Administrativos y Activos Totales, dada la manera como se reportan los datos en la fuente original, ya que las cifras sobre Costos Administrativos corresponden a los gastos anuales efectuados durante un año determinado, mientras que las cifras sobre Activos Totales corresponden a los valores al 31 de Diciembre de cada año. No está del todo claro que la cifra correspondiente al final del año sea la más adecuada para propósitos del análisis, y probablemente sería mejor contar con una

[38]

cifra para los Activos Totales que represente algún valor promedio durante el año. Para evitar estos problemas, se optó por calcular un promedio aritmético de los Activos Totales al 31 de Diciembre de 1991, y al 31 de Diciembre del año anterior. Esta cifra promedio, si bien no es la solución perfecta para este problema, probablemente se acerca más al nivel promedio de los Activos Totales en cada año, y en todo caso será mejor que simplemente usar la cifra de fines de año. 4.3.4. Resultados. Los resultados para la ecuación (1) fueron los siguientes (los números entre paréntesis son las desviaciones estándar de los coeficientes estimados): Yˆ  2.203  0.03906 X 1 (2.551) (0.00483)

R2 = 0.7935 n = 19

Se puede apreciar en primer lugar que esta regresión, a pesar de ser muy sencilla, tiene un alto grado de poder explicativo: el coeficiente de determinación (R2) indica que la variación en los Activos Totales explica casi 80 % de la variación en los Costos Administrativos. Como era de esperarse, el valor estimado para b1, la pendiente de la regresión, es positivo y altamente significativo. Para testar formalmente la hipótesis nula 1 = 0, calculamos el estadístico b1/s(b1), que en este caso tiene un valor de 8.087 (= 0.03906 ÷ 0.00483). Consultando la tabla de valores críticos para la distribución t (ver las tablas al final del texto), se puede ver que para 17 grados de libertad el valor crítico para 5 % a dos colas es de 2.11. Puesto que 8.087 > 2.11, en este caso se rechaza la hipótesis de que el verdadero coeficiente 1 es cero, y por tanto concluimos que X1 es una variable significativa. Por otro lado, el valor estimado para b0 , la ordenada en el origen, aunque positivo, no es significativo, ya que 2.203 ÷ 2.551 = 0.864 < 2.11. Los resultados para la ecuación (2) fueron los siguientes:

Yˆ  1.22  0.0275 X 1  0.661X 2 (1.99) (0.0044) (0.157)

R2 = 0.9018

La R2 para esta segunda regresión es poco más de 90 %, aunque, por lo explicado en la sección anterior, las dos regresiones no son estrictamente comparables en términos de la R2 convencional, por lo que debemos aplicar el concepto de R2 ajustada. Para el primer modelo, con n = 19 y k = 1, 2  18  R  1   (1  0.7935)  0.7814  17 

[39]

2  18  Para el segundo modelo, con k = 2, R  1   (1  0.9018)  0.8895. Se puede  16  apreciar claramente que la adición de X2, el número de agencias, incrementa bastante el poder explicativo de la regresión.

Al igual que en el caso anterior, el valor estimado para b1 es positivo y significativo, y es interesante notar que es menor al estimado en la primera regresión. Esto implica que la primera regresión probablemente tiende a sobre-estimar este coeficiente, debido a que omite el efecto de la variable X2. Como era de esperarse, el valor estimado para b2 es también positivo y altamente significativo. Por otro lado, se aprecia que el valor estimado para b0 es negativo y no-significativo. Esto nos apunta a una conclusión interesante: Al parecer, el componente ―fijo‖ de los costos administrativos depende básicamente del número de agencias que administra el banco. Puesto que el coeficiente b0 no es significativamente diferente de cero en esta segunda regresión, corresponde ahora volver a estimar esta regresión ―por el origen,‖ es decir, sin esta constante. Los resultados son los siguientes:

Yˆ  0.0266 X 1  0.621X 2 (0.0041) (0.141)

R2 = 0.8995

Aquí se aprecia que el poder explicativo es básicamente igual que en la regresión anterior, aunque al haber eliminado un coeficiente posiblemente ―redundante,‖ esta tercera regresión nos proporciona en principio estimaciones más eficientes de los otros coeficientes: (a) El coeficiente b1, se recordará, nos mide el costo ―marginal‖ de administrar un quetzal adicional de activos. Según estas estimaciones, por tanto, se podría concluir que en números redondos el costo administrativo de un banco ―típico‖ aumentará entre 2 y 3 centavos por año por cada quetzal adicional de activos que administre. (b) El coeficiente b2, se recordará, nos mide el incremento en el costo administrativo anual que resulta de manejar una agencia adicional. Según estas estimaciones, por tanto, se podría concluir en números redondos, y tomando en cuenta que los datos se expresan en términos de millones de quetzales, que el costo administrativo de un banco ―típico‖ aumentará alrededor de 620,000 quetzales por año por cada agencia adicional. (Debe recordarse que estas cifras están expresadas en términos de quetzales de 1991.)

[40]

CASOS APLICADOS Caso F — Demanda de Fotocopias En el cuadro adjunto se muestra una estadística de la venta trimestral de fotocopias en la Biblioteca de la Universidad Francisco Marroquín (UFM) durante un período reciente, y la cantidad de usuarios en dicha biblioteca, clasificados según varias categorías. (Para facilitar los cálculos, los datos se expresan en términos de miles de fotocopias y miles de usuarios.) Como se puede observar, el movimiento de fotocopias varía mucho de un trimestre a otro. Utilice los datos disponibles para estimar un modelo de regresión múltiple que explique esta variación. ¿Qué porcentaje de la variación en el volumen de fotocopias se puede explicar por las variaciones en el número de usuarios de diferente tipo? ¿Cuáles son los usuarios que más impacto tienen sobre las ventas de fotocopias? Año, Trimestre 1994

1995

1996

1997

1998

1999

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

Fotocopias (trimestral)

Visitantes por Trimestre Estudiantes Universitarios Escolares Otros UFM Otras Univ.

Total

55.786 55.734 51.222

33.813 30.431 27.226

1.758 1.352 1.737

1.853 2.317 1.695

2.336 1.906 1.547

39.760 36.006 32.205

27.344 52.456 47.630 43.670 15.314 67.434 59.024 60.868 27.214 57.632 57.518 48.266 29.928 56.128 46.948 37.942 19.682 45.282 67.546 65.364 30.064

15.366 31.724 26.745 31.612 20.357 36.322 29.418 29.728 14.993 36.361 38.427 28.327 21.425 36.398 30.474 22.712 17.772 28.261 27.090 23.751 12.827

1.165 1.255 1.140 1.594 0.768 1.799 0.962 1.352 0.890 1.865 1.276 1.580 1.163 1.930 1.670 1.948 0.938 1.939 1.711 2.210 0.710

0.872 1.328 2.915 1.835 0.307 1.917 1.712 1.634 0.307 2.066 2.759 1.933 0.514 2.214 1.874 1.342 0.341 1.741 2.323 1.732 0.182

2.084 2.177 1.821 1.439 1.144 2.790 1.624 0.811 0.275 2.622 2.188 2.111 1.325 2.451 2.103 1.716 1.153 1.639 1.796 1.658 0.672

19.487 36.484 32.621 36.480 22.576 42.828 33.716 33.525 16.465 42.914 44.650 33.951 24.427 42.993 36.121 27.718 20.204 33.580 32.920 29.351 14.391

Fuente: Registros de la Biblioteca.

[41]

Caso G — Inflación en América Latina La llamada Teoría Cuantitativa del Dinero (también conocida como ―monetarismo‖) postula a largo plazo una relación estable entre tres variables macroeconómicas muy importantes: el cambio porcentual en el índice general de precios (i.e., la tasa de ―inflación‖), el cambio porcentual en la masa monetaria (la tasa de ―crecimiento monetario‖), y el cambio porcentual en el PIB a precios constantes (la tasa de ―crecimiento real‖).12 Según esta teoría, la inflación estará positivamente relacionada con la tasa de crecimiento monetario, e inversamente relacionada con la tasa de crecimiento económico real. El cuadro adjunto muestra las tasas anuales promedio de inflación, crecimiento monetario, y crecimiento real en 16 países latinoamericanos durante el período 1950-69. La inflación fue medida por medio del IPC, y el crecimiento monetario se basa en el agregado monetario conocido como M1 (efectivo fuera de bancos + depósitos a la vista en bancos comerciales). Use estos datos para estimar la siguiente regresión: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + u donde Y = tasa anual promedio de inflación, X1 = tasa anual promedio de crecimiento monetario, y X2 = tasa anual promedio de crecimiento en PIB real. Comente sobre los resultados, e interprete el significado de los coeficientes en términos de la Teoría Cuantitativa.

12

Para un desarrollo moderno de esta teoría, véase Milton Friedman, ―Money: Quantity Theory,‖ International Encyclopedia of the Social Sciences (1968), vol. 10, pp. 432-47.

[42]

INFLACIÓN EN 16 PAÍSES LATINOAMERICANOS, 1950-69 Tasa Anual (%) Promedio de: Inflación

Crecimiento Monetario

Crecimiento PIB Real

Argentina

26.4

24.6

2.4

Bolivia

41.3

41.6

3.0

Brasil

35.1

38.2

3.9

Chile

28.2

35.2

4.6

Colombia

9.2

16.5

5.4

Costa Rica

1.9

9.0

5.7

Ecuador

3.0

8.8

4.7

El Salvador

0.3

3.5

4.6

Guatemala

1.1

5.9

3.9

Honduras

2.1

8.0

4.0

México

5.3

11.3

6.9

Nicaragua

3.4

8.6

3.7

Paraguay

12.5

15.4

5.5

8.5

13.4

5.7

43.0

40.1

0.7

1.1

7.9

6.8

Perú Uruguay Venezuela

Fuente: R. C. Vogel, “The Dynamics of Inflation in Latin America, 1950-1969,” American Economic Review, 64 (1974), Table 1, p. 103.

[43]

Capítulo 5

AMPLIACIONES DEL MODELO LINEAL

En este capítulo ampliaremos nuestra discusión del modelo lineal, considerando primeramente la estimación de formas funcionales no-lineales. La discusión se concentrará principalmente en la aplicación e interpretación del llamado ―modelo doble-log,‖ que es el que más se aplica en la práctica. Luego se amplía el modelo lineal en otra dirección, mediante el uso de variables ―binarias.‖ Por último, se discuten algunos problemas especiales que pueden surgir en aplicaciones prácticas, como ser el problema de variables omitidas, el problema de ―multicolinealidad‖, y el problema de ―heteroscedasticidad.‖

5.1. Estimación de Formas Funcionales No-lineales. El modelo clásico de regresión lineal se basa en el supuesto de que la variable dependiente Y es una función lineal de las variables independientes X1, X2, ... , Xk. Ahora bien, esto es mucho menos restrictivo de lo que podría parecer a primera vista, ya que de hecho es posible estimar los parámetros de algunas funciones no-lineales por medio del modelo de regresión lineal, si se hacen algunas transformaciones de las variables. En esta etapa de nuestro análisis es conveniente hacer una distinción entre (1) las variables ―explicativas,‖ y (2) los ―regresores‖ que las representan en la ecuación de regresión. Consideremos, por ejemplo, la siguiente relación funcional: Y = +  ln(X) Obviamente, la relación funcional entre Y y X no es lineal, aunque existe una relación lineal entre Y y el logaritmo de X, y por tanto los parámetros de esta relación podrían ser estimados por regresión lineal si se toma ln(X) como la variable independiente. En este caso, si bien la variable ―explicativa‖ es X, el ―regresor‖ es ln(X). Lo que requiere el modelo clásico de regresión lineal es que la variable dependiente (en la regresión) sea una función lineal de los regresores.13 Como un ejemplo, considérese la siguiente función de producción, ―estimada en base a pruebas de campo realizadas en El Llano, en el Valle Central de Chile en 1962-63: 13

Y = 18.846512 + 7.586167 N + 2.469969 P – 0.655713 N2 – 0.397513 P2 + 0.211423 NP

[44]

5.1.1. Modelo Doble-logarítmico. Tal vez la transformación que más se emplea en la práctica en la econometría aplicada sea el llamado modelo doble-log, donde todas las variables se expresan en términos de logaritmos: ln(Y) = 0 + 1ln(X1) + 2ln(X2) + ... + k ln(Xk) + u En muchos problemas, el interés del investigador no se centra tanto en la ―pendiente,‖ o sea, el cambio en Y que se produce como resultado de un cambio de una unidad en X, sino en la ―elasticidad,‖ que es el cambio porcentual en Y que se produce como resultado de un cambio de 1 % en X. En esta situación, el modelo doble-log es interesante porque los coeficientes del modelo son estimaciones directas de la elasticidad de Y respecto de las respectivas variables explicativas. Para comprobar esto, nótese que Y X i  ln(Y ) .  X i Y  ln( X i )

que es la elasticidad de Y respecto de la i-ésima variable explicativa,14 es precisamente el coeficiente i en el modelo doble-log. Debido a esta propiedad, el modelo doble-log se usa con mucha frecuencia en la estimación de funciones de demanda. En el Cuadro 5.1 se detallan las propiedades de otras formas funcionales que también se emplean a menudo en estudios econométricos. A continuación, ilustraremos la aplicación del modelo doble-log por medio de la estimación de una función de demanda.

donde Y = quintales de trigo por hectárea, N = nitrato de sodio en unidades de 150 kg por hectárea, y P = triple superfosfato en unidades de 100 kg por hectárea‖ (J. J. Dillon, The Analysis of Response in Crop and Livestock Production, 2ª ed. [Oxford: Pergamon Press, 1977], p. 18). El uso de este tipo de función es muy común en el análisis de experimentos agrícolas. Nótese que en esta ecuación sólo existen dos variables explicativas, N y P, y su relación con la variable dependiente no es lineal, pero existen cinco regresores, y la relación entre la variable dependiente y los regresores es lineal. 14

R. G. D. Allen, Análisis Matemático para Economistas (Madrid: Aguilar, 1978), p. 247.

[45]

_________________________________________________________________ Cuadro 5.1. FORMAS FUNCIONALES ALTERNATIVAS En la siguiente tabla se hace una comparación de varias formas funcionales diferentes que a menudo se emplean en estudios aplicados. (Para mayor simplicidad, se presentan las formas funcionales en términos de una sola variable explicativa, pero los resultados se pueden generalizar para el caso de k variables explicativas). _________________________________________________________________ Nombre Forma Pendiente Elasticidad _________________________________________________________________ Lineal

Y =  0 +  1X

1

1X/Y

Semi-log

Y = 0 + 1ln(X)

1/X

1/Y

Hiperbólica

Y = 0 – 1/X

1/X2

1/XY

Doble-log

ln(Y) = 0 + 1ln(X)

1Y/X

1

Log-hipérbola

ln(Y) = 0 – 1/X

1Y/X2

1/X

_________________________________________________________________ Fuente: A. S. Goldberger, Teoría Econométrica (Madrid: Tecnos, 1970), pp. 227-28.

_________________________________________________________________

5.1.2. Aplicación — Consumo de Textiles en Holanda. En el Cuadro 5.2 se muestran los datos básicos de un estudio del consumo de textiles en Holanda durante los años 1923 a 1939 (los datos se expresan como índices con base 1925 = 100). Podemos utilizar estos datos para calcular la siguiente regresión doble-log: ln(Y) = 0 + 1 ln(X1) + 2 ln(X2) + u donde Y = Indice del consumo per cápita de textiles, X1 = Indice del ingreso real per cápita, y X2 = Indice del precio relativo de textiles. Estimando esta regresión por mínimos cuadrados obtenemos los siguientes resultados:

[46]

——————————————————————————————————— Cuadro 5.2. CONSUMO DE TEXTILES EN HOLANDA, 1923-1939 (INDICES, 1925 = 100). ——————————————————————————————————— Volumen de Consumo de Ingreso Precio Textiles per Real per Relativo Cápita Cápita de Textiles ——————————————————————————————————— 1923 99.2 96.7 101.0 1924 99.0 98.1 100.1 1925 100.0 100.0 100.0 1926 111.6 104.9 90.6 1927 122.2 104.9 86.5 1928 117.6 109.5 89.7 1929 121.1 110.8 90.6 1930 136.0 112.3 82.8 1931 154.2 109.3 70.1 1932 153.6 105.3 65.4 1933 158.5 101.7 61.3 1934 140.6 95.4 62.5 1935 136.2 96.4 63.6 1936 168.0 97.6 52.6 1937 154.3 102.4 59.7 1938 149.0 101.6 59.5 1939 165.5 103.8 61.3 ——————————————————————————————————— Fuente: H. Theil, Principles of Econometrics (Nueva York: J. Wiley & Sons, 1971), Table 3.1, p. 102. ———————————————————————————————————

ln(Yˆ ) = 3.1636 + 1.1432 ln(X1) – 0.8288 ln(X2) (0.7048) (0.1560) (0.0361)

R² = 0.9744

n = 17

(Recuérdese que en esta presentación compacta, el número entre paréntesis debajo de cada coeficiente estimado es su respectiva desviación estándar. El estudiante deberá procurar replicar por sí mismo los resultados de esta regresión.15) Como era de esperarse, la variable de precio relativo tiene un coeficiente negativo, 15

En toda esta sección hemos estado empleando logaritmos naturales, pero da lo mismo usar logaritmos base 10. Las estimaciones de b1, b2, …, bk son iguales, y la única diferencia es en la estimación de la constante b0 y su desviación estándar, que con logaritmos naturales serán 2.3026 veces mayores que con logaritmos base 10.

[47]

mientras que la variable de ingreso tiene un coeficiente positivo, resultados que son consistentes con la teoría elemental de la demanda. La razón t para el caso de X1 es de 7.33 (= 1.1432 ÷ 0.156) y para X2 esta razón es de – 22.96 (= – 0.8288 ÷ 0.0.0361). El valor crítico de la distribución t para 5 % y 14 grados de libertad es 2.145 (en pruebas a dos colas), que en ambos casos es excedido por amplio margen, por lo que podemos concluir que ambas variables son altamente significativas. Por último, las estimaciones indican que la elasticidad-precio de la demanda de textiles es alrededor de – 0.83, mientras que la elasticidad-ingreso es alrededor de 1.14. Estos resultados implican, por tanto, que ceteris paribus un aumento de 10 % en el precio relativo de los textiles producirá, en promedio, una reducción de 8.3 % en el consumo, mientras que un aumento de 10 % en el ingreso per cápita producirá, en promedio, un aumento de 11.4 % en el consumo de textiles.

5.2. Variables Binarias o Cualitativas. Otra útil extensión del modelo lineal es el empleo de variables binarias o cualitativas. Hasta ahora hemos supuesto que todas las variables en el modelo de regresión pueden medirse cuantitativamente. A veces, sin embargo, la variable dependiente se verá afectada por factores cualitativos que no pueden medirse numéricamente, pero no por eso dejan de ser importantes. Estos factores se pueden tomar en cuenta por medio del empleo de variables binarias.16 Estas son variables artificiales que sólo pueden tomar dos posibles valores, 1 o 0, dependiendo de la presencia o ausencia del factor cualitativo que deseamos incorporar en la regresión. Estas variables también son conocidas como variables ―categóricas‖ o ―dicotómicas‖, ya que el objeto es clasificar las observaciones en categorías mutuamente excluyentes: por ejemplo, hombre/mujer, fumador/nofumador, nacional/extranjero, etc. Muchas veces estas variables también se usan en el contexto de series cronológicas (por ejemplo, para medir efectos estacionales). Como un ejemplo, consideremos el Cuadro 5.3, que muestra datos sobre eficiencia en el consumo de combustible y otras características de 32 modelos de automóviles de la temporada 1973-74. De estos 32 vehículos, 19 son de transmisión automática, y 13 son de transmisión manual. Se puede notar que, en promedio, el millaje para los vehículos con caja manual tiende a ser bastante mayor que para los vehículos con caja automática, y al parecer la diferencia es estadísticamente significativa. Por otro lado, los vehículos con caja automática tienden a ser más pesados, y también tienden a tener motores más potentes, y se sabe que estos factores tienden a incrementar el consumo de combustible. Por tanto, si queremos saber si el tipo de transmisión per se tiene algún efecto sobre es

tienden

En inglés la expresión que se usa es ―dummy variables.‖

16

[48]

———————————————————————————————————— Cuadro 5.3. DATOS TÉCNICOS SOBRE 32 MODELOS DE AUTOMÓVIL, 1973-74. ———————————————————————————————————— Caja Automática

Caja Manual

Millas por galón

Peso (lbs.)

Potencia (caballos de fuerza)

Millas por galón

Peso (lbs.)

Potencia (caballos de fuerza)

1

21.4

3215

110

1

21.0

2620

110

2

18.7

3440

175

2

21.0

2875

110

3

18.1

3460

105

3

22.8

2320

93

4 5

14.3

3570

245

4

32.4

2200

66

24.4

3190

62

5

30.4

1615

52

6

22.8

3150

95

6

33.9

1835

65

7

19.2

3440

123

7

27.3

1935

66

8

17.8

3440

123

8

26.0

2140

91

9

16.4

4070

180

9

30.4

1513

113

10

17.3

3730

180

10

15.8

3170

264

11

15.2

3780

180

11

19.7

2770

175

12

10.4

5250

205

12

15.0

3570

335

13

10.4

5424

215

13

21.4

2780

109

14

14.7

5345

230

15

21.5

2465

97

16

15.5

3520

150

17

15.2

3435

150

18

13.3

3840

245

19

19.2

3845

175

Promedio

17.147

3768.9

160.3

24.392

2411.0

126.8

Desv. Est.

3.834

777.4

53.9

6.167

617.0

84.1

———————————————————————————————————— Fuente: H. V. Henderson y P. F. Velleman, ―Building Multiple Regression Models Interactively,‖ Biometrics, 37 (1981), Table 1, p. 396. ————————————————————————————————————

[49]

el consumo de combustible, tenemos que controlar por estos otros factores. Para esto, podemos calcular la siguiente regresión múltiple: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + u donde Y es el millaje (en millas por galón de gasolina), X1 es una variable binaria (= 0 si el vehículo tiene caja automática, = 1 si es de caja manual), X2 es el peso del vehículo (en libras), y X3 es la potencia del motor (en caballos de fuerza). Estimando esta regresión con los datos del Cuadro 5.3 obtenemos: Yˆ = 34.003 + 2.0837 X1 – 0.0029 X2 – 0.0375X3 (2.643) (1.3764) (0.0009) (0.0096)

R2 = 0.8399

n = 32

Se aprecia aquí que el peso del vehículo y la potencia del motor tienen ambos un efecto negativo sobre la eficiencia en el consumo de combustible, tal como se esperaba, y estos efectos son estadísticamente significativos. Por otro lado, también se aprecia que, una vez controlamos por los efectos del peso y la potencia, el tipo de transmisión (automática o manual) no tiene realmente un efecto muy grande sobre el millaje y el efecto estimado no es estadísticamente significativo: si bien el coeficiente para esta variable es positivo, su razón t (1.514) está muy por debajo del valor crítico de la distribución t para niveles convencionales de significancia. Por tanto, aunque a primera vista los resultados parecen indicar lo contrario, no podemos concluir en base a estos datos que el tipo de transmisión tenga por sí mismo un efecto significativo sobre la eficiencia en el consumo de combustible. 5.2.1. Caso Especial. El caso de los automóviles es un buen ejemplo para ilustrar cómo se pueden utilizar variables binarias para estimar los efectos de factores cualitativos en el contexto de una regresión múltiple.17 Con relación a este tema, hay un aspecto adicional que vale la pena resaltar. Si se calcula una regresión de Y únicamente contra una variable binaria, entonces el resultado es equivalente a una prueba de diferencia de medias convencional. En este caso, la regresión de Y contra X1 da el siguiente resultado: Yˆ = 17.147 + 7.245 X1 (1.125) (1.7644) 17

La variable dependiente también podría ser binaria, pero esto plantea problemas especiales de estimación, que sobrepasan los alcances de este libro. El método de mínimos cuadrados ordinarios ya no es aplicable en este contexto, y para esto existen otros métodos no-lineales (por ejemplo, los modelos probit y logit) que son más apropiados para este caso. Estos modelos son tratados en detalle en textos avanzados de econometría.

[50]

En este modelo b0 es una estimación del millaje promedio para vehículos con caja automática (X1 = 0), y es exactamente igual al promedio muestral para esta clase de vehículos en el Cuadro 5.3. Por otro lado, b1 es una estimación del millaje adicional para vehículos con caja manual (X1 = 1), y el coeficiente estimado es igual a la diferencia entre los dos promedios muestrales (24.392 – 17.147 = 7.245). Por tanto, testar la hipótesis de que b1 no es significativamente diferente de 0 es equivalente a testar la hipótesis de que la diferencia entre las dos medias muestrales no es estadísticamente significativa.18 5.2.2. Variables Binarias en Regresiones Semi-logarítmicas.19 A veces hay que tener ciertas precauciones al interpretar el coeficiente de una variable binaria. Un error muy común se da cuando se incluyen variables binarias en regresiones semi-logarítmicas de la forma: ln(Y) = 0 + 1X1 + 2X2 + ... + k Xk + u Si Xi es una variable continua, entonces su coeficiente estimado (bi) es un estimador de la derivada parcial de ln(Y) respecto de Xi : bi 

 ln(Y )  ln(Y ) Y 1 Y  .  . X i Y X i Y X i

Esto, multiplicado por 100, es igual al cambio porcentual en Y debido a un cambio marginal en Xi. Por tanto, en una regresión semi-logarítmica cada coeficiente puede interpretarse como el cambio porcentual en Y debido a un cambio en la respectiva variable independiente. Sin embargo, esta interpretación sería incorrecta si Xi es una variable binaria, ya que una variable binaria no es continua, y por tanto el concepto de una derivada parcial es inaplicable. Para poder medir el cambio porcentual en Y causado por la presencia del factor cualitativo representado por una variable binaria, supongamos que la variable binaria es X1 y que el cambio en Y debido a la presencia del factor cualitativo es de g por ciento. Nótese que el modelo semi-logarítmico puede expresarse de la siguiente forma:

18

El estudiante podrá comprobar que la razón t para b1 en esta regresión es exactamente igual al estadístico de prueba para una prueba de diferencia de medias convencional, y tiene el mismo número de grados de libertad. La discussion en esta sección se basa en R. Halvorsen y R. Palmquist, ―The Interpretation of Dummy Variables in Semilogarithmic Equations,‖ American Economic Review, 70 (1980): 474-75. 19

[51]

Y  (e 0 )(1  g ) X1 (e 2 X 2 )...(e k X k ) Si X1 = 0, el segundo factor (asociado con la variable binaria) será igual a 1, y si X1 = 1 este factor será igual a 1 + g, y por tanto g es el cambio porcentual en Y debido al efecto de la variable binaria. Al expresar esta ecuación en términos de ln(Y), se puede apreciar que 1= ln(1 + g), y puesto que el estimador de 1 es b1, el estimador de g será gˆ  eb1  1

y el estimador del cambio porcentual en Y será igual a 100  gˆ . Para ilustrar podemos usar nuevamente el problema de los automóviles. Si con esos datos calculamos una regresión semi-logarítmica obtenemos el siguiente resultado (donde las variables tienen las mismas definiciones que en el caso anterior): ln(Yˆ ) = 3.7491 + 0.0517 X1 – 0.000176 X2 – 0.00168 X3 (0.1166) (0.0607) (0.00004) (0.00042)

R2 = 0.8723

n = 32

En términos de R2 este modelo funciona ligeramente mejor que el modelo lineal estándar.20 Nuevamente, el peso (X2) y la potencia (X3) del automóvil tienen un efecto negativo sobre el millaje, y estos efectos son estadísticamente significativos. El coeficiente de la variable binaria implica que tener caja manual (X1 = 1) incrementa el millaje en 5.3 % (e0.0517 – 1 = 0.053), aunque este efecto no es significativo. La magnitud del ajuste en este caso no es muy grande, precisamente porque el efecto de la variable cualitativa es pequeño. Si el coeficiente de la variable binaria fuera de 0.517, por ejemplo, entonces el cambio porcentual en Y para X1 = 1 sería de 67.7 % (e0.517 – 1 = 0.677), una diferencia de 16 % comparado con el estimador no ajustado. Interpretar el coeficiente de una variable binaria en una regresión semi-logarítmica como el cambio porcentual en Y debido al efecto de una variable cualitativa podría causar serios errores si este efecto es relativamente grande.

20

Véase, sin embargo, la Pregunta de Repaso No. 2, al final de este capítulo.

[52]

5.3. Problemas Especiales en la Regresión Lineal. 5.3.1. Variables Omitidas y Variables Irrelevantes. En el capítulo anterior se demostró que el vector mínimo-cuadrático b es un estimador insesgado del vector  de coeficientes del modelo ―verdadero‖: y = X + u En este punto conviene anotar la siguiente salvedad: el vector b será un estimador insesgado de , siempre que el modelo de regresión esté bien especificado, o sea, siempre que se incluyan todas las variables explicativas relevantes. Como se verá a continuación, si existen algunas variables relevantes que no fueron incluidas en la regresión, entonces el vector b ya no será generalmente insesgado. Para apreciar esto, recordemos que en nuestra notación matricial, X es una matriz de orden n  (k  1) que representa las k variables independientes que afectan a Y (incluyendo una columna de 1’s para representar a la ordenada en el origen). Ahora bien, puede suceder muchas veces que por una u otra razón no se incluyen todas las k variables en la regresión estimada: podría ser que no se dispongan de los datos necesarios, o podría ser que se omita alguna variable relevante por simple ignorancia. En este caso, la matriz de observaciones usada en la regresión será ―incompleta‖ en el sentido de que no incluye todas las columnas de X. Para facilitar el análisis, representemos por X1 la matriz de observaciones sobre las variables ―incluidas,‖ y por X2 la matriz de las variables ―omitidas.‖ Por tanto, el modelo lineal completo puede ser expresado como: y = X1 1 + X2 2 + u donde  1 es el vector de los coeficientes de las variables incluidas, y  2 es el vector de coeficientes de las variables omitidas. Puesto que las variables omitidas no son incluidas en el análisis, el modelo estimado será y = X1b1 + e Obviamente, si las variables omitidas son realmente relevantes, entonces se cometerá un error de entrada al suponer que todos sus coeficientes son cero. La pregunta interesante, sin embargo, es si esta omisión tendrá algún efecto sobre la estimación del vector b1. Concretamente, podemos plantearnos la pregunta: ¿Será ahora b1 un estimador insesgado de  1? En otras palabras, ¿si se omiten una o más variables relevantes de una regresión, introduce esta omisión un sesgo en la estimación de los otros coeficientes? Para contestar esta pregunta, debemos calcular el valor esperado del vector b1. Notemos en primer lugar que el estimador mínimo-cuadrático de b1 será:

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b1 = (X1'X1)–1X1'y Ahora bien, puesto que y = X1 1 + X2 2 + u, entonces b1 = (X1'X1)–1X1'(X1 1 + X2 2 + u) =  1 + (X1'X1)–1X1'X2 2 + (X1'X1)–1X1'u El valor esperado de b1 será: E(b1) =  1 + (X1'X1)–1X1'X2 2 + (X1'X1)–1X1'E(u) =  1 + (X1'X1)–1X1'X2 2 Por tanto, b1 generalmente no será un estimador insesgado de  1, ya que generalmente (X1'X1)–1X1'X2 2 ≠ 0. De hecho, esta expresión sólo será igual a 0 bajo dos condiciones muy especiales: (1) Si  2 = 0, o sea, si las variables omitidas son realmente ―irrelevantes.‖ En ese caso, el modelo estimado es realmente el modelo ―completo,‖ y por tanto no existe ningún problema. Obviamente, este caso no es muy interesante. (2) Si (X1'X1)–1X1'X2 = 0. Para entender mejor el significado de esta condición, nótese que cada columna de esta matriz representa los coeficientes de la regresión de una de las variables omitidas sobre las variables incluidas. (Para visualizarlo mejor, consideremos el caso de una sola variable omitida: en ese caso, (X1'X1)–1X1'X2 se reduce a un vector, y ese vector no es más que el vector de los coeficientes de la regresión de la variable omitida sobre las variables incluidas.) En palabras, lo que esto significa es que no habrá sesgo en la estimación de b1 si las variables omitidas y las variables incluidas son completamente independientes unas de otras. Esta segunda condición es muy difícil que se cumpla en la práctica, al menos literalmente, y por tanto se puede concluir en términos generales que la omisión de variables relevantes en una regresión lineal introducirá algún grado de sesgo en los coeficientes estimados. Esto no significa, por otro lado, que este sesgo será necesariamente muy grande. Si las variables omitidas no son muy importantes (esto es, si los coeficientes del vector  2 son ―pequeños‖) y/o si no existe mucha correlación entre las variables omitidas y las variables incluidas (esto es, si los elementos de la matriz (X1'X1)–1X1'X2 son ―pequeños‖), entonces el sesgo será también pequeño. Por otro lado, si este no es el caso entonces las estimaciones resultantes podrían estar seriamente erradas. Siempre es bueno tener en mente esta posibilidad, ya que el método de mínimos cuadrados sólo garantiza buenos resultados si el modelo está bien especificado. Consideremos ahora el problema contrario: ¿Cuál es el efecto de incluir una variable irrelevante en una regresión lineal? En este caso, las consecuencias son

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menos graves, ya que el verdadero coeficiente de la variable irrelevante es cero, y lo que tenderá a suceder es que se obtendrá un coeficiente ―no-significativo‖ para esta variable. Supongamos, por ejemplo, que se estima el siguiente modelo: Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + e Si X3 es realmente irrelevante, entonces 3 = 0. El método de mínimos cuadrados producirá estimadores insesgados de todos los coeficientes en el modelo estimado, incluyendo el coeficiente de la variable irrelevante. En este caso, el valor esperado de b3 (el estimador de 3) será precisamente 0. Por cierto que en la práctica el valor estimado de b3 nunca será exactamente 0, debido a las variaciones de muestreo, pero puede esperarse que por lo general resulte poco significativo. Lo más importante, sin embargo, es que la presencia de la variable irrelevante no introduce ningún sesgo en las estimaciones de los demás coeficientes. Esto no significa, por otro lado, que la presencia de la variable irrelevante no implica costo alguno. De hecho, existen consecuencias importantes, pero en este caso el costo no se hace sentir en términos de sesgo sino en términos de la precisión de los estimadores. Lo que tenderá a suceder es que la presencia de variables irrelevantes incrementará las desviaciones estándar de los coeficientes de las demás variables. Esto se debe a una razón muy simple: estadísticamente, lo que sucede es que parte de la información contenida en la muestra se está desperdiciando en la estimación de un parámetro que no existe. Puesto que la información no está siendo utilizada eficientemente, entonces la precisión de las estimaciones tenderá a reducirse. En este caso, al incrementarse las desviaciones estándar de los coeficientes de regresión, se reducirá la ―razón t‖ de todos los coeficientes, y éstos aparecerán como menos significativos de lo que realmente son. Incluso podría darse el caso de que se concluya erróneamente de que alguna de las variables no es significativa cuando en realidad sí lo es. ¿Qué conclusiones prácticas se desprenden de este análisis? En la práctica, por supuesto, el investigador no puede saber de antemano si una determinada variable es relevante o no, ya que generalmente esta es precisamente una de las preguntas que se desean resolver por medio de la investigación. Por otro lado, se aprecia por el análisis anterior que las consecuencias de omitir variables relevantes son generalmente más graves que las consecuencias de incluir variables irrelevantes. Por tanto, es mejor errar en la dirección de incluir variables irrelevantes, que correr el riesgo de omitir alguna variable relevante. Estas consideraciones sugieren la conveniencia de aplicar la siguiente estrategia: en la primera etapa de la investigación, es mejor incluir todas las variables que puedan considerarse como relevantes. En pocas palabras, ―si está en la duda de si incluir una variable o no, inclúyala.‖ Si como resultado de la primera regresión algunas de las variables resultan no-significativas, entonces se podrá proceder a descartarlas, y re-estimar la regresión únicamente con las variables significativas.

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5.3.2. Multicolinealidad. (a) Naturaleza del Problema. Imaginemos la siguiente paradoja: se estima una regresión múltiple, se obtiene una alta R2 (digamos, mayor que 0.8), pero ninguno de los coeficientes estimados es significativo, es decir, en ningún caso podemos rechazar la hipótesis de que el verdadero coeficiente es 0. A primera vista, esto podría parecer contradictorio, ya que si la regresión tiene bastante poder explicativo (R2 es alta), entonces quiere decir que por lo menos una de las variables independientes debe ser significativa. Sin embargo, esta situación es de hecho muy común en la econometría aplicada, y se debe a un problema estadístico conocido como multicolinealidad. En una regresión lineal múltiple, la multicolinealidad se presenta cuando las variables explicativas están fuertemente correlacionadas entre sí, ya que si las variables explicativas varían juntas, entonces no se podrá separar el efecto individual de cada una. Esto da lugar al síntoma clásico de una alta R2, pero coeficientes individuales poco significativos, porque si bien la alta R2 efectivamente implica que por lo menos una de las variables independientes es significativa, el problema es que no podemos determinar cuáles son significativas y cuáles no. Estadísticamente, la multicolinealidad produce estimadores insesgados de los coeficientes de regresión, pero con varianzas muy grandes. Esto es de esperarse, ya que al no poder distinguir el efecto separado de cada variable, las estimaciones de los coeficientes serán necesariamente muy imprecisas. Para apreciar mejor las implicaciones de la multicolinealidad, hay que recordar el significado del coeficiente j en el modelo lineal: en última instancia, lo que se trata de medir con este coeficiente es la derivada parcial de Y respecto de Xj, o sea, el efecto de un cambio en Xj, manteniendo constantes las demás variables independientes. El problema, sin embargo, es que en la muestra las otras X’s no sólo no se mantienen constantes, sino que de hecho varían junto con Xj. En este caso es muy difícil separar el efecto individual de cada variable. Se aprecia entonces que la multicolinealidad es básicamente un problema de información. Lo que sucede es que estamos pidiendo a los datos más de lo que nos pueden decir. La muestra de observaciones no contiene suficiente información como para estimar el efecto separado de cada variable explicativa. Puesto que se trata de un problema muestral, es muy poco lo que puede hacerse para resolver el problema si no es posible obtener información adicional. Por ejemplo, se podría pensar en descartar alguna de las variables explicativas, para romper así la multicolinealidad. Sin embargo, si la variable descartada es una variable relevante, entonces esto podría agravar los problemas, ya que se producirá un sesgo en los coeficientes de las otras X’s (ver sección anterior). En este caso, los coefi-

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cientes de las variables no-descartadas recogerán su propio efecto, más parte del efecto de la variable descartada. Puesto que el problema de multicolinealidad es en última instancia un problema de información insuficiente, se desprende que la única solución real consistirá en obtener más información. Nótese, sin embargo, que una ampliación de la muestra (más observaciones) no servirá de mucho si las observaciones adicionales están también correlacionadas entre sí. En otras palabras, seguiremos en la misma situación si las nuevas observaciones son simplemente ―más de lo mismo.‖ Desafortunadamente, muchas veces esta es precisamente la situación que se presenta en la investigación económica. (b) Medidas del Grado de Multicolinealidad. Regla de Klein — Por la discusión anterior, se aprecia que la multicolinealidad no es una cuestión de ―todo o nada,‖ sino más bien una cuestión de grado. En la mayoría de los casos prácticos es inevitable que exista algún grado de correlación entre los regresores, ya que en la econometría empírica es muy raro que los datos provengan de un experimento controlado. Lo que necesitamos, entonces, es algún criterio para determinar si la multicolinealidad existente es ―aceptable,‖ o si es suficientemente severa como para invalidar los resultados de un análisis. Para esto existen algunas reglas empíricas. Una de ellas se basa en la siguiente observación del Profesor Lawrence Klein: La multicolinealidad o inter-correlación entre las variables no es siempre un problema, a menos que sea alta en relación con el grado general de correlación múltiple entre todas las variables [de la regresión].21

Maddala22 se basó en esta observación para formular el siguiente criterio, que se conoce como la regla de Klein: La multicolinealidad debe considerarse un problema si para alguno de los regresores R 2j > R2, donde R 2j es el coeficiente de determinación de la regresión de Xj contra todas las demás variables explicativas, y R2 es el coeficiente de determinación de la regresión completa. Como ejemplo, tomemos nuevamente el caso de los automóviles. En este caso R12 = 0.5597, R22 = 0.7351 y R32 = 0.5211. Por tanto, puesto que la R2 para la regresión completa es 0.8399, según el criterio de Klein la multicolinealidad no es un problema serio en esta regresión. 21

L. R. Klein, An Introduction to Econometrics (London: Prentice-Hall International, 1962), p. 101. 22

G. S. Maddala, Econometría (Madrid: McGraw-Hill, 1985), p. 195.

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Factor de Inflación de Varianza — Este criterio se basa en el hecho de que la varianza muestral del coeficiente de la variable Xj depende en parte de la correlación entre Xj y las demás variables explicativas:

 1  S2   Var (b j )  (n  1)Var ( X j )  1  R 2j  donde Var(bj) es la varianza muestral de bj, Var(Xj) es la varianza muestral de Xj, y S2 es la varianza estimada de los errores de la regresión.23 Se puede apreciar aquí que Var(bj) se minimiza cuando R 2j = 0. Dados los valores muestrales de Xj, la varianza muestral de bj se va incrementando a medida que aumenta R 2j (i.e., el grado de multicolinealidad). Por esto, a la expresión entre paréntesis se le conoce como el ―factor de inflación de varianza‖ (FIV), ya que mide el aumento en la varianza de bj que se puede atribuir al hecho de que los regresores no son completamente independientes entre sí.24 (En la terminología del álgebra lineal, esto se expresa diciendo que las columnas de la matriz X no son vectores ―ortogonales‖.) Idealmente quisiéramos que FIV = 1, aunque esto es muy difícil que suceda en la práctica. Como regla empírica, se considera que la multicolinealidad es ―demasiado‖ alta si para alguno de los coeficientes FIV > 10, es decir, si la varianza muestral del coeficiente estimado es más de 10 veces mayor que lo que sería si los regresores fueran ortogonales.25 Aplicando este criterio para el caso de los automóviles tenemos:

 1   1   FIV1     2.271 2  1  0 . 5597 1  R   1    1 FIV2   2  1  R2

  1       3.775 1  0 . 7351   

23

Ver, por ejemplo, W. H. Greene, Econometric Analysis, 5ª ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2003), p. 57. El estudiante podrá verificar numéricamente que el resultado obtenido al calcular Var(bj) por medio de esta fórmula es idéntico al elemento correspondiente de la diagonal de la matriz S2(X'X)–1. 24

Numéricamente, el factor de inflación de varianza para Xj es igual al j-ésimo elemento diagonal de la inversa de la matriz de correlaciones de los regresores. La expresión ―factor de inflación de varianza‖ fue acuñada por D. W. Marquardt (―Generalized Inverses, Ridge Regression, Biased Linear Estimation, and Nonlinear Estimation,‖ Technometrics, 12 [1970], p. 606). Marquardt también fue el primero en proponer la ―regla del 10‖ (ibid., p. 610). 25

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 1 FIV3   2  1  R3

  1       2.088   1  0.5211 

Para los tres regresores FIV < 10, lo cual confirma la conclusión obtenida por medio de la regla de Klein. Aunque hay cierto grado de correlación entre los regresores, la multicolinealidad no es un problema serio en esta regresión.26 5.3.3. Heteroscedasticidad. La heteroscedasticidad es un problema que surge cuando los errores en una regresión lineal no tienen varianza constante. Esto en sí no plantea un problema para el cálculo de los coeficientes mínimo-cuadráticos, ya que éstos siguen siendo estimadores insesgados, pero sí afecta la varianza de los coeficientes estimados. Se recordará del Capítulo 4 que la inferencia estadística en el modelo clásico de regresión lineal se basa en los siguientes dos supuestos: (1) E(u) = 0, lo que equivale a suponer que E(ui) = 0 para todo i. Con base en este supuesto concluimos que b es un estimador insesgado de . (2) E(uu') = 2I, lo que equivale a suponer que todos los errores tienen la misma varianza, y que los errores para las diferentes observaciones son independientes. Con base en este supuesto, concluimos que la matriz de varianza-covarianza del vector b es 2(X'X)–1, que estimamos por medio de S2(X'X)–1. Cuando existe heteroscedasticidad falla el segundo de estos supuestos básicos, y entonces la matriz de varianza-covarianza ya no es igual a 2(X'X)–1. Siempre podemos calcular S2(X'X)–1, pero los elementos diagonales de esta matriz ya no serán estimadores insesgados de las varianzas de los coeficientes de regresión. De hecho, las ―varianzas‖ calculadas de este modo tenderán a subestimar las verdaderas varianzas muestrales. En una regresión simple es relativamente fácil detectar si existe heteroscedasticidad, ya que se puede visualizar por medio del diagrama de dispersión. En la Figura 6.1 se muestra el perfil típico de una regresión con heteroscedasticidad. Cuando hay dos o más variables explicativas el problema ya no se puede visualizar de este modo, pero es posible detectar la heteroscedasticidad por medios numéricos. o

26

Aunque en este caso los dos criterios apuntan a la misma conclusión, esto no siempre será el caso. La ―regla del 10‖ implica un valor máximo aceptable de R 2j = 0.9. La regla de Klein, por otro lado, podría violarse con valores mucho menores de R 2j , ya que la conclusión también depende del valor de R2.

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Figura 5.1. Diagrama de Dispersión con Heteroscedasticidad.

100

80

60

40

20

0 0

20

40

60

80

100

120

Existen muchas diferentes pruebas de heteroscedasticidad, pero en la actualidad la prueba que más se utiliza se conoce como la prueba de White.27 Para efectuar esta prueba primero se calcula la regresión por mínimos cuadrados ordinarios. Luego, si se trata de una regresión simple, se calcula la siguiente regresión auxiliar:

e 2  a0  a1 X  a2 X 2   Aquí la variable dependiente es el error cuadrado de la regresión estimada, y hay dos regresores: la variable explicativa (X) y el cuadrado de X. Si la regresión estimada tiene dos variables explicativas, X1 y X2, entonces la regresión auxiliar tendrá la forma:

e 2  a0  a1 X 1  a2 X 12  a3 X 2  a4 X 22  a5 X 1 X 2   Halbert White, ―A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity,‖ Econometrica, 48 (1980): 817–38. 27

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En este caso la regresión auxiliar tendrá cinco regresores. En general, la regresión auxiliar para e2 incluye como regresores todas las variables explicativas, sus cuadrados, y todos sus productos cruzados. Luego se toma la R2 de la regresión auxiliar, que denotaremos como Ra2 , y se multiplica por el número de observaciones. White demostró que si la varianza de los errores es constante (no existe heteroscedasticidad) entonces n  Ra2 tendrá una distribución chi-cuadrado (  2 ) con grados de libertad igual al número de regresores en la regresión auxiliar. Tendemos a rechazar la hipótesis de varianza constante si este producto es ―grande,‖ y por tanto la prueba es ―a una cola‖: concluimos que existe heteroscedasticidad en una regresión si n  Ra2 es mayor que el valor crítico de la distribución chi-cuadrado para los grados de libertad relevantes. (Si se trata de una regresión simple la prueba de White tendrá 2 grados de libertad, y si es una regresión con dos variables explicativas la prueba tendrá 5 grados de libertad, si son tres variables la prueba tendrá 9 grados de libertad, etc.) Como ejemplo, podemos utilizar el caso de los costos bancarios, del capítulo anterior (Sección 4.4). En este problema, X1 = Activos y X2 = Agencias. Calculando la regresión auxiliar con los errores de la regresión estimada obtenemos:

ê2  26.752  0.0254 X 1  0.000085 X 12  1.0935 X 2  0.0664 X 22  0.0078 X 1 X 2 Ra2 = 0.21102

n = 19

Por tanto, n  Ra2 = 19  0.21102  4.0094 , y puesto que el valor crítico de una variable chi-cuadrado con 5 grados de libertad y 5 % en la cola derecha es 11.07, se concluye que no existe heteroscedasticidad en esta regresión.28

28

En caso de que exista heteroscedasticidad, no es necesario ajustar los coeficientes mínimo-cuadráticos, ya que estos siguen siendo insesgados, pero se debe hacer un ajuste a la matriz de varianza-covarianza, a fin de obtener estimadores correctos de las varianzas de los coeficientes estimados. White también desarrolló un método para efectuar dicho ajuste, pero la explicación de este procedimiento sobrepasa los alcances de este texto introductorio. La mayoría de los paquetes de software econométrico (E-Views, GRETL, etc.) incorporan el ―ajuste de White‖ como una opción estándar.

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PREGUNTAS DE REPASO

1. Explique, en palabras, de qué forma podría darse la siguiente situación: Se estima una regresión lineal, se obtiene una alta R2, pero ninguna de las variables independientes es ―significativa.‖ 2. Si se estima una regresión doble-log o semi-logarítmica, debe tenerse en mente que la R2 de la regresión estimada mide la proporción de la variación del logaritmo de Y que ha sido explicada, que no es lo mismo que la proporción de la variación de Y. Para poder estimar esto último (que es lo que realmente nos interesa en fin de cuentas), debemos tomar antilogaritmos de los valores calculados de ln(Y), y compararlos con los valores observados de Y por medio de la fórmula convencional para R2. Haga este ejercicio para el caso de la demanda de textiles (Secc. 5.1.2) y para el caso de los automóviles (Secc. 5.2.2). 3. En un estudio sobre determinantes del ahorro en países subdesarrollados 29, se reportaron las siguientes regresiones para una muestra de 47 países:

S Y  ln    9.3209  0.1624 ln    0.0258 ln( g )  1.8402 ln( D1 )  0.5416 ln( D2 ) Y  N S Y  ln    4.6341  1.1501 ln    0.0271 ln( g )  1.8012 ln( D1 )  0.5014 ln( D2 ) N N donde Y = Producto Interno Bruto (PIB), N = población total, S/Y = ahorro nacional (expresado como % del PIB), S/N = ahorro nacional per cápita, g = tasa de crecimiento del PIB per cápita, D1 = porcentaje de la población menor de 15 años de edad, y D2 = porcentaje de la población mayor a 65 años de edad. a) Explique por qué estos resultados estimados no pueden ser correctos. b) ¿Cree usted que este es un buen modelo teórico para este problema? 4. Para el caso de los costos bancarios (Secc. 4.4), aplique el criterio del ―factor de inflación de varianza‖ para medir el grado de multicolinealidad en la regresión estimada. 5. Para el problema de los automóviles (Secc. 5.2), determine si existe heteroscedasticidad en estas regresiones (tanto en el modelo lineal como en el modelo semi-logarítmico). Normalmente, en una regresión con tres variables explicativas la prueba de White tendría 9 grados de libertad. Sin embargo, en este caso sólo tenemos 8 grados de libertad. ¿Por qué?

K. L. Gupta, ―Dependency Rates and Savings Rates: Comment,‖ American Economic Review, 61 (1971): 469-71. La motivación para este problema se basa en un comentario por A. S. Goldberger, ―Dependency Rates and Savings Rates: Further Comment,‖ American Economic Review, 63 (1973): 232-33. 29

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CASOS APLICADOS Caso H — Demanda de Automóviles En 1958 el Profesor Daniel Suits publicó un estudio econométrico de la demanda de carros nuevos en los Estados Unidos. Las variables consideradas para el análisis fueron las siguientes: X1 = Indice del Precio Real de Automóviles Nuevos X2 = Ingreso Disponible Real (en miles de millones de dólares) X3 = Automóviles en Circulación al principio de cada año (millones de unidades) Y = Ventas de Automóviles Nuevos (millones de unidades). Los datos se muestran en el cuadro siguiente (nótese que Suits excluyó de su análisis los datos correspondientes al período 1942-48, por considerarlos poco representativos): ————————————————————————————————– X1 X2 X3 Y ————————————————————————————————– 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941

126.5 128.5 128.5 120.5 117.0 121.0 133.8 131.0 134.3 144.9

83.4 82.6 90.9 99.3 111.6 115.6 109.0 118.5 127.0 147.9

18.7 17.9 18.9 19.4 20.1 21.5 22.3 22.7 23.2 24.5

1.10 1.53 1.93 2.87 3.51 3.51 1.96 2.72 3.46 3.76

1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956

186.6 186.6 181.5 195.7 188.2 190.2 196.6 193.4

184.9 200.5 203.7 209.2 218.7 221.6 236.3 247.2

30.6 33.1 35.7 37.6 39.3 41.6 43.0 47.0

4.87 6.37 5.09 4.19 5.78 5.47 7.20 5.90

————————————————————————————————– Fuente: D. B. Suits, ―The Demand for New Automobiles in the United States,‖ Review of Economics and Statistics, 40 (1958), p. 279.

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Con estos datos, calcule las siguientes regresiones: ln(Y) = b0 + b1 ln(X1) + b2 ln(X2) + e ln(Y) = b0 + b1 ln(X1) + b2 ln(X2) + b3 ln(X3) + e (a) ¿Cuál de estas dos regresiones funciona mejor? Razone su respuesta. (b) ¿Cómo se interpreta el significado del coeficiente de la variable X3 en la segunda regresión? ¿Tiene sentido este resultado? ¿Por qué?

Caso I — Convergencia Regional en México Según el modelo neo-clásico de crecimiento económico, propuesto por Robert Solow en los años 50’s,30 a largo plazo la tasa de crecimiento en el ingreso per cápita tiende a disminuir, a medida que aumenta el nivel de ingreso per cápita, debido al efecto de rendimientos decrecientes en el empleo de capital físico. Esto implica que si se comparan diferentes países durante un determinado período, se esperaría encontrar una relación inversa entre la tasa de crecimiento económico en un país y su nivel de ingreso inicial. Este efecto se conoce como ―convergencia,‖ ya que implica que a largo plazo los niveles de ingreso per cápita tienden a igualarse entre diferentes regiones. En la práctica sólo se observa este efecto a nivel internacional cuando se comparan países más o menos similares (ya que es una predicción ceteris paribus, y cuando los países son muy disimilares tiende a predominar el efecto de otros factores). Por otro lado, sí se observa comúnmente este efecto cuando se comparan diferentes regiones de un mismo país.31 En el cuadro adjunto, se muestra una estadística de la evolución del ingreso real per cápita en los diferentes estados de México, entre 1940 y 1995. Use estos datos para estimar la siguiente regresión: Y = b + bln(X) + e donde Y = tasa anual promedio de crecimiento del ingreso real per cápita, 194095, X = ingreso real per cápita en 1940. ¿Son compatibles estos resultados con la hipótesis de convergencia? 30

R. M. Solow, ―A Contribution to the Theory of Economic Growth,‖ Quarterly Journal of Economics, 70 (1956): 65-94. 31

Véase, por ejemplo, R. J. Barro, Economic Growth and Convergence, Occasional Papers No. 46 (San Francisco: International Center for Economic Growth, 1994), y Xavier Sala-i-Martin, ―The Classical Approach to Convergence Analysis,‖ Economic Journal, 106 (1996): 1019-36.

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MÉXICO — INGRESO PER CÁPITA ESTATAL, 1940-1995 (pesos de 1995).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Estado

1940

1995

Aguascalientes Baja California Baja California del Sur Campeche Chiapas Chihuahua Coahuila Colima Distrito Federal Durango Guanajuato Guerrero Hidalgo Jalisco México Michoacán Morelos Nayarit Nuevo León Oaxaca Puebla Querétaro Quintana Roo San Luis Potosí Sinaloa Sonora Tabasco Tamaulipas Tlaxcala Veracruz Yucatán Zacatecas

10384 22361 9573 3758 2934 8578 8537 6909 17816 12132 4359 2181 4414 5309 3408 3327 6936 4836 9073 1892 3569 11016 21965 4372 4840 6399 2459 7508 3605 5203 7990 3734

21013 25311 23989 35806 8341 24973 25654 17970 45323 15270 12494 10258 10515 17535 14430 10193 15682 10515 31453 8404 12809 21451 29276 13757 14310 23298 12422 19895 9628 11911 13426 10663

Fuente: G. Esquivel, “Convergencia Regional en México, 1940-1995,” El Trimestre Económico, 66 (1999), Cuadro A1, p. 759.

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Caso J — Producción de Algodón Los siguientes datos muestran los resultados de un experimento agrícola realizado en 1957 por la Universidad Estatal de Mississippi para investigar los efectos de variaciones en el uso de dos fertilizantes, nitrógeno y ácido fosfórico, sobre el rendimiento en el cultivo del algodón: Rendimiento en el Cultivo de Algodón (kg/Ha) para Diferentes Combinaciones de Nitrógeno y Acido Fosfórico ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Acido Fosfórico (kg/Ha) Nitrógeno —————————————————————————— (kg/Ha) 0 8 16 24 32 40 48 56 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 0 710 800 873 932 975 1003 1014 1012 8 985 1078 1155 1217 1264 1295 1311 1312 16 1205 1301 1382 1448 1498 1534 1553 1558 24 1370 1470 1555 1625 1679 1718 1742 1749 32 1481 1584 1673 1747 1804 1847 1875 1886 40 1538 1645 1737 1814 1876 1922 1954 1969 48 1539 1651 1747 1828 1893 1943 1978 1997 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Fuente: C. E. Bishop y W. D. Toussaint, Introducción al Análisis de Economía Agrícola (México: Limusa-Wiley, 1966), p. 119. El experimento original también incluye resultados para aplicaciones de 56 kg de nitrógeno, y para aplicaciones de 64 kg de ácido fosfórico, pero se han omitido estos valores del análisis, ya que con estas cantidades de fertilizante los rendimientos empiezan a disminuir.

(a) Sea Y = rendimiento de la cosecha, X1 = cantidad empleada de nitrógeno, y X2 = cantidad empleada de ácido fosfórico. Use estos datos para estimar la siguiente función por regresión lineal:

Y = A(1+X1)b(1+X2)c donde A, b y c son constantes desconocidas. ¿Cómo interpreta usted el significado de la constante A en esta función? (b) Determine si existe ―heteroscedasticidad‖ en esta regresión. (c) Suponiendo que el fertilizante es el único costo variable, y que los otros costos de cultivo suman $500.00 por hectárea (costo fijo), determine la cantidad óptima que debería emplearse de cada fertilizante, si el precio del algodón es de $0.80 por kg, y los costos de aplicación de nitrógeno y de ácido fosfórico son de $5.60 y $2.80 por kg, respectivamente. (d) ¿Cuánto deberíamos emplear de cada fertilizante si quisiéramos minimizar el costo promedio por kg de algodón?

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Capítulo 6

AUTOCORRELACIÓN

En el capítulo anterior se mencionaron algunos problemas prácticos que a menudo surgen en las aplicaciones del análisis de regresión. Nos corresponde ahora en este capítulo tratar el tema de la ―autocorrelación,‖ que es otro problema muy común en la investigación econométrica aplicada.

6.1. Naturaleza del Problema. Hasta este punto hemos desarrollado nuestro análisis sin prestar mayor atención al orden en que se presentan las diferentes observaciones. De hecho, existen situaciones donde este orden no tiene en sí mayor significado. Por ejemplo, en el caso de los costos bancarios (Cuadro 4.1), los datos para cada banco fueron ordenados de acuerdo al nivel de sus costos administrativos, pero podrían haberse presentado en cualquier otro orden (por ejemplo, alfabéticamente según el nombre del banco) sin alterar en nada el análisis o las conclusiones. Esta no es, sin embargo, una situación muy común en econometría, ya que en la investigación económica los datos por lo general consisten de ―series cronológicas.‖ En una serie cronológica, cada observación sobre cada variable corresponde a un período de tiempo determinado, y el orden de presentación de los datos es muy importante, ya que corresponde a la secuencia temporal en que fueron generadas las diferentes observaciones. En este caso, es común agregar un subíndice en la notación para indicar el período al cual corresponde cada observación. De esta forma, expresamos nuestro modelo lineal de la siguiente manera: Yt = 0 + 1X1t + 2X2t + … + kXkt + ut donde el subíndice t indica que los valores de las diferentes variables corresponden al período t. Cuando los datos son series cronológicas, es muy importante distinguir a qué período corresponden las observaciones, ya que podría ser que el valor de la variable dependiente en un período determinado dependa de valores de las variables explicativas que corresponden a períodos anteriores (o sea, de valores ―retardados‖ de las variables explicativas). Por ejemplo, en un estudio

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sobre la demanda de alimentos en los Estados Unidos,32 Tobin estimó la siguiente regresión: log(Ct) = 1.57 + 0.45 log(Yt ) + 0.11 log(Yt–1) – 0.53 log(Pt) donde Ct es un índice del consumo per cápita de alimentos en el año t, Yt representa el ingreso real per cápita en el año t, y Pt es un índice de precios de alimentos en el año t. Se aprecia que en este modelo el consumo de alimentos en un año determinado no sólo depende del ingreso en ese año, sino también del ingreso del año anterior. En este caso, si bien Yt y su valor retardado Yt–1 representan una misma variable independiente, deben ser tratados como regresores diferentes en la ecuación de regresión. (Los problemas especiales planteados por la presencia de variables retardadas serán discutidos más a fondo en el siguiente capítulo.) El problema de autocorrelación surge cuando los errores correspondientes a diferentes períodos no son independientes. Concretamente, decimos que los errores en una regresión están ―auto-correlacionados‖ si el valor del error en cualquier período t (ut) depende de los errores correspondientes a períodos anteriores. Como veremos a continuación, esto viola uno de los supuestos básicos del método de mínimos cuadrados, y puede conducir a errores en la interpretación de los coeficientes de regresión. Para visualizar mejor el significado de la autocorrelación en los errores, consideremos la Figura 6.1, que muestra los errores correspondientes a una regresión basada en los datos del Caso F (Capítulo 4): Yˆ = 5.869 + 0.923 X1 + 4.446 X2 (8.258) (0.511) (2.997)

R2 = 0.6391

n = 24

donde Yˆ = Fotocopias, X1 = Total de estudiantes universitarios, y X2 = Escolares más otros usuarios.33 Se puede apreciar claramente que en este caso los errores no son independientes entre sí, ya que no fluctúan en forma completamente aleatoria, sino que tienden a estar agrupados en secuencias de acuerdo a su signo: tienden a haber secuencias de valores positivos alternadas por secuencias de valores negativos, etc. Este es el típico patrón de una serie que muestra ―autocorrelación positiva.‖ James Tobin, ―A Statistical Demand Function for Food in the U.S.A.,‖ Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 113 (1950): 132. 32

33

Esta no es necesariamente la mejor especificación para este problema.

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Figura 6.1. DEMANDA DE FOTOCOPIAS (errores de la regresión estimada) 30

20

10

0

-10

-20 1994

1995

1996

1997

1998

1999

En general, la autocorrelación en los errores se puede representar por medio del siguiente proceso ―auto-regresivo‖: ut = ut–1 + vt donde vt es una variable aleatoria independiente con media 0 y varianza constante, y  es el ―coeficiente de autocorrelación.‖ En la terminología del análisis de series cronológicas, esta expresión se conoce como un ―proceso auto-regresivo de primer orden.‖ Si  > 0, entonces decimos que existe autocorrelación positiva, y se presentará una situación similar a la del caso que hemos tomado como ejemplo. En este caso, tiende a haber cierta persistencia en los signos de los errores. Si < 0, entonces decimos que la autocorrelación es negativa, y en este caso los cambios de signos en los errores son demasiado frecuentes. En ambos casos, los errores en períodos sucesivos no son independientes, ya que el valor del error en un período determinado depende parcialmente del error del período anterior. Los

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errores sólo serán completamente independientes si  = 0, o sea, si existe ―autocorrelación cero.‖ En este punto, surgen naturalmente tres preguntas básicas: (1) ¿Qué efectos tiene la autocorrelación sobre las estimaciones de los coeficientes de regresión? (2) ¿Cómo se detecta la presencia de autocorrelación en una regresión lineal? (3) ¿Qué se puede hacer para contrarrestar los efectos de la autocorrelación? A fin de organizar mejor la discusión, trataremos cada uno de estos temas en secciones separadas.

6.2. Efectos de la Autocorrelación. Supongamos que deseamos estimar la siguiente ecuación lineal: Yt = 0 + 1X1t + 2X2t + … + kXkt + ut que en forma matricial expresamos como: y = X + u En el modelo clásico de regresión lineal, estimamos el vector de coeficientes  por medio del vector mínimo-cuadrático b = (X'X)–1X'y. Recordemos nuevamente el segundo supuesto básico del modelo clásico de regresión lineal (Secc. 4.2): E(uu') = 2I, lo que en términos de nuestra nueva notación equivale a suponer que E(ut2) = 2 para todo t, y E(utut–s) = 0 para todo s ≠ 0. Es decir, suponemos que todos los errores tienen la misma varianza, y que los errores para períodos diferentes son independientes. (Se podrá apreciar intuitivamente que la segunda parte de este supuesto es lo que falla cuando existe autocorrelación.) Con base en este supuesto, concluimos que la matriz de varianza-covarianza del vector b es 2(X'X)–1, que estimamos por medio de S2(X'X)–1. Supongamos ahora que los errores en el modelo lineal siguen el siguiente proceso auto-regresivo: ut = ut–1 + vt donde vt es una variable aleatoria independiente con media 0 y varianza constante, y || < 1. (Se podrá apreciar intuitivamente que esta condición es necesaria para que el proceso sea ―estable.‖) Esto implica que utut–1 = (ut–1 + vt)ut–1 Si calculamos el valor esperado de esta expresión obtenemos:

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E(utut–1) = E( u t21 ) ya que vt es una variable completamente aleatoria, y por tanto será independiente de ut–1 (es decir, E(vtut–1) = 0). La expresión anterior sólo será igual a 0 si  = 0, es decir, si no existe autocorrelación. Si  no es cero, entonces E(utut–1) tampoco será cero, ya que E( u t21 ) es necesariamente positiva. Por tanto, esto significa que si existe autocorrelación (ya sea positiva o negativa), entonces los errores en períodos sucesivos no serán independientes. Esto implica que el supuesto de que E(uu') = 2I ya no es válido, lo que implica a su vez que la matriz de varianzacovarianza del vector b ya no será de la forma 2(X'X)–1. Por tanto, no tiene ya sentido estimar esta matriz por medio de S2(X'X)–1. Por supuesto que siempre es posible calcular esta matriz, pero ya no se puede interpretar de la manera convencional. Se recordará que en el caso clásico los elementos de la diagonal de esta matriz son los estimadores de las varianzas de los coeficientes de regresión. Sin embargo, si existe autocorrelación en los errores este ya no es el caso. De hecho, si los errores están auto-correlacionados y tratamos de estimar las varianzas de los coeficientes por medio del método convencional (que dicho sea de paso, es el método que viene automáticamente incorporado en los programas de regresión por computadoras), entonces se tenderá a subestimar estas varianzas. Por otro lado, nótese que ut–1 = ut–2 + vt–1 Por tanto, ut = ut–2 + vt–1) + vt = vt + vt–1 + 2ut–2 = vt + vt–1 + 2vt–2 + 3vt–3 + …. El valor esperado de ut será entonces: E(ut) = E(vt)+ Evt–1) + 2Evt–2) + 3E(vt–3) + …. = 0 Esto será cierto para toda t, y por tanto se sigue manteniendo válido el supuesto de que E(u) = 0. Esto implica que el vector b sigue siendo insesgado, ya que esta conclusión depende únicamente de este supuesto. Para resumir, la autocorrelación no introduce sesgo en los coeficientes de regresión, pero sí hace que se tiendan a subestimar las varianzas de estos coeficientes, si estas varianzas se estiman por medio de la fórmula convencional. En términos prácticos, esto implica que se tenderá sobre-estimar la ―significancia‖ de los coeficientes (porque se tenderá a sobre-estimar la ―razón t‖ de cada coeficiente), e incluso podría darse el caso de que se tienda a concluir que una variable es significativa aún cuando realmente no lo sea.

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6.3. Cómo Detectar la Autocorrelación. La discusión anterior implica que la autocorrelación es un problema serio, y por tanto es muy importante contar con alguna técnica para detectarla si es que existe. Lo que necesitamos es alguna prueba confiable para testar la hipótesis nula: H0:  = 0 Si no podemos rechazar esta hipótesis entonces concluimos que no existe autocorrelación, lo que significa que los supuestos del modelo clásico de regresión se aplican, lo mismo que las inferencias basadas en esos supuestos. Por otro lado, si en un caso determinado encontramos que debemos rechazar esta hipótesis nula, entonces concluimos que existe autocorrelación, y en ese caso debemos tratar de remediar la situación, empleando algún método de estimación alternativo. 6.3.1. Prueba de Durbin-Watson. En la práctica, la prueba que más comúnmente se emplea se basa en el siguiente estadístico propuesto por Durbin y Watson34: n

d

 (e t 2

t

 et 1 ) 2

n

e t 1

2 t

Nótese que este estadístico se basa en los errores de la regresión estimada (que son los únicos que podemos observar en la práctica). Si desarrollamos el numerador de esta expresión, encontramos que

d

n

n

n 1

t 2

t 2 n

t 1

 et2  2 et et 1   et2 e t 1

2 t n

n 1

n

t 2

t 1

t 1

2 2 2 Además, si apreciamos que en forma aproximada  et   et   et , entonces

  et et 1  el estadístico Durbin-Watson será aproximadamente igual a 2  2 , 2    et  J. Durbin y G. S. Watson, ―Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression,‖ Biometrika, 37 (1950): 409-28, 38 (1951): 159-78. 34

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donde hemos suprimido los subíndices de las sumatorias para simplificar la notación. La expresión entre corchetes es el estimador mínimo-cuadrático del coeficiente de la regresión (por el origen) de et contra et–1, y el valor esperado de este coeficiente es precisamente , el coeficiente de autocorrelación. Por tanto, puesto que  varía entre –1 y 1, el valor esperado de d varía entre 0 y 4. Si la hipótesis nula de cero autocorrelación es cierta ( = 0), entonces el estadístico Durbin-Watson (que a menudo se representa por las siglas DW) tendrá un valor esperado de 2. Si d es menor que 2, entonces existirá evidencia de autocorrelación positiva, y si es mayor que 2 existirá evidencia de autocorrelación negativa. La relación entre d y  se puede visualizar mejor en el siguiente gráfico: Autocorrelación ——————————————————— Positiva Cero Negativa :

1 0 –1 |—————————|—————————|

d:

0 2 4 |—————————|—————————|

Naturalmente que d nunca será exactamente igual a 2 aún cuando  sea realmente cero, debido a variaciones muestrales, por lo que en la práctica sólo rechazamos la hipótesis de que  = 0 cuando d se aleje ―demasiado‖ de 2 (en cualquiera de las dos direcciones). Durbin y Watson tabularon los valores críticos de d para testar H0:  = 0 contra la alternativa de autocorrelación positiva para varios niveles de significancia. En la Tabla A-4 del Apéndice presentamos los valores críticos tabulados para 5 % de significancia (que es el nivel que más comúnmente se emplea en la práctica).35 Se aprecia que los valores críticos dependen tanto del número de observaciones (n) como del número de variables independientes (k), y que para cada combinación de n y k de hecho existen dos valores críticos: un valor inferior (dL) y un valor superior (dU). En la práctica, la prueba Durbin-Watson se reduce a la siguiente regla de decisión: (a) Si d > dU, aceptar H0 (concluir que no existe autocorrelación) (b) Si d < dL, rechazar H0 (concluir que existe autocorrelación positiva) (c) Si dL < d < dU, la prueba no es concluyente. 35

La Tabla A-4 del Apéndice se basa en las tablas ampliadas reportadas por N. E. Savin y K. J. White, ―The Durbin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Sample Sizes or Many Regressors,‖ Econometrica, 45 (1977): 1989-96.

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Si d > 2, entonces la alternativa relevante es  < 0 (autocorrelación negativa). En este caso, se puede calcular 4 – d, y aplicar la regla anterior como si se estuviera considerando la alternativa de autocorrelación positiva: (a) Si 4 – d > dU, aceptar H0 (concluir que no existe autocorrelación) (b) Si 4 – d < dL, rechazar H0 (concluir que existe autocorrelación negativa) (c) Si dL < 4 – d < dU, la prueba no es concluyente. 6.3.2. Limitaciones de la Prueba Durbin-Watson. Uno de los problemas con la prueba Durbin-Watson es la ―región de incertidumbre‖ entre dL y dU, que puede ser muy amplia cuando existen relativamente pocas observaciones, o cuando el número de regresores es muy grande. En este caso, en principio no se justifica ninguna conclusión, de modo que ―no sabemos si existe autocorrelación, pero tampoco estamos seguros de que no existe.‖ Por cierto que en la práctica tenemos que tomar alguna decisión: o aceptamos las estimaciones mínimo-cuadráticas tal cual, o empleamos otro método de estimación. Si adoptamos la primera alternativa, entonces implícitamente estamos suponiendo que no existe autocorrelación en los errores de la regresión. La cuestión es si se justifica tomar esta actitud cuando d cae en la región de incertidumbre. En vista de que en este caso las consecuencias de aceptar erróneamente la hipótesis nula (Error Tipo II) son más graves que las de rechazarla incorrectamente (Error Tipo I), parecería más conveniente concluir que existe autocorrelación a no ser que estemos seguros de lo contrario. Por esto, muchos autores recomiendan la siguiente estrategia conservadora: si d < dU (o si 4 – d < dU), entonces rechazar H0 y concluir que existe autocorrelación. Otra de las limitaciones de la prueba Durbin-Watson es que los valores críticos tabulados están definidos únicamente para regresiones ―con constante.‖ En el caso de regresiones por el origen, el valor crítico superior (dU) es igual que en el caso convencional de regresión con constante, pero el valor crítico inferior (dL) es menor, lo que implica una mayor ―región de incertidumbre.‖36 Por último, es muy importante anotar que la prueba Durbin-Watson tampoco es aplicable cuando los regresores incluyen valores retardados de la variable dependiente. Este caso será discutido con mayor detalle en el capítulo siguiente.

R. W. Farebrother, ―The Durbin-Watson Test for Serial Correlation When There is No Intercept in the Regression,‖ Econometrica, 48 (1980): 1553-63. 36

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6.3.3. Ejemplo Práctico. Para ilustrar la aplicación de la prueba Durbin-Watson consideremos nuevamente el ejemplo de la demanda de fotocopias. Los cálculos necesarios se detallan en el Cuadro 6.1. En este caso, para 24 observaciones y 2 variables independientes tenemos que los valores críticos para la prueba Durbin-Watson son dL = 1.188 y dU = 1.546. Puesto que 0.921 < 1.188, concluimos que existe evidencia de autocorrelación positiva en esta regresión.

6.4. Estimación en Presencia de Autocorrelación. Vimos en la sección 6.2 que cuando los errores en una regresión están autocorrelacionados, entonces se viola uno de los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, y por tanto las inferencias estadísticas basadas en esos supuestos ya no son válidas. En este caso, se deberá adoptar algún método de estimación alternativo. El método más comúnmente empleado es el llamado ―método iterativo de Cochrane-Orcutt.‖37 Para simplificar la presentación, supongamos que deseamos estimar el siguiente modelo lineal simple (las conclusiones se pueden generalizar fácilmente para el caso de k variables independientes): (1)

Yt = 0 + 1Xt + ut

y que los errores siguen el siguiente proceso auto-regresivo: (2)

ut = ut–1 + vt

Si retardamos la ecuación (1) en un período y pre-multiplicamos por , tendremos: (3)

Yt–1 = 0 + 1Xt–1 + ut–1

Si restamos (1) menos (3), y reordenamos términos, tendremos finalmente: (4)

Yt – Yt–1 = 0(1 – ) + 1(Xt – Xt–1) + vt

Nótese que el error vt en la ecuación (4) ya no está auto-correlacionado, por lo que en principio podría ser estimada por mínimos cuadrados ordinarios. Por tanto, si conociéramos el valor del coeficiente de autocorrelación (), entonces podríamos obtener estimaciones de los coeficientes de la ecuación (1) por medio de P. Cochrane y G. H. Orcutt, ―Application of Least Squares Regression to Relationships Containing Autocorrelated Error Terms,‖ Journal of the American Statistical Association, 44 (1949): 32-61. 37

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————————————————————————————————– Cuadro 6.1. CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DURBIN-WATSON PARA EL CASO DE LA DEMANDA DE FOTOCOPIAS. ————————————————————————————————– Y et et2 (et – et–1)2 Yˆ ————————————————————————————————– 1994.1 .2 .3 .4 1995.1 .2 .3 .4 1996.1 .2 .3 .4 1997.1 .2 .3 .4 1998.1 .2 .3 .4 1999.1 .2 .3 .4

55.786 55.734 51.222 27.344 52.456 47.630 43.670 15.314 67.434 59.024 60.868 27.214 57.632 57.518 48.266 29.928 56.128 46.948 37.942 19.682 45.282 67.546 65.364 30.064

57.327 53.982 47.017 34.270 51.893 52.664 51.076 31.819 61.984 48.743 45.427 23.117 61.996 64.511 51.454 34.895 61.988 53.221 42.227 29.781 48.772 50.767 44.904 22.161

-1.541 1.752 4.205 -6.926 0.563 -5.034 -7.406 -16.505 5.450 10.281 15.441 4.097 -4.364 -6.993 -3.188 -4.967 -5.860 -6.273 -4.285 -10.099 -3.490 16.779 20.460 7.903

2.375 3.070 17.682 47.969 0.317 25.341 54.849 272.415 29.703 105.699 238.424 16.785 19.044 48.902 10.163 24.671 34.340 39.351 18.361 101.990 12.180 281.535 418.612 62.457

¨¨ 10.844 6.017 123.899 56.085 31.326 5.626 82.792 482.022 23.339 26.626 128.686 71.589 6.912 14.478 3.165 0.797 0.171 3.952 33.803 43.679 410.832 13.550 157.678

Sumas:

1886.235

1737.868

d = 1737.868 ÷ 1886.235 = 0.921

————————————————————————————————–

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una estimación de la ecuación (4), que viene expresada en términos de las variables transformadas (Yt – Yt–1) y (Xt – Xt–1). El problema, naturalmente, es que no conocemos , y por tanto debemos estimarlo. Denotemos el valor estimado de  por ˆ . En el método Cochrane-Orcutt se procede por pasos de acuerdo a la siguiente secuencia: Paso Nº 1. Estimar la ecuación (1) por mínimos cuadrados ordinarios. Paso Nº 2. Estimar  a partir de los errores de la ecuación (1) por medio de:

 ˆ 

et et 1

e

2 t

que también podría estimarse como (1 – 0.5d), donde d es el estadístico Durbin-Watson.38 Paso Nº 3. Sustituir el valor estimado de  en la ecuación (4), y estimar los coeficientes de esta regresión por mínimos cuadrados ordinarios. [Nótese que la ordenada en el origen de la ecuación (4) no es un estimador de 0 sino de 0(1–). Para obtener el estimador de 0 deberá dividirse entre (1 – ˆ ).] Paso Nº 4. Sustituir los coeficientes estimados en la ecuación (1), recalcular los errores, y repetir los pasos 2, 3, y 4. El proceso se repite iterativamente hasta que ˆ converge a un valor fijo. En la práctica se decide de antemano detener el proceso cuando el cambio en el valor estimado de ˆ de una iteración a otra es menor que algún valor pequeño (digamos, 0.001). Generalmente se produce la convergencia al cabo de unas pocas iteraciones. El método Cochrane-Orcutt es bastante conocido, y muchos paquetes de regresión traen incorporados alguna variante del mismo. Obviamente se trata de un método mucho más sofisticado que el método de mínimos cuadrados ordinarios. La pregunta interesante, sin embargo, es si realmente produce mejores resultados. Otra alternativa sería estimar  por medio del método propuesto por J. Durbin (―The Fitting of Time-Series Models,‖ Review of the International Statistical Institute, 28 [1960], p. 237). Si expresamos la ecuación (4) como: 38

Yt =  0(1 – ) +  1Xt –  1Xt–1 + Yt–1 + vt y estimamos esta regresión por mínimos cuadrados ordinarios, podríamos tomar el coeficiente de Yt–1 como un estimador de 

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El problema, por supuesto, es que el proceso de estimación no está basado en el verdadero valor de , sino en su estimador ˆ . Debido a esto, es muy común observar en la práctica que las estimaciones obtenidas por el método CochraneOrcutt difieren mucho de las estimaciones obtenidas por mínimos cuadrados ordinarios (a tal grado que los coeficientes muchas veces terminan incluso con los signos cambiados). En este punto es bueno recordar que aún con errores autocorrelacionados, el vector mínimo-cuadrático sigue siendo al fin y al cabo insesgado. Por último, conviene siempre tener en mente que los métodos tipo CochraneOrcutt no son un remedio para la autocorrelación, sino una forma de estimar los coeficientes de regresión, dado que los errores están auto-correlacionados. Por otro lado, la autocorrelación muchas veces es un síntoma de algún problema más básico: por ejemplo, podría reflejar el efecto de alguna variable omitida, o de algún error en la forma funcional de la ecuación de regresión. En este sentido, antes de recurrir a técnicas sofisticadas (que en última instancia sólo atacan el ―síntoma‖), es preferible tratar de eliminar la autocorrelación, investigando más a fondo los factores que podrían estarla causando.

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PREGUNTAS DE REPASO

1. Defina los siguientes conceptos: a) serie cronológica b) autocorrelación c) estadístico Durbin-Watson. 2. ¿Qué efectos tiene la autocorrelación sobre los estimadores mínimocuadráticos en el modelo clásico de regresión? 3. Para los Casos B y C del Capítulo 2 (―ley de Okun‖), determine si existe heteroscedasticidad y/o autocorrelación en estas regresiones. 4. ¿Cuáles son las principales limitaciones de la prueba Durbin-Watson? 5. Explique los pasos que deben seguirse para estimar una regresión por medio del método Cochrane-Orcutt.

[79]

CASO APLICADO Caso K — Función Consumo Los datos en el cuadro adjunto fueron tomados de un antiguo estudio sobre la ―función consumo‖ en los Estados Unidos. Se desea estimar la siguiente regresión lineal: Ct = b0 + b1Yt + et donde Ct = Gasto de consumo personal en el trimestre t, Yt = Ingreso personal disponible en el trimestre t (ambos expresados en billones de dólares de 1954), y et es el error o residuo de la regresión estimada. a) Determine si hay autocorrelación en esta regresión. b) Use estos datos para estimar el coeficiente de autocorrelación () por medio del método de Durbin.

[80]

CONSUMO E INGRESO PERSONAL EN ESTADOS UNIDOS, 1947-61 (trimestral). Año

Trimestre

C(t)

Y(t)

Año

Trimestre

C(t)

Y(t)

1947

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

192.5 196.1 196.9 197.0 198.1 199.0 199.4 200.6 199.9 203.6 204.8 209.0 210.7 214.2 225.6 217.0 222.3 214.5 217.5 219.8 220.0 222.7 223.8 230.2 234.0 236.2 236.0 234.1 233.4 236.4 239.0 243.2 248.7 253.7 259.9 261.8

202.3 197.1 202.9 202.2 203.5 211.7 215.3 215.1 212.9 213.9 214.0 214.9 228.0 227.3 232.0 236.1 230.9 236.3 239.1 240.8 238.1 240.9 245.8 248.8 253.3 256.1 255.9 255.9 254.4 254.8 257.0 260.9 263.0 271.5 276.5 281.4

1956

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II

263.2 263.7 263.4 266.9 268.9 270.4 273.4 272.1 268.9 270.9 274.4 278.7 283.8 289.7 290.8 292.8 295.4 299.5 298.6 299.6 297.0 301.6

282.0 286.2 287.7 291.0 291.1 294.6 296.1 293.3 291.3 292.6 299.9 302.1 305.9 312.5 311.3 313.2 315.4 320.3 321.0 320.1 318.4 324.8

1948

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1957

1958

1959

1960

1961

Fuente: Z. Griliches, et al., “Notes on Estimated Aggregate Quarterly Consumption Functions,” Econometrica, 30 (1962), pp. 499-500 (Data Appendix).

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Capítulo 7

RETARDOS DISTRIBUIDOS 

En este capítulo final, discutiremos la estimación de regresiones que incluyen variables retardadas en la lista de regresores. Como veremos, cuando los datos básicos consisten de series cronológicas, la inclusión de variables retardadas permite ampliar la flexibilidad del modelo de regresión, pero también plantea problemas especiales de estimación, que justifican una discusión por separado.

7.1. Variables Retardadas en Econometría. Cuando se especifica una relación entre variables económicas que son representadas por medio de series cronológicas, generalmente es poco realista suponer que el efecto total de un cambio en las variables explicativas se produce en un mismo período. Más bien, en muchas situaciones es de esperarse que este efecto quedará distribuido entre varios períodos futuros. Esto implica a su vez que el valor de Y correspondiente a un período determinado dependerá en parte de los valores de las X’s en ese mismo período, pero también dependerá de los valores de las X’s correspondientes a períodos anteriores. Para tomar un ejemplo concreto, recordemos el Caso G del Capítulo 4, donde se aplicó un modelo basado en la ―Teoría Cuantitativa del Dinero‖ para explicar la variación en las tasas de inflación en un grupo de países latinoamericanos. Un problema que se presenta al aplicar este modelo a los datos anuales de un país específico es que, en el corto plazo, generalmente existe un retardo en el efecto de variaciones en la masa monetaria. Por tanto, si aumenta la tasa de crecimiento monetario en un período determinado, la inflación en ese período también aumentará, aunque probablemente no en la misma proporción, ya que el efecto inflacionario de un cambio monetario toma cierto tiempo. Por esto, parte del efecto del cambio monetario no se reflejará de inmediato, sino que se reflejará posteriormente en la inflación de períodos futuros. Por otro lado, y viéndolo desde otro ángulo, esto implica que la tasa de inflación en el período actual no depende únicamente de la tasa contemporánea de crecimiento monetario, sino que también dependerá del crecimiento monetario de períodos anteriores. Por tanto, si expresamos la tasa de inflación como función únicamente del crecimiento monetario contemporáneo se obtendrán resultados sesgados, ya que la regresión tenderá a

[82]

subestimar el efecto total de un cambio monetario, debido a la omisión del efecto retardado. (Debemos recordar en este punto la discusión del Capítulo 5 sobre los efectos de ―variables omitidas.‖) Por otro lado, si bien es fácil justificar la presencia de variables retardadas en una regresión, la teoría relevante rara vez proporciona guías claras sobre la duración exacta del retardo en un caso concreto, ya que generalmente esta es precisamente una de las cuestiones que deseamos determinar por medio de la investigación. Si suponemos, para simplificar la presentación, de que Y depende de una sola variable explicativa X, entonces podríamos especificar un modelo lineal de la forma: (1)

Yt = 0 + 1Xt + 2Xt–1 + ... + k+1Xt–k + ut

donde Yt depende del valor contemporáneo de X, y de los valores de X correspondientes a los k períodos anteriores. Una ecuación de este tipo se conoce como un ―retardo distribuido.‖ En principio, se podría determinar el número de valores retardados (k) por ―prueba y error,‖ empezando con un número relativamente grande y examinando la significancia de los coeficientes estimados. En la práctica este procedimiento no es siempre factible, por varias razones. En primer lugar, el número de observaciones en la muestra impone una limitación al número de retardos que pueden considerarse, ya que si incluimos demasiados valores retardados en la ecuación, nos quedarán pocos grados de libertad para la estimación. Por otro lado, típicamente los diferentes valores retardados de X estarán correlacionados entre sí, lo que puede crear problemas de multicolinealidad. 7.1.1. Transformación de Koyck.39 Una forma de evitar estos problemas es suponer que el retardo es en principio ―infinito,‖ pero imponer algún tipo de restricción sobre la forma de los coeficientes. Supongamos que la relación entre Y y X tiene el siguiente retardo distribuido: (2)

Yt = 0 + 1Xt + 2Xt–1 + 3Xt–2 + … + ut

Por supuesto que sería imposible estimar este modelo directamente. No obstante, se puede reducir el problema a proporciones manejables si imponemos ciertas restricciones sobre los coeficientes 1, 2, .... En muchas situaciones, por ejemplo, parece razonable suponer que la magnitud del efecto de un cambio en X dis39

La discusión en esta sección y la siguiente se basa en Goldberger, Teoría Econométrica, Cap. 6 (pp. 289-90), y Marc Nerlove, ―Distributed Lags,‖ International Encyclopedia of the Social Sciences (1968), vol. 4, pp. 214-17. Véase también A. S. Goldberger, ―Review of Distributed Lags and Demand Analysis for Agricultural and Other Commodities by Marc Nerlove,‖ American Economic Review, 48 (1958): 1011-13.

[83]

minuye con el tiempo, por lo que esperamos un impacto inicial relativamente fuerte, un efecto menos fuerte en el período siguiente, etc. Si este es el caso, entonces los coeficientes de la ecuación (2) tenderían a disminuir sistemáticamente a medida que retrocedemos más y más en el pasado. La llamada ―transformación de Koyck‖ se basa en el supuesto de que estos coeficientes disminuyen en forma geométrica: i = i–1 para i = 1, 2, .... (0    1) Con este supuesto, podemos expresar la ecuación (2) como: (3)

Yt = 0 + Xt + Xt–1 + 2Xt–2 + ... + ut

Si retardamos la ecuación (3) en un período y pre-multiplicamos por  tendremos: (4)

Yt–1 = 0 + Xt–1 + 2Xt–2 + 3Xt–3 + ... + ut–1

Por último, restando (3) menos (4) y reordenando, obtenemos: (5)

Yt = (1 – )0 + Xt + Yt–1 + (ut – ut–1)

De esta forma, el problema se reduce a la estimación de únicamente tres parámetros. Se notará, sin embargo, que esta ecuación implica un término de error un tanto complicado. Por otra parte, Nerlove ha propuesto un mecanismo de retardo que produce una regresión muy similar a la de Koyck, pero con un error más simple. 7.1.2. Modelo de Ajuste Parcial (Nerlove). El modelo de Nerlove se basa en el supuesto de que existe una relación lineal de ―largo plazo‖ entre Y y X, que se expresa de la forma: (6)

Y* = 0 + 1Xt

Aquí, Y* representa el valor de Y que se observaría si el valor de X se mantuviera igual a Xt por un tiempo ―muy largo.‖ Si cambia X, entonces Y* también cambia, pero el valor observado de la variable dependiente (Yt) no se ajusta de inmediato al valor de largo plazo, de modo que en cualquier período determinado habrá discrepancias entre Y* y Yt. En el modelo de Nerlove, se supone que estas discrepancias se corrigen de acuerdo al siguiente mecanismo de ―ajuste parcial‖: (7)

Yt – Yt–1 = (Y* – Yt–1) + ut

(0    1)

[84]

En este modelo, el ―coeficiente de ajuste‖ () mide la rapidez con que Yt se ajusta a un cambio en Xt. Si  es muy grande, entonces el ajuste es rápido, mientras que si  es pequeño, entonces el ajuste es lento. (En el caso límite, si  = 1 entonces Yt = Y* + ut, todo el ajuste se produce en el mismo período, y las únicas discrepancias se deben a las fluctuaciones del error aleatorio.) Si sustituimos (6) en (7) y reordenamos términos, obtenemos: (8)

Yt = 0 + 1Xt + (1 – )Yt–1 + ut

Nótese que este modelo es formalmente idéntico al modelo de Koyck, pero con la diferencia de que el término de error es más sencillo. Para estimar los parámetros del modelo, calculamos la siguiente regresión: (9)

Yt = b0 + b1Xt + b2Yt–1 + et

En esta regresión, b0 es el estimador de 0, b1 es el estimador de 1, y b2 es el estimador de (1 – ). A partir de estos estimadores, podemos estimar 0 por medio de b0/(1 – b2), y 1 por medio de b1/(1 – b2). [Para facilitar la presentación, hemos desarrollado el modelo de ajuste parcial en términos de una sola variable explicativa, pero los resultados se pueden fácilmente generalizar para el caso de k variables independientes. Sin embargo, para evitar confusiones, debe tenerse en mente que para estimar los parámetros del modelo de largo plazo (0, 1, 2, etc.) lo que nos interesa es dividir los coeficientes de la regresión (9) entre el estimador de , que será igual a 1 menos el coeficiente de Yt–1 en esa regresión.]

7.2. Autocorrelación en Regresiones con Retardos. En el capítulo anterior, se mencionó que la prueba Durbin-Watson no es aplicable cuando la lista de regresores incluye variables dependientes retardadas. De hecho, Nerlove y Wallis han demostraron que en este caso el valor del estadístico Durbin-Watson estará sesgado hacia 2, por lo que se tenderá a aceptar la hipótesis de cero autocorrelación, aun cuando los errores realmente estén autocorrelacionados.40 En vista de esto, Durbin41 ha propuesto el siguiente estadístico alternativo:

h  (1  0.5d )

n 1  n  Var (b)

Marc Nerlove y K. F. Wallis, ―Use of the Durbin-Watson Statistic in Inappropriate Situations,‖ Econometrica, 34 (1966): 235-38. 40

J. Durbin, ―Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression When Some of the Regressors are Lagged Dependent Variables,‖ Econometrica, 38 (1970): 410-21. 41

[85]

donde d es el convencional estadístico Durbin-Watson, y Var(b) es la varianza muestral del coeficiente de Yt–1. (Nótese que el estadístico h no estará definido si n  Var(b) > 1.) Durbin demostró que en grandes muestras h tiene una distribución que se aproxima a la de una variable normal estándar (es decir, una variable normal con media 0 y varianza 1). Por tanto, para testar la hipótesis de cero autocorrelación ( = 0) contra la alternativa de autocorrelación positiva ( > 0) con un nivel de significancia de 5 %, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que existe autocorrelación si h > 1.645. (Si la alternativa es autocorrelación negativa, concluimos que existe autocorrelación si h < –1.645.) La prueba h de Durbin es ―asintótica‖ en el sentido de que, en principio, sólo se aplica para el caso de muestras muy grandes (digamos, n > 30). Sin embargo, Park ha encontrado que la prueba también funciona razonablemente bien incluso cuando las muestras no son muy grandes.42 7.3. Aplicación — Inflación en Guatemala. En un clásico estudio sobre la inflación chilena,43 Harberger propuso el siguiente modelo: Pt = b0 + b1Mt + b2Mt–1 + b3Qt + et donde Pt representa la tasa de inflación en el año t, Mt es la tasa de crecimiento en la masa monetaria en el año t, Qt es el cambio porcentual en el PIB real en el año t, y et es el error o residuo de la regresión estimada. Se puede apreciar que la regresión incluye también como variable independiente el crecimiento monetario del año anterior, Mt–1, para poder tomar en cuenta posibles ―retardos‖ en el efecto del crecimiento monetario.44 Este modelo ha sido usado para estudiar la inflación S.-B. Park, ―On the Small-Sample Power of Durbin’s h Test,‖ Journal of the American Statistical Association, 70 (1975): 60-63. 42

A. C. Harberger, ―The Dynamics of Inflation in Chile,‖ en C. F. Christ, et al., Measurement in Economics: Studies in Mathematical Economics and Econometrics in Memory of Yehuda Grunfeld (Stanford University Press, 1963), pp. 219-50. 43

44

Otra forma de expresar esta misma ecuación es: Pt = b0 + (b1 + b2)Mt – b2(Mt – Mt–1) + b3Qt + et

donde la tasa de inflación en un período determinado depende de la tasa de crecimiento monetario en ese período, y del cambio en la tasa de crecimiento monetario. Esto introduce un elemento dinámico en la relación a corto plazo entre inflación y crecimiento monetario. La relación de largo plazo se da cuando Mt = Mt–1 (i.e., el crecimiento monetario se mantiene constante de un período a otro), y la ecuación entonces se reduce a Pt = b0 + (b1 + b2)Mt + b3Qt + et por lo que en el largo plazo el efecto de una determinada tasa de crecimiento monetario está dado por (b1 + b2).

[86]

en muchos países, con buenos resultados. Algunos economistas, sin embargo, consideran que el modelo de Harberger no siempre capta bien el retardo en el efecto monetario, y proponen más bien que se incluya, en lugar del crecimiento monetario retardado, un valor retardado de la variable dependiente, o sea, la tasa de inflación del año anterior. En otras palabras, proponen que un modelo más adecuado sería de la forma: Pt = b0 + b1Mt + b2Qt + b3Pt–1 + et que podría interpretarse en términos de un modelo de ajuste parcial tipo Nerlove. Este segundo modelo fue estimado con datos para Guatemala para el período 1962-95 (Cuadro 7.1). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Pt = 2.0899 + 0.5922 Mt – 0.8506 Qt + 0.3067 Pt–1 (2.243) (0.1008) (0.3668) (0.1080) R2 = 0.701

n = 34

Se puede apreciar que, en términos generales, esta regresión funciona relativamente bien. En primer lugar, los regresores explican poco más de 70 % de la variación anual en la tasa de inflación, y en segundo lugar, los coeficientes estimados son todos significativos (con excepción de la constante). Para determinar si existe autocorrelación en este modelo, calculamos el estadístico h. Los cálculos básicos se detallan en el Cuadro 7.2. Con estos datos calculamos el valor del estadístico h de la siguiente manera: d = 2028.9718  1080.991 = 1.87696

h  (1  0.5  1.87696)

Var(b) = (0.108)2 = 0.01166

34  0.4617 1  34  0.01166

En este caso, puesto que h < 1.645, no rechazamos la hipótesis de cero autocorrelación. Dado que la constante b0 no es significativa en esta regresión, podemos obtener estimaciones más eficientes de los otros coeficientes por medio de una ―regresión por el origen.‖ Los resultados son los siguientes: Pt = 0.6235 Mt – 0.6324 Qt + 0.3403 Pt–1 (0.0948) (0.2817) (0.1016) R2 = 0.6925

[87]

n = 34

Cuadro 7.2. INFLACIÓN, MASA MONETARIA Y PIB REAL EN GUATEMALA, 1961-1995 (cambios porcentuales anuales) Año

IPC

M1

PIB

1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

-0.5 2.1 0.1 -0.2 -0.8 0.7 0.5 1.9 2.1 2.4 -0.5 0.6 14.4 15.9 13.1 10.7 12.6 7.9 11.5 10.7 11.4 0.1 4.7 3.4 18.7 36.9 12.3 10.8 13.0 41.0 35.1 10.2 13.4 12.5 8.4

-1.4 0.4 13.8 8.8 3.2 8.4 -2.9 7.8 4.4 7.0 1.8 11.7 26.1 27.0 9.5 32.3 24.7 10.5 9.8 1.6 1.3 6.3 1.0 5.2 32.8 34.7 14.8 11.9 14.0 39.8 20.3 19.3 19.7 29.5 21.3

4.3 3.5 9.5 4.6 4.4 5.5 4.1 8.8 4.7 5.7 5.6 7.3 6.8 6.4 2.0 7.4 7.8 5.0 4.7 3.7 0.7 -3.5 -2.6 0.5 -0.6 0.1 3.5 3.9 3.9 3.1 3.7 4.8 3.9 4.0 4.9

IPC = Indice de Precios al Consumidor M1 = Efectivo fuera de bancos + Depósitos a la vista en bancos comerciales PIB = Producto Interno Bruto real Fuente: J. H. Cole, “Inflación en Guatemala, 1961-95,” Banca Central, No. 32 (1997), p. 24.

[88]

————————————————————————————————– Cuadro 7.2. ERRORES DEL MODELO DE INFLACIÓN EN GUATEMALA. ————————————————————————————————– Y et et2 (et – et–1)2 Yˆ ————————————————————————————————– 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

2.1 0.1 -0.2 -0.8 0.7 0.5 1.9 2.1 2.4 -0.5 0.6 14.4 15.9 13.1 10.7 12.6 7.9 11.5 10.7 11.4 0.1 4.7 3.4 18.7 36.9 12.3 10.8 13.0 41.0 35.1 10.2 13.4 12.5 8.4

-0.8036 2.8255 3.4190 0.1810 2.1406 -2.9000 -0.6229 1.2805 2.0309 -0.8713 2.6557 11.9456 17.0513 10.8910 18.9405 13.3637 7.9193 6.3184 3.4174 5.5461 12.2940 4.9242 6.1854 23.0661 28.2885 19.1945 9.5920 10.3755 27.0086 23.5388 20.2014 13.5668 20.2664 14.3691

2.9036 -2.7255 -3.6190 -0.9810 -1.4406 3.4000 2.5229 0.8195 0.3691 0.3713 -2.0557 2.4544 -1.1513 2.2090 -8.2405 -0.7637 -0.0193 5.1816 7.2826 5.8539 -12.1940 -0.2242 -2.7854 -4.3661 8.6115 -6.8945 1.2080 2.6245 13.9914 11.5612 -10.0014 -0.1668 -7.7664 -5.9691

8.4309 7.4284 13.0972 0.9624 2.0753 11.5600 6.3650 0.6716 0.1362 0.1379 4.2259 6.0241 1.3255 4.8797 67.9058 0.5832 0.0004 26.8490 53.0363 34.2681 148.6936 0.0503 7.7585 19.0628 74.1579 47.5341 1.4593 6.8880 195.7593 133.6613 100.0280 0.0278 60.3170 35.6302

31.6868 0.7983 6.9590 0.2112 23.4314 0.7693 2.9016 0.2029 0.0000 5.8903 20.3410 13.0011 11.2916 109.1921 55.9025 0.5541 27.0494 4.4142 2.0412 325.7267 143.2761 6.5597 2.4986 168.4181 240.4360 65.6505 2.0065 129.2064 5.9059 464.9457 96.7194 57.7539 3.2303 31.6868

Sumas:

1080.9910

2028.9718

————————————————————————————————–

[89]

Si interpretamos esta regresión en términos de un modelo de ajuste parcial, entonces las estimaciones de los coeficientes de largo plazo para las variables explicativas serían: Crecimiento Monetario  Crecimiento PIB Real 

0.6235  (1 – 0.3403) = 0.945 – 0.6324  (1 – 0.3403) = – 0.959

Por tanto, de acuerdo a estas estimaciones, el efecto final de un aumento en la masa monetaria será un aumento de aproximadamente la misma proporción en el nivel general de precios, mientras que el efecto final de un aumento en el PIB real será una reducción de aproximadamente la misma proporción en el nivel de precios. Estos resultados son compatibles con la teoría económica relevante.

[90]

CASOS APLICADOS Caso L — Curva de Phillips En un trabajo sobre la ―Curva de Phillips‖ en Estados Unidos,45 William Niskanen propuso el siguiente modelo para representar la relación a corto plazo entre la tasa anual de desempleo (U) y la tasa anual de inflación (I): Ut = b0 + b1It + b2 It–1 + b3Ut–1 + et El cuadro adjunto muestra los datos relevantes para el período 1960-2001. (1) Estime el modelo propuesto por Niskanen. (2) Determine si existe autocorrelación en esta regresión. Año

Desempleo (%)

Inflación (%)

Año

Desempleo (%)

Inflación (%)

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

5.5 6.7 5.5 5.7 5.2 4.5 3.8 3.8 3.6 3.5 4.9 5.9 5.6 4.9 5.6 8.5 7.7 7.1 6.1 5.8 7.1

1.7 1.0 1.0 1.3 1.3 1.6 2.9 3.1 4.2 5.5 5.7 4.4 3.2 6.2 11.0 9.1 5.8 6.5 7.6 11.3 13.5

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

7.6 9.7 9.6 7.5 7.2 7.0 6.2 5.5 5.3 5.6 6.8 7.5 6.9 6.1 5.6 5.4 4.9 4.5 4.2 4.0 4.7

10.3 6.2 3.2 4.3 3.6 1.9 3.6 4.1 4.8 5.4 4.2 3.0 3.0 2.6 2.8 3.0 2.3 1.6 2.2 3.4 2.8

Fuente: Economic Report of the President, 2006, Table B-42 y Table B-64.

William A. Niskanen, ―On the Death of the Phillips Curve,‖ Cato Journal, 22 (2002): 193-98. 45

[91]

Caso M — Inflación en Guatemala En la sección 7.3 de este capítulo se aplicó un modelo ―monetarista‖ con retardos para explicar la variación anual en la tasa de inflación en Guatemala. Para medir la inflación, se utilizó el Indice de Precios al Consumidor (IPC). En el cuadro adjunto, se muestra una desagregación del cambio en el IPC en Guatemala, en términos de sus dos principales componentes: Alimentos y No-Alimentos. Con estos datos, repita el análisis de la sección 7.3, estimando regresiones separadas para los dos componentes del IPC. ¿Qué conclusiones deriva usted de este ejercicio?

INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR EN GUATEMALA, 1961-1995 (cambios porcentuales anuales)

Año 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

Total

IPC Alimentos

-0.5 2.1 0.1 -0.2 -0.8 0.7 0.5 1.9 2.1 2.4 -0.5 0.6 14.4 15.9 13.1 10.7 12.6 7.9 11.5 10.7

-1.1 1.9 0.3 -0.5 -0.1 -0.1 0.0 3.6 1.1 4.0 -1.9 0.1 19.3 15.9 14.6 9.6 11.0 4.6 10.3 11.2

No-Alim.

Año

0.3 2.4 -0.2 0.2 -1.7 1.8 1.2 -0.4 3.4 0.3 1.4 1.3 7.8 15.9 11.9 11.6 13.8 10.5 12.4 10.3

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Total

IPC Alimentos

No-Alim.

11.4 0.1 4.7 3.4 18.7 36.9 12.3 10.8 13.0 41.0 35.1 10.2 13.4 12.5 8.4

11.3 -2.8 3.3 2.0 20.6 39.2 15.6 14.2 13.3 47.1 32.3 7.2 14.5 16.1 8.8

11.5 2.4 5.8 4.4 17.3 35.2 9.9 8.3 12.8 36.5 37.1 12.4 12.5 9.9 8.1

Fuente: J. H. Cole, “Inflación en Guatemala, 1961-95,” Banca Central, No. 32 (1997), p. 24.

[92]

Caso N — Demanda de Importaciones en Guatemala En el cuadro adjunto se muestran datos relacionados con las importaciones en Guatemala durante el perìodo de 1965 a 2000. Para eliminar el efecto de la inflación, los datos han sido expresados en términos de quetzales de 1958, de modo que estas cifras ―deflatadas‖ se pueden interpretar como las importaciones ―reales‖ en el sentido de que reflejan cambios en la demanda física de bienes importados. Como una primera aproximación, podemos expresar la ―demanda de importaciones‖ como función del costo relativo de los productos importados (comparado con el costo de bienes producidos domésticamente) y del nivel de ingreso real. Para medir la primera de estas variables explicativas, tomamos la razón entre el Deflactor de Importaciones y el Deflactor del Producto Interno Bruto (PIB) total, y para medir la segunda variable explicativa tomamos el PIB real (a precios de 1958). Puesto que lo que nos interesa saber es la elasticidad de la demanda de importaciones respecto de cada una de estas variables, estimamos el siguiente modelo doble-log: ln(Imp)t = b0 + b1ln(Pm)t + b2ln(PIB)t + b3ln(Imp)t–1 + et donde ―Imp‖ son las importaciones reales, ―Pm‖ es el precio relativo de las importaciones, y ―PIB‖ es el Producto Interno Bruto real. Para tomar en cuenta posibles retardos en el efecto de estas variables, se agrega también el valor retardado de la variable dependiente como una tercera variable explicativa.46 (a) Con estos datos estime el modelo propuesto, y utilice los resultados para calcular la elasticidad-precio y la elasticidad-ingreso de la demanda de importaciones, tanto en el corto plazo como en el largo plazo. (b) Determine si en este modelo existen problemas de autocorrelación.

46

Para una justificación de esta forma funcional y su interpretación en términos de un modelo de ajuste parcial, véase M. S. Khan, ―Import and Export Demand in Developing Countries,‖ IMF Staff Papers, 21 (1974): 678-93.

[93]

IMPORTACIONES EN GUATEMALA, 1965-2000. Año 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Importaciones Reales 1/ 247.0 251.0 267.0 277.7 271.8 293.2 312.0 294.7 324.2 416.4 352.1 457.1 498.1 521.6 482.8 441.2 424.6 334.3 269.2 287.2 250.3 213.6 315.9 327.7 346.9 344.3 369.2 506.0 527.3 553.5 595.5 554.7 662.8 825.2 831.1 882.2

1/ Millones de quetzales de 1958

Precio Relativo 2/ 1.076 1.090 1.088 1.074 1.087 1.087 1.134 1.277 1.352 1.598 1.573 1.524 1.431 1.495 1.603 1.755 1.738 1.687 1.589 1.589 2.358 2.009 2.149 2.117 2.130 2.336 2.055 1.992 1.894 1.790 1.785 1.752 1.599 1.500 1.612 1.679

PIB Real 1/ 1355.2 1429.9 1488.6 1619.2 1695.9 1792.8 1892.8 2031.6 2169.4 2307.7 2352.7 2526.5 2723.8 2859.9 2994.6 3106.9 3127.6 3016.6 2939.6 2953.5 2936.1 2940.2 3044.4 3162.9 3287.6 3389.6 3513.6 3683.6 3828.3 3982.7 4179.8 4303.4 4491.2 4715.5 4896.9 5072.5

Deflactor de Importación 2/ Precio Relativo = ———————————— Deflactor del PIB

Fuente: Banco de Guatemala, Sección Cuentas Nacionales.

[94]

ANEXOS

A-1. p. A-2. p. A-3. p. A-4. p

Areas de la Distribución Normal Estándar …………………………….... 96 Percentiles de la Distribución t (Student) ……………………………….. 97 Valores Críticos de la Distribución Chi-cuadrado ……………………… 98 Estadístico Durbin-Watson: Valores Críticos (5 %) para dL y dU ……….. 99

[95]

A-1. Areas de la Distribución Normal Estándar.

0

z

z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

0.0

0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1

0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

0.2

0.0793

0.0832

0.0871

0.0910

0.0948

0.0987

0.1026

0.1064

0.1103

0.1141

0.3

0.1179

0.1217

0.1255

0.1293

0.1331

0.1368

0.1406

0.1443

0.1480

0.1517

0.4

0.1554

0.1591

0.1628

0.1664

0.1700

0.1736

0.1772

0.1808

0.1844

0.1879

0.5

0.1915

0.1950

0.1985

0.2019

0.2054

0.2088

0.2123

0.2157

0.2190

0.2224

0.6

0.2257

0.2291

0.2324

0.2357

0.2389

0.2422

0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

0.7

0.2580

0.2611

0.2642

0.2673

0.2704

0.2734

0.2764

0.2794

0.2823

0.2852

0.8

0.2881

0.2910

0.2939

0.2967

0.2995

0.3023

0.3051

0.3078

0.3106

0.3133

0.9

0.3159

0.3186

0.3212

0.3238

0.3264

0.3289

0.3315

0.3340

0.3365

0.3389

1.0

0.3413

0.3438

0.3461

0.3485

0.3508

0.3531

0.3554

0.3577

0.3599

0.3621

1.1

0.3643

0.3665

0.3686

0.3708

0.3729

0.3749

0.3770

0.3790

0.3810

0.3830

1.2

0.3849

0.3869

0.3888

0.3907

0.3925

0.3944

0.3962

0.3980

0.3997

0.4015

1.3

0.4032

0.4049

0.4066

0.4082

0.4099

0.4115

0.4131

0.4147

0.4162

0.4177

1.4

0.4192

0.4207

0.4222

0.4236

0.4251

0.4265

0.4279

0.4292

0.4306

0.4319

1.5

0.4332

0.4345

0.4357

0.4370

0.4382

0.4394

0.4406

0.4418

0.4429

0.4441

1.6

0.4452

0.4463

0.4474

0.4484

0.4495

0.4505

0.4515

0.4525

0.4535

0.4545

1.7

0.4554

0.4564

0.4573

0.4582

0.4591

0.4599

0.4608

0.4616

0.4625

0.4633

1.8

0.4641

0.4649

0.4656

0.4664

0.4671

0.4678

0.4686

0.4693

0.4699

0.4706

1.9

0.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.0

0.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2.1

0.4821

0.4826

0.4830

0.4834

0.4838

0.4842

0.4846

0.4850

0.4854

0.4857

2.2

0.4861

0.4864

0.4868

0.4871

0.4875

0.4878

0.4881

0.4884

0.4887

0.4890

2.3

0.4893

0.4896

0.4898

0.4901

0.4904

0.4906

0.4909

0.4911

0.4913

0.4916

2.4

0.4918

0.4920

0.4922

0.4925

0.4927

0.4929

0.4931

0.4932

0.4934

0.4936

2.5

0.4938

0.4940

0.4941

0.4943

0.4945

0.4946

0.4948

0.4949

0.4951

0.4952

2.6

0.4953

0.4955

0.4956

0.4957

0.4959

0.4960

0.4961

0.4962

0.4963

0.4964

2.7

0.4965

0.4966

0.4967

0.4968

0.4969

0.4970

0.4971

0.4972

0.4973

0.4974

2.8

0.4974

0.4975

0.4976

0.4977

0.4977

0.4978

0.4979

0.4979

0.4980

0.4981

2.9

0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0

0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

Fuente: Hoel (1971)

[96]

A-2. Percentiles de la Distribución t (Student). 



1– 0.90

0.95

0.975

0.99

0.995

1 2 3 4 5

3.078 1.886 1.638 1.533 1.476

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015

12.706 4.303 3.182 2.776 2.571

31.821 6.965 4.541 3.747 3.365

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032

6 7 8 9 10

1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

1.943 1.895 1.860 1.833 1.812

2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

11 12 13 14 15

1.363 1.356 1.350 1.345 1.341

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947

16 17 18 19 20

1.337 1.333 1.330 1.328 1.325

1.746 1.740 1.734 1.729 1.725

2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.583 2.567 2.552 2.539 2.528

2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

21 22 23 24 25

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787

26 27 28 29 30

1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

40 60 80 100 120

1.303 1.296 1.292 1.290 1.289 1.282

1.684 1.671 1.664 1.660 1.658 1.645

2.021 2.000 1.990 1.984 1.980 1.960

2.423 2.390 2.374 2.364 2.358 2.326

2.704 2.660 2.639 2.626 2.617 2.576

∞

Fuente: Hoel (1971)

[97]

A-3. Valores Críticos de la Distribución Chi-cuadrado. Area en la cola derecha

Grados de libertad

0.99

0.98

0.95

0.90

0.80

0.50

0.20

0.10

0.05

0.02

0.01

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.000157 0.0201 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.256 14.953

0.000628 0.0404 0.185 0.429 0.752 1.134 1.564 2.032 2.532 3.059 3.609 4.178 4.765 5.368 5.985 6.614 7.255 7.906 8.567 9.237 9.915 10.600 11.293 11.992 12.697 13.409 14.125 14.847 15.574 16.306

0.00393 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493

0.0158 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.041 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599

0.0642 0.446 1.005 1.649 2.343 3.070 3.822 4.594 5.380 6.179 6.989 7.807 8.634 9.467 10.307 11.152 12.002 12.857 13.716 14.578 15.445 16.314 17.187 18.062 18.940 19.820 20.703 21.588 22.475 23.364

0.455 1.386 2.366 3.357 4.351 5.348 6.346 7.344 8.343 9.342 10.341 11.340 12.340 13.339 14.339 15.338 16.338 17.338 18.338 19.337 20.337 21.337 22.337 23.337 24.337 25.336 26.336 27.336 28.336 29.336

1.642 3.219 4.642 5.989 7.289 8.558 9.803 11.030 12.242 13.442 14.631 15.812 16.985 18.151 19.311 20.465 21.615 22.760 23.900 25.038 26.171 27.301 28.429 29.553 30.675 31.795 32.912 34.027 35.139 36.250

2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256

3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773

5.412 7.824 9.837 11.668 13.388 15.033 16.622 18.168 19.679 21.161 22.618 24.054 25.472 26.873 28.259 29.633 30.995 32.346 33.687 35.020 36.343 37.659 38.968 40.270 41.566 42.856 44.140 45.419 46.693 47.962

6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

Fuente: Hoel (1971)

A-4. Estadístico Durbin-Watson: Valores críticos (5 %) para dL y dU.

n

k=1 dL dU

k=2 dL dU

k=3 dL dU

k=4 dL dU

k=5 dL dU

k=6 dL dU

12

0.971

1.331

0.812

1.579

0.658

1.864

0.512

2.177

0.380

2.506

0.268

2.832

13

1.010

1.340

0.861

1.562

0.715

1.816

0.574

2.094

0.444

2.390

0.328

2.692

14

1.045

1.350

0.905

1.551

0.767

1.779

0.632

2.030

0.505

2.296

0.389

2.572

15

1.077

1.361

0.946

1.543

0.814

1.750

0.685

1.977

0.562

2.220

0.447

2.471

16

1.106

1.371

0.982

1.539

0.857

1.728

0.734

1.935

0.615

2.157

0.502

2.388

17

1.133

1.381

1.015

1.536

0.897

1.710

0.779

1.900

0.664

2.104

0.554

2.318

18

1.158

1.391

1.046

1.535

0.933

1.696

0.820

1.872

0.710

2.060

0.603

2.258

19

1.180

1.401

1.074

1.536

0.967

1.685

0.859

1.848

0.752

2.023

0.649

2.206

20

1.201

1.411

1.100

1.537

0.998

1.676

0.894

1.828

0.792

1.991

0.691

2.162

21

1.221

1.420

1.125

1.538

1.026

1.669

0.927

1.812

0.829

1.964

0.731

2.124

22

1.239

1.429

1.147

1.541

1.053

1.664

0.958

1.797

0.863

1.940

0.769

2.090

23

1.257

1.437

1.168

1.543

1.078

1.660

0.986

1.785

0.895

1.920

0.804

2.061

24

1.273

1.446

1.188

1.546

1.101

1.656

1.013

1.775

0.925

1.902

0.837

2.035

25

1.288

1.454

1.206

1.550

1.123

1.654

1.038

1.767

0.953

1.886

0.868

2.013

26

1.302

1.461

1.224

1.553

1.143

1.652

1.062

1.759

0.979

1.873

0.897

1.992

27

1.316

1.469

1.240

1.556

1.162

1.651

1.084

1.753

1.004

1.861

0.925

1.974

28

1.328

1.476

1.255

1.560

1.181

1.650

1.104

1.747

1.028

1.850

0.951

1.959

29

1.341

1.483

1.270

1.563

1.198

1.650

1.124

1.743

1.050

1.841

0.975

1.944

30

1.352

1.489

1.284

1.567

1.214

1.650

1.143

1.739

1.071

1.833

0.998

1.931

31

1.363

1.496

1.297

1.570

1.229

1.650

1.160

1.735

1.090

1.825

1.020

1.920

32

1.373

1.502

1.309

1.574

1.244

1.650

1.177

1.732

1.109

1.819

1.041

1.909

33

1.383

1.508

1.321

1.577

1.258

1.651

1.193

1.730

1.127

1.813

1.061

1.900

34

1.393

1.514

1.333

1.580

1.271

1.652

1.208

1.728

1.144

1.808

1.079

1.891

35

1.402

1.519

1.343

1.584

1.283

1.653

1.222

1.726

1.160

1.803

1.097

1.884

36

1.411

1.525

1.354

1.587

1.295

1.654

1.236

1.724

1.175

1.799

1.114

1.876

37

1.419

1.530

1.364

1.590

1.307

1.655

1.249

1.723

1.190

1.795

1.131

1.870

38

1.427

1.535

1.373

1.594

1.318

1.656

1.261

1.722

1.204

1.792

1.146

1.864

39

1.435

1.540

1.382

1.597

1.328

1.658

1.273

1.722

1.218

1.789

1.161

1.859

40

1.442

1.544

1.391

1.600

1.338

1.659

1.285

1.721

1.230

1.786

1.175

1.854

45

1.475

1.566

1.430

1.615

1.383

1.666

1.336

1.720

1.287

1.776

1.238

1.835

50

1.503

1.585

1.462

1.628

1.421

1.674

1.378

1.721

1.335

1.771

1.291

1.822

55

1.528

1.601

1.490

1.641

1.452

1.681

1.414

1.724

1.374

1.768

1.334

1.814

60

1.549

1.616

1.514

1.652

1.480

1.689

1.444

1.727

1.408

1.767

1.372

1.808

65

1.567

1.629

1.536

1.662

1.503

1.696

1.471

1.731

1.438

1.767

1.404

1.805

70

1.583

1.641

1.554

1.672

1.525

1.703

1.494

1.735

1.464

1.768

1.433

1.802

75

1.598

1.652

1.571

1.680

1.543

1.709

1.515

1.739

1.487

1.770

1.458

1.801

80

1.611

1.662

1.586

1.688

1.560

1.715

1.534

1.743

1.507

1.772

1.480

1.801

90

1.635

1.679

1.612

1.703

1.589

1.726

1.566

1.751

1.542

1.776

1.518

1.801

100

1.654

1.694

1.634

1.715

1.613

1.736

1.592

1.758

1.571

1.780

1.550

1.803

150

1.720

1.746

1.706

1.760

1.693

1.774

1.679

1.788

1.665

1.802

1.651

1.817

200

1.758

1.778

1.748

1.789

1.738

1.799

1.728

1.810

1.718

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